WWW.PDF.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Разные материалы
 

«138 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2005. Т. 46, N- 5 УДК 539.3 ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ КОНЕЧНЫХ УПРУГО-НЕУПРУГИХ ДЕФОРМАЦИЙ ...»

138 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2005. Т. 46, N- 5

УДК 539.3

ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ КОНЕЧНЫХ

УПРУГО-НЕУПРУГИХ ДЕФОРМАЦИЙ

А. А. Роговой

Институт механики сплошных сред УрО РАН, 614013 Пермь

E-mail: rogovoy@icmm.ru

На основе кинематики наложения малых упругих и неупругих деформаций на конечные упруго-неупругие построен общий вид эволюционного определяющего соотношения упруго-неупругости с согласованной с ним объективной производной. Уравнение конкретизировано с использованием упругого закона для слабосжимаемого материала.

Ключевые слова: упруго-неупругость, конечные деформации, слабая сжимаемость, эволюционные определяющие уравнения.

1. Предварительные сведения. В работе [1] с использованием трех конфигураций:

0 — начальной, — текущей и — промежуточной, близкой к текущей, и в рамках кинематики, определяемой наложением малых деформаций (градиентов места) на конечные, построены уравнения состояния для конечных упругих деформаций простого материала относительно промежуточной конфигурации.

В соответствии с теоремой Селерье — Рихтера или теоремой приведения Нолла определяющее уравнение для простого материала, удовлетворяющее принципу объективности, имеет вид (см. [2]) T = R · g1 (U ) · Rт, (1.1) где T — тензор истинных напряжений; R, U — ортогональный тензор и симметричный положительно-определенный тензор чистой деформации в полярном разложении градиента места F = R · U ; g1 (U ) — отклик материала на чистую деформацию.



Соотношение (1.1) может быть представлено в нескольких эквивалентных формах [1], в частности T = J 1 F · g6 · F т, (1.2) где J = I3 (F ) — третий главный инвариант F, определяющий относительное изменение объема; g6 — функция отклика материала. В работе [1] функция g6 связана с g1 соотU · g · U. Относительно промежуточной конфигурации, близкой к ношением g1 = J 6 текущей, определяющее уравнение (1.2) представляется в виде T = [1 I1 (e)]T + h · T + T · hт + LIV ·· e. (1.3) Здесь T — напряжение, достигнутое в конфигурации (начальное для этой конфигураu)т — градиент относительно конфигурации вектора малых перемещеции); h = ( Работа выполнена по разделам Программы Отделения энергетики,машиностроения, механики и процессов управления РАН (2003, 2004) и интеграционной Программы УрО РАН, СО РАН и ДВО РАН (2003, 2004) при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 03-01-00554).

А. А. Роговой

–  –  –

с объективной производной Трусделла.

Конфигурация получается из текущей конфигурации (неизвестной до решения задачи) малой упругой разгрузкой и, если процесс чисто упругий, совпадает с конфигурацией 1, полученной в конце предыдущего нагрузочного шага. Если процесс упругонеупругий, то конфигурация, как показано в [1], также однозначно строится по известной конфигурации 1. На основе соотношений (1.3), (1.4), интерпретируя упругопластический процесс как упругий с отсчетной конфигурацией 2, полученной из конфигурации 1 с помощью малого пластического поворота dP, авторы работы [1] построили эволюционные определяющие уравнения для больших упругопластических деформаций (конечных упругих и конечных пластических) для любого закона упругости и ассоциированного закона пластичности. Уравнения конкретизированы с использованием в качестве упругого закона упрощенного соотношения Синьорини и соотношения Прандтля — Рейсса для пластичности.





Вся процедура получения эволюционных определяющих уравнений для больших упругопластических деформаций, изложенная в [1], есть некая формализация, алгоритм построения непротиворечивых (законам термодинамики, принципу объективности) уравнений состояния. Цель настоящей работы — обосновать эту процедуру при построении определяющих уравнений для конечных упруго-неупругих (упругопластических, вязкоупругих, термоупругих) деформаций и конкретизировать полученные соотношения, основываясь на уравнениях для слабосжимаемого упругого материала.

2. Кинематические соотношения. Придерживаясь подхода, изложенного в работе [1] и основанного на наложении малых деформаций на конечные, представим градиПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2005. Т. 46, N- 5

–  –  –

Отметим, что представление F в виде мультипликации FE и FIN полезно в некоторых случаях трактовать, используя терминологию структурного моделирования, как последовательное соединение упругого и неупругого элементов. Действительно, в рамках малых деформаций (FE = FIN = g) из соотношений (2.7), (2.8) следует, что полные деформация и поворот равны сумме упругих и неупругих величин, что соответствует последовательному соединению упругого и неупругого элементов.

Корректное выделение из упруго-неупругого градиента места чисто упругого, выполненное здесь, понадобится нам при построении уравнения состояния упруго-неупругого поведения материала при конечных деформациях. Понадобится также мера деформации Коши — Грина C = F т · F, которая с учетом выражений (2.3), (2.5) представляется в виде т т C = FIN · CE · FIN = C + 2 F · (eE + eIN ) · F, (2.10) где F = FE · FIN.

3. Определяющее уравнение. Любой упруго-неупругий процесс, приводящий к текущей конфигурации, интерпретируется как упругий из напряженной конфигурации 2, близкой к текущей (см. рисунок). Близость определяется возможностью использовать соотношение (1.3) в качестве определяющего уравнения упругости, которое допускает удобную для наших целей трактовку, связанную со слагаемыми, содержащими напряжение T, соответствующее градиенту места F. Эти слагаемые полностью определяют преобразование напряжений T при наложении на F градиента места f, т. е. поворот этих напряжений и их изменение в связи с изменением текущей элементарной площадки. Действительно, элементарные ориентированные площадки в текущей и промежуточной конфигурациях связаны известным соотношением (см. [1]) Jf N ·f dS = N dS, где Jf = I3 (f ) = 1+I1 (e); N dS и N dS — ориентированные элементарные площадки в текущей и промежуточной (2 ) конфигурациях. Из равенства усилия, соответствующего напряжению T в промежуточной конфигурации, усилию в текущей конфигурации получаем для последней симметричный тензор напряжений Jf f ·T ·f т. Подставляя сюда выражения для Jf и f и удерживая только линейные относительно слагаемые, приходим к соотношению [1I1 (e)]T +h·T +T ·hт, в котором, учитывая, что h = e+d, можно выделить члены, связанные только с поворотом и изменением величины площадки.

Рассмотрим процесс перехода из конфигурации 1 в текущую (см. рисунок). Конфигурации 1 соответствует накопленное напряженное состояние T1. Градиент fIN переводит конфигурацию 1 с этим напряженным состоянием в конфигурацию 2, поворачивая тензор T1 посредством dIN и пересчитывая его на новую текущую площадку посредством eIN (путь 1 на рисунке). В результате напряженное состояние в конфигурации 2 определяется соотношением T2 = [1 I1 (eIN )]T1 + hIN · T1 + T1 · hт. (3.1) IN Напряжения T2 являются начальными для кинематики, определяемой упругим градиентом места fE, поэтому в соответствии с уравнением состояния (1.3) тензор истинных напряжений записывается в виде T = [1 I1 (eE )] T2 + hE · T2 + T2 · hт + LIV ·· eE, (3.2) E где LIV определяет отклик материала на малые упругие деформации eE относительно конфигурации 2. Подставляя выражение (3.1) в соотношение (3.2) и сохраняя только линейные по слагаемые, приходим к уравнению T = [1 I1 (e)] T1 + h · T1 + T1 · hт + LIV ·· eE, (3.3) 144 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА И ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА. 2005. Т. 46, N- 5

–  –  –

где Ii = Ii (C) (i = 1, 2, 3) — главные инварианты меры C. Этим вводятся четыре обобщенных модуля упругости, один из которых и определяет сжимаемость (несжимаемость) материала.

Дальнейшему развитию теории посвящены работы [9–11], в которых учитывается экспериментально наблюдаемый факт изменения “объемного модуля” и “модуля сдвига” при изменении объема и продемонстрированы возникающие при этом эффекты, в частности эффект раскручивания и натягивания обратно предварительно закрученной и стянутой в осевом направлении внешней поверхности полого цилиндра при подаче внутреннего давления. При конечных деформациях выражения, определяющие модуль сдвига и объемный А. А. Роговой

–  –  –

ЛИТЕРАТУРА

1. Новокшанов Р. С., Роговой А. А. О построении эволюционных определяющих соотношений для конечных деформаций // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2002. № 4. C. 77–95.

2. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975.

3. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.

4. Роговой А. А. Дифференцирование скалярных и тензорных функций тензорного аргумента // Вестн. Перм. гос. техн. ун-та. 2001. № 2. С. 83–90.

5. Ogden R. W. Non-linear elastic deformations. Horwood: Chichester, 1984.

6. Anand L. A. A constitutive model for compressible elastomeric solids // Comput. Mech. 1996.

V. 18. P. 339–355.

7. Lambert-Diani J., Rey C. New phenomenological behavior laws for rubbers and thermoplastic elastomers // Europ. J. Mech. A / Solids. 1999. V. 18. P. 1027–1043.

8. Мошев В. В., Свистков А. Л., Гаришин О. К. и др. Структурные механизмы формирования механических свойств зернистых полимерных композитов. Екатеринбург: Ин-т механики сплошных сред УрО РАН, 1997.

А. А. Роговой

9. Кузнецова В. Г., Роговой А. А. Эффект учета слабой сжимаемости материала в упругих задачах с конечными деформациями // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1999. № 4.

C. 64–77.

10. Роговой А. А., Кузнецова В. Г. Эффект учета слабой сжимаемости эластомеров. Осесимметричная задача. Аналитическое решение // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2000.

№ 6. С. 27–37.

11. Rogovoy A. Eect of elastomer slight compressibility // Europ. J. Mech. A / Solids. 2001. V. 20.

P. 757–775.

12. Cescotto S., Fonder G. A nite element approach for large strain of nearly incompressible rubber-like materials // Intern. J. Solids Struct. 1979. V. 15, N 8. P. 589–605.

13. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980.

14. Роговой А. А., Новокшанов Р. С. Формализованный подход к построению определяющих уравнений сложных сред при конечных деформациях // Сб. докл. Всерос. школы-семинара по современным проблемам механики деформируемого твердого тела. Новосибирск, 13–17 окт.

2003 г. Новосибирск: Изд-во Новосиб. гос. техн. ун-та, 2003. С. 184–187.

15. Роговой А. А. Построение и аттестация определяющих уравнений сложных сред при конечных деформациях // Тез. докл. II Всерос. конф. “Актуальные проблемы прикладной математики и механики”, посвященной памяти акад. А. Ф. Сидорова, Абрау-Дюрсо, 8–11 сент.

2004 г. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 2004. С. 86–88.

Похожие работы:

«Министерство образования и науки ФГБОУ ВПО Уральский государственный лесотехнический университет Кафедра менеджмента и ВЭД предприятия Одобрена: Утверждаю: кафедрой менеджмента и ВЭД предприятия Декан ФЭУ В.П.Часовских протокол № 1 от 2 сентября 2013 г. Зав.кафедрой _ В.П. Часовских...»

«УДК 616.194.7 – 07: 616 – 005.1 © В.Г. Желобов, А.В. Агафонов, А.В. Туев ГБОУ ВПО Пермский государственный медицинский университет им. академика Е.А. Вагнера Минздрава России г. Пермь, Россия МЕХАНИЗМЫ НАРУШЕНИЯ КОАГУЛЯЦИОННОГО...»

«Подготовлено при поддержке ВПП Единая Россия «Новое в ЖКХ», справочное пособие для собственников помещений в многоквартирных домах. Город Ижевск, 2015 г. АННОТАЦИЯ Справочное пособие подготовлено общественной организацией потребителей услуг ЖКХ «Объединение советов домов Удмуртской Респуб...»

«Материалы 87-й Международной научно-технической конференции 143 «Эксплуатационная безопасность автотранспортных средств» МАТЕРИАЛЫ 87-Й МЕЖДУНАРОДНОЙ НАУЧНОТЕХНИЧЕСКОЙ КОНФЕРЕНЦИИ «ЭКСПЛУАТАЦИОННАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ АВТОТРАНСПОРТНЫХ СРЕДСТВ» Секция 1. АКТИВНАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ И ДИНАМИКА ТР...»

«ИНСТИТУТ МИРОВОЙ ЭКОНОМИКИ И МЕЖДУНАРОДНЫХ ОТНОШЕНИЙ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК НАУКА И ИННОВАЦИИ: ВЫБОР ПРИОРИТЕТОВ Ответственный редактор академик РАН Н.И. Иванова Москва ИМЭМО РАН УДК 338.22.021.1 ББК 65.9(0)-5 Нау 34 Серия “Библиотека Института мировой экономики и международн...»

«ГОСТ Р МЭК 730—2—9—94 ГО СУ Д А РС ТВЕ Н Н Ы Й С Т А Н Д А Р Т Р О СС И Й С К О Й Ф Е Д Е Р А Ц И И АВТОМАТИЧЕСКИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ УПРАВЛЯЮЩИЕ УСТРОЙСТВА БЫТОВОГО И АНАЛОГИЧНОГО НАЗНАЧЕНИЯ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К ТЕРМОЧУВСТВИТЕЛЬНЫМ УСТРОЙСТВАМ И МЕТОДЫ ИСПЫТАНИЙ Издание официальное БЗ 4—94/214...»

«Главное техническое управление по эксплуатации энергосистем ИНСТРУКЦИЯ ПО ЭКСПЛУАТАЦИИ ОПЕРАТИВНЫХ БЛОКИРОВОК БЕЗОПАСНОСТИ В РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫХ УСТРОЙСТВАХ ВЫСОКОГО НАПРЯЖЕНИЯ ст мт зт МОСКВА 197!» МИНИСТЕРСТВО ЭНЕРГЕТИКИ И ЭЛЕКТРИФИКАЦИ...»

«Среды разработки учебных ресурсов и организации обучения для детей с нарушением способности считать Иванова Татьяна Иванова доктор, преподаватель кафедры Электроники, Компютерных Систем и Технологии Софийского Технического Университета, Коллеж Энергетики и Электроники Бул. България, 17,...»

«ИНСТИТУТ МИРОВОЙ ЭКОНОМИКИ И МЕЖДУНАРОДНЫХ ОТНОШЕНИЙ ИМЕНИ Е.М. ПРИМАКОВА РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК А.А. Шлихтер СОЦИАЛЬНЫЕ УСЛУГИ В СИСТЕМЕ АМЕРИКАНСКОГО ФЕДЕРАЛИЗМА Москва ИМЭМО РАН УДК 330.342.146(73) ББК 65.6(7Сое) Шлих 696 Серия «Библиотека Института мировой экономики и международных отношений имени Е.М. Примакова» Р...»

«ЖИЛИЩНАЯ ПРОГРАММА ЗАКРЫТОЕ АКЦИОНЕРНОЕ ОБЩЕСТВО «ТИХВИНСКИЙ ВАГОНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ЗАВОД» ЖИЛИЩНЫЙ ФОНД ЖИЛИЩНЫЙ ФОНД Общая характеристика строящихся жилых комплексов Строящиеся жилые комплексы расположены в трех микрорайонах г. Тихвина: 1А микрорайон (5,5 км до ТВСЗ) 2 микрорайон (4,5 км до ТВСЗ) 7 микрорайон (4...»








 
2017 www.pdf.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - разные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.