WWW.PDF.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Разные материалы
 

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УХТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Н.К. Климушев, О.М. Прудникова Моделирование технологических ...»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

УХТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Н.К. Климушев, О.М. Прудникова

Моделирование

технологических процессов

лесопромышленного производства

Учебное пособие

Допущено Учебно-методическим объединением вузов по образованию

в области лесного дела в качестве учебного пособия

для студентов вузов, обучающихся

по специальности 260100 «Лесоинженерное дело»

Ухта 2003 УДК 630*308:519.8 K 49 Климушев Н.К., Прудникова О.М. Моделирование технологических процессов лесопромышленного производства: Учебное пособие. – Ухта.

УГТУ, 2003. – 76 с.

ISBN 5-88179-303-Х Учебное пособие предназначено для студентов специальности 260100 «Лесоинженерное дело» и может быть использовано студентами других специальностей.

Пособие содержит общие принципы и конкретные методы и модели, характеризующие технологические процессы лесопромышленного производства, получившие наиболее широкое применение в отраслевой науке. Может использоваться инженерно-техническими работниками лесного комплекса для решения практических задач.

Рецензенты: кафедра информатики и информационных систем Сыктывкарского лесного института Санкт-Петербургской государственной лесотехнической академии (зав. кафедрой к.ф.м.н. доцент Герасин М.Л.);

Генеральный директор ООО «Мезенский ЛПХ» инж. В.Н. Адеков.

© Ухтинский государственный технический университет, 2003 © Климушев Н.К., Прудникова О.М., 2003 ISBN 5-88179-303-Х Оглавление Список сокращений

Введение

1. Технологический процесс лесозаготовительного производства.............. 7

2. Основы моделирования

2.1. Принципы моделирования

2.2. Этапы математического моделирования

2.3. Методы моделирования технологических процессов лесозаготовительного производства

3. Аналитическое моделирование

3.1. Математическое программирование

3.1.1. Линейное программирование

3.1.1.1. Транспортная задача

3.1.2. Динамическое программирование

3.2. Теория массового обслуживания

3.2.1. Многоканальная СМО с отказами

3.2.2. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

3.2.3. Одноканальная СМО с ограничением по длине очереди............... 49 3.2.4. Многоканальная СМО с неограниченной очередью

3.2.5. Многоканальная СМО с ограничением по длине очереди............. 53

4. Имитационное моделирование

4.1. Построение имитационной модели

4.2. Моделирование случайных факторов

4.3. Моделирование случайных объектов

4.4. Управление модельным временем

4.4.1. Виды представления времени в модели

4.4.2. Изменение времени с постоянным шагом

4.4.3. Продвижение времени по особым состояниям

4.5. Обработка и анализ результатов моделирования

4.5.1. Оценка качества имитационной модели

4.5.2. Оценка адекватности модели

4.5.3. Оценка устойчивости модели

4.5.4. Оценка чувствительности модели

4.6. Имитационное моделирование в лесозаготовительном производстве

4.6.1. Имитационная модель участка разгрузки лесовозов

4.6.2. Имитационное моделирование лесозаготовительного производства

Библиографический список

Список сокращений

ДП – динамическое программирование ДСВ – дискретная случайная величина ЛП – линейное программирование ЛПР – лицо, принимающее решение НСВ – непрерывная случайная величина ПСВ – простая случайная выборка СВ – случайная величина СМО – система массового обслуживания СС – случайное событие ТВ – теория вероятностей ТМО – теория массового обслуживания ФРСВ – функция распределения случайной величины

Введение

Лесозаготовительное производство относится к добывающим отраслям промышленности. Оно в значительной степени зависит от природных, климатических, лесорастительных условий. Объект труда – древесина – представляет собой природный продукт, достаточно равномерно распределенный по лесопокрытой площади с запасом от ста до трехсот кубометров на гектаре или, если представить его в виде сплошного покрытия, слоем от одного до нескольких сантиметров.

Лесозаготовительное производство включает ряд разнородных технологических операций, традиционно объединяемых в три фазы: лесосечные, лесотранспортные и нижнескладские работы. Последовательные технологические операции на разных фазах лесозаготовительного производства выполняются различными системами машин на значительном удалении друг от друга. Основной объект труда – деревья, отведенные в рубку, – отличаются значительным разнообразием размерно-качественных признаков.

Технологические операции лесозаготовительного производства выполняются преимущественно на открытом воздухе, т.е. в процессе работы и люди, и техника, и объект труда постоянно подвергаются влиянию переменных погодных условий. Выполнение лесосечных и лесотранспортных работ существенно зависит от грунтово-почвенных условий разрабатываемых лесосек и времени года. Совокупное действие вышеуказанных факторов ведет к высокому уровню случайной неравномерности осуществления лесозаготовительного производства.

Неизбежная рассогласованность ритма лесозаготовительного производства, дискретность поставок заготовок, действие случайных причин, обусловливающих колебания в интенсивностях создания и потребления запасов, переменные длительности интервалов между поставками заготовок относительно среднего (расчетного) уровня вынуждают создавать запасы лесоматериалов разных видов, обеспечивающие непрерывность производственного процесса.

Отмеченные особенности лесозаготовительного производства, как сложной многоплановой человеко-машинной системы с высоким уровнем неравномерности, предопределяют необходимость моделирования технологических процессов для решения задач оптимизации при принятии решений.

Общая цель моделирования в процессе принятия решения – это определение (расчет) значений выбранного показателя эффективности для различных стратегий проведения операции (или вариантов реализации проектируемой системы). При разработке конкретной модели цель моделирования должна уточняться с учетом используемого критерия эффективности. Для соответствия критерию пригодности модель, как правило, должна обеспечивать расчет значений показателя эффективности для всего множества допустимых стратегий. При использовании критерия оптимальности модель должна позволять непосредственно определять параметры исследуемого объекта, дающие экстремальное значение показателя эффективности.

Применение методов математического моделирования в решении задач оптимизации лесозаготовительных процессов позволяет практику проверить расчетом и уточнить диапазон наилучших решений, а молодому инженеру сразу выйти в область эффективных решений, выявить закономерности того или иного процесса, подсказать правильный путь решения практически важного вопроса, наиболее коротким путем подойти к принципиально новым прогрессивным решениям.

1. Технологический процесс лесозаготовительного производства

Технологическим процессом лесозаготовительного производства называется совокупность процессов производства товарных лесоматериалов из растущих деревьев, отведенных в установленном порядке в рубку. Технологические процессы лесозаготовительного производства принято объединять в три фазы: лесосечные работы, транспорт леса и нижнескладские работы.

Лесозаготовительная промышленность имеет целый ряд характерных особенностей осуществления технологического процесса.

Основные особенности заключаются в следующем:

1. Лесозаготовки производятся в исключительно разнообразных природных и производственных условиях, а лесозаготовительные предприятия расположены в районах с различным климатом, лесные площади имеют разнообразный рельеф и разные грунтово-почвенные условия.

2. Деревья, как основной объект труда, очень различаются по породам, размерам, качеству.

3. Территориально цехи и участки лесозаготовительных предприятий разобщены, находятся порой на значительном расстоянии друг от друга, что создает трудности в оперативном управлении, снабжении, организации производства и т.п.

4. Состав технологических операций на разных фазах лесозаготовок различен, требует применения разнородных машин и систем машин.

5. Из заготовленной древесины производится большой ассортимент товарных лесоматериалов, отличающихся как по степени обработки, так и размерно-качественными признаками и иными требованиями к готовой продукции.

Состав основных технологических операций и применяемых машин и оборудования на разных фазах различен.

Лесосечные работы характеризуются неподвижностью объектов обработки – деревьев – и подвижностью применяемых машин и оборудования. Возможность выбора системы машин и маневрирования технологических машин в процессе лесосечных работ открывают широкие возможности для оптимизации. К числу основных задач оптимизации на лесосечных работах следует отнести задачи выбора систем машин, задачи оптимизации взаимодействия этих машин в процессе работы, задачи оптимального управления запасами лесоматериалов разной степени обработки (деревья, хлысты, сортименты).

Вторая фаза лесозаготовок – транспорт леса – заключается в перевозке заготовленной древесины на нижние склады или непосредственно потребителям. Основными оптимизационными задачами на этой фазе являются выбор оптимальных систем машин для данных конкретных условий вывозки, рациональное размещение зимней и летней лесосек, обеспечивающих минимизацию транспортной работы или транспортных затрат, определение оптимальных запасов лесоматериалов, способствующих минимизации простоев лесовозных автопоездов, повышению эффективности использования машин и оборудования.

Третья фаза лесозаготовок – нижнескладские работы – состоят в первичной обработке и частичной переработке вывезенной древесины. Важными задачами этой фазы являются оптимальное управление запасами лесоматериалов разной степени обработки (деревья, хлысты, сортименты, пиломатериалы и т.д.), рациональный выбор машин, оборудования и построение технологических процессов, управление качеством продукции и др.

Разнообразие технологических процессов и применяемых машин и оборудования определяют широкий диапазон задач и возможность применения практически всех методов математического моделирования, объединяемых понятием «Исследование операций» (ИО).

Схема решения задач оптимизации лесозаготовительных процессов методами ИО не имеет принципиальных отличий от общепринятых. Вместе с тем, некоторая специфика лесозаготовительных процессов требует их учета и отражения при применении стандартных математических моделей и методов.

Выбор метода решения задачи определяется зачастую не только адекватностью модели оптимизируемому реальному процессу, но и подготовленностью ЛПР (лица, принимающего решение) и знанием им тех или иных методов, возможностями ЭВМ и наличием программного обеспечения и др.

Многие задачи оптимизации лесозаготовительных процессов приходится решать в условиях значительной неопределенности исходной информации: экономических показателей, технических и эксплуатационных данных машин и оборудования, размерных и качественных характеристик обрабатываемого сырья.

При решении оптимизационных задач одну из основных трудностей представляет размерность задачи, которая может оказаться чрезмерно большой. В этих случаях применяется декомпозиция системы (или процесса), т.е. расчленение ее на отдельные самостоятельные участки, их моделирование и оптимизация. Декомпозиция проводится обычно в соответствии со структурой производственного процесса.

Для получения результатов в целом по процессу проводится композиция системы. Для обеспечения возможности декомпозиции и последующей композиции модель системы должна быть гибкой и перестраиваемой.

Нахождение оптимальных параметров возможно лишь по количественным показателям, прежде всего по экономическим и техническим параметрам. Оценка экологических, эстетических и социальных требований может учитываться в виде ограничений на область возможных решений.

Окончательное же решение при оптимизации параметров системы с учетом неколичественных ограничений может и должен принимать инженер, ученый или конструктор.

Схема лесозаготовительного производства представлена на рис. 1.

Лесосечные работы Транспорт леса Нижнескладские работы Хлыстовая заготовка

–  –  –

В настоящее время не существует области инженерной деятельности, в которой не использовались бы методы моделирования. Особенно это относится к сфере управления различными системами, где основными являются процессы принятия решений на основе получаемой информации.

Моделированием принято называть замещение одного объекта (оригинала) другим объектом (моделью) с целью получения интересующей исследователя информации о существенных свойствах первого с помощью второго.

Для того чтобы сравнить между собой различные стратегии проведения операции или построения технологических процессов, необходимо выполнить оценку ожидаемых значений показателя эффективности. Для этого, в свою очередь, необходимо иметь математическую модель исследуемой операции или технологического процесса.

Математические модели можно разделить на аналитические, алгоритмические и комбинированные.

При аналитическом моделировании для описания процессов функционирования системы используются алгебраические, дифференциальные, интегральные и другие уравнения.

Аналитическая модель может быть исследована следующими методами:

а) аналитическим, когда стремятся получить в общем виде явные зависимости для искомых характеристик;

б) численным, когда при отсутствии методик решения в общем виде стремятся получить численные результаты при конкретных начальных значениях параметров;

в) качественным, когда, не имея решения в общем виде, можно тем не менее найти некоторые свойства решения (например, оценить устойчивость полученного решения).

Аналитическое моделирование включает в себя следующие дисциплины и методы: оптимизационное (математическое) программирование, теория массового обслуживания (или теория очередей), теория игр и статистических решений, сетевые методы и др. В оптимизационное (математическое) программирование входят, в свою очередь, линейное программирование, нелинейное программирование, динамическое программирование, дискретное (целочисленное) программирование, стохастическое программирование и др.

При алгоритмическом моделировании описывается процесс функционирования системы во времени, причем воспроизводятся существенные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания явлений во времени. Алгоритмические модели могут быть детерминированными и статистическими.

В последнем случае в модели с помощью случайных чисел имитируется действие неопределенных и случайных факторов. Такой метод моделирования получил название метода имитационного (статистического) моделирования. В настоящее время он считается наиболее эффективным методом исследования сложных систем.

Считается, что для применения имитации должны быть достаточные основания:

- не существует законченной математической постановки данной задачи, либо еще не разработаны методы математического программирования или аналитические методы решения такого рода задач;

- методы имеются, но они столь сложны, что имитационное моделирование является более простым способом решения задачи;

- методы математического программирования или аналитические методы существуют, но их реализация невозможна из-за недостаточной подготовленности ЛПР (лица, принимающего решение).

Комбинированное моделирование позволяет объединить достоинства аналитического и алгоритмического моделирования. При построении комбинированных моделей производится предварительная декомпозиция процесса функционирования модели на составляющие подпроцессы. Для тех из них, где это возможно, используются аналитические модели, а для остальных процессов строятся алгоритмические модели.

Искусство моделирования состоит в способности анализировать проблему, выделять из нее путем абстрагирования ее существенные черты, выбирать и должным образом модифицировать основное предположение, характеризующее систему, а затем отрабатывать и совершенствовать модель до тех пор, пока она не будет давать полезные для практики результаты.

Хорошая модель должна быть:

- простой и понятной пользователю;

- целенаправленной;

- надежной в смысле гарантии от получения абсурдных ответов;

- удобной в управлении и обращении, т.е. общение с ней должно быть легким;

- полной с точки зрения возможностей решения главных задач;

- адаптивной, позволяющей легко переходить к другим модификациям или обновлять данные;

- допускающей постепенные изменения в том смысле, что, будучи вначале простой, она может во взаимодействии с пользователем становиться все более сложной.

2.1. Принципы моделирования

Математическое моделирование основано на следующих принципах:

1. Принцип информационной достаточности. При полном отсутствии информации об исследуемой системе построение ее модели невозможно. При наличии полной информации о системе ее моделирование лишено смысла. Существует некоторый критический уровень априорных сведений о системе (уровень информационной достаточности), при достижении которого может быть построена ее адекватная модель.

2. Принцип осуществимости. Создаваемая модель должна обеспечивать достижение поставленной цели исследования с вероятностью, существенно отличающейся от нуля, и за конечное время. Обычно задают некоторое пороговое значение Р0 вероятности достижения цели моделирования P(t), а также приемлемую границу t0 времени достижения этой цели.

Модель считают осуществимой, если может быть выполнено условие P(t0)P0.

3. Принцип множественности моделей. Данный принцип является ключевым. Он означает, что создаваемая модель должна отражать в первую очередь те свойства, которые влияют на выбранный показатель эффективности. Соответственно, при использовании любой конкретной модели познаются лишь некоторые стороны реальности. Для более полного ее исследования необходим ряд моделей, позволяющих с разных сторон и с разной степенью детальности отражать рассматриваемый процесс.

4. Принцип агрегирования. В большинстве случаев сложную систему можно представить состоящей из агрегатов (подсистем), для адекватного математического описания которых оказываются пригодными некоторые стандартные математические схемы. Принцип агрегирования позволяет, кроме того, достаточно гибко перестраивать модель в зависимости от задач исследования.

5. Принцип параметризации. В ряде случаев моделируемая система имеет в своем составе некоторые относительно изолированные подсистемы, характеризующиеся определенным параметром, в том числе векторным. Такие подсистемы можно заменять в модели соответствующими числовыми величинами, а не описывать процесс их функционирования. При необходимости зависимость значений этих величин от ситуации может задаваться в виде таблицы, графика или аналитического выражения (формулы). Принцип параметризации позволяет сократить объем и продолжительность моделирования. Однако параметризация снижает адекватность модели.

2.2. Этапы математического моделирования

Степень реализации вышеуказанных принципов моделирования для каждой конкретной задачи может быть различной. Причем это зависит не только от желания разработчика, но и определяется принятой технологией моделирования.

Технология моделирования предполагает выполнение следующих действий:

- определение цели моделирования;

- разработка концептуальной модели объекта;

- формализация модели;

- аналитическая и/или программная реализация модели;

- планирование модельных экспериментов;

- постановка эксперимента;

- анализ и интерпретация результатов моделирования.

Содержание первых двух этапов практически не зависит от математического метода, положенного в основу моделирования. Реализация же остальных этапов существенно различается для каждого из двух основных подходов к построению модели.

Аналитическое моделирование предполагает использование математической модели реального объекта в форме алгебраических, дифференциальных, интегральных и других уравнений, связывающих выходные переменные со входными, дополненными системой накладываемых ограничений. При этом предполагается существование однозначной вычислительной процедуры получения точного решения уравнения.

При алгоритмическом (имитационном) моделировании используемая математическая модель воспроизводит алгоритм («логику») функционирования исследуемой системы во времени при различных сочетаниях значений параметров системы и внешней среды.

Общая цель моделирования в процессе принятия решения – это определение (расчет) значений выбранного показателя эффективности для различных стратегий проведения операции (или вариантов реализации проектируемой системы). При разработке конкретной модели цель моделирования должна уточняться с учетом используемого критерия эффективности. Для соответствия критерию пригодности модель, как правило, должна обеспечивать расчет значений показателя эффективности для всего множества допустимых стратегий. При использовании критерия оптимальности модель должна позволять непосредственно определять параметры исследуемого объекта, дающие экстремальное значение показателя эффективности.

Таким образом, цель моделирования определяется как целью исследуемой операции, так и планируемым способом использования результатов исследования.

Концептуальная (содержательная) модель – это абстрактная модель, определяющая структуру моделируемой системы, свойства ее элементов и причинно-следственные связи, присущие системе и существенные для достижения цели моделирования. Построение концептуальной модели начинается с определения типа системы. Наиболее важные классификационные признаки систем, позволяющие отнести ее к одному из известных типов (классов), представлены на рис. 2.

–  –  –

Одним из таких признаков является мощность множества состояний моделируемой системы. По этому признаку системы делят на статические и динамические. Система называется статической, если множество ее состояний содержит один элемент. Если состояний больше одного и они могут изменяться во времени, система называется динамической. Процесс смены состояний называется движением системы.

Различают два основных типа динамических систем:

- с дискретными состояниями (множество состояний конечно или счетно);

- с непрерывным множеством состояний.

Системы с дискретными состояниями характеризуются тем, что в любой момент времени можно однозначно определить, в каком именно состоянии находится система. Для такой идентификации обязательно нужно знать тот признак, который отличает одно состояние системы от другого.

Например, при исследовании систем массового обслуживания в качестве такого признака обычно используют число заявок в системе. Соответственно, изменение числа заявок в системе интерпретируется как переход системы в новое состояние.

Если не удается подобрать такой признак либо его текущее состояние невозможно зафиксировать, то систему относят к классу систем с непрерывным множеством состояний.

Смена состояний может происходить либо в фиксированные моменты времени, множество которых дискретно (например, поступление груженых лесовозов под разгрузку), либо непрерывно (изменение объема технологической щепы на складе при работе технологической установки).

По условиям перехода из одного состояния в другое различают детерминированные и стохастические системы.

В детерминированных системах новое состояние зависит только от времени и текущего состояния системы. Если имеются условия, определяющие переход системы в новое состояние, то для детерминированной системы всегда можно однозначно указать, в какое именно состояние она перейдет.

Для стохастической системы можно указать лишь множество возможных состояний перехода и в некоторых случаях – вероятностные характеристики перехода в каждое из этих состояний.

При исследовании эффективности операции весьма важную роль играет корректное описание условий ее протекания. Как правило, она представляет собой перечень и характеристики внешних факторов, воздействующих на исполнительную подсистему, используемую ЛПР для достижения целей операции. В ряде случаев вместо условий проведения операции рассматривают рабочую нагрузку соответствующей системы.

Рабочая нагрузка – это совокупность внешних воздействий, оказывающих влияние на эффективность применения данной системы в рамках проводимой операции.

2.3. Методы моделирования технологических процессов лесозаготовительного производства Математическое моделирование технологических процессов лесозаготовительного производства не имеет принципиальных отличий от общепринятых. Вместе с тем, специфика лесозаготовительных процессов требует их учета и отражения при применении стандартных математических моделей и методов их разработки и использования.

В основу большинства применяемых математических методов положен принцип дробления задачи на этапы, шаги, подзадачи. Таким образом осуществляется переход от большой сложности задачи, которую обычный человек не способен охватить и удержать в голове одновременно, одномоментно, к разумной малой сложности отдельных шагов. А многосложные вычисления передаются компьютеру. В результате каждый делает то, что может: человек думает, машина считает.

Пожалуй, наиболее ярко такой подход проявляется в динамическом программировании (ДП). При применении метода ДП поиск решения разбивается на шаги или этапы и определяется цена каждого шага. Затем в обратном порядке, т.е., начиная с последнего шага, просчитываются стоимости цепочек (последовательностей) шагов. При этом требуется соблюдение «принципа оптимальности», который гласит, что на каждом шаге управление выбирается так, чтобы суммарный выигрыш на данном шаге с учетом всех последующих шагов был максимальным.

К наиболее характерным задачам, решаемым методом ДП, относятся:

1. оптимальное распределение ресурсов (материальных, финансовых, технических) по наибольшей совокупной отдаче;

2. выбор возможной трассы лесовозной дороги по минимальным затратам;

3. оптимальное управление запасами.

Наиболее глубоко разработано и наиболее широко применяется для решения оптимизационных задач линейное программирование (ЛП). Обязательным условием для применения ЛП является линейная зависимость целевой функции от существенных переменных при наличии связывающих их линейных ограничений. Решением системы уравнений находится оптимальное решение.

Метод ЛП применяется для решения задач:

1. рационального использования сырья и материалов;

2. оптимизации раскроя;

3. оптимизации производственной программы предприятия;

4. составление оптимального (т.е. минимального по суммарной стоимости) плана перевозок лесоматериалов;

5. управления производственными запасами.

Эффективным для оптимизации взаимодействия входящих потоков лесоматериалов с технологическими установками является применение теории массового обслуживания (ТМО). Очень многие технологические процессы лесопромышленного производства можно рассматривать как системы массового обслуживания. Случайный характер входящего потока требований (хлыстов, сортиментов, автолесовозов и т.д.), а также длительности обслуживания каналом (раскряжевочная установка, лесорама, краны и т.д.) приводит к образованию случайного процесса в системе, который необходимо исследовать.

Главным в применении ТМО является учет случайного характера реальных процессов и их взаимодействие, что позволяет избежать больших очередей и простоев, наилучшим образом загрузить оборудование.

ТМО применяется для:

1. анализа процессов единого производственного цикла с целью определения рационального количества технологического оборудования каждого вида, оптимальной вместимости буферных магазинов для размещения межоперационных запасов;

2. оптимизации взаимодействия транспортных потоков и обслуживающих их устройств;

3. обоснования размеров запасов сырья и продукции и управления этими запасами.

В ряде случаев возникает необходимость сделать выбор одного из нескольких возможных вариантов решения большой стоимости в условиях неопределенности комплекса объективных обстоятельств (климатические условия, возможное состояние дорог или делянок, намеченных к разработке в тот или иной период, конъюнктура лесного рынка и т.д.). Помочь максимизировать средний выигрыш или минимизировать средний риск помогают методы и критерии теории статистических решений. Теория статистических решений учитывает действие объективно существующей неопределенности, возможные выигрыши и проигрыши, называемые риском.

Большинство моделей математического программирования отличаются той особенностью, что они не рассматривают и не воспроизводят протекание исследуемых явлений и процессов во времени. Все результаты в таких моделях получают для заранее выбранного планового периода.

Модели ДП позволяют разделять решение задачи на временные этапы и находить оптимальные решения для каждого из них отдельно, согласовывая такие результаты с некоторым глобальным для всего явления или процесса критерием. Метод ДП применим только для задач, показатель эффективности в которых отвечает условиям пропорциональности и аддитивности. Однако и в этом случае не анализируется ход процесса во времени и не выявляются изменения описывающих его параметров.

Модели, основанные на принципах и методах ТМО, обеспечивают рассмотрение изменения основных вероятностных характеристик систем во времени. Однако при таком рассмотрении эти модели становятся достаточно сложными, труднообозримыми и требуют значительных затрат машинного времени. Поэтому на практике обычно изучаются системы, работающие в установившемся режиме, т.е. с неизменными во времени характеристиками.

Модели управления производственными запасами, пожалуй, единственные, где учитывается характер изменения запасов во времени. Однако в наиболее простых случаях этот характер постулируется заранее (например, равномерное уменьшение запаса с постоянной интенсивностью или равномерное его возрастание также с постоянной интенсивностью) и используется в последующем не для исследования процесса изменения всех параметров во времени, а лишь для определения локальных характеристик, таких как оптимальный объем разовой поставки, оптимальный объем максимально хранимого запаса и т.п.

Необходимо отметить, что в ряде случаев и не ставится задачи исследования протекания процессов во времени.

Между тем при планировании и особенно при организации производства и управления производственными процессами во многих случаях важно, а в некоторых случаях необходимо знать, как эти процессы протекают во времени. При этом часто требуется высокая степень детализации.

Так, при анализе расходования производственных запасов, оборачиваемости оборотных средств необходимы не просто средние показатели этих процессов, а детальное знание всех параметров и их изменения во времени.

Только в этих случаях представляется возможным точно установить, где, на каком рабочем месте и каком оборудовании, по каким причинам происходили задержки или замедление процесса расходования запасов и оборачиваемости оборотных средств, и принять обоснованные меры для устранения выявленных недостатков.

В процессе лесозаготовительного производства могут возникнуть непропорциональные соотношения между возможностями различных технологических операций и оборудования. Это приводит к появлению «узких мест» в цепи технологического процесса, которые заранее трудно выявить, а после того, как в ходе производства такие места выявились, еще сложнее нейтрализовать их негативное воздействие.

Выявление всех таких и им подобных несоответствий на разных стадиях организации производства возможно на основе разработки и реализации математических моделей, способных воспроизводить протекание анализируемых процессов во времени, или в пространстве, или одновременно во времени и в пространстве.

Такие модели отличаются тем, что как бы воспроизводят ход процесса во времени, позволяя представить характер его протекания. Конечно, учесть в подобного рода моделях влияние всех без исключения факторов невозможно, да в этом и нет необходимости. Важно, как и всегда при моделировании, учесть основные, определяющие влияния и воздействия. В случаях, когда это выполнено верно, получаем модель, которая как бы имитирует исследуемый процесс.

Для того чтобы построить имитационную модель, необходимо формализовать технологический процесс, т.е. представить его структуру и характеристики таким образом, чтобы их можно было описать на формальном математическом языке. Для этого прежде всего необходимо указать, что в последующем под любым технологическим процессом понимается процесс последовательного изменения состояния и положения предмета труда, приводящий к тому, что исходное сырье в конечном итоге превращается на завершающей стадии в готовую конечную продукцию.

При этом изменение состояния предмета труда происходит в ходе выполнения технологических операций, а изменение положения – в ходе переместительных, в результате которых предмет труда передается от одной технологической операции к другой.

Имитационное моделирование на ЭВМ применяется в случае самых сложных задач с большим количеством факторов. Примером такой задачи может быть задача планирования деятельности лесозаготовительного предприятия. Имитационная модель должна четко отражать структуру исследуемого процесса и зависимости между элементами. Модель такого рода способна с достаточной точностью прогнозировать работу предприятия на сезон, квартал, год и более, определяя основные параметры производственного процесса на стадии его планирования.

–  –  –

Отличительной особенностью аналитического моделирования является то, что связи между входными и выходными переменными выражаются алгебраическими, интегральными, дифференциальными и другими уравнениями. Накладываемые на моделируемую систему ограничения также выражаются аналитическими уравнениями.

Из всего многообразия методов аналитического моделирования рассмотрим наиболее широко применяющиеся при моделировании отраслевых процессов линейное и динамическое программирование и теорию массового обслуживания.

3.1. Математическое программирование Математическое программирование занимается исследованием свойств и разработкой методов решения задач следующего вида: найти значения переменных x = (x1,, x2,..., xn), принадлежащих некоторому заданному множеству Х и доставляющих максимум (минимум) заданной функции F(x1, х2,,..., xn) этих переменных. Если для определенности говорить о задаче максимизации, то ее краткая запись будет иметь вид max[F(x)|xX]. Источником такого рода задач является любая область практической деятельности человека и прежде всего производство, распределение, обмен и потребление материальных благ, т.е. сфера экономики.

Характерные особенности современной экономики, такие как усложнение связей и зависимостей между элементами экономических систем на всех уровнях, ускорение темпов внедрения научно-технических достижений в производство, необходимость учета ограниченности ресурсов при гигантских масштабах производства и капитальных вложений, приводят к одновременному существованию для каждой экономической задачи множества вариантов ее решения, существенно различающихся между собой по затратам, срокам исполнения, срокам окупаемости, экономическому, социальному эффекту. Если определены условия, при которых осуществляется выбор решения, и указан критерий, в соответствии с которым будет оцениваться его качество (другими словами, задано множества Х и функция F(x)), то мы получаем сформулированную выше в общем виде задачу математического программирования.

В соответствии с принятой в математическом программировании терминологией элементы множества Х называются допустимыми планами (точками, векторами, решениями). Задача математического программирования, для которой существуют допустимые планы, называется допустимой. Функция F(х), подлежащая максимизации (или минимизации), называется целевой. Допустимый план, доставляющий наибольшее (наименьшее) значение целевой функции, называется оптимальным планом (точкой, вектором, решением) задачи.

Множество Х допустимых планов задается обычно как множество решений некоторой системы уравнений и (или) неравенств. Система уравнений и неравенств, определяющих множество X, называется системой ограничений (условий) задачи, а каждое из уравнений или неравенств – ограничением (условием) задачи. В конкретных исследованиях ограничения отражают условия, в которых происходит выбор решения.

В зависимости от особенностей целевой функции и функций, задающих ограничения, задачи математического программирования разделяются на ряд классов.

Задачи линейного программирования возникают, если все соотношения в их формулировке линейны: целевая функция – линейная форма z=cx=c1x1+c2x2 cixi+...+cnxn переменных х1, х2,..., хn, ограничения – линейные равенства и неравенства, задающие выпуклое многогранное множество. Различия в свойствах этого множества, определяемые особенностями системы ограничений, приводят к тому, что среди задач линейного программирования выделяются частные постановки: транспортная, распределительная, блочная и другие задачи.

Задачи нелинейного программирования – такие задачи, в постановке которых нелинейна хотя бы одна из функций. Если о свойствах функций ничего более не сообщается, задача является общей задачей нелинейного программирования. Если же известно, что ограничения задают выпуклую область, на которой ищется максимум целевой функции, выпуклой вверх, или минимум функции, выпуклой вниз, получаем задачу выпуклого программирования. Частным случаем задачи выпуклого программирования является задача квадратичного программирования. В ней множество допустимых решений задается линейными ограничениями и представляет, следовательно, выпуклое многогранное множество, а целевая функция – квадратичная форма, неположительно определенная для задач максимизации и неотрицательно определенная для задач минимизации.

Задачи целочисленного программирования – это те задачи математического программирования, в постановке которых присутствует требование целочисленности всех или части переменных (соответственно полностью или частично целочисленные задачи). Таким образом, можно говорить о целочисленных задачах нелинейного, выпуклого, линейного программирования. Они, в свою очередь, являются частным случаем более широкого класса задач дискретного программирования, которое охватывает задачи, определенные на конечных множествах допустимых решений.

При рассмотрении задач математического программирования различают два этапа: постановку задачи и ее решение. Математика исследует не реальные объекты и отношения, а их абстракции. Одной из таких абстракций является математическая модель – формальное описание изучаемого явления, отражающее его наиболее существенные для данного конкретного случая черты. К модели предъявляются противоречивые требования: с одной стороны, она должна быть по возможности простой, а с другой, – достаточно точной. Вопрос о том, что значит «по возможности» и «достаточно», обычно решается вне рамок математического программирования.

–  –  –

2. Нахождение начального опорного плана. Как правило, в качестве начального опорного плана можно принять случай равенства нулю основных переменных. При этом получаем опорный начальный план вида:

–  –  –

В исходной симплекс-таблице значения строки оценок определяются следующим образом:

1 = z1 – c1 = 0·1 + 0·1 – 2 = -2, 2 = z2 – c2 = 0·3 + 0·1 – 3 = -3.

Исходный опорный план (0, 0, 300, 150) не является оптимальным, так как среди оценок j имеются отрицательные. Переход к новому базису осуществим, введя в базис вектор А2, имеющий минимальную отрицательную оценку.

Определим вектор, подлежащий выводу из базиса:

Q = min (300/3; 150/1) = 100, т.е. вектор А3 следует вывести из базиса. Ведущим элементом является а13 = 3. Переход к следующей симплекс-таблице осуществляем с помощью преобразований Жордана – Гаусса по формулам 7 – 10.

Второй опорный план (0, 100, 0, 50) не оптимальный. Переход к следующему опорному плану осуществляем, вводя в базис вектор А1 и выводя вектор А4. В результате получаем оптимальный план (75, 75, 0, 0), т.е.

предприятие получит максимально возможную прибыль в размере 375 тыс.

рублей, если произведет по 75 домиков по обоим проектам.

–  –  –

Постановка задачи: лесозаготовительное предприятие имеет m нижних лесоскладов А1, А2,…, Аm, имеющих запасы круглых лесоматериалов в количествах: а1, а2,…, аm. Имеется также n пунктов назначения В1, В2,…, Вn, подавших заявки соответственно на b1, b2,…, bn единиц лесоматериалов. Заданы стоимости перевозки единицы лесоматериала от каждого Аi нижнего склада до каждого Bj пункта назначения Cij.

Требуется определить, какое количество лесоматериалов Xij 0 необходимо перевезти из каждого i-го пункта отправления до каждого j-го пункта назначения, чтобы:

1. вывезти лесоматериалы со всех нижних складов, и/или;

2. удовлетворить заявки всех потребителей;

3. минимизировать общую сумму расходов на перевозки.

Построение математической модели:

Суммарное количество лесоматериалов, перевозимое с каждого нижнего лесосклада во все пункты назначения, должно быть равно суммарному запасу лесоматериалов на данном складе:

m

–  –  –

Транспортная задача, удовлетворяющая условию (13), называется сбалансированной (закрытой) транспортной задачей, в противном случае – несбалансированной (открытой).

Баланс может быть нарушен двояко:

1. Сумма запасов на нижних лесоскладах превышает сумму поданных заявок:

m n

–  –  –

Исследование математической модели (оптимизация):

Исследование и решение ТЗ, как правило, проводятся в два этапа. На первом этапе находят какое-нибудь решение, удовлетворяющее заданной совокупности линейных равенств (ограничений), или убеждаются в отсутствии такого решения.

План перевозок, отвечающий такому решению, называется допустимым. Допустимый план называется опорным, если в нем отличны от нуля не более (m+n-1) базисных перевозок, а остальные перевозки равны нулю.

Этот этап называется отысканием опорного (начального) плана. От того, каким будет опорный план, зависит время решения ТЗ на втором этапе.

На втором этапе производится последовательное улучшение этого плана по определенным правилам до тех пор, пока дальнейшее улучшение станет невозможным.

Составление опорного плана ТЗ:

Для составления опорного плана ТЗ применяются метод северозападного угла (СЗУ), метод минимального элемента, метод аппроксимации Фогеля. Сущность этих методов состоит в том, что опорный план находят последовательно за n+m-1 шагов, на каждом из которых в таблице условий задачи заполняют одну клетку, которую называют занятой. Заполнение любой клетки Хij обеспечивает либо удовлетворение потребности в грузе j-го пункта назначения, либо вывоз груза из i-го пункта отправления.

Метод СЗУ:

Алгоритм метода СЗУ формулируется следующим образом:

1. Начать с элемента Х11 и сравнить количество лесоматериалов, имеющихся в пункте А1, с заявкой пункта В1:

а) если а1 b1, то принять x11 = a1 и перейти к переменной x21 (по вертикали);

б) если a1 = b1, то принять x11 = a1 и перейти к переменной x22 (по диагонали);

в) если a1 b1, то принять x11 = b1 и перейти к переменной x12 (по горизонтали).

2. Продолжать этот процесс шаг за шагом от северо-западного до юго-восточного угла таблицы.

Пример 2. Лесоматериалы поставляются с 3 нижних складов с запасами 160, 140 и 170 ед.

соответственно 4 предприятиям с потребностями соответственно 120, 50, 190 и 110 ед. На каждое из предприятий лесоматериалы могут завозиться с любого нижнего лесосклада.

Стоимости перевозок задаются матрицей:

4 8.

С = 5 9

–  –  –

Стоимость опорного плана, полученного по методу МЭ, оказалась существенно ниже стоимости по методу СЗУ.

Метод аппроксимации Фогеля:

Как правило, применение метода аппроксимации Фогеля позволяет получить либо опорный план, близкий к оптимальному, либо сам оптимальный план. Поэтому данный метод иногда называют приближенным способом решения ТЗ.

При определении опорного плана ТЗ методом Фогеля на каждой итерации по всем столбцам и по всем строкам находят разность между двумя записанными в них минимальными тарифами. Эти разности записывают в специально отведенных для этого строке и столбце в таблице условий задачи.

Среди указанных разностей выбирают максимальную. В строке (или в столбце), которой данная разность соответствует, определяют минимальный тариф. Клетку, в которой он записан, заполняют на данной итерации.

Если минимальный тариф одинаков для нескольких клеток данной строки (столбца), то для заполнения выбирают ту клетку, которая расположена в столбце (строке), соответствующем наибольшей разности между двумя минимальными тарифами, находящимися в данном столбце (строке).

–  –  –

3. Определение значения ij :

ij = cij zij и проверка условий оптимальности:

11 = с11 z11 = 7 4 = 3 ;

12 = с12 z12 = 8 0 = 8 ;

23 = с23 z23 = 9 0 = 9 ;

24 = с24 z24 = 8 7 = 1 ;

31 = с31 z31 = 9 + 2 = 11;

34 = с34 z34 = 6 4 = 2.

Так как все ij 0, то опорный план, полученный по методу Фогеля, является оптимальным.

4. Построение нового опорного плана.

Далеко не всегда, даже при условии применения метода Фогеля, удается получить опорный план, являющийся оптимальным. Формально это выражается получением отрицательных значений ij.

В таких случаях необходимо произвести перемещение ресурсов. Для этого строят многоугольник, в котором одна из вершин находится в свободной клетке, для которой ij 0, и имеет наименьшее значение, а остальные – в занятых клетках; при этом углы многоугольника должны быть прямыми. В пределах клеток, лежащих в вершинах многоугольника, производят перемещение ресурсов. Если для свободной клетки поставить знак «+», а в следующей вершине «–», затем «+» и так далее, поочередно изменяя знак, то в свободную клетку переносится меньшее из чисел, стоящих в клетках с отрицательными знаками. В результате она исключается из опорного базиса как базисная переменная. Одновременно необходимо установить равновесие по всему многоугольнику.

Нахождением нового опорного плана заканчивается первая итерация. Далее операции по пунктам 1, 2, 3, 4 повторяются до нахождения оптимального решения.

Иногда при построении опорного плана или в процессе решения задачи методом потенциалов число клеток, в которые распределены ресурсы, меньше m+n-1, где m – число строк, n – число столбцов. В этой ситуации говорят, что имеет место вырождение.

Для устранения вырождения применяют несколько способов:

1. вводят в некоторые свободные клетки ресурсы, равные нулю, и данные клетки считают занятыми местами;

2. выбирают недостающее до (m+n-1) количество занятых клеток и вводят в них сколь угодно малые объемы перевозок.

–  –  –

частично сохраняются и снова могут быть перераспределены. Каждое предприятие за год приносит доход, зависящий от того, сколько вложено средств. В начале каждого хозяйственного года имеющиеся в наличии средства перераспределяются между предприятиями. Ставится вопрос: какое количество средств в начале каждого года нужно выделять каждому предприятию, чтобы суммарный доход за m лет был максимальным?

2. Проектируется трасса лесовозной дороги между пунктами А и В.

Пересеченная местность включает леса, болота, холмы, реку, через которую надо строить мост. Требуется так протрассировать дорогу из А в В, чтобы суммарные затраты на сооружение и эксплуатацию участка были минимальными. В данной задаче разделение на шаги приходится вводить искусственно.

3. Задача об управлении запасами. Например, требуется обосновать вместимость склада под сезонный запас хлыстов с учетом сезонной неравномерности вывозки. Годовой период работы лесозаготовительного предприятия делится на этапы: зимний период, весеннюю распутицу, летний период, осеннюю распутицу. Оптимальным будет вариант, при котором суммарные денежные издержки по созданию запасов и из-за простоев оборудования вследствие преждевременного расхода запаса будут наименьшими. В основе метода ДП лежит идея постепенной, пошаговой оптимизации. При этом управление на каждом шаге должно выбираться с учетом всех его будущих последствий на еще предстоящих шагах. Управление на i-ом шаге выбирается не так, чтобы выигрыш именно на данном шаге был максимален, а так, чтобы была максимальна сумма выигрышей на всех оставшихся до конца шагах плюс данный шаг. Поэтому процесс ДП обычно разворачивается от конца к началу. Прежде всего планируется последний, m-й шаг. Планируя последний шаг, нужно сделать разные предположения о том, чем кончился предпоследний (m-1)-й шаг для каждого предположения, найти условное обозначение управления на m-м шаге. Аналогичным образом, «пятясь назад», находятся все условные оптимальные управления и условные оптимальные выигрыши на всех шагах, начиная от данного и до конца. Теперь можно построить уже не условно оптимальное, а просто оптимальное управление u* и найти оптимальный выигрыш W*.

Метод ДП является очень мощным и плодотворным методом оптимизации управления. Но это решение не сводится к какой-либо стандартной вычислительной процедуре; оно может быть передано на компьютер только после того, как составлены соответствующий алгоритм и реализующие его зависимости и формулы.

В основе решения всех задач ДП лежит «принцип оптимальности»:

«Каково бы ни было состояние системы S перед очередным шагом, надо выбирать управление на этом шаге так, чтобы выигрыш на данном шаге плюс оптимальный выигрыш на всех последующих шагах был максимальным».

–  –  –

Пример 6. Холдинговая компания «Лесная новь» в составе 5 лесопромышленных предприятий получает инвестиционный кредит на развитие производства в размере 10 у.

е. Требуется оптимальным образом распределить его между предприятиями. Каждое из предприятий Пi при вложении в него каких-то средств Х приносит доход, зависящий от Х. Для простоты предположим, что вкладываются только целые количества средств. Функции дохода i (Х) представлены в табл. 9. Как нужно распределить средства между предприятиями, чтобы в сумме они дали максимальный доход?

–  –  –

Для использования метода ДП будем считать за 1-ый шаг вложение ресурсов в предприятие П1, за 2-ой – в П2 и т.д. Управляемая система S-ресурсы к распределению. Состояние системы S перед каждым шагом характеризуется одним числом S – запасом еще не вложенных ресурсов.

Требуется найти оптимальное управление:

W = i ( x i ) max.

i =1 Решение. Обозначим условный оптимальный выигрыш Wi(S), а соответствующее ему условное оптимальное управление – средства, вкладываемые в i-е предприятие, – Xi (S).

Произведем условную оптимизацию, начиная с последнего 5-го шага. Каждый раз, когда мы подходим к очередному шагу, имея запас средств S, мы просчитываем выигрыш на этом шаге от вложения того или иного количества средств, складываем с уже оптимальным выигрышем на всех последующих шагах до конца (с учетом уже распределенных средств) и находим то вложение, в котором эта сумма достигает максимума.

Условный оптимальный выигрыш на i-ом шаге:

Wi ( S ) = max {i ( x) + Wi +1 ( S x)}, x S.

–  –  –

Безусловный оптимальный выигрыш W* = 5,6. Оптимальные управления: х1 (10) = 2; х2 (8) = 5; х3 (3) = 2; х5 (1) = 1, т.е. в 1-е предприятие необходимо вложить 2 ед., во 2-е – 5 ед., в 3-е – 2 ед., в 4-е предприятие вкладывать нецелесообразно, а в 5-е предприятие следует вложить 1 ед.

средств. Следует отметить, что имеются альтернативные варианты вложения, обеспечивающие такой же по величине эффект в 5,6 ед. Окончательное решение в таких случаях принимается с учетом дополнительных факторов, не выраженных явно в постановке задачи. Например, принимается вариант более равномерного вложения средств в возможно большее количество предприятий.

3.2. Теория массового обслуживания (ТМО)

Очень многие технологические процессы лесопромышленного производства можно рассматривать как системы массового обслуживания (далее СМО). Любую СМО в общем виде можно представить как совокупность последовательно связанных между собой входящих потоков требований на обслуживание, очередей, каналов обслуживания и выходящих потоков. Случайный характер входящего потока требований (хлыстов, сортиментов, автолесовозов и т.д.), а также длительности обслуживания каналом (раскряжевочная установка, лесопильная рама, краны и т.д.) приводит к образованию случайного процесса в системе, который необходимо исследовать.

Предметом ТМО является установление зависимости между условиями работы СМО (число каналов, их производительность, характер потока заявок, правила обслуживания) и эффективностью обслуживания.

В качестве показателей эффективности обслуживания могут применяться:

среднее число заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени; среднее число занятых каналов; среднее число заявок в очереди и среднее время ожидания обслуживания; среднее время простоя отдельных каналов и системы в целом, закон распределения длины очереди и др.

Каждый из этих показателей характеризует степень приспособленности системы к обслуживанию потока заявок, т.е. пропускную способность. Различают абсолютную и относительную пропускную способность.

Под абсолютной пропускной способностью понимают среднее число заявок, которое СМО может обслужить в единицу времени. Под относительной пропускной способностью понимают среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поданных.

СМО по наличию того или иного признака можно разделить следующим образом:

1. По характеру поступления требований на системы с регулярными и случайными потоками поступления требований в систему. Если количество поступающих требований в систему в единицу времени (интенсивность потока) постоянно или является заданной функцией времени, то имеем систему с регулярным потоком поступления требований в систему, в противном случае – со случайным. Для исследования СМО со случайным потоком требований необходимо, чтобы была задана или известна функция распределения вероятностей поступления требований в систему. Если параметры потока требований не зависят от расположения рассматриваемого интервала времени на оси времени, то имеем стационарный поток требований, в противном случае – нестационарный. Например, если число лесовозов, приходящих на склад, не зависит от времени суток, то поток требований – стационарный.

2. По количеству поступающих требований в один момент времени на системы с ординарным и неординарным потоками требований. Если вероятность поступления двух или более требований в один момент равна нулю или имеет столь малую вероятность, что ею можно пренебречь, то имеем систему с ординарным потоком требований.

3. По связи между требованиями на системы без последействия и с последействием. Если вероятность поступления требований в систему в некоторый момент времени не зависит от того, сколько уже требований поступило в систему, т.е. не зависит от предыстории изучаемого процесса, то мы имеем систему без последействия, в противном случае – с последействием.

4. По характеру поведения требования в системе – с отказами, с ограниченным ожиданием и с ожиданием без ограничения:

- если вновь наступившее на обслуживание требование застает все каналы обслуживания занятыми и оно покидает систему, то имеем систему с отказами;

- если поступившее требование застает все каналы обслуживания занятыми и становится в очередь, но находится в ней ограниченное время, после чего, не дождавшись обслуживания, покидает систему, то имеем систему с ограниченным ожиданием;

- если поступившее требование, застав все каналы занятыми, вынуждено ожидать своей очереди до тех пор, пока оно не будет обслужено, то имеем систему с ожиданием без ограничения.

5. По способу выбора требований на обслуживание: с приоритетом, по мере поступления (FIFO), случайно, последний обслуживается первым (LIFO). В этом случае говорят о дисциплине обслуживания:

- если СМО охватывает несколько категорий требований и по каким-либо соображениям необходимо соблюдать различный подход к их отбору, то имеем систему с приоритетом;

- если освободившийся канал обслуживает требование, ранее других поступившее в систему, то имеем систему с обслуживанием требований по мере их поступления (FIFO);

- если требования из очереди в канал обследования поступают в случайном порядке, то имеем систему со случайным выбором требований на обслуживание;

- последний обслуживается первым – LIFO. (Разборка штабелей лесоматериалов.)

6. По характеру обслуживания требований на системы с детерминированным и случайным временем обслуживания. Если интервал времени между моментом поступления требования в канал обслуживания и моментом выхода требования из этого канала постоянен, то имеем систему с детерминированным временем обслуживания, в противном случае – со случайным.

7. По числу каналов обслуживания на одноканальные и многоканальные.

8. По количеству этапов обслуживания на однофазные и многофазные системы. Если каналы обслуживания расположены последовательно и они неоднородны, т.к. выполняют различные операции обслуживания, то имеем многофазную СМО.

9. По однородности требований, поступающих на обслуживание, на системы с однородными и неоднородными потоками требований. Так, если под разгрузку прибывают автомобили различной грузоподъемности, то такие требования называются неоднородными, если одной грузоподъемности – однородными.

10. По ограниченности потока требований на замкнутые и разомкнутые системы. Если поток требований ограничен и требования, покинувшие систему, могут в нее возвращаться, то имеем замкнутую систему, в противном случае – разомкнутую.

Поток требований, обладающий тремя свойствами: стационарностью, ординарностью и отсутствием последействия – называется простейшим (или стационарным пуассоновским) потоком.

На лесозаготовках встречаются все основные типы СМО.

Важной особенностью функционирования СМО является взаимодействие очередей. Последнее может возникнуть при одновременном обслуживании нескольких потоков и наличии «узких» мест в системе обслуживания. Например, один кран на нижнем лесоскладе нередко одновременно обслуживает 3 потока: вагоны МПС, ОТЛ и лесообрабатывающие цехи.

Математический анализ работы СМО очень облегчается, если процесс этой работы – марковский. Для этого достаточно, чтобы все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, были простейшими. Случайный процесс, протекающий в системе, называется марковским, если для любого момента времени t 0 вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t 0 и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

При оптимизации практических задач большое значение имеют так называемые марковские случайные процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем.

Процесс называется процессом с дискретными состояниями, если его возможные состояния S1, S 2, S3.....S n можно заранее перечислить (перенумеровать), а переход системы из состояния в состояние происходит «скачком», практически мгновенно.

Процесс называется процессом с непрерывным временем, если моменты возможных переходов из состояния в состояние не фиксированы заранее, а неопределенны, случайны, если переход может осуществиться в любой момент.

При анализе случайных процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться графом состояний, связывающим все возможные состояния системы. В случае, если на графе состояний представлены интенсивности потоков событий, переводящих систему из состояния в состояние, граф называется размеченным.

Решение задачи методами аналитического аппарата ТМО проводится по следующей схеме:

1. разрабатывается граф состояний СМО, изображающий состояния системы, и связывающие их возможные переходы;

2. составляется система дифференциальных уравнений состояний СМО;

3. в случаях необходимости определения предельных установившихся (так называемых финальных) вероятностей состояний система дифференциальных уравнений Колмогорова сводится к системе линейных алгебраических уравнений посредством устремления t.

4. находят значения интересующих показателей функционирования СМО.

Рассмотрим построение графа состояний на примере технического устройства S, состоящего из двух узлов, каждый из которых в случайный момент времени может отказать, после чего мгновенно начинается ремонт узла, продолжающийся заранее неизвестное, случайное время.

Возможные состояния системы можно перечислить:

S0 – оба узла исправны;

S1 – 1-ый узел ремонтируется, 2-ой исправен;

S2 – 1-ый узел исправен, 2-ой ремонтируется S3 – оба узла ремонтируются.

Строим размеченный граф состояний данной системы:

–  –  –

Рис. 3. Размеченный граф состояний: 1, 2 – интенсивности потоков требований; µ1, µ 2 – интенсивности потоков обслуживания Составляем дифференциальные уравнения Колмогорова, в которых неизвестными функциями являются вероятности состояний. Правило составления уравнений Колмогорова: в левой части каждого из них стоит

–  –  –

Решая их, получим:

p0 = 6 /15 = 0.40; p1 = 3/15 = 0.20; p2 = 4 /15 0.27; p3 = 2 /15 0.13, т.е. в предельном, стационарном режиме система S в среднем 40% времени будет проводить в состоянии S 0 (оба узла исправны), 20% – в состоянии S 1 (1-й узел ремонтируется, 2-й исправен), 27% – в состоянии S 2 (1-й узел работает, 2-й ремонтируется) и 13% – в состоянии S 3 полной негодности (оба узла ремонтируются).

–  –  –

Индексы состояний СМО равны числу заявок, находящихся в системе:

S0 – в СМО нет ни одной заявки;

S1 – в СМО находится одна заявка (один канал, остальные свободны);

Sr - в СМО находится r заявок;

Sn – в СМО находится n заявок, все n каналов заняты.

–  –  –

3.2.2. Одноканальная СМО с неограниченной очередью На одноканальную СМО поступает простейший поток заявок с интенсивностью. Время обслуживания – показательное с параметром µ=1/tобсл. Длина очереди не ограничена. Финальные вероятности существуют только при =/µ1 (при 1 очередь растет неограниченно).

Решение.

Состояния СМО нумеруются по числу заявок, находящихся в очереди или обслуживаемых:

S0 – СМО свободна;

S1 – канал занят, очереди нет;

S2 – канал занят, одна заявка в очереди;

–  –  –

3.2.3. Одноканальная СМО с ограничением по длине очереди На одноканальную СМО поступает простейший поток заявок с интенсивностью, время обслуживания показательное с параметром µ = 1/ t обс. В очереди m мест. Если заявка приходит в момент, когда все эти места заняты, она получает отказ и покидает СМО.

Решение.

Состояния СМО:

S0 – СМО свободна;

S1 – канал занят, очереди нет;

S2 – канал занят, одна заявка в очереди;

Sk – канал занят, (k-1) заявок в очереди;

–  –  –

3.2.4. Многоканальная СМО с неограниченной очередью На n – канальную СМО с ожиданием поступает поток заявок с интенсивностью ; интенсивность обслуживания (для одного канала) – µ.

Решение.

Состояния СМО нумеруются по числу заявок в системе:

S0 – все каналы свободны;

S1 – занят один канал;

–  –  –

Имитационное моделирование – наиболее мощный и универсальный метод исследования и оценки эффективности систем, полностью или в значительной степени зависящих от воздействия случайных факторов. К таким системам, безусловно, относится лесозаготовительное производство, на которое оказывают значительное, а в ряде случаев и определяющее воздействие природно-климатические, лесорастительные, организационно-технологические и иные факторы, вносящие существенный элемент случайности.

Имитационное моделирование осуществляется на имитационной модели. Имитационная модель (ИМ) – это формальное описание логики функционирования исследуемой системы и взаимодействия отдельных ее элементов во времени, учитывающее наиболее существенные причинноследственные связи, присущие системе и обеспечивающие проведение статистических экспериментов.

Из данного определения следует, что ИМ должна отвечать двум основным требованиям:

- во-первых, отражать логику функционирования исследуемой системы во времени;

- во-вторых, обеспечивать возможность проведения статистического эксперимента.

Принципиальным отличием имитационного моделирования от аналитического является то, что в результате исследователь получает набор экспериментальных данных, подлежащих обработке и позволяющих оценивать характеристики моделируемой системы и прогнозировать ее поведение.

Важными особенностями ИМ являются два обстоятельства:

- взаимосвязь между отдельными элементами системы, описанными в модели, а также между ними и некоторыми другими величинами (параметрами) может быть представлена в виде аналитических зависимостей, включая логические и регрессионые уравнения;

- модель можно считать реализуемой и имеющей практическую ценность только в том случае, если в ней отражены лишь те свойства реальной системы, которые влияют на значение выбранного показателя эффективности.

В основе статистического эксперимента лежит метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). Суть его состоит в том, что результат испытания ставится в зависимость от значения некоторой случайной величины (СВ), распределенной по заданному закону. Поэтому результат каждого отдельного испытания также носит случайный характер. Проведя серию испытаний, получают множество частных значений наблюдаемой характеристики (выборку). Полученные статистические данные обрабатываются и представляются в виде численных оценок интересующих исследователя величин (характеристик системы).

Теоретической основой метода статистических испытаний являются предельные теоремы теории вероятностей (теорема Чебышева, теорема Бернулли, теорема Пуассона). Принципиальное значение предельных теорем состоит в том, что они гарантируют высокое качество статистических оценок при достаточно большом числе испытаний.

Метод статистических испытаний применим для исследования как стохастических, так и детерминированных задач. Ещё одной его важной особенностью является то, что его реализация практически невозможна без использования компьютера.

Для ИМ практически отсутствуют ограничения на область их применения (по типу моделируемой системы), и речь может идти только о целесообразности использования ИМ в данной области и об объеме трудозатрат на ее разработку.

Поскольку основой имитационного моделирования является метод статистических испытаний, наибольший эффект от его применения достигается при исследовании сложных систем, на функционирование которых существенное влияние оказывают случайные факторы.

Применение имитационного моделирования целесообразно также в следующих случаях:

- если не существует законченной постановки задачи на исследование и идет процесс познания объекта моделирования;

- если характер протекающих в системе процессов не позволяет описать эти процессы в аналитической форме;

- если необходимо наблюдать за поведением системы (или отдельных ее компонентов) в течение определенного периода, в том числе с изменением скорости протекания процессов;

- при изучении новых ситуаций в системе либо при оценке ее функционирования в новых условиях;

- если исследуемая система является элементом более сложной системы, другие элементы которой имеют реальное воплощение;

- когда необходимо исследовать поведение системы при введении в нее новых компонентов.

Наряду с несомненными преимуществами и широтой возможного применения имитационного моделирования, оно имеет и ряд недостатков.

Первый и весьма существенный заключается в том, что разработка ИМ, как правило, требует больших затрат времени и сил. Кроме того, любая имитационная модель сложной системы значительно менее «объективна», чем аналитическая модель, поскольку она прежде всего отражает субъективные представления разработчика о моделируемой системе. Еще одним недостатком имитационного моделирования является то, что его результаты, как и при любом численном методе, носят частный характер. Для получения обоснованных выводов необходимо проведение серии модельных экспериментов, а обработка результатов требует применения специальных статистических процедур.

Разработка имитационной модели включает следующие основные этапы:

- определение целей моделирования;

- разработка концептуальной модели;

- формализация модели;

- программная реализация модели;

- планирование модельных экспериментов;

- реализация плана эксперимента;

- анализ и интерпретация результатов моделирования.

Наиболее важный признак построения ИМ – способ представления в модели динамики системы. Она может быть описана посредством событий, работ, процессов и транзактов.

Другой важный признак – способ изменения модельного времени.

По этому признаку различают моделирование с постоянным шагом и моделирование по особым состояниям.

С точки зрения организации взаимодействия исследователя с моделью в ходе эксперимента ИМ делятся на автоматические и диалоговые.

Автоматическими называются ИМ, взаимодействие пользователя с которыми сводится только к вводу исходной информации и управлению началом и окончанием работы моделей.

Диалоговыми называются ИМ, позволяющие исследователю активно управлять ходом моделирования: приостанавливать сеанс моделирования, изменять значения параметров модели, корректировать перечень регистрируемых данных и т.д.

Классификация имитационных моделей представлена на рисунке 4.

–  –  –

Рис. 4. Схема классификации имитационных моделей

4.1. Построение имитационной модели Основу любой имитационной модели составляет описание динамики системы, т.е. ее поведения. Динамика системы может быть представлена на основе событий, процессов и транзактов.

При моделировании дискретных систем ведущим понятием является событие. Событие представляет собой мгновенное изменение некоторого элемента системы или состояния системы в целом.

Событие характеризуется:

- условиями (или законом) возникновения;

- типом, который определяет порядок обработки (дисциплину обслуживания) данного события;

- нулевой длительностью.

События подразделяют на две категории:

- события следования, которые управляют инициализацией процессов (или отдельных работ внутри процессов);

- события изменения состояний (элементов системы или системы в целом).

События могут служить основой для представления в модели работ, процессов и транзактов.

Работа (активность) – это единичное действие системы по обработке (преобразованию) входных данных. В зависимости от природы моделируемой системы под входными данными могут пониматься информационные данные или какие-либо материальные ресурсы.

Каждая из работ характеризуется временем выполнения и потребляемыми ресурсами.

Под процессом понимают логически связанный набор работ. Любой процесс характеризуется совокупностью статических и динамических характеристик.

К статическим характеристикам процесса относятся:

- длительность;

- результат;

- потребляемые ресурсы;

- условия запуска (активизация);

- условия останова (прерывания).

В общем случае статические характеристики процесса не изменяются в ходе его реализации, однако при необходимости любая из них может быть представлена в модели как случайная величина, распределенная по заданному закону.

Динамической характеристикой процесса является его состояние (активен или находится в состоянии ожидания).

При описании моделируемой системы в терминах работ и процессов используются два вида событий:

- события следования – для отражения временных параметров системы;

- события изменения состояний – для представления логики взаимодействия протекающих в системе процессов (или выполняемых работ).

Еще один способ имитационного моделирования основан на понятии транзакта. Транзакт – это некоторое сообщение (заявка на обслуживание), которое поступает извне на вход системы и подлежит обработке. В рамках одной ИМ могут рассматриваться транзакты разных типов. Каждый транзакт характеризуется соответствующим алгоритмом обработки и необходимыми для его реализации ресурсами системы. Учитывая это, прохождение транзакта по системе можно иногда рассматривать как последовательную активизацию процессов, реализующих его обработку («обслуживание заявки»). При разработке и исследовании имитационных моделей на основе транзактов целесообразно пользовать методику и показатели теории массового обслуживания.

Для того чтобы построить имитационную модель, необходимо формализовать технологический процесс, т.е. представить его структуру и характеристики таким образом, чтобы их можно было описать на формальном математическом языке. Для этого прежде всего необходимо указать, что в последующем под любым технологическим процессом понимается процесс последовательного изменения состояния и положения предмета труда, приводящий к тому, что исходное сырье в конечном итоге превращается на завершающей стадии в готовую конечную продукцию. При этом изменение состояния предмета труда происходит в ходе выполнения технологических операций, а изменение положения – в ходе переместительных, в результате которых предмет труда передается от одной технологической операции к другой.

Описание технологического процесса включает в себя описание трех основных элементов:

- последовательности и взаимной связи технологических и переместительных операций (макроструктура процесса);

- структуры каждой технологической операции, рабочих мест и оборудования этих операций (микроструктура процесса);

- описания дисциплины функционирования технологических и переместительных операций.

Макроструктура процесса. Технологический процесс представляет собой упорядоченную совокупность технологических и переместительных операций, связанных между собой в той последовательности, в которой осуществляется обработка исходного сырья и промежуточной продукции.

На уровне операций этот процесс может быть представлен в виде ориентированного графа, вершины которого представляют технологические операции, а дуги – переместительные.

Микроструктура процесса. Каждая технологическая операция может быть представлена как некоторая совокупность рабочих мест.

Дисциплина функционирования технологических операций. Под этим понимается порядок остановок и возобновления работы на каждой технологической и переместительной операции. Эта дисциплина зависит от объемов межоперационных запасов промежуточной продукции.

Учет особенностей технологических процессов.

Имитационное моделирование широко используется как применительно к отдельным технологическим операциям, так и к общим технологическим процессам. Это накладывает необходимость учета особенностей технологических процессов при разработке имитационных моделей.

4.2. Моделирование случайных факторов ИМ позволяет исследовать поведение различных систем с учетом влияния случайных факторов. Эти факторы в зависимости от их природы могут быть представлены в модели как случайные события, случайные величины (дискретные или непрерывные) или как случайные функции (процессы). Например, если модель представляет взаимодействие потока автолесовозов и обслуживающего их крана, то появление очередного груженого лесовоза будет представлено в модели как случайное событие, а при оценке временных параметров процесса обслуживания заявок интервал времени до появления очередного автопоезда удобнее всего описать как случайную величину, распределенную по некоторому закону.

Случайные объекты любой природы могут быть представлены в ИМ только в виде случайных чисел. В основе всех методов и приемов моделирования случайных факторов лежит использование случайных чисел, имеющих равномерное распределение в интервале [0,1].

“Истинно” случайные числа формируются с помощью аналогоцифровых преобразователей на основе сигналов физических генераторов, использующих естественные источники случайных шумов (радиоактивный распад, шумы электронных и полупроводниковых устройств и т.п.).

Случайные числа, генерируемые аппаратно или программно на ЭВМ, называются псевдослучайными. Однако их статистические свойства совпадают со статистическими свойствами “истинно” случайных чисел. В состав практически всех современных систем программирования входят специальные функции генерации случайных чисел, которые называют датчиками или генераторами случайных чисел.

Наиболее простой метод программной генерации случайных чисел – мультипликативный; в его основе лежит следующее реккурентное соотношение:

ai = (A*ai-1 +C)mod M, (69) где ai, ai-1 – очередное и предыдущее случайные числа соответственно;

А, С – константы;

М – достаточно большое целое положительное число (чем больше М, тем больше период неповторяющихся последовательностей чисел).

Достоинство метода заключается в том, что при одних и тех же значениях, входящих в выражение (69) величин, можно полностью воспроизвести эксперимент.

Практика показывает, что результаты имитационного моделирования существенно зависят от качества используемых последовательностей псевдослучайных чисел. Поэтому применяемые в ИМ генераторы случайных чисел должны пройти тесты на пригодность.

Основные анализируемые характеристики генерируемых датчиком последовательностей:

- равномерность;

- стохастичность (случайность);

- независимость.

4.3. Моделирование случайных объектов При математическом представлении реальных объектов случайной природы возникает необходимость моделирования случайных величин, случайных событий и случайных процессов. Формирование на ЭВМ реализаций случайных объектов любой природы сводится к выработке и преобразованию случайных чисел.

Для моделирования случайного события А, вероятность которого равна Р, используется попадание случайного числа r, равномерно распределенного в интервале [0,1], в диапазон вероятностей [0,Р]. В таком случае считают, что событие А наступило, в противном случае – не наступило.

При моделировании дискретных случайных величин наиболее часто используется метод последовательных сравнений. Случайное число r последовательно сравнивают со значением суммы вероятностей Р1 + Р2 + ….Pn, где Р1 – вероятность наименьшего значения случайной величины У, Р2 – вероятность второго по величине значения.

n При первом выполнении условия r P i проверка прекращается и i =1 дискретная случайная величина У считается принявшей значение yi.

Процесс можно ускорить, применяя методы оптимизации перебора:

дихотомии, ранжирования Р и т.д.

Величины Рi рассчитывают по функциям распределения вероятности, соответствующим моделируемому закону.

При моделировании непрерывных случайных величин чаще всего используется метод, основанный на замене закона распределения непрерывной случайной величины специальным расчетным соотношением, позволяющим вычислять значение случайной величины по значению случайного числа, равномерно распределенного на интервале [0,1]. Такие соотношения получены практически для всех наиболее распространенных видов распределений.

В качестве примера приведем расчетные соотношения для двух законов распределения:

- показательного:

х = - * ln (r), (70) где – параметр показательного распределения, r – равномерно распределенное случайное число;

- нормального:

12 х = m +s ri 6, (71) i =1 где m, s – параметры нормального распределения, r – равномерно распределенное случайное число.

4.4. Управление модельным временем 4.4.1. Виды представления времени в модели Имитационный эксперимент технологических процессов представляет собой наблюдение за поведением системы в течение некоторого промежутка времени. В большинстве задач оптимизации производственных процессов оценка эффективности моделируемой системы напрямую связана с временными характеристиками ее функционирования. К ним относятся задачи по оценке производительности, распределению ресурсов, эффективности процессов обслуживания. Характерной особенностью большинства этих задач является то, что скорость протекания рассматриваемых в них процессов значительно ниже скорости реализации модельного эксперимента. В связи с этим при разработке практически любой имитационной модели и планировании проведения модельных экспериментов необходимо соотносить между собой три представления времени:

- реальное время, в котором происходит функционирование имитируемой системы;

- модельное (или системное) время, в масштабе которого организуется работа модели;

- машинное время, отражающее затраты времени ЭВМ на проведение имитации.

С помощью механизма модельного времени решаются следующие задачи:

- отображается переход моделируемой системы из одного состояния в другое;

- производится синхронизация работы компонент модели;

- изменяется масштаб времени «жизни» (функционирования) исследуемой системы;

- производится управление ходом модельного эксперимента;

- моделируется квазипараллельная реализация событий в модели.

Приставка «квази» в данном случае отражает последовательный характер обработки событий (процессов) в ИМ, которые в реальной системе возникают (протекают) одновременно.

Существуют два метода реализации механизма модельного времени – с постоянным шагом (или детерминированные) и по особым состояниям (со случайным шагом).

Вид и структура моделирующих алгоритмов в каждом конкретном случае различны, однако можно выделить общие блоки:

1. Моделирование текущего времени;

2. Моделирование элементарных процессов;

3. Учет взаимодействия элементарных процессов и связь их в модель одной операции;

4. Обработка результатов моделирования.

–  –  –

4.4.2. Изменение времени с постоянным шагом При использовании данного метода отсчет системного времени ведется через фиксированные, обусловленные особенностями моделируемой системы интервалы времени. События в модели считаются поступившими в момент окончания этого интервала. Погрешность в измерении временных характеристик системы в этом случае зависит от величины шага моделирования t.

Моделирование с постоянным шагом целесообразно использовать в том случае, если:

- события появляются регулярно, их распределение во времени достаточно равномерно;

- число событий велико и моменты их появления близки;

- невозможно заранее определить моменты появления событий.

Данный метод управления модельным временем достаточно просто реализовать в том случае, когда условия появления событий всех типов в модели можно представить как функцию времени. Вместе с тем, выбор шага моделирования является нелегким и очень важным делом.

Универсальной методики решения этой проблемы не существует, но во многих случаях можно использовать один из следующих подходов:

- принимать величину шага равной средней интенсивности возникновения событий различных типов;

- выбирать величину t равной среднему интервалу между наиболее частыми (или наиболее важными) событиями.

Алгоритм моделирования с постоянным шагом в общем виде представлен на рисунке 6.

Начало работы <

–  –  –

t – шаг моделирования;

tм – текущее значение модельного времени;

Тм – заданный интервал моделирования.

Рис. 6. Алгоритм моделирования с постоянным шагом 4.4.3. Продвижение времени по особым состояниям При моделировании по особым состояниям системное время каждый раз изменяется на величину, строго соответствующую интервалу времени до момента наступления очередного события. В этом случае события обрабатываются в порядке их наступления, а одновременно наступившими считаются только те, которые являются одновременными в действительности.

Для реализации моделирования по особым состояниям требуется разработка специальной процедуры планирования событий (так называемого календаря событий).

Если известен закон распределения интервалов между событиями, то для получения времени следующего события достаточно к текущему значению модельного времени добавить величину интервала, полученную с помощью соответствующего генератора случайных событий (ГСС).

Если же момент наступления события определяется некоторыми логическими условиями, то необходимо сформулировать эти условия и проверять их истинность для каждого последующего шага моделирования.

Практика показывает, что сложности в реализации механизма изменения времени по особым состояниям связаны в первую очередь с корректным описанием таких условий. Трудности еще более возрастают, если в модели фигурируют несколько типов взаимосвязанных событий.

Моделирование по особым состояниям целесообразно использовать, если:

- события распределяются во времени неравномерно или интервалы между ними велики;

- предъявляются повышенные требования к точности определения взаимного положения событий во времени;

- необходимо учитывать наличие одновременных событий.

Дополнительное достоинство метода заключается в том, что он позволяет экономить машинное время, особенно при моделировании систем периодического действия, в которых события длительное время могут не наступать.

Схема алгоритма моделирования по особым состояниям представлена на рис. 7.

4.5. Обработка и анализ результатов моделирования Решения, принимаемые по результатам имитационного моделирования, могут быть признаны конструктивными только при выполнении двух основных условий:

- полученные результаты обладают требуемой точностью и достоверностью;

- исследователь способен правильно интерпретировать полученные результаты и знает, каким образом они могут быть использованы.

–  –  –

tсоб.i – прогнозируемый момент наступления i-го события.

Рис. 7. Алгоритм моделирования по особым состояниям Выполнение первого условия обеспечивается в основном при разработке модели и частично – на этапе планирования эксперимента. Достоверность результатов моделирования предполагает, что модель не только является «правильной», но и отвечает некоторым дополнительным требованиям.

Способность исследователя правильно интерпретировать полученные результаты и принимать на их основе важные решения существенно зависит от степени соответствия формы представления результатов целям моделирования.

4.5.1. Оценка качества имитационной модели

Оценка качества модели является завершающим этапом ее разработки и преследует две цели:

- проверить соответствие модели ее предназначению (целям исследования);

- оценить достоверность и статистические характеристики результатов, получаемых при проведении модельных экспериментов.

При аналитическом моделировании достоверность результатов определяется двумя основными факторами:

- корректным выбором используемого математического аппарата;

- методической ошибкой, присущей данному математическому методу.

При имитационном моделировании на достоверность результатов влияет целый ряд дополнительных факторов, основными из которых являются:

- моделирование случайных факторов, основанное на использовании генераторов случайных чисел, которые могут вносить «искажения» в работу модели;

- возможное использование нескольких разнородных математических методов в рамках одной модели;

- зависимость результатов моделирования от плана эксперимента;

- необходимость синхронизации работы отдельных компонентов модели;

- наличие нестационарного режима работы модели.

Пригодность имитационной модели для решения задач исследования характеризуется тем, в какой степени она обладает так называемыми целевыми свойствами, основными из которых являются:

- адекватность;

- устойчивость;

- чувствительность.

4.5.2. Оценка адекватности модели

В общем случае под адекватностью понимают степень соответствия модели тому реальному процессу или объекту, для описания которого она строится. Вместе с тем, создаваемая модель ориентируется, как правило, на исследование определенного подмножества свойств этого объекта. Поэтому можно считать, что адекватность модели определяется степенью ее соответствия не столько реальному объекту, сколько целям исследования.

В наибольшей степени это справедливо для проектируемых систем и возможных реализаций технологических процессов.

Тем не менее во многих случаях полезно иметь формальное подтверждение адекватности разработанной модели. Один из наиболее распространенных способов такого обоснования – использование методов математической статистики. Суть этих методов заключается в проверке выдвинутой гипотезы (в данном случае – об адекватности модели) на основе некоторых статистических гипотез. Однако при этом следует помнить, что вообще говоря статистические гипотезы не могут доказать ни одной гипотезы: они могут лишь указать на отсутствие опровержения.

Процедура проверки основана на сравнении измерений на реальной системе и результатов экспериментов на модели.

Проверка может проводиться различными способами, например:

- по средним значениям откликов модели и системы;

- по дисперсиям отклонений откликов модели от среднего значения откликов системы;

- по максимальному значению относительных отклонений откликов модели от откликов системы.

Указанные способы оценки достаточно близки между собой по сути.

Рассмотрим первый из них. При этом способе проверяется гипотеза о близости среднего значения наблюдаемой Y среднему значению отклика реальной системы Y*.

В результате N0 опытов на реальной системе получают множество значений (выборку) Y*. Выполнив Nm экспериментов на модели, также получают множество значений наблюдаемой переменной Y.

Затем вычисляются оценки математического ожидания и дисперсии откликов модели и системы, после чего выдвигается гипотеза о близости средних значений величин Y и Y* (в статистическом смысле). Основой для проверки является t – статистика (распределение Стьюдента).Ее значение, вычисленное по результатам испытаний, сравнивается с критическим значением tкр, взятым по статистическим таблицам. Если выполняется неравенство tn tкр, то гипотеза не отвергается.

4.5.3. Оценка устойчивости модели

При оценке адекватности модели реально может быть использовано ограниченное подмножество всех возможных значений входных параметров (рабочей нагрузки и внешней среды). В связи с этим для обоснования достоверности получаемых результатов моделирования большое значение имеет проверка устойчивости модели.

Устойчивость модели – это ее способность сохранять адекватность при исследовании эффективности системы на всем возможном диапазоне рабочей нагрузки, а также при внесении изменений в конфигурацию системы. Универсальной процедуры проверки устойчивости модели не существует. Разработчику, как правило, приходится прибегать к методам «для данного случая», частичным тестам и здравому смыслу. Часто бывает полезна апостериорная проверка. Она состоит в сравнении результатов моделирования и результатов измерений на системе после внесения в нее изменений. Если результаты моделирования приемлемы, уверенность в устойчивости модели возрастает.

В общем случае можно утверждать, что, чем ближе структура модели структуре системы и чем выше степень детализации, тем устойчивее модель.

Устойчивость результатов моделирования можно оценить методами математической статистики по устойчивости результатов моделирования интересующего фактора. Для проверки гипотезы об устойчивости результатов может быть использован критерий Уилкиксона.

Критерий Уилкиксона служит для проверки того, относятся ли две выборки к одной и той же генеральной совокупности.

4.5.4. Оценка чувствительности модели

Очевидно, что устойчивость является положительным свойством модели. Однако если изменение входных воздействий или параметров модели (в некотором заданном диапазоне) не отражается на значениях выходных параметров, то ценность такой «бесчувственной» модели может резко снизиться. В связи с этим возникает задача оценивания чувствительности модели к изменениям параметров рабочей нагрузки и внутренних параметров самой системы.

Такую оценку проводят по каждому параметру Xk в отдельности.

Основана она на том, что обычно диапазон возможных изменений параметра известен.

Одна из наиболее простых и распространенных процедур оценивания состоит в следующем:

1. Вычисляется величина относительного среднего приращения параметра Xk:

X k min ) * 2 (X X k = k max *100%. (72) ( X k max + X k min )

2. Проводится пара модельных экспериментов при значениях Xk = Xkmax и Xk = Xkmin и средних фиксированных значениях остальных параметров. Определяются значения отклика модели Y1 = f(Xkmax) и Y2 = f(Xkmin).

3. Вычисляются ее относительное приращение наблюдаемой переменной Y:

–  –  –

В результате для k –го параметра модели имеют пару значений (Xk, Y), характеризующую чувствительность модели по этому параметру.

Аналогично формируются пары для остальных параметров модели, которые образуют множество {Xk, Y}.

Данные, полученные при оценке чувствительности модели, могут быть использованы, в частности, при планировании экспериментов: большее внимание должно уделяться тем параметрам, по которым модель является более чувствительной.

–  –  –

Имитационная модель работы крана на нижнем складе, осуществляющего разгрузку поступающих лесовозных автопоездов, строится на основе моделирующего алгоритма со случайным шагом (по особым состояниям) по принципу «планирования событий». Блок – схема алгоритма представлена на рис. 8.

В системе имеют место следующие события: поступление груженого лесовоза, ожидание в очереди, разгрузка, простой крана без лесовозов, работа крана по разгрузке лесовозов.

На построенной имитационной модели нарабатывается статистический материал для последующей обработки, анализа и обобщения. В процессе статистической обработки полученных на модели результатов можно оценить влияние организационных решений на эффективность протекания производственного процесса; видно, как разворачивается процесс во времени, как по мере увеличения количества реализаций случайного процесса происходит усреднение значений параметров, уменьшаются отклонения и выбросы значений случайных величин, характеризующих производственный процесс, от математического ожидания.

4.6.2. Имитационное моделирование лесозаготовительного производства Имитационное моделирование лесозаготовительного производства позволяет решать широкий круг задач:

1. Оптимизация производственного процесса в целом по принятому критерию оптимальности;

2. Оптимизация отдельных технологических процессов и операций;

3. Выявление «узких мест» производства, неувязок в построении производственного процесса на стадиях планирования и прогнозирования;

4. Рост эффективности лесозаготовительного производства.

–  –  –

Рис. 8. Блок – схема моделирующего алгоритма Имитационная модель должна отражать структуру производственного процесса, основные особенности, взаимосвязи, лимитирующие факторы, дисциплину функционирования технологических и переместительных операций. Структурная схема алгоритма реализации производственного процесса лесозаготовок представлена на рис. 9.

Схема имитационной модели лесозаготовительного производства

–  –  –

Учет влияния факторов случайной природы в имитационной модели, обуславливающих существенный уровень неравномерности лесозаготовительного производства, обеспечивается соответствующими законами распределения вероятностей, уравнениями регрессии, статистическими зависимостями. Поведение системы в экстремальных условиях определяется аналитическими и статистическими зависимостями, полученными из опыта работы лесозаготовительных предприятий Республики Коми и других регионов. Основные закономерности и лимитирующие производство факторы приняты по результатам научных исследований предприятий отрасли.

К числу основных лимитирующих производство факторов относятся:

1. Недостаток или отсутствие делянок (лесфонда), подготовленных к заготовке.

2. Недостаток запасов хлыстов (деревьев) на погрузочных площадках верхних складов, подготовленных для погрузки и вывозки.

3. Необеспеченность рабочими и лесозаготовительной техникой на лесосечных, лесотранспортных и нижнескладских работах.

4. Невозможность вывозки древесины в те или иные периоды времени года.

5. Недостаток или отсутствие запасов хлыстов (деревьев) перед основными технологическими линиями нижнего склада.

6. Переполнение складов лесоматериалов готовой продукцией, сдерживающее частично или полностью выполнение предыдущих технологических операций.

Библиографический список

1. Алябьев В.И. Оптимизация производственных процессов на лесозаготовках / В.И. Алябьев. – М.: Лесная промышленность, 1977. – 232 с.

2. Андреев В.Н., Герасимов Ю.Ю. Принятие оптимальных решений: теория и применение в лесном комплексе / В.Н. Андреев, Ю.Ю. Герасимов. – Финляндия: Издательство ун-та Йоэнсуу /, 1999. – 200 с.

3. Гультяев А.К. MATLAB 5.3. Имитационное моделирование в среде Windows: Практическое пособие / А.К. Гультяев. – СПб.: КОРОНА принт, 2001. – 400 с.

4. Перепелицкий С.Н. Экономико-математические методы и модели в планировании и управлении на предприятиях лесной промышленности / С.Н. Перепелицкий. – М.: Лесная промышленность, 1989. – 360 с.

5. Редькин А.К. Основы моделирования и оптимизации процессов лесозаготовок / А.К. Редькин. – М.: Лесная промышленность, 1988. – 256 с.

Учебное издание

–  –  –

Лицензия ЛР №020827 от 29 сентября 1998 г.

План 2003г., позиция 30. Подписано в печать 10.02.2003.

Компьютерный набор. Гарнитура Times New Roman.

Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Печать трафаретная.

Усл. печ. л. 4,4. Уч. – изд. л. 3,0. Тираж 150 экз. Заказ №143.

Ухтинский государственный университет.

169300, г. Ухта, ул. Первомайская, 13.

Издательско-полиграфическое управление УГТУ.

Лицензия ПД №00578 от 25.05.2000.

Похожие работы:

«Министерство образования Российской Федерации Ухтинский государственный технический университет Н.И. АВЕРЬЯНОВА, И.А. ШИПУЛИНА, А.Е. ЖУЙКОВ, Н.Ю. ЗАРНИЦЫНА, Л.А. КИЧИГИНА, Е.А.ВЕЛЬДЕР ПИЕЛОНЕФРИТ И ГЛОМЕРУЛОНЕФРИТ У ДЕТЕЙ Ухта, 2001 УДК 616.61-002.3-053.2 ББК 56.9:57.33 А19 Аверьянова Н. И., Шипулин...»

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ) О. М. Кудряшова, Р. А....»









 
2017 www.pdf.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - разные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.