WWW.PDF.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Разные материалы
 

Pages:   || 2 |

«Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального ...»

-- [ Страница 1 ] --

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Пермский государственный технический университет»

ВЕСТНИК ПГТУ

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

И МЕХАНИКА

№ 15

Издательство

Пермского государственного технического университета

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 УДК 51 В38 Представлены результаты научных исследований преподавателей, сотрудников и аспирантов кафедры прикладной математики ПГТУ. Часть работ выполнена совместно со студентами ПГТУ специальности «Математические методы и компьютерные технологии в экономике».

Предназначено для студентов старших курсов, аспирантов и научных работников.

Редакционная коллегия: д-р физ.-мат. наук, проф. А.Р. Абдуллаев; д-р физ.мат. наук, проф. Н.В. Азбелев; д-р техн. наук, проф. В.П. Первадчук; д-р техн. наук, проф. Н.А. Труфанов; д-р физ.-мат. наук, проф. В.П. Максимов; д-р физ.-мат. наук, проф. И.Н. Шардаков; д-р физ.-мат. наук, доц. М.А. Севодин Ответственные за выпуск: д-р физ.-мат. наук, проф. А.Р. Абдуллаев; д-р техн. наук, проф. В.П. Первадчук; А.И. Граничникова УДК 51 ©ГОУ ВПО «Пермский государственный ISBN 978-5-398-00342-0 технический университет», 2010 Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 УДК 658.512 И.П.МОСКАЛЕНКО, М.А.СЕВОДИН Пермский государственный технический университет



О ПОСТРОЕНИИ ОБОБЩЕННОГО ПОКАЗАТЕЛЯ ФИНАНСОВОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЯ

Исследован общий порядок построения обобщенного показателя финансовой деятельности предприятия. Рассмотрен критерий адекватности модели исходным данным. Приведен пример построения модели обобщенного показателя.

В данной работе исследуются зависимости между показателями, характеризующими определенную сферу деятельности финансовых институтов. При этом ставится задача построения сводного показателя, на основе которого можно было бы дать оценку этой деятельности, сделать выводы об «успешности», «правильности» их функционирования. Обсуждение вышеназванных вопросов в статье проводится параллельно с рассмотрением примера – построение модели обобщенного показателя на основе показателей поступления собственных денежных средств в местные бюджеты трех субъектов РФ: Республики Татарстан, Свердловской области, Пермского края.

Рассмотрим следующие пять показателей:

«Налоги на прибыль, доходы» этот показатель говорит о том, сколько поступило средств в бюджет при облагании налогами на доходы физических лиц и прибыль организаций.

«Налоги на имущество» налоги на имущество физических лиц, организаций, игорный налог, земельный налог, транспортный налог, налог на наследование и дарение.

«Государственная пошлина и сборы» пошлина за совершение нотариальных действий по делам, рассматриваемым в арбитражных, конституционных судах, совершение действий, связанных с получением гражданства Российской Федерации.

«Доходы от оказания платных услуг и компенсации затрат государства» консульские сборы, лицензионные сборы, плата за предоставление информации, сборы на выдачу лицензий и право на производство и оборот акцизных товаров.

«Штрафы, санкции, возмещение ущерба» штрафы за нарушение законодательства, таможенного дела, нарушение обязательных требований государственных стандартов.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 Эти показатели характеризуют поступление средств в местный бюджет субъекта РФ. Каждый из показателей был взят за 41 месяц, начиная с октября 2005 года и заканчивая мартом 2009.

Идея построения сводного показателя базируется на методах факторного анализа и основывается на том, что частные показатели являются внешним выражением некоторой реально существующей, но неизмеримой величины. В этом случае колебания показателей обусловлены в основном вариацией обобщенного показателя. Поэтому между частным и обобщенным показателем будет иметь место сильная корреляция.

Математически это выглядит так:

xi li f ei, i 1, n, где x i частный показатель; f обобщенный показатель;

l i нагрузка (вес) обобщенного показателя f на частный показатель x i ; e i остаток (характерный показатель), определяющий ту часть показателя x i, изменение которой вызвано действием случайной величины.

При этом можно выразить обобщенный показатель через линейную комбинацию частных показателей с весами ai [1]:

f a1 x1 a2 x2... an xn.

Рассмотрим алгоритм построения обобщенного показателя.

Сначала определяются значения нагрузок li. Они дают основные оценки для численных значений обобщенного показателя каждого момента времени t. Далее будет установлено, что li являются коэффициентами корреляции между xi и f li rxi f.

Теперь необходимо определить адекватность модели исходным данным, т.е. проверить, можно ли взятые показатели выразить одним генеральным фактором. Для этого используется критерий триад

Спирмена, который представим в виде выполнения следующих равенств:

r1, n 1r1, n r12 r13 r12 r14 rr rr... 12 1n 13 14, r23 r24 r2n r34 rn 1, n где rij коэффициенты корреляции между двумя показателями [2].

Обобщенный показатель можно назвать «Индекс собственных доходов местного бюджета субъекта РФ».

Мерой качества оценки обобщенного показателя может служить коэффициент детерминации.

Вычисленные значения коэффициента для трех моделей:

–  –  –

Можно сказать, что модель обобщенного показателя для Пермского края учитывает 74 % изменчивости показателей, и лишь 26 % остаются необъясненными уравнениями регрессии, для Свердловской области соответственно 79,5 % и 20,5 %, и лишь для Республики Татарстан этот показатель имеет значения 74 % и 26 %, но все равно имеет достаточно высокое значение для принятия модели.

При составлении модели были определены значения нагрузок частных показателей на сводный показатель и получены следующие результаты (табл.4).

Таблица 4

–  –  –

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 Таким образом, анализируя значения нагрузок для каждой из моделей, можно сказать, что для экономики Пермского края и Республики Татарстан наибольшее значения имеют три показателя, это «Налоги на прибыль, доходы», «Государственная пошлина и сборы» и «Штрафы, санкции, возмещение ущерба». Соответственно, можно сделать вывод о том, что улучшение (увеличение притока денежных средств) значений по этим показателям будет наиболее продуктивным, т.е. будет иметь большее влияние на обобщенный показатель. Что же касается Свердловской области, то можно утверждать, что все показатели оказывают значимое влияние на сводный, а это значит, что элементы модели имеют достаточно высокую связь, которая подтверждается вычисленным коэффициентом детерминации, равным 0,79537838.

В соответствии с построенными моделями и исходными данными, были рассчитаны обобщенные показатели для трех регионов, сравнение сводных индексов которых представлены на рисунке:

Сравнение регионов

–  –  –

Следовательно, можно сделать вывод о том, что наиболее успешным из трех регионов является Республика Татарстан, в то время как Пермский край и Свердловская область отстают по поступлению средств в местные бюджеты.

В процессе исследования были построены модели сводных показателей, на основе данных представленных с октября 2005 по март 2009 года, по трем субъектам РФ: Пермский край, Свердловская область, Республика Татарстан. Был проведен сравнительный анализ деятельности доходной сферы местных бюджетов субъектов, который показал, что наиболее успешным регионом оказалась Республика Татарстан.

Таким образом, мы рассмотрели алгоритм создания и вычисления математической модели обобщенного показателя, на основе которого Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 можно было бы выявить наиболее и наименее влияющие факторы, а также дать оценку деятельности финансового института, экономические характеристики деятельности которого были бы составляющими модели.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Иберла К. Факторный анализ / пер. с нем. В.М. Ивановой; предисл. А.М. Дуброва. – М.: Статистика, 1980. – 398 с.





2. Харман Г. Современный факторный анализ. – М.: Статистика, 1972. – 243 с.

3. Дрейпер Н.Р., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. – М.: Вильямс, Диалектика, 2007. – 912 с.

УДК 658.155

–  –  –

О РОЛИ СПЕКУЛЯЦИЙ В УСТАНОВЛЕНИИ РАВНОВЕСНОЙ ЦЕНЫ

Рассмотрена «паутинообразная» модель баланса спроса и предложения.

Показано, что в некоторых случаях появление спекуляций на рынке неустойчивую ситуацию переводит в устойчивую.

Для выяснения роли спекулятивных преимуществ присутствия спекулянтов на рынке в механизме установления равновесной цены обсудим сначала рынок одного товара и действующих на нем производителя и потребителя. Товар будем считать бесконечно дробимым и однородным, а вкусы потребителя и удельные издержки на производство единицы товара постоянными. Предположим, что зависимость спроса D на товар от цены p за единицу этого товара является убывающей функцией D(p), а поступление товара на рынок характеризуется возрастающей функцией предложения S(p). Для простоты рассуждений условимся считать, что S(p)=0, 0 p pmin и D(p)=0, p pmax.

Таким образом, мы предполагаем, что, если цена на товар выше некоторого значения pmax, то спрос на товар полностью исчезает. КроВестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 ме того, если цены не достигли некоторого уровня pmin (можно считать, что цена pmin совпадает с удельными издержками на производство единицы товара), то товар не продается.

Состояние равновесия характеризуется равенством спроса и предложения

–  –  –

причем в силу сделанных предположений уравнение (1) имеет единственное решение po, pmin po pmax. При этом po обычно называется равновесной ценой.

«Паутинообразная» модель [1], [2] заключается в реализации процесса «нащупывания» равновесной цены. Использование этой модели требует введения дискретного времени t (t = 0,1,…) и дополнительных предположений относительно рынка:

а) объем товара, поступающего на рынок в момент t, определяется ценой товара в момент (t1);

б) весь поставленный на рынок товар покупается, запасы товара невозможны.

При этих требованиях справедливо рекуррентное соотношение

D( pt ) S ( pt 1), (2)

которое задает последовательность значений цен (pt), t = 0,1,…, в моменты времени t, определяющие процесс «нащупывания». Если последовательность (pt) сходится к po, то на рынке с течением времени устанавливается равновесная цена po. В случае, когда последовательность не сходится к po, считают положение на рынке неустойчивым.

Положим

–  –  –

Изображенная на рисунке последовательность горизонтальных и вертикальных стрелок называется «паутиной». В данном случае мы видим «скручивающуюся паутину», т.е. последовательность (pt) сходится к po.

На рисунке функция D(p) выпуклая, а функция S(p) – вогнутая.

Если бы S(p) была выпуклой функцией, то описанный процесс был бы расходящимся [1].

Случай, когда функции спроса и предложения являются линейными, т.е. и выпуклыми и вогнутыми одновременно, детально изучен в работе [3]. Если положить

–  –  –

то тогда по (3) получим =B/A. Здесь коэффициенты A и B считаются положительными. Таким образом, в линейном случае процесс может быть и сходящимся (BA) и расходящимся (BA). В последнем случае, как показано в [3], ситуацию в положительную сторону может изменить присутствие на рынке еще одного участника – спекулянта, который при понижении цены закупает единиц товара (в [3] взято =S(pt1)), т.е. выступает в роли дополнительного потребителя, и позже продает эти единиц, выступая уже в роли поставщика. Предполагается, что эти функции может выполнять и сам производитель путем Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 организации временного складирования части товара. Поэтому вместо равенства (2) требуется выполнение соотношений

–  –  –

Цель данной статьи – установить перечисленные выше эффекты в случае, когда спекулянт выбирает значение в другом, отличном от предложенного в [3], виде. Будем считать, что с некоторым, 01 выполняется равенство

–  –  –

Такое определение авторам кажется более естественным: закупки и продажи пропорциональны разности между предложением и спросом. Более того, это позволит расширить область параметров, в которой полученные выводы будут справедливы.

Найдем, при которых цены на рынке будут стремиться к равновесным. Разумеется, что действия спекулянта считаются здесь соответствующими формулам (4), (5).

Прежде всего заметим, что в силу (1) выполняется следующее равенство

S ( pt 1 ) D( pt 1 ) ( A B) pt 1 Bpmin Apmax ( A B)( pt 1 p o ) (7)

Теперь, пусть в момент t1 справедливо неравенство pt 1 p о, тогда согласно неравенству pt pо, вытекающему из (1), в следующий момент времени t происходит снижение цены. Спекулянт, ориентируясь на это снижение, закупает товар в объеме. Эти рассуждения приводят к справедливости соотношения (4), что позволяет сравнить расстояния от pt до po и от po до pt1. Имеем

–  –  –

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 Здесь мы использовали соотношения (4), (6), (7).

Таким образом, для того, чтобы выполнялись нужные нам условия pt pо и pо pt pt 1 pо, мы должны потребовать 0 (1 ) 1.

–  –  –

2 (1 ) 2 0 1.

(1 )

–  –  –

При любых, 0, очевидно имеет место Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 2, 1 (1 ) 2

–  –  –

Итак, если из (6) удовлетворяет соотношениям (11), то pt po pt 1 pt 1 и «паутина» скручивается, т.е. цены товара на рынке приближаются к равновесной цене.

Конечно, здесь еще что-то должно заставлять спекулянта действовать так, чтобы в конечном итоге число оказалось в интервале из (11). Мотивацией таких действий оказывается (см. [3]) максимизация спекулянтом своей прибыли, которую мы обозначим через (). Сама прибыль, очевидно, равна

–  –  –

Нам остается заметить, что о окажется в нужном нам интервале (11), если (0; (1 17 ) / 2), что лучше, чем в работе [3].

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 Итак, мы обосновали следующее утверждение. Пусть на рынке с (0; (1 17 ) / 2) в момент (t1) цена товара pt1 оказалась выше равновесной. Тогда закупка спекулянтом в момент t товара объемом из (6) с целями продажи этой партии в момент (t+1) по цене pt+1 и максимизации своей прибыли при этой операции обеспечивает приближение по сравнению ценой с pt1 цены pt+1 к равновесной цене pо.

В заключение отметим следующее. В проведенных рассуждениях мы нигде не пользовались условием 1, при котором положение на рынке неустойчиво. Поэтому при 1 естественно ожидать, что появление спекулянта на рынке тоже окажется полезным в том смысле, что приближение к равновесным ценам окажется более быстрым. Это действительно так, что следует из приведенных ниже формул.

При наличии спекулянта мы имеем pt 1 p o p o pt pt 1 p o ( pt 1 p o ) ( 2 (1 )2 )( pt 1 p o ), o

–  –  –

а в случае отсутствия спекулянта на рынке pt 1 po 2 ( pt 1 po ), т.е. разность pt 1 po в первом случае меньше, чем во втором.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (№ 08-01-00-163).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Калемаев В.А. Математическая экономика: учебник для вузов.

– М.: ЮНИТИ, 1998. – 240 с.

2. Самуэльсон П. Экономика. Т.2. М.: НПО АЛГОН ВНИИСИ, 1993.

3. Стронгин Р.Г. Исследование операций. Модели экономического поведения: учеб. – М.: Интернет-Университет Информационных Технологий; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. – 207 с.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 УДК 519.237.8

–  –  –

ФИНАНСОВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ КОММЕРЧЕСКОГО

БАНКА Исследована система финансового планирования коммерческого банка.

С помощью многофакторной корреляционно-регрессионной модели исследовано планирование прибыли в зависимости от структуры активов и пассивов.

Модель планирования прибыли дополнена ограничениями, обеспечивающими устойчивость и эффективность работы банка. Предложен механизм прогнозирования основных статей баланса и прогнозного отчета о прибылях и убытках.

Для коммерческого банка, как и любого другого предприятия, вопрос финансового планирования не менее актуален. Кроме того, особенность его работы как учреждения, основывающего свою деятельность на использовании средств клиентов, диктует необходимость постановки эффективной системы финансового планирования.

Различают три группы методов планирования: методы экспертных оценок, детерминированные и стохастические методы (рис. 1)[1].

Рис. 1. Классификация методов прогнозирования финансового состояния предприятия и финансового планирования Планирование осуществляется по четырем основным направлениям: рынок вкладов, рынок средств юридических лиц, рынок кредитования населения и рынок кредитования юридических лиц [2,3]. АнаВестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 лиз существующей системы планирования в Западно-Уральском банке Сбербанка РФ выявил отсутствие разработанного механизма применения математического аппарата для планирования и прогнозирования, который позволяет использовать значительно большее количество информации, производить многовариантные решения, получать более достоверные и устойчивые результаты. Кроме того, в ЗападноУральском банке Сбербанка РФ отсутствует практика финансового планирования на срок более одного года, что делает невозможной оценку развития коммерческого банка в долгосрочной перспективе и не соответствует требованиям современного стратегического управления коммерческим банком.

Как известно, прибыль банка находится в зависимости от структуры его активов и пассивов. Задача определения меры влияния факторов на конечный результат прибыль коммерческого банка может быть решена с помощью многофакторных корреляционнорегрессионных моделей. Известно, что корреляционно-регрессионный анализ дает возможность количественно выразить влияние отобранных факторов на результативный показатель. Кроме того, зная уравнение множественной регрессии и задаваясь определенными значениями факторов, можно предсказать значение функции и, следовательно, управлять анализируемым показателем. Более того, эти модели позволяют оценить работу банков с точки зрения их финансовых возможностей [4,5].

В работе проведен многофакторный анализ прибыльности банка.

Исходными данными при построении трендов являлась отчетность Западно-Уральского банка Сбербанка РФ, бухгалтерский баланс и отчет о прибылях и убытках (ОПиУ) за последние 5 лет.

Для отбора наиболее значимых факторных признаков была построена матрица парных коэффициентов корреляции (табл.1). Ее анализ показал, что между факторными признаками существует сильная зависимость.

Таблица 1 Матрица парных коэффициентов корреляции

–  –  –

Исходя из проведенного анализа получено уравнение многофакторной связи прибыли в виде Y1,2,3,4 267022,8115 0,000730956 x1 0,021079156 x2 0,004437205 x3 0,03096647 x4, где Y1, 2,3, 4 теоретическое значение прибыли, x1 работающие активы, x 2 неработающие активы, x3 средства юридических лиц, x 4 средства физических лиц.

Коэффициент детерминации R 2 = 0,8 свидетельствует о том, что прибыль на 80 % зависит от указанных факторов и только на 20 % от других факторов, не включенных в модель. Величина средней Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 ошибки аппроксимации составила 12 %. Графическое отображение аппроксимации представлено на рис. 2.

Рис. 2. Аппроксимация с помощью линейной регрессионной модели Проверка адекватности всей модели осуществлялась с использованием F-критерия Фишера. Фактическое значение критерия больше табличного Fфакт Fтабл (14,27 3,06), что свидетельствует о статистической значимости уравнения регрессии в целом.

Определение значимости коэффициентов регрессии осуществлялось с помощью t-критерия Стьюдента:

tфакт Fфакт 14, 2679 3,777.

Актуальной проблемой начала 2008 г. стала нестабильность финансовых рынков, что заставляет обратить внимание на значение и инструментарий риск-менеджмента кредитных организаций [3,6].

Функции риск-менеджмента (планирование и риск-контроллинг) и особенности применения оптимального управления ресурсами могут быть прокомментированы на основе схемы, представленной на рис. 3.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 Рис. 3. Взаимодействие систем планирования и риск-контроллинга Главной задачей риск-контроллинга является формирование системы ограничений в отношении основных банковских рисков. Основная цель построение структуры активов и пассивов, способствующей увеличению прибыли с учетом возможностей банка, а также ограничений, обеспечивающих устойчивость и определенные показатели эффективности.

Исходя из перечня факторов, учитываемых в регрессионной модели планирования прибыли, и имеющихся исходных данных предлагается заложить в модель следующие ограничения:

коэффициент работоспособности активов на уровне 0,91;

коэффициент клиентской базы на уровне от 0,5 до 0,7;

коэффициент эффективного использования привлеченных ресурсов более 0,9;

рентабельность работающих активов более 4 %.

Таким образом, модель принимает вид:

при значениях переменных x1, x 2, x3, x 4, ожидаемых в прогнозный период. Таким образом, планирование начинается с прогноза структуры активов и пассивов баланса.

Графическое отображение полученных в работе линий тренда, а также функции и коэффициент детерминации представлены на рис.

48.

–  –  –

Таким образом, был определен механизм прогнозирования всех статей баланса и отчета о прибылях и убытках. Результатом работы является составление прогнозного баланса и прогнозного отчета о прибылях и убытках Западно-Уральского банка Сбербанка России на 20092013 гг.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Методы прогнозирования финансового состояния организации. URL: www.in4business.ru

2. Смирнов А.В. Анализ финансовой отчетности коммерческих банков. URL: www.cfin.ru

3. Волошин И.В. Оценка риска и рейтинга ликвидности банка. URL: www.cfin.ru

4. Савчук В.П. Финансовое планирование и разработка бюджета предприятия. URL: www.cfin.ru

5. Золотова Е.А. Планирование финансовых показателей деятельности филиала коммерческого банка на основе линейных регрессионных моделей // Финансы и кредит. 2007. №7. С. 711.

6. Никонова И.А., Шамгунов Р.Н. Стратегия и стоимость коммерческого банка. М.: Альпина Бизнес Букс, 2004. 304 с.

УДК 681.7.068

–  –  –

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПРОЦЕССА ВЫТЯЖКИ ОПТИЧЕСКОГО ВОЛОКНА

Представлена математическая модель устойчивости на основе процесса вытяжки при простом одноосном растяжении ньютоновской жидкости с переменной вязкостью, а также проводится ее линеаризация.

При производстве кварцевого оптического волокна главным образом встает вопрос качества световода. А одним из важных показателей качества волокна является постоянство его свойств и геометрических размеров по длине.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 Как известно, в любом реальном процессе неизбежно существуют внешние воздействия, влияющие на итоговый продукт.

Так, колебания диаметра световода связаны с флуктуацией вязкости расплава в зоне деформирования, а также с колебаниями скорости подачи заготовки и скорости вытяжки, колебаниями температуры печи, неоднородности физико-механических свойств заготовки. Указанные колебания в зависимости от конкретной ситуации могут со временем либо затухать, либо наоборот усиливаться. Поэтому встает первоочередная задача исследования чувствительных свойств световодов, в том числе его диаметра к малым колебаниям различных технологических и физических параметров.

С проблемой исследования реакции процесса вытяжки оптического волокна на внешние возмущающие воздействия тесно связана проблема его устойчивости. Она определяет область параметров, при которых возможно непрерывное формирование волокна.

Таким образом, имеется система дифференциальных уравнений, описывающая процесс вытяжки при простом одноосном растяжении ньютоновской жидкости с переменной вязкостью:

R R V V V, (1) t x 2 x

–  –  –

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. В.Н. Васильев, Г.Н. Дульнев., В.Д. Наумчик. Нестационарные процессы при формировании оптического волокна. Устойчивость процесса вытяжки// Энергоперенос в конвективных потоках. Минск,

1985. С. 6476.

2. Дж. Ортега, У. Пул. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений: пер. с англ.; под ред. А.А. Абрамова. – М.: Наука, 1986. – 288 с.

УДК 517.929 + 519.863

–  –  –

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ

ВАЛЬРАСА – ЭВАНСА – САМУЭЛЬСОНА С УЧЕТОМ ЗАВИСИМОСТИ СПРОСА И ПРЕДЛОЖЕНИЯ ОТ СКОРОСТИ ИЗМЕНЕНИЯ ЦЕНЫ

В работе с помощью метода Д-разбиений построены области асимптотической устойчивости линейной модели Вальраса – Эванса – Самуэльсона с учетом дискретного запаздывания скорости изменения цены товара.

Рассмотрим модифицированную модель конкурентного рынка одного товара, в которой продавцы реагируют на изменение цены товара не мгновенно, а с некоторым дискретным запаздыванием:

–  –  –

Рис.3 Поскольку при q 0, r 0 и p 0 квазиполином (z ) не имеет корней с положительной действительной частью, то согласно методу Д-разбиений [3] в заштрихованных на рисунках 1, 2, 3 областях указанный квазиполином также не будет иметь корней с положительной действительной частью, а потому [2] эти области будут областями Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 асимптотической устойчивости уравнения (2) при различных значениях.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Аллен Р. Математическая экономия. – М.: ИЛ, 1963. – 668 с.

2. Белман Р., Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравнения.

– М.: Мир, 1967. – 548 с.

3. Неймарк Ю. И. Динамические системы и управляемые процессы. – М.: Наука, 1978. – 336 с.

УДК 330.43

–  –  –

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ГОСУДАРСТВЕННОГО ДОЛГА:

МОДЕЛИ И ОЦЕНКИ

Государственный долг возникает в определенные периоды функционирования государства, когда его расходы начинают превышать доходы. Бюджетный дефицит становится хроническим явлением и его покрытие осуществляется путем государственных заимствований.

Одним из важных инструментов, используемых государством для эффективного развития своей экономики, является разумная долговая политика [1]. Внешние и внутренние заимствования государства могут, с одной стороны, как инициировать рост производства, развивать новые технологии, сглаживать социальные проблемы в период кризиса в стране, так и, с другой стороны, привести государство поэтапно к так называемой «долговой петле», со всеми вытекающими из этого последствиями.

Одним из важнейших элементов для оздоровления экономики и для ее эффективного развития является создание оптимальной системы управления государственным долгом.

Государственный долг это элемент экономической системы, следовательно, и цель его существования как системы является частным случаем более общей цели цели существования экономической системы.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 Проблема государственного долга осложняется тем, что государство осуществляет выплаты по старым долгам и получает новые кредиты и займы. В большинстве случаев государство вынуждено прибегать к дополнительным кредитам и займам только для того, чтобы выполнить свои обязательства по старым долгам. Естественным образом встает проблема управления государственным долгом, которая должна решать следующие задачи.

1. Минимизация стоимости долга для государства.

2. Эффективное использование для экономики мобилизованных финансовых ресурсов.

3. Обеспечение своевременного возврата займов, в том числе урегулирование внешней задолженности в случае долгового кризиса.

Система двух линейных неоднородных разностных уравнений с переменными коэффициентами составляет основу модели динамики внутренней и внешней компонент государственного долга [2].

Разностное уравнение первого порядка для Yt и Yt 0 в совокупности:

<

–  –  –

Параметры, входящие в сформулированную общую модель (1)–(2), целесообразно разбить на следующие три группы.

1. Группа «жестких» параметров, определяемых состоянием экономики государства. К ним можно отнести:

–  –  –

2. Группа «управляемых» параметров, которые можно изменять в определенных пределах, допускаемых функционированием основных институтов государства:

–  –  –

3. Группа договорно-политических параметров:

Приведенная модель динамики внешней и внутренней задолженности позволяет определять диапазоны эффективных значений ряда управляемых параметров, таких как процентные ставки, курс валюты, способы реструктуризации внешнего долга, играющих важную роль в экономических и политических сценариях. Это формирует соответствующие требования к денежно-кредитной политике государства и позволяет анализировать набор его долговых стратегий и целесообразность того или иного метода регулирования задолженности. Стоит привести некоторые результаты моделирования динамики государственного долга России. Рассмотрим здесь две группы сценариев: нейтральную (инерционную) и оптимистическую. Во всех вариантах расчетов начальные значения внутренней и внешней задолженностей полагаются равными соответственно 5 и 25 %.

Для первой группы предполагается, что до 2015 г. экономика движется в соответствии с «инерцией», набранной в ходе предыдущего развития. Налогово-бюджетная политика остается практически неизменной: отсутствуют мероприятия государства по рационализации государственных расходов и повышению собираемости налогов, снижению и изменению структуры государственных расходов.

В частности, это означает, что в стране сохранится сложившаяся неравномерная структура распределения доходов. Реальный сектор экономики по-прежнему характеризуется доминированием энергосырьевого и нескольких других экспортно-ориентированных секторов (металлургия, химическая промышленность).

В случае среднеинерционного сценария серьезных бюджетных проблем нет, однако бюджет сводится с незначительным дефицитом в 0,2 %, полностью погашаемого за счет эмиссии ЦБ. Этот сценарий корреспондируется с прогнозом ИМЭМО [3], в котором говорится, что в ближайшее время Россия может столкнуться с ситуацией, когда внешние факторы роста ослабеют, а внутренние еще не окрепнут. Развитие страны пойдет по среднеинерционному сценарию при нулевом темпе роста курса иностранной валюты, отсутствии конвертации и списания части внешнего долга, 15 %-ном коэффициенте расщепления обслуживания госдолга и ставке процента по внешнему долгу в 7 %.

В случае слабоинерционного сценария предполагается, что в отдельные годы предстоящего десятилетия бюджет сводится с незначиВестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 тельным профицитом (отсутствие дефицита чередуется с профицитом в 0,3 % от ВВП).

Вторая группа сценариев исходит из возможности существования благоприятных внешних и внутренних условий развития российской экономики. Предполагается значительный рост конкурентоспособности.

Для этой группы сценариев рассмотрим также два случая: слабооптимистический и среднеоптимистический сценарии.

Слабооптимистический сценарий соответствует экономическому росту с достижением цели удвоения ВВП. Ставка процента по внешнему долгу принимается, как и ранее, равной 7 %; темп роста курса иностранной валюты принимается нулевым; профицит бюджета постепенно возрастает от 0 до 0,5 %; доля полного бюджетного дефицита, погашаемого за счет эмиссии ЦБ, принимается равной 1,5 %; ежегодная конверсия внешней задолженности в национальную валюту составляет 5 % от величины внешнего долга. Указанное управление внешней задолженностью является следствием целенаправленной политики с целью увеличения доли внутреннего долга. Среднеоптимистический сценарий реализует вариант бюджета с постепенно растущим профицитом от 0,5 до 0,7 %, что позволяет создавать и увеличивать стабилизационный фонд. Предполагается отрицательный темп роста иностранной валюты в 3 % (что способствует сокращению внешнего долга при пересчете в национальную валюту), постепенное снижение ставки процента по внешнему долгу от 7 до 6 %, отсутствие конверсии и списания.

Таким образом, если развитие экономики России будет придерживаться прогнозов правительства (инфляция на уровне 67 %, и темп роста на уровне 7 %), то динамика государственного долга будет соответствовать 4-му сценарию прогнозных расчетов, и внешний долг будет полностью погашен уже к 2012 г., а внутренний долг к 2015 г. составит 1,7 %.

Если же инфляция превысит 810 %-ный барьер и темп роста выпуска составит менее 6 %, то динамика государственного долга России будет близка ко 2-му прогнозному сценарию развития, и внешний долг к 2015 г. останется на уровне 3 %, внутренний долг останется практически неизменным.

Более близким к реальности является 3-й сценарий развития экономики (с инфляцией в 8 %, темпом роста 67 %), где внешний долг полностью погашается до 2015 г. при условии 5 %-ной конвертации внешнего долга в национальную валюту.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 Таким образом, приведенная модель динамики внешней и внутренней задолженности позволяет определять диапазоны эффективных значений ряда управляемых параметров, таких как процентные ставки, курс валюты, способы реструктуризации внешнего долга, играющей важную роль в экономических и политических сценариях.

Проведенный анализ показывает, что уменьшение совокупного размера внешней задолженности является задачей стратегического характера. Без ее решения практически невозможно обеспечить необходимые условия для долгосрочного хозяйственного подъема и поддержания устойчивости всей социально-экономической системы страны.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Астапов К. Управление внешним и внутренним государственным долгом в России // Мировая экономика и междунар. отношения. 2003. № 2. С. 2635.

2. Балацкий Е., Свистунов В. Прогнозирование внешнего долга:

модели и оценки // Мировая экономика и междунар. отношения. - 2001.

№ 2. С. 4046; № 3. С.6168.

3. Воронин Ю., Кабашкин В. Управление государственным долгом // Экономист. 2006. № 1. С. 5867.

УДК 330.43

–  –  –

ФОРМИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙ КОРЗИНЫ ВАЛЮТ

В условиях современного нестабильного экономического рынка одной из самых серьезных проблем является защита своих денежных средств от обесценивания. За прошлый год денежные средства потеряВестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 ли 11 % своей стоимости, прогнозные данные на этот год 1314 %, то есть только за два года без соответствующего вложения каждый человек, проживающий в России, станет беднее на 25 %. Возникает вопрос:

можно ли избежать этого и как?

Одним из способов уберечь денежные средства можно считать приобретения валют иностранных государств в неком соотношении – приобретение «оптимальной корзины» валют. Подобная корзина почти не изменит своей стоимости в течение нескольких лет, за счет корректировки курсов валют, входящих в нее. Данная корзина может быть построена на основе матриц кросс-курсов валют, входящих в корзину.

Введем некоторую функцию Val (q[u]) Val (q;[u]) от количества товара q (измеренного в единицах [u]), такой, что для любых двух количеств qi [ui ], q j [u j ], обмениваемых товаров qi, qj отношение обмена, qi [ui ] q j [u j ] имеет место тогда и только тогда, когда

Val (qi [ui ]) Val (q j [u j ]). (1)

Введенную функцию Val(q[u]) естественно интерпретировать как индекс (показатель, индикатор) меновой ценности («value in exchange») q[u] единиц товара из множества G {g1,..., g n } [1]. Для валют функция Val (q[u]) может быть интерпретирована как индекс обменного курса соответствующей валюты.

Относительно функции Val (q[u]) сделаем следующие предположения:

непрерывность и строгое монотонное возрастание с ростом объема товара q;

аддитивность, т.е. для любых двух количеств товара q1, q 2 0 выполняется

–  –  –

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 определенная с точностью до положительного множителя 0. Следует отметить, что множитель в этом случае естественно интерпретировать как меновую стоимость единицы товара, поскольку

–  –  –

Таким образом, в рамках простой модели обмена наблюдаемые пропорции Val(q[u]) обмена двух товаров могут быть представлены отношением ненаблюдаемых меновых ценностей Val (qi [ui ]),Val (q j [u j ]) единиц обмениваемых товаров. Указанная теоретическая возможность определения n2 эмпирических элементов матрицы обмена С посредством n элементов вектора меновых ценностей Val (qi [ui ]),...,Val (qn [un ]) поднимает вопрос об определении условий, необходимых для существования вектора Val (qi [ui ]),...,Val (qn [un ]), удовлетворяющего соотношению (6).

Нетрудно доказать, что для существования показателей меновых ценностей единиц [u1 ],...,[un ] рассматриваемых товаров g1,..., g n (т.е.

для существования показателей Val (qi [ui ]),...,Val (qn [un ]), позволяющих представить элементы с(i,j) матрицы обмена С через отношения Val ([ui ]), необходимым и достаточным является условие транзитивVal ([u j ]) ности матрицы обмена С: с(i, j) c( j, k ) c(i, k ), i, j, k{1,..., n}.

Свойство пропорциональности столбцов указывает на то, что ранг матрицы С равен единице и, следовательно, максимальное собственное число матрицы равно n, а отвечающий ему собственный вектор пропорционален столбцам матрицы.

Воспользуемся соотношениями (6), (7) для получения искомой оценки Val ([ui ]), i 1,..., n, меновой ценности единиц [u1 ],...,[un ] обмениваемых товаров. Действительно, в качестве таковых могут выступать, например, элементы j-го столбца транзитивной матрицы обмена

С:

Val ([ui ]) с(i, j ), i 1,..., n.

В этом случае товар gj становится своеобразным «эталонным товаром» (в единицах которого производится измерение всех остальных товаров множества G {g1,..., g n }, а единица [uj] этого товара — «эталоном ценности» («numeraire», «unit of account», «standard of value») для измерения меновой ценности товаров простого рынка М = (G, С);

Val ([ui ]) с(i, j) 1.

Воспользовавшись тем, что меновая ценность измеряется по шкале отношений (т.е. с точностью до некоторого множителя 0), определим коэффициент как обратное геометрическое среднее

–  –  –

Важным свойством введенного нормированного показателя меновой ценности является его инвариантность относительно выбора единицы измерения меновой ценности.

Однако наиболее значимым свойством введенного нормированного показателя меновой ценности оказывается независимость (инвариантность) относительно выбора эталонного товара g j.

Действительно, воспользовавшись (7) и осуществив несколько несложных преобразований, получим первую формулу для индекса, построенного по среднему геометрическому, вторую – для индекса, построенного по среднему арифметическому удобно использовать нормированный показатель, приведенный к некоторому моменту времени t0 :

NVal (i; t ) RNVal i; t / t0. (9) NVal (i; t0 ) Без потери общности можно полагать, что t0 1.

Заметим, что после такого приведения матрица обмена C (t0 ) состоит из единиц, что позволяет судить об изменении рыночной конъюнктуры за время t по отклонению матрицы обмена C (t ) от матрицы C (t0 ). Формулы (8), (9) позволяют говорить о приведенном (к моменту t 0 ) нормированном показателе RNVal i; t / t0 меновой ценности (Reduced Normalized Value in exchange) товара g i в момент времени t.

Теперь обратимся к основной задаче нашего исследования проблеме создания корзины валют минимальной волатильности. Проблема построения таких корзин возникает в связи с тем, что числовые значения меновых коэффициентов весьма изменчивы во времени и при переходе от одного сегмента мирового рынка к другому.

Для разрешения проблемы построим некоторый индекс, являющийся функцией приведенных нормированных показателей меновой Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010

–  –  –

интерпретировать также как процентное соотношение валют в искомой корзине.

Вложение своих сбережений подобным образом, т.е. приобретение комплексного пакета валют, позволит «заморозить» стоимость сбережений на момент приобретения пакета. Таким образом, даже через несколько лет при обмене пакета на одну валюту можно будет получить сумму, эквивалентную сумме его покупки, с учетом инфляции, Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 т.е. сбережения, вложенные подобным образом, сохранят свою покупательскую способность, которая была у них на момент приобретения корзины.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Гилберт М. В поисках единой валютной системы. М., 1984.

2. Простая модель обмена: агрегированные валюты минимальной волатильности Н.В. Хованов, Д.Н. Колесов, М.В. Соколов, Дж.В. Колари // Применение математики в экономике. Вып. 15: Сб. статей / под ред. А.В. Воронцовского. СПб., 2004. С. 43–61.

УДК 681.7.068.4

–  –  –

СТАТИСТИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ КАЧЕСТВА ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА

ВЫТЯЖКИ ОПТИЧЕСКИХ ВОЛОКОН

Рассматриваются вопросы многомерного статистического анализа и контроля качества технологического процесса вытяжки кварцевых оптических волокон.

Одной из главных проблем промышленного производства является обеспечение стабильно высокого качества конечного продукта в типовом технологическом процессе. В данной работе анализируется один из этапов технологического процесса производства кварцевых оптических волокон вытяжка волокна из заготовки. Очевидно, что оценка качества продукции должна быть получена в процессе самого производства, а не только по завершении его. Таким образом будет обеспечена управляемость процессом и, в конечном итоге, снижение потерь из-за брака.

Управление технологическим процессом вытяжки кварцевых оптических волокон понимается, в первую очередь, как система планирования, контроля и анализа наиболее критических параметров самого процесса с целью обеспечения нужного качества волокна.

В раВестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 боте предлагается подход, основанный на статистическом анализе изменений значений контролируемых параметров, с учетом их взаимосвязей, закономерностей и зависимостей. Определение многофакторной взаимосвязи между технологическими параметрами, характеристиками заготовок и показателями качества волокна позволит разработать математическую модель контроля и управления качеством технологического процесса вытяжки оптических волокон.

Одной из первых задач системы управления является обеспечение непрерывного или почти непрерывного мониторинга значений контролируемых показателей. Это необходимо не только для определения состояния процесса, но и для запуска системы обратной связи в схеме производственного процесса. Само по себе внедрение инструментов непрерывного контроля параметров процесса не позволяет устранить большинство проблем, связанных с обеспечением качества продукции. Датчики выдают огромные объемы данных, которые содержат нужную информацию в скрытом, неявном виде. Главная же проблема заключается в том, как по результатам сотен, тысяч измерений понять, что в данный момент происходит с процессом и какие решения необходимо принять за короткий промежуток времени.

Для решения этой проблемы предлагается использовать методы многомерного статистического анализа и контроля технологического процесса, которые являются развитием успешно применяемых методов статистического контроля процессов. Идеи статистического контроля достаточно просты. Определяются наиболее важные параметры производственного процесса, рассчитываются их допустимые значения. Текущие значения этих параметров отслеживаются и сопоставляются с допустимыми значениями. На основании результатов сравнения делаются выводы о необходимости вмешательства в процесс. Для анализа используются контрольные карты качества Шухарта, карты накопленных сумм, карты скользящих средних и т.д. [1]. Однако, такой подход к мониторингу и контролю качества процесса вытяжки оптических волокон недостаточно эффективен. Главное, что он предполагает контроль лишь отдельных параметров, вне их взаимосвязи. Это не позволяет учесть реальную многофакторность процесса и может привести к принятию неверных решений по регулированию или сохранению значений технологических параметров. Более того, в отсутствие адекватной математической модели, учитывающей взаимосвязь технологических параметров и показателей качества продукции, увеличение числа измерений приведет только к усугублению проблем.

Представляется, что данная модель может быть построена на основе методов многомерного статистического анализа и эконометрики в Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 виде системы одновременных уравнений, в которых одни и те же переменные могут играть роль и результирующих и объясняющих показателей, в том числе и с учетом лаговых зависимостей. Разработка модели предоставит возможности для организации контроля всех необходимых параметров и эффективного управления ими. Здесь предлагается использовать два подхода.

Первый основан на приведении данных мгновенных многомерных выборок к обобщенной статистике Хотеллинга:

–  –  –

осуществляется по методике, приведенной в работе [2]. Для оценки компонент ковариационной матрицы можно использовать специальную обучающую выборку, рассчитанную до начала контроля по отлаженному технологическому процессу. Целевые значения параметров 0 также могут быть заданы заранее, либо рассчитаны по образцовому процессу. В этом случае статистика Хотеллинга имеет известное распределение «хи-квадрат» и ее критическое значение может быть рассчитано по заданный уровень значимости, с учетом числа контролируемых параметров p :

–  –  –

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 где F1 (k1, k2 ) квантиль, F распределения Фишера с числами степеней свободы k1, k 2.

При нормально протекающем процессе для всех значений t

–  –  –

где c j вектор-столбец, состоящий из нулей во всех строках кроме j -й, где стоит 1, t 0 момент времени нарушения неравенства (4).

Если T j2 Tкр, то именно параметр j оказывает критическое влияние на ход процесса, и следует принять меры к его регулированию. Может также оказаться, что по всем параметрам текущее значение частного критерия Хотеллинга меньше критического значения, тогда необходимо оценивать совместное влияние групп параметров. Это, безусловно, является значительным усложнением задачи. Наконец, также необходимо отслеживать наличие неслучайных структур в последовательности значений Tt 2.

Второй подход основан на преобразовании матрицы значений измеряемых показателей с помощью метода главных компонент [3].

Этот метод позволяет выделить скрытые латентные, но объективно существующие факторы – главные компоненты, которые комплексно описывают состояние технологического процесса:

p F i Z i. (6) i 1 При этом измеряемые параметры стандартизованы

–  –  –

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 Требуется найти такие значения коэффициентов i, которые при заданных ограничениях формируют экстремальные значения F 2

–  –  –

Главные компоненты имеют разную степень информативности, поэтому их число при определенных условиях может быть мало. Важно и то, что эти синтезируемые показатели являются некоррелированными, а значит статистически независимыми. Исходя из состава параметров, которые формируют главные компоненты, можно придать содержательный смысл каждому значению F. Таким образом, по каждой главной компоненте можно вести контрольные карты качества. Расчет допустимых значений компонент проводится с учетом нормальности их распределения. Проблема интерпретации изменений главных компонент в случае выхода их значений за пределы допустимой области разрешается на основании их содержательного смысла с учетом рассчитанных матриц парных и частных корреляций компонент и измеряемых параметров.

В заключение приведем пример анализа зависимости параметров качества оптического волокна.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 6,00 5,00

–  –  –

Рис.1. Контролируемые параметры качества готового изделия Графическое представление зависимости (рис.1) указывает на слишком большое количество выбросов, что сигнализирует о нарушениях в процессе производства изделия и необходимости мониторинга и управления параметрами непосредственно в технологическом процессе.

Ниже представлены контрольные карты количественных параметров технологического процесса.

Рис.2. Контрольные карты средних значений и размахов мгновенных выборок На карте средних (рис. 2) выбросов за контрольные границы нет, серий и трендов также нет. Можно отметить только, что среднее значение четырнадцатой выборки попало непосредственно на верхнюю Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 контрольную границу. Вместе с тем, анализ соответствующей карты размахов свидетельствует о наличии неслучайной причины вариации измеряемого параметра. Величина размаха четырнадцатой выборки значительно превосходит контрольное значение. Изделие пока удовлетворяет стандарту, но последующий тренд на карте размахов сигнализирует о том, что технологический процесс становится статистически неуправляемым. Следует провести оперативный анализ технологического процесса и определить причины такого изменения контролируемого параметра. В данном случае можно сказать, что было принято целенаправленное управляющее воздействие для уменьшения размахов и недопущения выхода среднего значения за контрольный уровень.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. ГОСТ З 50779.4096 (ИСО 787093) Статистические методы. Контрольные карты. Общее руководство и введение.

2. Ryan T.P. Statistical methods for quality improvement. – N.Y.:

Wiley, 1989. – 420 p.

3. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: ЮНИТИ, 1998. – 1022 с.

УДК 681.7.068.4+517.962.24

–  –  –

ЧИСЛЕННЫЙ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О

ВЫТЯЖКЕ ПОЛЫХ КВАРЦЕВЫХ ВОЛОКОН

Рассматривается квазиодномерная стационарная краевая задача о вытягивании полой кварцевой трубки, проходящей внутри цилиндрического термоэлемента. Математическая модель основана на асимптотическом приближении уравнений Навье-Стокса. Учитываются три вида теплообмена – теплопроводность, конвекция и теплообмен излучением. Приведено описание алгоритма реализации построенной итерационной конечно-разностной задачи.

В настоящее время имеется большое число научно-технических публикаций, в которых рассмотрены вопросы производства фотоннокристаллических волокон (PCF). В то же время, число работ, в которых детальное исследование процесса вытяжки было проведено с применением математических моделей, обладающих достаточно высокой стеВестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 пенью адекватности реальному процессу, несоизмеримо мало.

Отметим, что фотонно-кристаллические волокна производятся, как правило, одним из двух способов:

1) по технологической схеме «складывай и вытягивай» (stack and draw), когда заготовка сердечника обкладывается несколькими слоями пустотелых трубок с круглым, шестигранным или, в общем случае, произвольным сечением; 2) путем просверливания отверстий в стеклянной заготовке. Полученные одним из отмеченных способов преформы затем нагреваются и подвергаются вытягиванию до приемлемых размеров. На рис. 1 приведены примеры сечений микроструктурированных волокон, полученных по первой схеме.

Рис. 1. Примеры сечений микроструктурированных волокон

Ниже, учитывая результаты работ [1,2], рассматривается квазиодномерная стационарная краевая задача о вытягивании полой кварцевой трубки, проходящей внутри цилиндрического термоэлемента.

Общая схема вытяжки представлена на рис. 2.

Если отношение характерного размера радиуса волокна h к длине рассматриваемого участка вытяжки L много меньше единицы, то из асимптотического анализа уравнений Навье-Стокса (уравнение несжимаемости, уравнения движения) получаем следующую систему [1]:

–  –  –

где k коэффициент теплопроводности кварца; n показатель преломления кварца; nc показатель преломления газа; интегральная степень черноты кварца; p интегральная степень черноВестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 ты печи; коэффициент поглощения поверхности волокна; Tp функция, описывающая распределение температуры на поверхности термоэлемента; a радиус печи; T0 температура газа у поверхности волокна; коэффициент теплообмена.

Доопределим систему (1)(4) краевыми условиями:

–  –  –

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Modeling the Fabrication of Hollow Fibers: Capillary Drawing / A.D. Fitt, K. Furusawa, T.M. Monro, C.P. Please // Journal of Lightwave Technology. 2001. Vol.19, № 12. P.19241931.

2. The Mathematical Modelling of Capillary Drawing for Holey Fibre Manufacture / D. Fitt, K. Furusawa, T. M. Monro, C.P. Please, D.J.

Richardson // Journal of Engineering Mathematics. 2002. Vol. 43, № 24 (300 p.), (33 ref.), P. 201227.

3. Наумчик В.Д. Квазиодномерная модель процесса вытяжки оптических волокон // Энергоперенос в конвективных потоках: сб. науч.

ст. Минск, 1985. С.6476.

УДК 517.977

–  –  –

ПРИБЛИЖЕННАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПРИ ИЗМЕРЕНИЯХ

С ПОГРЕШНОСТЯМИ

Рассматривается задача приближенной идентификации для некоторых классов моделей реальных объектов по косвенным измерениям их входов и выходов с погрешностями.

нормированные пространства m, n и q -мерных вектор-функций, определенных на отрезке [, T ] ; Y, Z и W нормированные пространства. Через x обозначим норму элемента x в том пространстве, которому он принадлежит.

Рассмотрим реальный объект на отрезке времени [, T ], где момент возникновения объекта. Через v (t ) обозначим m мерный вектор параметров, характеризующих внешние воздействия на объект в момент времени t [, T ], v (t ) R m, а через x (t ) n -мерный вектор параметров, характеризующих реакцию объекта на внешние воздействия в момент t, x (t ) R n. Вектор-функции v и x будем называть входом и выходом объекта соответственно. Будем считать, что v V [, T ], а x X [, T ], где V [, T ] и X [, T ] некоторые подмножества из B1m [, T ] и B2 [, T ] соответственно.

n

–  –  –

выхода объекта, где P : V [, ] Y и Q : X [, ] Z непрерывные операторы, [, ] отрезок времени, в течение которого производятся измерения, T, и погрешности измерений, о которых известно лишь то, что 2 и 3, где 2 и 3 заданные малые положительные числа.

Задача идентификации по известным y, z, P, Q, F,,, 1, 2, 3 найти такое, при котором F ( x, v, ) 0 является 1 моделью объекта.

Будем решать эту задачу для -модели вида

–  –  –

1 11 12 13 0

–  –  –

0 0,00092. Пример закончен.

Замечание. Числовые данные в этом примере указаны с точностью до пятого знака после «запятой», то есть их абсолютная погрешность не превосходит 0,000005.

УДК 622.831.31.622.363.2

–  –  –

К ВОПРОСУ О РЕЛАКСАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ В ГОРНОМ

МАССИВЕ В ОКРЕСТНОСТИ ВЫРАБОТКИ

Приведена численная реализация моделей наследственности и старения в задаче об изменении во времени напряженно-деформированного состояния соляного массива вокруг выработки.

Рассмотрим задачу о напряженно-деформированном состоянии (НДС) однородного изотропного массива соляных пород вокруг одиночной протяженной цилиндрической выработки глубокого заложения в условиях гидростатического распределения напряжений в ненарушенном массиве (=1).

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 Введем цилиндрическую систему координат r,, z. Если ось z совместить с продольной осью выработки, сечения породного массива, нормальные к оси z, будут находиться в состоянии обобщенной плоской деформации.

На глубине H компоненты начального поля напряжений (до проведения выработки) следующие:

–  –  –

где средний предельный вес вышележащих пород;

коэффициент Пуассона; – модуль упругости.

Проведение выработки в момент t=0 вызывает возмущение начального поля напряжений: на компоненты напряжений (1) накладываются дополнительные напряжения, вызванные проведением выработки:

–  –  –

Дополнительные напряжения и соответствующие им дополнительные деформации определяются в начальный момент (t=0) упругими свойствами массива и находятся из известного решения задачи Ламе:

<

–  –  –

Здесь через r обозначена радиальная координата, отнесенная к начальному радиусу выработки R0.

Полю полных упругих напряжений соответствует по закону Гука поле полных деформаций:

–  –  –

и соответствующее поле полных смещений массива.

В последующие моменты времени t0 напряженнодеформированное состояние массива пород определяется нелинейными соотношениями теории наследственной ползучести [1]. Образуются новые поля напряжений и деформаций, обусловленные реологическими процессами в массиве.

Поле полных деформаций П определяется полем полных напряжений П и зависит от времени:

П УП (t ) ; П УП (t ) ; П f П f УП (t ). (8)

Такая расчетная схема, однако, как справедливо отмечает И.В.

Родин [2], давала бы неверные оценки для распределения смещений в окрестности горной выработки, поскольку наблюдаемые в породном массиве механические процессы при производстве горных работ связаны с формированием лишь дополнительных деформаций и, соответственно дополнительных смещений.

В том случае, когда деформации и напряжения связаны линейным законом Гука, деформации и смещения, вызванные проведением выработки, могут быть выражены через дополнительные (снимаемые) напряжения. Термин «снимаемые напряжения» (снимаемое поле напряжений) предложен И.В. Родиным и характеризует физический смысл дополнительных напряжений. Действительно, образование выработки означает, что с контура ее сечения как бы снимаются напряжения (нормальные и касательные к контуру), действовавшие в ненарушенном массиве. Таким образом, реальное поле деформаций и, соответственно, смещений будет определяться выражением (5), а не (7).

Тот же результат получится, если из поля полных упругих деформаций УП вычесть начальное поле (0) (2). Такой подход будет справедлив и в случае породного массива, подчиняющегося нелинейному физическому закону деформирования (8) и [1].

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 В математической постановке задачи, излагаемой ниже, под деформациями и напряжением понимаются их полные значения.

Для сформулированной выше задачи имеем уравнения равновесия и совместимости деформаций:

–  –  –

где, oc, ov, bc, bv, nc, nv - параметры сдвиговой и объемной ползучести; сж предел прочности породы на одноосное сжатие при «мгновенном» нагружении. Безразмерный параметр будем считать постоянным и примем равным 0,7 [3].

можно принять интенсивность напряжений или обобщенное напряжение [4]:

i 12 (1 2 )2 (1 3 )2 (2 3 )2, где 1, 2, 3 главные напряжения.

Параметры ядер сдвиговой и объемной ползучести представляют собой параметры формальной аппроксимации кривых сдвиговой и объемной ползучести. Если же параметр принять постоянным, то остальным параметрам можно приписать на феноменологическом уровне некоторый физический смысл.

Соотношения (11) и (12) описывают активную наследственную деформацию соляных пород в случае, когда нелинейность обусловлена исключительно влиянием фактора времени. Для каждого момента времени t 0 будет свой (нелинейный) закон связи между напряжениями и деформациями.

Процессы, соответствующие нагрузке в прямом смысле слова, т.е. уменьшение деформации при уменьшении напряжений, уравнения (11) и (12) не описывают. Заметим, что процесс релаксации не является процессом разгрузки, и делать специальные предположения о законе разгрузки при этом не нужно [5].

Заметим, что уравнение (12) описывает не объемную ползучесть, а трещинообразование в процессе ползучести, сопровождающееся изменением объема. При этом разрушающееся тело ведет себя как наследственно-упругое с объемной наследственностью [5], [1].

В системе пяти уравнений (9)(12) независимы лишь пять неизвестных функций координаты r и времени t: r,, z, r,. ВелиH чина z является известной постоянной, равной z (1 2).

E

В результате достаточно громоздких, но элементарных преобразований система (9)(12) приводится к одному нелинейному интегродифференциальному уравнению относительно r :

–  –  –

где функция F с учетом принятых выражений для ядер интегральных операторов (13)(14) имеет вид:

При этом в выражениях для деформации исключены их начальные значения, соответствующие напряженному состоянию нетронутого массива.

Одним из принципов метода «шагов по времени» является вычисление интегральных сумм (22) в правой части уравнения (23) в момент времени t s 1, т.е. редукция к решению линейного дифференциального уравнения вида

–  –  –

Если принять, что решение уравнения (24) совпадает в первом приближении с решением уравнения (23), получим возможность вычислить новую интегральную сумму (22) и найти второе приближение Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 искомого решения. Таким образом, уравнение (24) заменяется уравнением <

–  –  –

где N – номер итерации в излагаемом методе последовательных приближений. Процесс нахождения решения на S-м шаге продолжается до тех пор, пока различие между последовательными приближениями не будет достаточно мало. Решение при S=1 (t=0) дается формулами (6).

Интегрирование уравнений (24)(25) проводилось численным методом конечных разностей. Область интегрирования по r ограничивалась значением r=R(R1) и дискретизировалась точками ri одномерной сетки с переменным шагом ri (i 1, 2,3,) с целью повышения точности аппроксимации. Это связано с большими градиентами напряжений вблизи внутреннего контура выработки и с быстрым их уменьшением с удалением вглубь массива. Значения r, s представs z лялись на каждом шаге по времени последовательностями дискретных значений в точках ri. При этом их производные по координатам аппроксимировались обычными конечно-разностными соотношениями.

Уравнение (25) в его конечно-разностной форме решалось методом прогонки [7].

В разработанном пакете программ учитывались особенности деформирования соляных пород при различных условиях нагрузки, предусмотренные феноменологической моделью [1].

В расчетной сетке по r в ходе решения выделялись 3 области: область линейного деформирования (i i ) ; область нелинейного деформирования (i i ) ; область предельного деформирования (разрушения), в которой выполняется критерий перехода процесса деформирования в предельную стадию.

В соответствии с законами деформирования [1] в каждой из областей вычислялись интегральные суммы (22) и после решения уравнения (25) для r определялись неизвестные функции, z, r,.

Заметим, что соотношения (16) и (19)(21) приведены для области нелинейного деформирования в запредельной стадии. Границы областей определяются на каждом шаге t s. С течением времени они перемещаются от контура выработки вглубь массива.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 Программа написана на языке ФОРТРАН и состоит из 11 модулей основной программы и 10 подпрограмм SUBROUTINE. Константы модели приняты по данным [1].

На рис. 1 представлены результаты расчетов НДС приконтурных пород по моделям нелинейной и линейной наследственной ползучести.

Для модели линейной наследственной ползучести характерно, что скорость сдвиговых деформаций не зависит от уровня действующих напряжений (в ядре (13) отсутствует экспонента) и не происходит изменения объема во времени, т.е. при t0 ( K v 0). Анализ решения показывает, что в массиве происходит релаксация напряжений, причем релаксация проявляется в основном в первые часы существования выработки. В случае линейной модели незначительная релаксация напряжений (~8%) имеет, по-видимому, «численную природу», т. е. характеризует погрешность решения задачи численным методом. В случае нелинейной наследственной модели релаксация напряжений появляется в значительно большей степени и имеет физическую природу, так как обусловлена разрушением приконтурных пород в процессе ползучести.

Окружные деформации, а соответственно и смещения контура выработки U R0, рассчитанные по нелинейной теории, значительно превосходят линейные, и это различие возрастает с глубиной H.

Следует отметить, что численная реализация модели нелинейной наследственной ползучести требует больших затрат оперативной памяти машины, так как для вычисления интегральных сумм (22) необходимо «запомнить» все значения искомых функций на каждом шаге t s.

В ходе выполнения решения шагами по t накапливается численная погрешность в искомом решении, что приводит на определенном шаге ts * к неустойчивости итерационного процесса. Ситуацию можно улучшить измельчением шагов по времени, при этом, однако, повышаются требования к объему оперативной памяти машины, которая, как известно, всегда ограничена. Обращение же к внешней памяти приводит к резкому (на 34 порядка) увеличению затрат машинного времени.

Результаты, представленные на рис.1, получены при полном использовании оперативной памяти и оптимальном выборе шага по времени t с учетом интенсивности релаксации напряжений и затрат машинного времени. При этом итерационные процессы сходятся лишь до момента t y 860 часов. В дальнейшем наступает численная неустойчивость.

Отметим, что выбор временной сетки t s является, вообще говоря, отдельной проблемой при решении задач наследственности и старения.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 Обратимся к модели старения, отличающейся от описанной тем, что ядра интегральных уравнений состояния принимаются в виде

–  –  –

В схеме описанного решения задачи (15)(17) – в этом случае изменится лишь способ вычисления интегральных сумм, который для соотношения (22) преобразуется к виду

–  –  –

Алгоритмы вычисления интегральных сумм по формулам (22) и (27) в программах для ЭВМ при этом существенно различны. При численной реализации модели старения используется значительно меньший объем оперативной памяти, существенно ниже затраты машинного времени и, как показала практика расчетов, гораздо выше устойчивость решения. Время устойчивого счета t y составляет величину порядка 105 часов. Результаты расчетов модели старения при той же пространственно-временной сетке, что и для модели наследственной вязкоупругости, приведены на рис.1.

Сравнение результатов численной реализации моделей наследственной ползучести и старения в рамках описанной схемы решения осесимметричной задачи в постановке плоской деформации позволяет сделать следующие выводы:

для рассмотренных промежутков времени изменение напряжений вокруг выработки с течением времени для обеих моделей носит один и тот же характер; количественные же различия не превышают 6%;

деформации ползучести и соответствующие им смещения породного контура выработки для линейных моделей практически совпадают, а для нелинейных отличаются не более чем на 3%.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Константинова С.А., Саврасов И.Ф. Напряженно-деформированное состояние и устойчивость соляных пород вокруг выработки с учетом нелинейности их деформирования, разрыхления и возможности перехода деформаций в предельную стадию // ФТПРПИ. – 1983. №2.

– С. 2935.

2. Родин И.В. К вопросу о решении задач гравитационного горного давления горного массива на крепи подземных выработок // Докл.

АН СССР. – 1951. №3. – С. 1015.

3. Ержанов Ж.С. Теория ползучести горных пород и ее приложения. Алма-Ата: Наука, 1964. – 176 с.

4. Гальперин А.Н., Шафаренко Е.М. Реологические расчеты горно-технических сооружений. М.: Недра, 1977. – 201 с.

5. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел.– М.: Наука, 1977. – 358 с.

6. Ержанов Ж.С., Сагинов А.С., Векслер Ю.А. Расчет устойчивости горных выработок, подверженных большим деформациям.– АлмаАта: Наука, 1973. – 176 с.

7. Годунов С.К., Рябенький С.К. Разностные схемы.– М.: Наука, 1977. – 440 с.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 УДК 519.1

–  –  –

РАСКРАСКИ РЕБЕР ПОЛНОГО 5-ВЕРШИННОГО ГРАФА

БЕЗ ПЕТЕЛЬ В работе рассматриваются различные, с точностью до переобозначений вершин и ребер, раскраски ребер полного 5-вершинного графа без петель в различные числа цветов при условии, что в каждой вершине сходятся ребра различного цвета. Приводятся их группы автоморфизмов1.

–  –  –

Непорожнев И.П. Раскраска ребер обыкновенного полного шестивершинного графа в восемь цветов // Сборник рефератов депонированных рукописей. Вып. 17. Сер. Б.

Инв. NB 1962. 1991.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 видно, что эти четыре класса транзитивности соответствуют четырем различным раскраскам ребер 4-графа в числа цветов 3, 4,5, 6.

В дальнейшем будем рассматривать следующие базисные 4графы.

–  –  –

Подгруппа группы автоморфизмов 3-графа, сохраняющая вершину D графа I, совпадает со всей группой. Меняя вершину D с каждой из вершин A, B, C, получаем дополнительные отображения графа I в себя.

Группа автоморфизмов графа I имеет порядок 6 * 4 24 и образующие w ( ABC)(132), s1 ( ABCD )(13).

Подгруппа группы автоморфизмов 3-графа, сохраняющая вершину D графа II, имеет порядок 2 и образующую t. Меняя вершину D с одной из вершин классов транзитивности ( A) и ( B, C ), получаем дополнительные отображения графа II в себя. Группа автоморфизмов графа II имеет порядок 2 * 2 * 2 8 и образующие s2 ( ABDС )(12)(34), t2 ( AB )(CD)(34).

Подгруппа группы автоморфизмов 3-графа, сохраняющая вершину D графа III, имеет порядок 2 и образующую t. Аналогично предыдущему получаем группу автоморфизмов графа III порядка 8 с образующими s3 ( ACBD)(2453), t3 ( AD)( BC )(25).

Подгруппа группы автоморфизмов 3-графа, сохраняющая вершину D графа IV совпадает со всей группой, имеет порядок 24 и образующие s4 ( ABСD)(1463)(25), t4 (СD)(23)(45).

Дальнейшее решение задачи о различных раскрасках ребер полного 5-графа без петель проводится аналогичным образом. Именно, составляются множества пучков ребер, соединяющих вершину E с вершинами A, B, C, D, и разбиваются на классы транзитивности относительно групп автоморфизмов базисных 4-графов. Для произвольно выбранного элемента каждого класса транзитивности находится подгруппа группы автоморфизмов соответствующего 4-графа, сохраняющая выбранный элемент (вершину E) и разбивающая вершины A, B, C, D каждого 4-графа на классы транзитивности вершин. Меняя местами Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 вершину E с одним из элементов каждого класса транзитивности вершин, находим как изоморфизмы, так и автоморфизмы новых базисных 5-графов.

С базисным графом I определяем выбор вершины Е и получаем пятивершинный граф 1 4567.

С базисным графом II выбор вершины Е возможен девятью следующими способами, составляющими три класса транзитивности.

1.43** 2.4*3* 3.*3* 4 4.**34 5.4*** 6.*3** 7.**3* 8.*** 4 9.**** Классы транзитивности: 1(1, 2, 3, 4), 2(5, 6, 7, 8), 3(9).

С базисным графом III выбор вершины Е возможен 47 следующими способами, составляющими 9 классов транзитивности.

1.4352 2.5234 3.423* 4.425* 5.435* 6.523* 7.43*2 8.52*4 9.53*2 10.53*4 11.4*32 12.4*52 13.5*32 14.5*34 15.*234 16.*254 17.*352 18.*354 19.42** 20.43** 21.52** 22.53** 23.4*3* 24.4*5* 25.5*3* 26.4**2 27.5**2 28.5**4 29.*23* 30.*25* 31.*35* 32.*2*4 33.*3*2 34.*3*4 35.**32 36.**34 37.**52 38.**54 39.4*** 40.5*** 41.*2** 42.*3* 43.**3* 44.**5* 46.***4 47.****

–  –  –

где S4 ( AC )( BD)(16)(34). Результирующая подстановка ( AC)(BDE)(16) отображает граф 1 в граф V80. Группа автоморфизмов графа 1 совпадает с группой автоморфизмов графа I, ее образующими служат подстановки w1 ( ABC )(132)(456), S1 ( ABCD)(13)(4567).

Для графа 1 4356 подгруппа группы автоморфизмов графа, сохраняющая вершину E, имеет образующую t2 ( AB)(CD)(34).

Множество вершин графа II относительно этой подгруппы образует два класса транзитивности вершин (A,B), (C,D). В этом случае подстановки (BDE)(1354) и ( BED)(143)(56) отображают, соответственно, граф 1 в графы 13 и V1. Группа автоморфизмов графа 1 имеет порядок 2 и образующую t2 ( AB )(CD )(34)(56).

Для графа 5 4567 подгруппа автоморфизмов графа, сохраняющая вершину Е, имеет порядок 2 и образующую t2 S 2 ( BC )(12)(56). Множество вершин графа относительно подгруппы образует три класса транзитивности вершин (А), (В, С) и (D).

Перестановка вершин D и Е приводит к следующей схеме преобразоIV 5217 IV39.

Подстановка t4 S4 t4 S4 ( AB)(CD)(25)(34) отображает граф IV39 в граф IV54. Результирующая подстановка (СE)(254)(67) отображает граф II5 в граф IV54. Аналогично, перестановка вершин А и Е, с предварительной перестановкой вершины А на место D, приводит к подстановке (АЕ)(1625)(37), отображающей граф II5 в граф IV38. Порядок группы автоморфизмов графа II5 равен 2, образующая t2S2.

Для графа 9 5678 подгруппа группы автоморфизмов, сохраняющая вершину Е, совпадает со всей группой. Множество вершин графа II относительно этой подгруппы образует один класс транзитивности вершин. Перестановка вершин D и Е приводит к подстановке (DE)(3765), отображающей граф II9 в граф IV127. Порядок группы автоморфизмов графа II9 равен 8, образующие S2=(ABDC)(2453) и t2= (АВ)(СD)(34)(78)(56).

Для графа III1 = III + 4352 подгруппа группы автоморфизмов графа III, сохраняющая вершину Е, совпадает со всей группой. Множество вершин графа III относительно этой подгруппы образует один класс транзитивности вершин. Перестановка вершин D и Е приводит к автоморфизму u ( ABCED)(14532) графа III1. Порядок группы автоморфизмов графа III1 равен 20, ее образующие S3 и u.

Для графа 20 4367 множество вершин графа относительно автоморфизма ( AB)(CD)(25)(34)(67) образует два класса транзитивности вершин. Подстановки ( AC)( DE)(14)(356) и ( BE)(164)(57) отображают, соответственно, граф 20 в графы 24 и V47. Порядок группы автоморфизмов графа 20 равен 2.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010

Для графа 23 4637 множество вершин графа относительно автоморфизма ( AС)( BD)(34)(67), сохраняющего вершину E, образует два класса транзитивности вершин. Перестановка вершин D и E приводит к автоморфизму ( AC)( DE)(14)(56) графа 23. Подстановка (CE)(2764) отображает граф 23 в граф V86. Подстановка ( BED)(143)(567) является автоморфизмом графа 23. Порядок группы автоморфизмов графа 23 равен 6.

Для графа 39 подгруппа группы автоморфизмов графа, сохраняющая вершину E(4678), является тождественной. Множество вершин графа относительно этой подгруппы образует четыре класса транзитивности вершин. Перестановка D и E приводит к автоморфизму ( AC)(DE)(14)(37)(56) графа 39. Подстановки (CE)(27864) и ( BE)(1674)(58) соответственно отображают граф 39 в графы 135 и

116. Порядок группы автоморфизмов графа 39 равен 2.

Для графа 47 6789 подстановки (CD)(23)(45)(89) и ( ACBD)(2453)(6879) являются его автоморфизмами, сохраняющими вершину E. Перестановка вершин D и E приводит к подстановке ( ADEBC)(1658)(23974), отображающей граф 47 в граф 153. Порядок группы автоморфизмов графа 47 равен 8.

Для графа V7 V 4631 подстановка S 4 ( ABCD )(1463)(25) является его автоморфизмом, сохраняющим вершину E. Перестановка вершин D и E приводит к подстановке ( BDE)(137)(56), отображающей граф V7 в граф 5. Порядок группы автоморфизмов графа V7 равен 4.

Для графа V163 V 78910 подстановки (CD)(23)(45)(910) и ( ABCD)(1463)(25)(78910), образующие группу порядка 24, являются его автоморфизмами, сохраняющими вершину E. Перестановка вершин D и E приводит к автоморфизму ( DE)(37)(58)(69) графа V163.

Порядок группы автоморфизмов графа V163 равен 48 В результате получено 11 классов эквивалентности раскраски ребер полного пятивершинного графа S 5 без петель в число цветов

10. Соответствующие базисные 5-графы, их группы автоморфизмов и числа раскраски их ребер приведены в таблице ниже.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010

–  –  –

Продолжение работы может быть связанно с перечислением различных минимальных и близких к ним раскрасок ребер полного 6графа без петель.

УДК 519.1

–  –  –

МИНИМАЛЬНЫЕ И БЛИЗКИЕ К МИНИМАЛЬНЫМ

РАСКРАСКИ РЕБЕР ОБЫКНОВЕННОГО ПОЛНОГО 6-ГРАФА

В работе рассматриваются различные, с точностью до переобозначения вершин и ребер, минимальные и близкие к минимальным раскраски ребер полного 6-графа без петель и их группы автоморфизмов.

Минимальные и близкие к минимальным раскраски ребер полного 6-графа без петель будем находить из известных базисных раскрасок ребер полного 5-графа без петель. Из таблицы предыдущей работы видно, что минимальная раскраска ребер обыкновенного полного 5графа в число цветов =5 возможна единственным образом (граф III 1 ).

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 Возможные минимальные раскраски ребер обыкновенного полного 6графа в число цветов =5 могут быть получены продолжением графа

III 1. Пучок ребер, соединяющих шестую вершину F графа S1 с остальными вершинами подграфа III 1, выбирается однозначно:

S1 1 52341. Подгруппа группы автоморфизмов графа 1, со

–  –  –

Для графа 1 выбор пучка ребер, соединяющих шестую вершину F графа S 6 с остальными вершинами графа 1, возможен четырьмя следующими способами, образующими относительно автоморфизма t 2 ( AB)(CD)(34)(56) четыре класса транзитивности: 1,56341, 2,56342, 3,65341, 4,65342.

Непорожнев И.П. Неизоморфные раскраски ребер обыкновенного полного шестивершинного графа в девять цветов // Сборник рефератов депонированных рукописей.

Вып.13. Сер.Б. Инв. № 2228, 1992.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010

–  –  –

4352 52346 S2.

Подстановка ( AD)( BC)( EF )(25) является автоморфизмом графа S2. Перестановка вершин F и D, с предварительной перестановкой

–  –  –

63145 IV7 63145 IV7,4.

Результатом преобразований является подстановка ( ADF )(CE)(153462), отображающая граф S2 в граф IV7,4.

Рассмотрим граф S3 II1 56341. Перестановка вершин E и F

–  –  –

Перестановка вершин B и F, с предвариельной перестановкой вершины B на место E подстановкой b (BED)(143)(56), приводит к подстановке ( ABFECD)(13)(256), отображающей граф S36 в граф IV7,1.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 Рассмотрим граф S4 II1 56342. Относительно автоморфизма t2 ( AB)(CD)(34)(56) имеем три класса транзитивности вершин. Перестановка вершин E и F с последующей подстановкой ( AD)(BC)(56) приводит к автоморфизму ( AD)(BC)(EF )(56) графа S4. Перестановка вер

–  –  –

где t3S32 ( AC )( BD)(34). Результирующая подстановка ( AC)(BE)(DF )(15) является автоморфизмом графа S4.

Рассмотрим граф S5 II1 65341. Относительно автоморфизма t 2

–  –  –

где S3 t3 ( AB)(24)(35). Результирующая подстановка ( AE)(DF )(13)(25) является автоморфизмом графа S56.

Рассмотрим граф S6 II1 65342. Подстановка t 2 является автоморфизмом графа II1, сохраняющим вершину F. Перестановка вершин E и F с последующей подстановкой ( AD)( BC) приводит к автоморфизму ( AD)( BC)( EF ) графа S6. Перестановка вершин D и F, с пред

–  –  –

зультирующая подстановка ( AE)(BC)(DF )(15)(23) является автоморфизмом графа S6.6 В итоге, различные раскраски ребер полного 6-графа без петель в число цветов =6, близкие к минимальной раскраске в пять цветов, Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 возможны пятью способами: графы S2, S36, S4, S56, S6. Группа автоморфизмов графа S2 имеет порядок 8 и образующие ( ACBD)(2453), ( AD)( BC)( EF )(25). Группа автоморфизмов S36 имеет порядок 2 и образующую ( AB)(CD)(34)(56). Группа автоморфизмов S4 имеет порядок 16 и образующие ( AB)(CD)(34)(56), ( AD)(BC)(EF )(56), ( AC)(BE)(DF )(15).

Группа автоморфизмов S56 имеет порядок 16 и образующие ( AB)(CD)(34)(56), ( AD)(BC)(EF )(56), ( AE)(DF )(13)(25). Группа автоморфизмов S6 имеет порядок 16 и образующие ( AB)(CD)(34)(56), ( AD)(BC)(EF ), ( AE)(BC)(DF )(15)(23).

Продолжение работы может быть связано с перечислением различных минимальных и близких к ним раскрасок ребер полного 7графа без петель.

УДК 517.9 (076)

–  –  –

ПОЛУЧЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛОЖНЫХ ХИМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ

Предлагаются некоторые подходы определения экстремальных характеристик кинетики сложных химических реакций с учетом выбранного метода математического моделирования. Для аналитических решений приведены иллюстрации зависимостей концентраций реагирующих веществ ci (t ), i 1, 2,..., n от времени t (при экстремальных значениях входящих физико-химических параметров). Проведен краткий анализ полученных результатов.

При математическом моделировании химической кинетики центральное место занимают вопросы, связанные с исследованием физико-химических параметров, входящих в рассматриваемую динамическую систему. Проведенный нами анализ [1,2] показывает, что для описания процессов химического превращения веществ используют системы дифференциальных уравнений (СДУ), как линейные, так и нелинейные, которые ввиду громоздкости и большого объема вычислений приходится решать с использованием ЭВМ численными метоВестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 дами. Аналитические решения СДУ можно получить лишь для узкого класса прикладных задач.

В рамках данной статьи остановимся на исследованиях физикохимических параметров для полученных аналитических решений. Среди параметров рассмотрим экстремальные характеристики зависимости концентраций реагирующих веществ ci (t ), i 1, 2,..., n от времени t.

Вначале сделаем предварительные замечания. Отметим, что исследования экстремальных характеристик сложных химических реакций прикладных задач химической кинетики проводят в двух направлениях [2]. Первое направление предполагает проведение исследования на экстремум для случая функции одной переменной (когда функции ci (t ) разрешены в явном виде для данной интегральной кривой) во всей области D определения функции f ci (t ), или на локальный экстремум этих функций на некотором рассматриваемом интервале (a,

b)D. Второе направление связано с исследованием функций нескольких переменных на локальный экстремум (или условный экстремум) в некоторой замкнутой области G, ограниченной непрерывным замкнутым контуром (или несколькими непрерывными контурами G1, G2,..., Gm ), а сами функции задаются в неявном виде. Такие исследования достаточно проводить средствами обычного математического анализа, подробно изложенными, например, в работе [4].

Отметим, что второе направление, с точки зрения химической технологии, представляет важный практический интерес, так как задачу исследований этого направления можно условно считать обратной к задаче Коши (определение констант интегрирования систем дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях (ci (t ) c0i (t ), i 1, 2,..., n) ).

Сформулируем ее кратко.

Задача. Каким условиям должны удовлетворять константы интегрирования С1, С2,..., Сm системы дифференциальных уравнений (5), а следовательно, и начальные условия С1 С1 (0), С2 С2 (0),..., Сm Сm (0) (или начальные концентрации реагирующих веществ в реакции), чтобы при их надлежащем выборе получить на выходе максимальное (минимальное) количество продуктов реагирующих веществ.

Следуя работе [4], опишем схему исследования функции ci (t ) на условный (локальный) экстремум. Если функция f (c1 (t ), c2 (t ),..., cn (t )) дифференцируема в точке N (a1, a 2,..., an ), то она может иметь в точке Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 N (a1, a2,..., a n ) внутренний максимум или минимум лишь при условии, когда ее первый дифференциал df обращается в этой точке в нуль, т.е.

когда выполнены следующие условия:

–  –  –

где m параметров f называются множителями Лагранжа; n+m неизвестных ci (t ) ai и f находят из n+m уравнений (3) и (4).

Проиллюстрируем описанный выше метод нахождения экстремумов функции (экстремумов концентраций веществ ci (t ), i 1, 2,..., n химических реакций) на конкретных примерах работы [2].

Пример 1. Найти концентрации c1, c2, c3 реагирующих веществ для реакций типа 1 [2] при постоянной температуре Т Т о const и приведенных скоростях реакций k1 k2 k3 1 для заданных начальных условий: у1 (0) ; у2 (0) ; у3 (0).

Исследовать полученные кривые на экстремум.

Решение.

В работе [2] система нелинейных дифференциальных уравнений имела следующий канонический вид:

–  –  –

Согласно работе [2] система (5) вполне разрешима, т. к. для нее выполнены условия теорем Осгуда и Каратеодори.

В системе (5) приняты следующие обозначения:

у1 ( х) c1 (t ), у2 ( x) c2 (t ), у3 ( x) c3 (t ), t x.

Система (5) решена методом интегрируемых комбинаций [3].

Ее решения получены (для соответствующих начальных условий) в виде:

–  –  –

Исследуем частные решения (6) для системы (5) на экстремум средствами математического анализа [4].

Для этого составим необходимые условия (1) для (6):

–  –  –

Рис.1. Качественный график зависимостей у1 ( х ), у2 ( х ) и у3 ( х) от х t Сделаем одно важное замечание по рис.1. Исходя из физического смысла задачи (с учетом ограничений, накладываемых на параметры 0 c1 ( х), c2 ( х), c3 ( х) 1 и t x 0 ) [3], кривую у3 ( х ) c3 ( х ) следует скорректировать путем изменения начальных условий рассматриваемой задачи (на графике она изображена пунктирной линией у3 ( х) ).

Пример 2. Используя результаты примера 1, исследовать на условный экстремум функцию, которая является произвольной линейной комбинацией ее решений вида (6).

Решение. Применим для исследований метод множителей Лагранжа [4]. Составим функцию Для заданной функции (10) составим условия (1) и получим систему уравнений для определения неизвестных x, C1, C2, C3,.

В нашем случае она имеет следующий вид:

–  –  –

Система (11) является нелинейной и, кроме того, трансцендентной. Аналитические решения ее найти чрезвычайно сложно. Для ее исследований использовали численный метод НьютонаРафсона решения систем нелинейных алгебраических уравнений. При шаге поиска решения h=0,01 за 15 итераций был получен вектор значений ее решений U 18,539; 1; 0; 0; 3,5.

Для исследований (в рамках рассматриваемой статьи) ограничимся некоторыми частными случаями системы (11).

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010

–  –  –

Индексы дифференцирования x, у в (12) совпадают с определяемыми константами C1, C2, C3.

Для случая (1) рассматриваемого примера определитель имеет вид формулы (12) и равен

–  –  –

Таким образом, из (12а) и (12б) следует, что точка p1 1,138; 0,543 являлась точкой условного максимума функции Ф, а точка p2 1, 003; 0, 0815 – точкой условного минимума.

В заключение дадим геометрическую интерпретацию примера 2.

Функция L C1, C2, построенная для случая 1 в виде (10а), задает в пространственной системе координат некоторую поверхность в скалярном поле, один из уровней которой определяется фиксированным значением 1 const. Значение x 2 С определяет секущую плоскость к данной поверхности, в сечении которой получается некоторая кривая, описываемая уравнением в явном виде C2 C1. Аналогичные рассуждения справедливы и для случая 2 рассматриваемого примера. На рис. 2 приведены графики сечений C2 C1 и C3 C1, там же изображены точки условных экстремумов p1 и p2, найденные для частных случаев. Совокупность всех поверхностей уровней при произвольных значениях задает рельеф данных функций в некотором скалярном поле.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Федосеев А.М., Кетиков В.Н. Аналитические и численные методы решения дифференциальных уравнений, описывающих кинетику химических реакций: учеб. пособие; Перм. гос. техн. ун-т. – Пермь, 2004. – 48 с.

2. Федосеев А.М., Кетиков В.Н. Функции комплексного переменного и их приложения: учеб. пособие. Ч.2. Пермь, 2007. – 145 с.

3. Кетиков В.Н., Федосеев В.М. О разрешимости некоторых нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений кинетики сложных химических реакций // Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика. – 2005. – С.3843.

4. Корн Г. Справочник по математике.– М.: Наука, 1978. – 831 с.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 УДК 658.5.012+651

–  –  –

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ОПТИМАЛЬНОМ ВЫБОРЕ

РИСКОВЫХ СИТУАЦИЙ В СТРАХОВАНИИ

В работе рассмотрены решения задач об оптимальном выборе рисковых ситуаций в страховании при оценке минимальной величины собственных средств, оптимального страхового взноса с учетом кривой спроса, максимальной полезности без явного учета вероятности разорения в случае нормальной модели суммарного риска для однородной группы клиентов. Показано, что распределение суммарного риска для однородной группы параметрически зависит от коэффициента нагрузки, имеющего смысл спроса на страховой продукт.

Рассмотрим задачу нахождения минимальной величины собственных средств. Представим математическую постановку и решение задачи.

Пусть на основе предыдущего опыта страховщик полагает, что объем портфеля однотипных договоров (т.е. их количество), которые удастся заключить на предстоящий страховой период, распределен по закону Пуассона с параметром n. Среднее и дисперсия ущербов клиентов равны, соответственно, M 1 и 1, задан коэффициент нагрузки страховщика. Известно, что значение n достаточно высоко и достигает 100. Найти явную формулу минимального объема собственных средств S*, гарантирующего заданную вероятность неразорения, как функцию от n, и определить ее интервалы монотонности.

Численность группы клиентов рассматривается как случайная величина P(n). Предполагается, что X i независимы от. Ограничение на вероятность неразорения в данном случае означает P S D X P S (1 ) M X.

Предположение о случайности числа клиентов приводит к тому, что суммарный взнос D d d является случайной величиной.

i 1 Поэтому для расчета вероятности неразорения P{S D X } = n 3906, 4n 15625.

По формуле (3.1) находим, что S* 781,56.

Построим график зависимости минимального объема собственных средств от численности группы (рис. 1).

–  –  –

Из формулы (1) и рис.1 видно, что мелкая компания, у которой число клиентов n n', должна преодолеть своеобразный барьер в процессе своего роста: при приближении к n' величина S* ( n) растет и рисковая ситуация в этом смысле ухудшается до тех пор, пока n не станет равным n'. На интервале же [n',) при увеличении n минимальный собственный резерв S* ( n) довольно быстро убывает (со скоростью (1 2 M 12 ) x / (2 n ) M 1 ). Таким образом, можно сказать, 2 N что в классе относительно крупных компаний (n n') страховщик, имеющий более многочисленную группу клиентов, способен обойтись малыми резервами, поддерживая основную часть страхового покрытия за счет взносов клиентов, в то время как его конкурент обязан создать больший резерв собственных средств.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 Рассмотрим задачу оптимизации страхового взноса с учетом кривой спроса. Представим математическую постановку с решением задачи.

Рассмотрим задачу оптимизации страхового взноса d в формулировке типа I, в которой предполагается, что страховщику известна детерминированная количественная зависимость численности группы клиентов n n1 (d ) от страхового взноса (цены полиса) d. Предполагается, что группа клиентов однородна. В качестве минимизируемого критерия выбрана величина собственных средств компании S в страховом покрытии. Известно распределение риска (используется норn(d ) мальная модель суммарного риска) X d X i, параметрически завиi 1 сящее от n(d ), где n() — заданная функция спроса от страхового взноса d, который можно менять в заданном диапазоне d [d, d ].

X d распределен нормально с параметрами n(d ) M 1 и n(d )1. Требует

–  –  –

Обозначим через x квантиль порядка распределения F(х), т.е.

по определению минимальный обобщенный корень уравнения F(х) = или x inf x : F ( x 0), F ( x). Тогда из (3.2.1) с учетом заданного ограничения [d / M1 1, d / M1 1] получим неравенства, которые определяют искомую область (S, ) R2 : S (1 )M x, d / M1 1 d / M1 1.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010

Из первого неравенства S (1 )M x сразу же следует выражение для минимального объема капитала при фиксированном :

–  –  –

и найденная точка минимума * вместе с S* S* (* ) дает искомые параметры страхования.

Отметим, что в силу закона спроса функция n() убывает по, тогда x () и среднее M () — неубывающие функции, и минимум их разности в (4) может достигаться как в граничной, так и во внутренней точке допустимого интервала.

Учитывая, что среднее и стандартное отклонение суммарного риска равны, соответственно, M () n() M 1, () n()1, и, переходя в задаче (4) к -квантилю стандартного нормального распределения x ( x () M ()) / (), получим, что целевая функция в (4) N имеет вид

–  –  –

Рассмотрим задачу оптимизации нагрузки в формулировке типа II без явного учета вероятности разорения, считая критерием оптимальности экспоненциальную полезность остаточного капитала S D X, где размер собственного капитала S предполагается фиксированным, суммарный взнос есть (детерминированная) величина, равная D (1 ) M () :

J () E exp c[ S (1 ) M () X ()] max, [, ]. (6)

Здесь с 0 заданный показатель неприятия риска, а является управляемым параметром на множестве A [, ]. Распределение суммарного риска рассматриваемой однородной группы клиентов X параметрически зависит от коэффициента нагрузки через n() положительный параметр, имеющий смысл спроса на страховой продукт, который линейно входит в выражение для среднего риска M ( ) E X n ( ) M 1.

Рассмотрим решение оптимизационной задачи (6) для нормальной модели суммарного риска однородной группы клиентов, предполагая, что кривая спроса экспоненциальна n() A exp(r), где A, r 0.

Определим численные значения оптимального коэффициента нагрузки этой задачи, если размер страховой выплаты детерминирован и равен m 10, вероятность страхового случая p 0,01, мера осторожВестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 ности страховщика c 0,5, величина собственного капитала S 100, а кривая спроса n() 300e, [0.1, 2].

Пусть для каждого [, ] суммарный риск группы клиентов X распределен нормально со средним M () n() M 1 и дисперсией 2 n()1. Требуется найти коэффициенты нагрузки, дающие мак

–  –  –

Таким образом, исходная задача максимизации функции J () сводится к минимизации функции I () n() N n() на [, ], где N c1 / (2M1 ). В случае экспоненциальной функции спроса n() A exp(r) оптимальная точка * определяется формулами.

Заметим, что параметр положителен, так как из неравенства Йенсена для строго вогнутой функции ln y имеем ln E exp(cX 1 ) EcX 1 cM 1 0.

При дифференцируемой n() производная I () равна

–  –  –

Следует, что величина N линейно возрастает с ростом с показателя осторожности страховщика, и из (8), (9) следует, что для достаВестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 точно больших значений с необходимо получим, что оптимальный * совпадает с верхней границей допустимых коэффициентов нагрузки. Это объясняется тем, что боязнь больших значений риска X заставляет страховщика уменьшать его среднее n() M 1, т.е. в итоге уменьшать число клиентов, несмотря на потери в сумме собираемых взносов D (1 )n() M 1.

Для наглядности приведем фрагмент графика на промежутке [1,9;2] (рис. 3).

Рис. 3. Стационарная точка

В заключение можно сказать, что оптимум в решаемой задаче довольно чувствителен к выбору модели. При малых значениях c результаты практически совпадают, а при малой вероятности страхового случая p это различие для нормальной модели весьма ощутимо.

При разумном поведении человек не ставит задачу извлечь выгоду из неблагоприятного случая. Исключительно к подобного рода событиям апеллирует страхование и, таким образом, попадает, на первый взгляд, в двусмысленное положение, т.е. бизнес, который берется за решение проблем такого рода, как бы ставит себя в рамки этически не дозволенные. С другой стороны, предусмотрительность определяет поведение живого существа, особенно человека, в каждый момент его жизнедеятельности. Надежность экономической деятельности подкрепляется страхованием именно потому, что имеет законные основания защиты. Таким образом, страхование становится необходимым элементом, сопутствующим экономической деятельности не только из-за Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 страха потерять жизнь, богатство, но и в целях их сохранения (приумножения).

Неопределенность и способы принятия решений – главные задачи страховой деятельности в процессе возмещения ущерба. Таким образом, методы страховой защиты коммерческого страхования представляют интерес для всех видов деятельности, претендующих на выживание, так как оно принимает на себя риски вовсе не из альтруистического интереса и, как любой вид деятельности, предрасположено к риску. Стало быть, для того, чтобы принять на себя риск, необходимо оценить его тяжесть и способность обеспечения обязательств по его удовлетворению.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Альбрехт Э.Г. Методы оптимизации. Введение в теорию решения экстремальных задач. М.: Наука, 1995. 150 с.

2. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. – М.: Наука, 1980. 100 с.

3. Голубин А.Ю. Математические модели в теории страхования:

построение и оптимизация – М.: Анкил, 2003. 160 с.

4. Королев В.Ю., Бенинг В.Е., Шоргин С.Я. Математические основы теории риска: учеб.пособие.М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. – 544 с.

5. Новоселов А.А. Математическое моделирование финансовых рисков: Теория измерения. – Новосибирск: Наука, 2001. – 102 с.

6. Хованов Н.В. Математические модели риска и неопределенности. – СПб.: Изд-во–С.-Петербургского ун-та, 1998. – 304 с.

7. Шахов В.В., Медведев В.Г., Миллерман А.С. Теория и управление рисками в страховании. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 224 с.: ил.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 УДК 658.5.012+651

–  –  –

МЕТОД СЦЕНАРИЕВ В ОЦЕНКЕ ИНВЕСТИЦИОННЫХ

ПРОЕКТОВ В работе приведен пример решения задачи оценки инвестиционного проекта на основе метода сценариев. Составлен алгоритм, использующий сценарный подход совместно с анализом чувствительности факторов проекта, влияющих на его эффективность, минимаксным подходом из теории игр и нечетких множеств.

Инвестиционный проект — экономический или социальный проект, основывающийся на инвестициях; обоснование экономической целесообразности, объема и сроков осуществления прямых инвестиций в определенный объект, включающее проектно-сметную документацию, разработанную в соответствии с действующими стандартами.

При разработке инвестиционного проекта возникает множество сложностей, связанных в основном с тем, что используемые при оценке денежные потоки относятся к будущим периодам и имеют прогнозный характер. Неопределенность прогнозируемых результатов приводит к возникновению риска того, что цели, поставленные в проекте, могут быть не достигнуты полностью или частично.

В настоящее время существует большое число различных определений самих понятий «риск» и «неопределенность». Риск имеет место тогда, когда некоторое действие может привести к нескольким взаимоисключающим исходам с известным распределением их вероятностей. Если же такое распределение неизвестно, то соответствующая ситуация рассматривается как неопределенность.

При работе с инвестиционным проектом перед инвестором стоит множество задач, в том числе и оценка риска проекта. В данном направлении реализовано множество методов и подходов как качественных, так и количественных. В настоящее время почти ни одни из алгоритмов оценки риска инвестиционного проекта не используются самостоятельно. Реальность такова, что наиболее полно оценить риск инвестиций возможно только при комплексном подходе, а комбинируя несколько известных методов в один алгоритм, можно максимально точно оценить риск проекта.

Метод сценариев в классическом представлении предполагает описание опытными экспертами множества возможных условий реали

<

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010

зации проекта и отвечающих этим условиям затрат, результатов и показателей эффективности.

Наиболее часто строятся, как минимум, три сценария: оптимистический, пессимистический и наиболее вероятный (пессимистический или средний).

Следующий этап реализации метода сценариев состоит в преобразовании исходной информации о факторах неопределенности в информацию о вероятностях отдельных условий реализации и соответствующих показателях эффективности или об интервалах их изменения.

На основе имеющихся данных определяются показатели экономической эффективности проекта.

Основным недостатком реализации сценарного подхода является рассмотрение только нескольких возможных исходов по проекту. К тому же при определении вероятности того или иного сценария приходится делать предположения, что ставит под вопрос корректность всей оценки.

Тем не менее применение этого метода в комплексе с другими (анализ чувствительности, нечеткие множества) дает возможность минимизировать влияние человеческого фактора на результат.

Опишем один из возможных алгоритмов, состоящий из следующих этапов:

1. Установить ключевые факторы проекта, оказывающие значительное влияние на показатель эффективности NPV. Для этого провести анализ чувствительности по всем факторам в заданном интервале и выбрать те из них, изменения которых приводят к наибольшим изменениям NPV (табл.1).

Анализ начинается с установления базового значения результирующего показателя (в нашем случае NPV) при фиксированных значениях параметров, влияющих на результат оценки проекта. Затем рассчитывается процентное изменение результата (NPV) при изменении одного из условий функционирования (другие факторы предполагаются неизменными). В качестве показателя чувствительности выберем дисперсию. 2 n Var ( NPVi ) = (NPVti NPVi ) n.

Таблица 1 t=1

–  –  –

Ключевыми факторами будут являться те, к изменениям которых наиболее чувствительна эффективность проекта ( Fs ).

2. Рассмотреть возможные ситуации, обусловленные колебаниями этих факторов. Для этого можно построить «дерево сценариев»

(рис.1)

–  –  –

где NPVi – интегральный эффект при условии реализации i-го сценария, pi – вероятность этого сценария.

При этом риск неэффективности проекта ( Py ) оценивается как суммарная вероятность тех сценариев ( k ), при которых ожидаемая эффективность проекта ( NPV ) становится отрицательной:

Py = pk.

Вероятностное описание условий реализации проекта оправдано и применимо, когда эффективность проекта обусловлена, прежде всего, неопределенностью природно-климатических условий или процессов эксплуатации и износа основных средств.

В тех случаях, когда ничего не известно о вероятности отдельных сценариев (интервальная неопределенность) или реализация любого из них вообще не является случайным событием и не может быть охарактеризована в терминах теории вероятности, используется минимаксный подход, в частности так называемый критерий оптимизмапессимизма, предложенный Л.

Гурвицем:

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 NPVож NPVmax (1 ) NPVmin, где NPVmax, NPVmin – наибольший и наименьший интегральный эффект по рассмотренным сценариям; 0 1 специальный норматив для учета неопределенности эффекта, отражающий систему предпочтений соответствующего хозяйственного субъекта в условиях неопределенности (коэффициент оптимизма-пессимизма).

При = 0 коэффициент становится критерием Вальда (MAXIMIN) – минимизирует риск инвестора, однако при его использовании многие инвестиционные проекты, являющиеся высокоэффективными, будут необоснованно отвергнуты. Этот метод искусственно занижает эффективность инвестиций, поэтому его использование целесообразно, когда речь идет о необходимости достижения гарантированного результата.

При = 1 коэффициент становится критерием крайнего оптимизма, ориентирующийся на наилучший из возможных сценариев, хотя вероятность его реализации обычно не очень высока.

В условиях неопределенности широко распространенными стали методы, базирующиеся на теории нечетких множеств.

К методам, базирующимся на теории нечетких множеств, можно, в качестве частного случая, отнести давно и широко известный интервальный метод. Данный метод соответствует ситуациям, когда достаточно точно известны лишь границы значений анализируемого параметра, в пределах которых он может изменяться, но при этом отсутствует какая-либо количественная или качественная информация о возможностях или вероятностях реализации различных его значений внутри заданного интервала. В соответствии с данным методом входные переменные инвестиционного проекта задаются в виде интервалов, функции принадлежности которых являются классическими характеристическими функциями множества, поэтому далее возможно прямое применение правил нечеткой математики для получения результирующего показателя эффективности проекта в интервальном виде. В интервальном методе за уровень (степень) риска предлагается принимать размер максимального ущерба, приходящегося на единицу неопределенности, т. е.

NPVож NPVmin p=, NPVmax NPVmin Сценарий 1. Колебания объема поступлений от продаж.

Ситуация 1. Объем поступлений от продаж увеличился на 20 %.

Ситуация 2. Объем поступлений от продаж остался неизменным.

Ситуация 3. Объем поступлений от продаж уменьшился на 20 %.

Критерий Вальда: NPVож = –2237,77.

Критерий крайнего оптимизма: NPVож =6553,09.

Степень риска неэффективности инвестиций V&M=0,079.

Сценарий 2. Колебания затрат на материалы.

Ситуация 1. Затраты на материалы увеличиваются на 20 %.

Ситуация 2. Затраты на материалы остаются неизменными.

Ситуация 3. Затраты на материалы уменьшаются на 20 %.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 Критерий Вальда: NPVож = 926,94.

Критерий крайнего оптимизма: NPVож = 3 388,38.

Сценарий 3. Колебания общих затрат.

Ситуация 1. Общие затраты увеличиваются на 20%.

Ситуация 2. Общие затраты остаются неизменными.

Ситуация 3. Общие затраты уменьшатся на 20%.

Критерий Вальда: NPVож = 742,33.

Критерий крайнего оптимизма: NPVож = 3 572,99.

В результате исследования можно сделать вывод, что использование метода сценариев для оценки инвестиционных проектов дает возможность рассматривать проект при различных вариантах его реализации.

Рассматривая построенный алгоритм на наглядном примере, можно заключить, что метод сценариев дает весьма пессимистичные оценки для инвестиционного проекта. Стоит отметить, что метод сценариев стоит использовать, когда количество вариантов конечно, а значения факторов дискретны.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Недосекин А., Воронов К. Новый показатель оценки риска инвестиций //Управление риском. – 2000. – №1. С.35.

2. Орлова Е.Р. Инвестиции: курс лекций – М.: Омега-Л, 2003. – 192 с.

3. Попова А.Ю. Оценка риска инвестиционного проекта. – URL:

ej.kubagro.ru/2006/03/07/.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 УДК 519.654:336.74

–  –  –

ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ «ЗАРПЛАТНОГО» (КАРТОЧНОГО) ПРОЕКТА КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА

Рассматривается методика оценки «зарплатного» проекта банка, реализуемого для коммерческой организации. Для реализации методики проведено исследование изменения числа штатных сотрудников с течением времени для ряда организаций и выполнена аппроксимация полученных данных с использованием метода наименьших квадратов. Приведены расчеты с применением стандартной и предложенной методик.

В европейских странах число банковских платежных карт быстро растет. Наиболее высокая интенсивность их использования – в Дании и Финляндии: на платежную карту в среднем приходится не менее одной транзакции в неделю. На третьем месте по этому показателю – Франция, которая по общему числу транзакций занимает первое место в Европе. В Италии совершается в среднем около двух транзакций на карту в год. В пятерке европейских стран-лидеров использования банкоматов (Германия, Испания, Франция, Великобритания и Италия) установлено более 76 % от общего числа банкоматов в Европе. По плотности банкоматов на душу населения Испания занимает первое место в Европе.

Уже в 1997 г. на миллион жителей в этой стране приходилось 643 банкомата [1]. Страной с максимальным числом банкоматов на каждый миллион жителей (более 1 000) остается Япония [2].

Экспертами отмечается положительная динамика роста числа операций, совершенных в России с использованием платежных карт.

Согласно данным Центрального Банка РФ [1] число операций физических лиц по банковским картам в четвертом квартале 2007 г. составило 465,9 млн, что на 34,3 % больше, чем за аналогичный период 2006 г.

Всего в 2007 г. на территории России было совершено более 1,6 млрд операций (рост по сравнению с 2006 г. составил около 36 %) на общую сумму более 6 трлн рублей. Показатель рыночного проникновения по России в 2007 г. составил примерно 0,6 карты на человека, по сравнению с 0,11 в 2004 г. [3, 4]. Специфика российского карточного рынка заключается в том, что большая часть карточного бизнеса (до 90 %) реализуется через зарплатные проекты. Средний российский держаВестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 тель совершает одну-две транзакции в месяц, и этот показатель остается практически неизменным с 2000 г. [2].

Экономические интересы банка при реализации зарплатного проекта заключаются в получении прибыли. Эта цель может реализовываться напрямую, через получение комиссий с предприятия за выполнение банковских операций, и опосредованно, через использование остатков на счетах держателей карт для предоставления этих ресурсов в различных сегментах финансового рынка. Кроме этого, банкам зарплатные проекты интересны существенным удешевлением выпуска карт, отсутствием необходимости тратить средства на рекламу, маркетинг, быстрым созданием обширной клиентской базы физических лиц, с которыми в дальнейшем можно эффективно работать, предлагая широкий спектр банковских розничных продуктов: ипотеку, автомобильные и потребительские кредиты, депозиты и пр.

Экономическая заинтересованность предприятия в использовании карточных технологий понятна, поскольку:

– минимизируются расходы, связанные с организацией выплаты заработной платы (получение и хранение наличности, охрана денежных средств, пересчет и выдача наличных средств), поскольку эти функции берет на себя банк;

– сокращается бумажный документооборот и трудозатраты бухгалтерии, повышается уровень конфиденциальности сведений о размере выплачиваемой заработной платы;

– исключается процедура депонирования и повторного получения в банке денежных средств, своевременно не востребованных сотрудниками;

– исключаются риски, связанные с возможными недостачами, хищениями, ограблениями, и прочие проблемы, обусловленные работой персонала предприятия с денежной наличностью;

– сокращаются потери рабочего времени на получение зарплаты сотрудниками предприятия.

Экономические интересы сотрудников предприятия – держателей банковских карт состоят в том, что карта должна быть, по крайней мере, не менее полезна и удобна, чем использование наличных денежных средств, а также предоставлять дополнительные преимущества: льготное кредитование, дисконтные и бонусные программы.

Реализация зарплатного проекта предполагает осуществление первоначальных вложений, ежегодные затраты, получение прибыли.

Как правило, в первое время после заключения зарплатного договора расходы банка превышают доходы, в связи с чем актуальным станогде Ri – единовременные затраты банка (покупка и доставка банкомата, инсталляция программного обеспечения для банкомата и прочие расходы; n1 – число статей единовременных затрат); Ri(t) – постоянные расходы банка (лицензия за программное обеспечение, инкассация и расходные материалы для банкоматов, дополнительные карты для сотрудников предприятия, авторизация операций, страховой депозит, мониторинг, гарантийное обслуживание оборудования; n2 – число статей постоянных расходов); Di(t) – доходы банка (комиссия, годовое обслуживание карт, использование привлеченных ресурсов; n3 – число статей дохода).

Необходимо найти промежуток времени t*, по истечении которого убытки от реализации зарплатного проекта сменятся прибылью, т. е.

решить уравнение P(t * ) 0 (2) или, с учетом выражения (1), В существующих методиках [4] численность сотрудников предприятия полагается неизменной. Между тем для банка прием на предприятие новых сотрудников – это дополнительный доход за счет выпуска новых карт, позволяющий ускорить процесс окупаемости зарплатного проекта. С другой стороны, увольнение сотрудников сопровождается утратой дохода за счет перевыпуска карт по истечении срока их действия, сокращением остатков на счетах банковских карт.

Неизменной полагается величина ФОТ и, соответственно, комиссионный доход банка. Однако, следует учитывать, что ФОТ предприятия может изменяться, поскольку кроме сумм, начисленных по тарифным ставкам или должностным окладам, в расходы на оплату труда работникам могут включаться:

премии за производственные результаты, надбавки за профессиональное мастерство, высокие достижения в труде и иные подобные показатели;

начисления стимулирующего характера за совмещение профессий, расширение зон обслуживания;

денежные компенсации за неиспользованный отпуск;

единовременные вознаграждения за выслугу лет, за непрерывный стаж работы и прочие выплаты.

При увеличении размера оплаты труда доходы банка от реализации проекта растут, так как увеличиваются комиссионные сборы за реализацию проекта и размеры остатков денежных средств на счетах держателей. Учет указанных особенностей позволит не только уточнять первоначальные расходы, но и корректировать их в соответствии с изменениями данных в ходе реализации зарплатного договора.

Для решения рассматриваемой задачи представляется необходимым изучение динамики изменения штатной численности сотрудников коммерческих организаций, анализу которой в настоящее время уделяется недостаточное внимание [6, 7]. В настоящей работе для установления количественной зависимости от времени числа сотрудников, принятых на работу в коммерческую организацию, использованы данные, полученные в результате опроса работников кадровых служб трех коммерческих организаций (рис.1). Рассматривалось изменение с течением времени числа тех сотрудников, которые состояли в штате организации на дату, принятую за начало отсчета (t = 0).

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010

–  –  –

времени. Полученная аппроксимирующая функция представлена на рис. 2.

N Рис. 2. Построение экспоненциальной аппроксимации;

–, о, – данные о количестве сотрудников, – аппроксимирующая функция

– Для второго варианта аппроксимации среднеквадратичное отклонение составляет F 7231, 2.

Сравнение полученных значений среднеквадратических отклонений F для двух вариантов аппроксимации рассматриваемой зависимости показывает, что использование полинома в лучшей степени аппроксимирует экспериментальные данные. Однако недостатком этого варианта является то, что при значениях времени t 40 месяцев количество сотрудников становится отрицательным, т. е. функция теряет смысл. По этой причине целесообразно использовать экспоненциальную аппроксимацию, которая лишена отмеченного недостатка.

Для получения количественной оценки окупаемости зарплатного проекта по известной стандартной методике [5] принимается, что постоянная штатная численность сотрудников предприятия составляет 200 человек, размер средней месячной заработной платы составляет 15 тыс. руб.

Дополнительные исходные данные:

–  –  –

По данным табл. 2 и рис. 3 можно сделать вывод, что срок окупаемости зарплатного проекта составляет, ориентировочно, 2,7 г.

Для оценки эффективности учета изменения числа сотрудников организации, заключившей «зарплатный» договор с банком, принимается, что на предприятии к моменту заключения договора работает, как и в предыдущем случае, 200 сотрудников. Предполагается, что к началу третьего года число сотрудников должно увеличиться до 210, к началу четвертого – до 225, к началу пятого года – до 250 человек.

Рассматривается промежуток времени в 5 лет, или 60 месяцев.

Строится зависимость числа сотрудников от времени для первого года в виде Y (t ) 200e 0,017 t.

Согласно этой зависимости к концу первого года число сотрудников сократится до 163, то есть необходимо принять 37 человек, чтобы выровнять их число до требуемых 200 человек. Для описания количества сотрудников в течение второго года следует использовать соотношение Y (t ) 200e 0,017 t 37e 0,017( t 12), согласно которому к концу второго года общее число работников вновь сократится до 163.

–  –  –

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 Следовательно, необходимо принять 47 человек, и общее число сотрудников в течение третьего года определяется зависимостью Y (t ) 200e 0,017 t 37e 0,017(t 12) 47e0,017(t 24).

К концу третьего года общее число работников уменьшится до 171, и становится необходимым принять 54 новых сотрудника. Это означает, что в течение четвертого года число сотрудников организации от времени описывается выражением Y (t ) 200e 0,017 t 37e 0,017( t 12) 47e 0,017( t 24) 54e 0,017( t 36).

К концу четвертого года общее число работников сократится до 183, т. е.

нужно принять 67 человек, что приводит к формуле для пятого года:

Y (t ) 200e 0,017 t 37e 0,017(t 12) 47e0,017(t 24) 54e0,017(t 36) 67e0,017(t 48).

Изменение зависимости числа сотрудников в течение пяти лет показано на рис. 4.

Для выполнения оценки эффективности «зарплатного» договора используются данные о комиссиях и расходах банка, приведенные выше.

Расчет окупаемости «зарплатного» проекта по модифицированной методике выполняется в следующей последовательности:

–  –  –

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010

4. Затраты третьего года (изготовление карт в количестве 210 штук, лицензия на программное 31500 + 9000 + 6000 + 60000 + обеспечение, расходные материалы +65600 + 33000 = 205100 для банкомата, затраты на инкассацию, плата за авторизацию, послегарантийное обслуживание банкомата).

4. Затраты четвертого года (изготовление карт в количестве 225 штук, лицензия на программное 33750 + 9000 + 6000 + 60000 + обеспечение, расходные материалы +70400 + 33000 = 212115 для банкомата, затраты на инкассацию, плата за авторизацию, послегарантийное обслуживание банкомата).

5. Затраты пятого года (изготовление карт в количестве 250 штук, лицензия на программное обеспече- 37500 + 9000 + 6000 + 60000 + ние, расходные материалы для бан- +78200 + 33000 = 223700 комата, затраты на инкассацию, плата за авторизацию, послегарантийное обслуживание банкомата).

6. Доходы первого года (ко- 263040 + 25000 + 27400 = миссия банка, годовое обслуживание =315440 карт, привлеченные ресурсы).

7. Доходы второго года (ко- 263040 + 25000 + 27400 = миссия банка, годовое обслуживание 315440 карт, привлеченные ресурсы).

8. Доходы третьего года (ко- 276000 + 26250 + 28750 = миссия банка, годовое обслуживание =331000 карт, привлеченные ресурсы).

9. Доходы четвертого года 296200 + 28125 + 30850 = (комиссия банка, годовое обслужи- =355175 вание карт, привлеченные ресурсы).

10. Доходы пятого года (комиссия банка, годовое обслуживание =394960 карт, привлеченные ресурсы).

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 Руб 0 1 2 3 4 5 t Рис. 5. Зависимость от времени t доходов и расходов банка;

– – доходы банка, – – расходы банка По данным табл. 3 и рис. 5 можно сделать вывод, что срок окупаемости зарплатного проекта составляет, ориентировочно, 3,2 г.

Выводы. Поставлена задача расчета окупаемости «зарплатного»

проекта коммерческого банка. Разработана методика учета изменений числа сотрудников коммерческой организации. Исследована зависимость от времени числа сотрудников коммерческих организаций. С использованием метода наименьших квадратов построены аппроксимации данных о числе сотрудников организаций с использованием полинома и экспоненты. Выполнены расчеты по оценке времени окупаемости «зарплатного» проекта. Усовершенствованная методика лучше учитывает особенности работы коммерческого предприятия и позволяет точнее определить эффективность работы по реализации «зарплатного» проекта. Поскольку подавляющая часть российского рынка карточных услуг ориентирована на реализацию «зарплатной» модели, предложенные изменения методики представляются актуальными и востребованными.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Перлин Ю., Сахаров Д. Банкомат. Что это такое. – М.: Электронные деньги, 1997. – 150 с.

(по материалам компании

2. http://www.4p.ru/ «Исследовательская компания «BusinessVision»).

3. «Российский рынок уже не молод» – интервью с главой представительства MasterCard International в России Андреем Королевым // Мир карточек. – 2006. – № 4. – С. 28–32.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010

4. Смородинов О. Обзор российского рынка банковских карточек: 1992 – 2006 гг. // Мир карточек. – 2007. – № 10. – С. 8–21.

5. Иванов Н.В. Управление карточным бизнесом в коммерческом банке. – М.: БДЦ-пресс, 2003. – 272 с.

6. Ильин А.И. Планирование на предприятии. – Минск: Новое знание, 2001. – 635 с.

7. Кобец Е.А. Планирование на предприятии. – Таганрог: Издво ТРТУ, 2006. – 128 с.

УДК 519.654:336.74 <

–  –  –

ОПТИМАЛЬНАЯ ЗАГРУЗКА БАНКОМАТА ДЕНЕЖНЫМИ

КУПЮРАМИ Рассматривается актуальная банковская проблема оптимизации загрузки банкомата денежными купюрами. Формируется целевая функция, определяются ограничения и фазовые переменные задачи оптимизации. Поиск оптимального решения выполняется с использованием численного метода Нелдера Мида.

Одной из активно развивающихся услуг, предоставляемых банковскими организациями в современной России, является обслуживание клиентов карточных платежных систем. Активизация карточного бизнеса обусловлена повышением доверия населения к банковской системе, обострением конкуренции на рынке розничных банковских услуг, стимулированием государством расширения области применения безналичных расчетов, развитием инфраструктуры обслуживания карт платежных систем и другими факторами.

В сфере безналичных расчетов с использованием платежных карт наибольшее распространение, получили [1]: оплата товаров и услуг в торгово-сервисной сети (50,1 %), оплата услуг операторов связи и спутникового телевидения (38,7 %), автозаправочных станций (17,1 Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 %). Однако операции большинства держателей не отличаются особым разнообразием [2]: более 60 % из них совершают сделки максимум двух видов, 21 % – трех видов, не более 15 % владельцев карт можно отнести к числу тех, кто наиболее полно использует пакет предоставляемых банками услуг. Наиболее многочисленная группа держателей карт (41,1 %) ограничивается получением наличных денег 1 2 раза в месяц. Для осуществления безналичных расчетов каждая третья карта применяется несколько раз в месяц, еще одна треть – не чаще одного раза в месяц. В целом же к числу наиболее активных клиентов, использующих карту почти повседневно, можно отнести лишь 6,5 % респондентов.

В настоящее время важная роль в развитии карточного бизнеса коммерческого банка отводится наличию собственной сети банкоматов, эффективность которой определяется их техническими характеристиками, топологией расположения и надежностью функционирования.

В городах России (на уровне местных и филиалов московских банков) наблюдаются следующие существенные особенности сетей банкоматов [3]:

банк, осуществляющий эмиссию карт на уровне города областного или районного масштаба, как правило, осуществляет и эквайринговое обслуживание карточных операций;

количество градообразующих предприятий, как правило, невелико, однако их сотрудники могут вносить до 90 % в оборот операций с банковскими картами, в отличие от крупных городов с большим числом промышленных предприятий;

торговые точки малых городов еще недостаточно насыщены терминалами, обслуживающими банковские карты, поэтому держатели банковских карт для оплаты товаров и услуг, как правило, получают наличные в банкомате; в крупных городах практически в любом магазине и любой точке обслуживания имеется возможность оплатить товары и услуги посредством банковских карт, что является дополнительным стимулом для их использования в качестве платежного средства.

Одна из важнейших задач анализа и прогнозирования движения денег в банкоматных системах состоит в определении резерва наличности, необходимого для подкрепления банкоматов в течение определенного календарного времени. Модель движения наличности в банкомате должна дать возможность прогнозировать расход денег за заданный интервал времени с целью исключения дефицита наличности, необходимой для обеспечения банкоматных операций [4].

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010 Качественное обслуживание клиентов карточных платежных систем возможно только при обеспечении бесперебойного функционирования сети банкоматов (постоянный анализ возможного спроса на денежные средства, сервисное и техническое обслуживание и проч.), своевременной загрузке банкоматов денежными средствами, развитии и расширении сети клиентов карточных платежных систем.

Одной из наиболее эффективных мер снижения издержек в эквайринговой составляющей бюджета банков, развивающих карточный бизнес, является оптимизация оборота наличности в банкоматах. Попытка минимизировать количество инкассаций, загружая в банкомат максимально возможную сумму наличных, приводит к тому, что банк не может рационально использовать денежную наличность, что особенно ощутимо в условиях острого дефицита денежных средств. С другой стороны, недостаток купюр в банкомате, возникший вследствие несвоевременной инкассации или несогласованной работы инкассаторской службы, опасен и для владельца сети банкоматов, поскольку способен спровоцировать «кризис доверия» частных клиентов к банкам [5, 6].

При прогнозировании остатков денежных средств в банкоматах следует учитывать неравномерность снятия денежных средств по дням недели и времени суток, место расположения банкомата (общедоступный или на предприятии, под «зарплатный» проект), купюрные наборы в кассетах, режим работы денежного хранилища и службы инкассации банка, технические простои в работе банкоматов.

Целью настоящего исследования является разработка рекомендаций по рациональной загрузке банкомата купюрами. Объектом исследования являются процессы загрузки и расходования денежных купюр в кассетах банкоматов с течением времени. Информационной базой исследования послужили данные статистических наблюдений расходования денежных купюр в банкоматах крупного промышленного города.

Рассматриваются банкоматы коммерческого банка, установленные для реализации «зарплатных» договоров в коммерческой и бюджетной организациях. В каждом из банкоматов установлено по четыре кассеты для размещения купюр разных номиналов. Задача заключается в определении числа купюр, загружаемых в каждую из кассет во время очередной инкассации, для минимизации объема отвлеченных денежных средств, затрат на инкассацию при одновременном обеспечении достаточного числа денежных купюр для удовлетворения спроса клиентов-держателей карт.

Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика, 2010

Пусть на момент времени tk в банкомате имеется некоторая сумма S денежных средств:



Pages:   || 2 |


Похожие работы:

«НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ «АССОЦИАЦИЯ МОСКОВСКИХ ВУЗОВ» «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МЕДИЦИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ФЕДЕРАЛЬНОГО АГЕНТСТВА ПО ЗДРАВООХРАНЕНИЮ И СОЦИАЛЬНОМУ РАЗВИТИЮ» НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ МАТЕРИАЛ «ТАКТИКА И НЕОТЛОЖНАЯ ТЕРАПИЯ БОЛЕВОГО СИНДРОМА» Москва 2010г. Содерж...»

«Economics and management of a national economy 97 Publishing House ANALITIKA RODIS ( analitikarodis@yandex.ru ) http://publishing-vak.ru/ УДК 658.788.5 Применение гибридных логистических стратегий распределения на предприятиях промышленности строительных мат...»

«Ликбез по кислотным аккумуляторам Для систематизации знаний по аккумуляторам, применяемым в самодеятельном строительстве электромобилей, написана эта статья. В статье рассматриваются только свинцово-кислотные аккум...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ТЕХНИЧЕСКОМУ РЕГУЛИРОВАНИЮ И МЕТРОЛОГИИ ГОСТ Р исо НАЦИОНАЛЬНЫЙ СТАНДАРТ 12866РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственная система обеспечения единства измерений ПЕРИМЕТРЫ ОФТАЛЬМОЛОГИЧЕСКИЕ Технические требования и методы испытаний ISO 12866:1999 Ophthalmic instruments — Perimeters (...»

«ДОГОВОР КОМПЛЕКСНОГО БАНКОВСКОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ЛИЦ В ЗАКРЫТОМ АКЦИОНЕРНОМ ОБЩЕСТВЕ «ИНВЕСТИЦИОННЫЙ БАНК «ФИНАМ» г. Москва, 2012 ОБЩИЕ УСЛОВИЯ ДОГОВОРА КОМПЛЕКСНОГО БАНКОВСКОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ Закрытое акционерное общество «Инвестиционный Банк «ФИНАМ» (ЗАО «Банк ФИНАМ»)...»

«Доля П.Г. Харьковский Национальный Университет механико – математический факультет 2015 г. Mathematica для математиков. Часть 2. Графические возможности системы В системе Mathematica реализован...»

«МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРОТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ П.А....»

«Министерство лесного хозяйства Республики Беларусь Республиканское унитарное предприятие «Белгипролес» Научно-техническая информация в лесном хозяйстве Выпуск № 5 РЕКОМЕНДАЦИИ по возвращению ягодных растений семейства Брусничные на заболачиваемые выработанные торфяные месторождения РЕКОМЕНДАЦИИ по охране и повышению продуктивности черники н...»

«Программа вступительных испытаний по специальной дисциплине для поступающих на обучение по образовательным программам высшего образования – программам подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре по направлению подготовки кадров высш...»

«1 Лунина Ирина Николаевна, Покровская Марина Владимировна, к.т.н., доцент, Резчикова Елена Викентьевна, к.т.н., доцент Об опыте интеграции педагогических технологий в техническом университете // Высшее образование в России. №2 2013г. УДК 514.18 Причины, затрудняющие качественное обучение студентов на современном этапе, разли...»

«Проект ПРОЕКТ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ СТАНДАРТ ДОШКОЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Проект Оглавление I. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ II. ТРЕБОВАНИЯ К СТРУКТУРЕ ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ ДОШКОЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ III. ТРЕБОВАНИЯ К УСЛОВИЯМ РЕАЛИЗАЦИИ ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ ДОШКОЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Требования к...»

«МИНОБРНАУКИ РОССИИ ВОТКИНСКИЙ ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ИЖЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.Т. КАЛАШНИКОВА» (ВФ ФГБОУ ВПО «ИжГТУ имени М.Т. Калашникова») Кафедра: «Экономика и о...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Уральский государственный лесотехнический университет» Кафедра Ландшафтного строительстваОдобрена: Утверждаю: Кафедрой Ла...»

«ОТКРЫТИЯ БУДУЩЕГО МЕЖДУНА РОДНЫ Й КЛ УБ МНОГОМЕРНОЙ МЕД ИЦИН Ы им. Л.Г. ПУЧКО ФАКТЫ И АЛГОРИТМЫ УДИВИТЕЛЬНЫХ САМОИСЦЕЛЕНИЙ в МНОГОМЕРНОЙ МЕДИЦИНЕ П од р ед а к цией Г.А. Не п о к ойчи ц...»

«Содержание: Пояснительная записка Общая характеристика учебного предмета Описание места учебного предмета в учебном плане Содержание тем учебного предмета Календарное тематическое планирование учебного п...»

«Вестник науки Сибири. 2013. № 1 (7) http://sjs.tpu.ru УДК 368.86 СУЩНОСТЬ, ОСОБЕННОСТИ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ ИПОТЕЧНОГО СТРАХОВАНИЯ Яроцкая Елена Вадимовна, В РОССИИ НА

«123 УДК 631.446 АГРОЛАНДШАФТНОЕ ЗОНИРОВАНИЕ И КАРТИРОВАНИЕ ТЕРРИТОРИЙ ПРИ ОРГАНИЗАЦИИ ПОЧВОЗАЩИТНЫХ АГРОЛАНДШАФТОВ В.Н. Сафиулин Ростовский государственный строительный университет В статье затронуты вопросы агроландшафтного зонирования и картирования территорий при организации почвозащитных агроландшафтов. Ключевые слова: зони...»

«Journal of Siberian Federal University. Chemistry 3 (2014 7) 340-350 ~~~ УДК 547.913:634.3 The Chemical Composition of Essential Oils Popular Spice Ginger Family Lilia V. Naimushinaa*, Irina D. Zykovaa, Veronica Yu. Kadochnikovaa and Nikolai V. Chesnokova,b Siberian Federal University а 79 Svobodny, Krasnoyarsk, 6600...»

«ДЕМИДОВ АРТЕМ НИКОЛАЕВИЧ Изготовление пенобетона с использованием инновационной дезинтеграторной технологии 6N0730 – Производство строительных материалов, изделий и конструкций Автореферат диссертации на соискание академической магистра технических наук Республика Казахстан г. Усть-Каменогорск, 2011 г. Работа выпо...»

«М.В. Мехреньгин, А.Ю. Киреенков, Д.А. Погорелая, М.Ю. Плотников, Ф.А. Шуклин НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ март–апрель 2015 Том 15 № 2 ISSN 2226-1494 http://ntv.ifmo.ru/ SCIENTIFIC AND TECHNICAL JOURNAL OF INFORMATION TECHNOLOGIES, MECHANICS AND OPTICS March–April 2015 Vol. 15 No...»

«1 Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com) Институт проблем экономического возрождения. Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет Волгоградский государственный технический университет А...»

«ГОСТ 21.406-88 (1998) СПДС. Проводные средства связи. Обозначения условные графические на схемах и планах ГОСТ 21.406-88 УДК 691.002:006.354 Группа Ж01 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ СОЮЗА ССР Система проектной документации для строительства ПРОВОДНЫЕ СРЕДСТ...»

«НОВЫЕ ТРАНСПОРТНЫЕ ЛИНИИ Техническое предложение Струнная транспортная магистраль “Брюссель-Париж” Минск 1996 ТЕХНИЧЕСКОЕ ПРЕДЛОЖЕНИЕ Струнная транспортная магистраль “Брюссель-Париж” 1. Струнная транспортная система 1.1. Принципиальная схема СТС Струнная транспортная система (СТС) представляет собой струнный рельсовый путь, по...»

«Чередниченко Алла Валериевна МОДЕЛИРОВАНИЕ НАКОПЛЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПОВРЕЖДЕНИЙ В НАГРУЖЕННЫХ МАТЕРИАЛАХ 3D ВЕРОЯТНОСТНЫМ КЛЕТОЧНЫМ АВТОМАТОМ Специальность 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание у...»

«ВИХРЕТОКОВЫЙ ТОЛЩИНОМЕР ДЛЯ ЛЕГКОСПЛАВНЫХ БУРИЛЬНЫХ ТРУБ: ОПИСАНИЕ ПРИБОРА Струговцов Д.В. Томский политехнический университет, г. Томск, Научный руководитель Алхимов Ю.В., к. т. н, директор ООО НПК«Интроскопия» С каждым годом на...»

«179 УДК 316:377 Р. П. Полевая Дифференциация социокультурных статусов учащихся как фактор воспроизводства социального неравенства в среднем общем образовании В статье раскрывается тема дифференциации социокультурных статусов учащихся как фактора воспроизводства социального неравенства в среднем общем образовании. Рассм...»

«Центр стандартизации и сертификации лесоматериалов ООО ЛЕСЭКСПЕРТ Телефон: +7 499 717 55 25 +7 916 150 05 32 mail@lesexpert.ru http://lesexpert.org Почтовый адрес: 124617, г. Москва, К-617, г....»








 
2017 www.pdf.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - разные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.