WWW.PDF.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Разные материалы
 

«Министерство образования Российской Федерации Московский физико-технический институт Кафедра высшей математики Методические указания по математическому анализу для студентов второго ...»

Министерство образования Российской Федерации

Московский физико-технический институт

Кафедра высшей математики

Методические указания

по математическому анализу

для студентов второго курса

ЭЛЕМЕНТЫ

ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА

Второе издание

Москва 2001

Составитель: Л.И.Коваленко

УДК 517

Методические указания по математическому

анализу для студентов второго курса. Элементы

векторного анализа. МФТИ, 2001.

Излагаются основные понятия векторного анализа, формулы Остроградского–Гаусса и Стокса, приемы набла-техники. Доказываются первая и вторая формулы Грина в пространстве. Все демонстрируется на задачах, решение которых приводится. Система координат предполагается декартовой прямоугольной, причем правой.

В настоящее издание добавлено несколько задач, требующих умения работать с терминами поля как в векторной, так и в координатной форме.

Внесены другие изменения.

Автор выражает глубокую благодарность чл.-корр. РАН Л.Д. Кудрявцеву, проф. М.И. Шабунину, чл.-корр. РАО Г.Н. Яковлеву, чьи отличные лекционные курсы математического анализа послужили основой для написания данного учебного пособия.

Автор благодарит О.А.Пыркову и Д.А.Терешина за предложения и замечания, которые были учтены при подготовке этого издания.

ОГЛАВЛЕНИЕ § 1. Скалярные и векторные поля. Производная по направлению и градиент скалярного поля.


......... 4 § 2. Дивергенция и поток векторного поля. Формула Остроградского–Гаусса в терминах поля....... 7 § 3. Соленоидальные векторные поля............ 14 § 4. Циркуляция векторного поля. Потенциальные векторные поля........................ 18 § 5. Ротор векторного поля. Формула Стокса в терминах поля............................. 20 Механический смысл ротора............... 20 § 6. Однократное применение оператора Гамильтона... 26

Правила работы с Градиент одного вектора по другому.......... 29 § 7. Повторное применение оператора Гамильтона.... 32 Формулы Грина в R3................... 34 Список литературы.................... 36 4 Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа § 1. Скалярные и векторные поля.

Производная по направлению и градиент скалярного поля Определение 1. Говорят, что в области G задано скалярное (или векторное) поле, если каждой точке M G поставлено в соответствие некоторое число F (M ) (или вектор a(M )).

Поле температуры внутри некоторого нагретого тела — это скалярное п

–  –  –

§ 2. Дивергенция и поток векторного поля. Формула Остроградского–Гаусса в терминах поля Определение 4. Пусть в области G R3 задано векторное поле a = (P, Q, R) с непрерывно дифференцируемыми компонентами.

Дивергенцией векторного поля a называется скалярная функция 8 Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа

–  –  –

Определение 5. Пусть в области G R3 задано векторное поле a = (P, Q, R) с непрерывными компонентами.

Пусть S — ориентированная кусочно-гладкая поверхность, лежащая в области G, — единичный вектор нормали к поверхности, задающей ее ориентацию. Интеграл § 2. Дивергенция и поток. Формула Остроградского–Гаусса 9

–  –  –

мыми компонентами. Пусть точка M0 G и K — шар радиуса с центром в точке M0, K G; S — граница шара K. Тогда (a, ) ds div a(M0 ) = lim S, (11) V +0 где — единичный вектор внешней нормали к сфере S, V — объем шара K.

Из формулы (11) следует, что дивергенция векторного поля не зависит от системы координат.

Если div a = 0 в точке M0, то, как видно из формулы (11), для всех достаточно малых шаров K с центром в точке M0 будем иметь S (a, ) ds = 0.

Если рассматривать движение несжимаемой жидкости при наличии источников, то количество вытекающей через замкнутую поверхность S жидкости, отнесенное к единице времени, называется производительностью источников, заключенных внутри S. Это есть поток вектора скорости v; div v — плотность источников.

Аналогичное имеет место для теплового потока при наличии источников тепла.

Слово «дивергенция» происходит от французского «divergence», что значит «расходимость».

§ 3. Соленоидальные векторные поля Пусть в области G R3 задано векторное поле a(M ) с непрерывно дифференцируемыми компонентами.

Определение 6. Векторное поле a, поток которого через любую кусочно-гладкую поверхность, лежащую в области G и являющуюся границей некоторой ограниченной области, равен нулю, называется соленоидальным в G.

Определение 7. Область G R3 называется объемно односвязной, если для любой ограниченной области 14 Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа

–  –  –

a ds + a ds = 0.

S1 S2 Отсюда, изменив на поверхности S1 направление нормали на противоположное, получим, что поток поля a через сечение S1, как и через сечение S2, а значит, и любое поперечное сечение, имеет одну и ту же величину.

Аналогичным свойством обладает любое соленоидальное поле. Рассматривается так называемая векторная трубка, состоящая из линий, в каждой точке которых касательная имеет направление поля.

Поток соленоидального поля через любое поперечное сечение векторной трубки имеет одну и ту же величину.

Название «соленоидальное» происходит от «солен», что по-гречески означает «трубка». Вместо «соленоидальное поле» иногда говорят «трубчатое поле».

Вернемся к задаче 6. Рассмотрим векторное поле a = e = grad 4r в области G0 : 0 r R0, R0 = const 0, r — расстояние точки M0 от переменной точки M. Имеем div a = 0 в G0.

Область G0 не является объемно односвязной, поэтому к полю a не применимо в G0 утверждение 3. Как показано при решении задачи 6, поток поля a через любую сферу, содержащую внутри себя точку M0, не равен нулю.

§ 4. Циркуляция векторного поля. Потенциальные поля 17 § 4. Циркуляция векторного поля.

Потенциальные векторные поля Пусть в области G R3 задано векторное поле a = = (P, Q, R) с непрерывными компонентами.

Определение 8. Пусть L — ориентированная кусочногладкая кривая, лежащая в области G. Интеграл

–  –  –

Определение 9.

Векторное поле a(M ) называется потенциальным, если его можно представить как градиент некоторого скалярного поля u(M ):

a = grad u.

Тогда функция u(M ) называется потенциальной функцией, или потенциалом векторного поля a.

Утверждение 4.

Для векторного поля a = (P, Q, R) с непрерывными компонентами в области G эквивалентны следующие три свойства:

1) Поле a потенциально, т.е. существует однозначная функция u(x, y, z), имеющая непрерывные частные производные, такая, что grad u = a в G, или, что то же, du = P dx + Q dy + R dz (u — потенциал поля a).

2) Циркуляция поля a по любой замкнутой ориентированной кусочно-гладкой кривой L, лежащей в G, равна нулю: L a dr = 0.

18 Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа

–  –  –

Величины, входящие в правую часть равенства (17), не зависят от выбора системы координат одной и той же ориентации. Однако при замене правой системы координат на левую и неизменном направление обхода изменяется на противоположное, что влечет изменение знака в правой части (17), а значит, и rot a.

Таким образом, rot a инвариантен относительно преобразований прямоугольных координат, сохраняющих их ориентацию; rot a — аксиальный, или осевой вектор (таким называют вектор в ориентированном пространстве, который при изменении ориентации пространства преобразуется в противоположный вектор).

–  –  –

где G — область в R3 с кусочно-гладкой границей S, n — единичная внешняя нормаль к поверхности S, u(x1, x2, x3 ) — дважды, а v(x1, x2, x3 ) — один раз непрерывно дифференцируемые в G функции.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Заменив u на div grad u и использовав, можно записать первую формулу Грина в таком виде:



Похожие работы:

«Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Новосибирский государственный аграрный уни...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КАЗАНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А.Н. ТУПОЛЕВА-КАИ» Институт Автоматики и электронного приборостроения Кафедра «Оптико-электронные системы» Консп...»

«УДК 338.62 Влияние экономической политики государства на инновационный потенциал рынка труда Репкин А.И. repka01@mail.ru Cанкт-петербургский национальный исследовательский университет Информационных технологий, механики и оптики И...»

«272 Труды Нижегородского государственного технического университета им. Р.Е. Алексеева № 4(97) К 541.12.13 8: 621.357 К.М. Элькинд, И.Г. Трунова СВЯЗЬ ГИДРАТАЦИИ С ЯВЛЕНИЯМИ ПЕРЕНОСА В ВОДНЫХ РАСТВОРАХ ЭЛЕКТРОЛИТОВ Нижегородский государственный технический унив...»

«Том 7, №4 (июль август 2015) Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ» publishing@naukovedenie.ru http://naukovedenie.ru Интернет-журнал «Науковедение» ISSN 2223-5167 http://naukovedenie.ru/ Том 7, №4 (2015) http://naukovedenie.ru/index.php?p=vol7-4 URL статьи: http://naukovedenie.ru/PDF/148TVN415.pdf DOI: 10.1586...»

«КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ 2013 Т. 5 № 1 С. 11–24 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И ОСНОВЫ ИХ РЕАЛИЗАЦИИ УДК: 004.925.8 Метод построения неструктурированных шестигранных сеток из объемных данных А. С. Караваевa, С. П. Копысовb...»

«Программа мероприятий Пятый российско-армянский межрегиональный форум Основная цель форума — содействие дальнейшему развитию союзнических отношений России и Армении в контексте становления механизмов двустороннег...»










 
2017 www.pdf.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - разные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.