WWW.PDF.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Разные материалы
 

Pages:   || 2 |

«Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский государственный технический ...»

-- [ Страница 1 ] --

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Пермский государственный технический университет»

А.И. Цаплин, И.Л. Никулин

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

И ОБЪЕКТОВ В МЕТАЛЛУРГИИ

Утверждено

Редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

Издательство

Пермского государственного технического университета УДК 53(0758) ББК 22.3 Ц17

Рецензенты:

доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Прикладная математика и информатика» Е.Л. Тарунин (Пермский государственный университет);

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Общая физика» Г.Н. Вотинов (Пермский государственный технический университет) Цаплин, А.И.

Ц17 Моделирование теплофизических процессов и объектов в металлургии: учеб. пособие / А.И. Цаплин, И.Л. Никулин. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2011. – 299 с.

ISBN 978-5-398-00575-2 Рассмотрены основы моделирования, необходимые для изучения дисциплин в техническом вузе при подготовке бакалавров по направлению «Металлургия». Дана математическая формулировка задач стохастического моделирования, сложного теплообмена, в том числе при фазовых переходах, рассмотрены основы теории подобия, а также основы вычислительного компьютерного эксперимента с применением нейтральных разностных схем. Представлен цикл лабораторных работ и заданий для самостоятельного изучения.



Предназначено для студентов технических вузов. Может быть полезным для аспирантов и преподавателей вузов.

УДК 53(0758) ББК 22.3 ГОУ ВПО ISBN 978-5-398-00575-2 «Пермский государственный технический университет», 2011 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие

Введение

Часть I. Теоретические основы математического моделирования

1. Основные понятия и определения моделирования...... 19

1.1. Объекты математического моделирования в металлургии

1.2. Классификация моделей

1.3. Классификация математических моделей............

–  –  –

4.5. Теплообмен при свободной конвекции в ограниченном объеме

4.6. Вопросы для самоконтроля

5. Вычислительный эксперимент в задачах тепломассопереноса

5.1. Основы метода сеток

5.2. Схемы аппроксимации уравнения теплопроводности

5.3. Анализ ошибок

5.4. Способы аппроксимации конвективных членов.... 181

5.5. Аппроксимация граничных условий

5.6. Методы решения сеточных уравнений

5.7. Алгоритм решения сопряженных уравнений теплообмена

5.8. Вопросы для самоконтроля

Часть II. Лабораторный практикум

Лабораторная работа № 1. Статистическая обработка массива случайных данных

Лабораторная работа № 2. Метод наименьших квадратов для уравнения линейной регрессии

Лабораторная работа № 3. Метод прогонки решения сеточных уравнений

Лабораторная работа № 4. Метод последовательной линейной верхней релаксации решения сеточных уравнений

Лабораторная работа № 5. Расчет времени охлаждения плоского слоя

Лабораторная работа № 6. Расчет времени охлаждения блюмса

Лабораторная работа № 7. Расчет времени затвердевания непрерывного плоского слитка (сляба).... 233 Лабораторная работа № 8. Расчет времени затвердевания непрерывного слитка квадратного сечения (блюмса)...... 240 Часть III. Материалы для самостоятельной работы.............. 250



1. Методические указания для самостоятельного изучения курса

2. Методические указания к решению задач

3. О приближенных вычислениях

4. Примеры решения задач

4.1. Стохастическое моделирование

4.2. Конвективный теплообмен

4.3. Теплопроводность

4.4. Теплообмен излучением

4.5. Теплообмен с фазовыми переходами

4.6. Основы метода сеток

5. Контрольная работа

6. Тест для проверки уровня обученности

Список литературы

Приложение. Нормированная функция Лапласа............. 297

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебное пособие предназначено студентам младших курсов технических вузов, изучающих моделирование процессов и объектов в металлургии по направлению бакалаврской подготовки «Металлургия». Оптимизация технологических процессов в металлургии, связанных с переносом и использованием тепловой энергии, предъявляет все более сложные требования к расчету тепломассообмена. Для технологических схем, например, получения литого металла, в которых необходимость отвода или перераспределения тепла раньше вообще не принималась во внимание или учитывалась упрощенно с использованием эмпирических соотношений теории подобия, теперь требуется применение достаточно точных методов теплового расчета.

Детальное описание стохастических процессов, тепломассообмена, обеспечивающее надежное совпадение расчетных данных с результатами экспериментов, возможно на основе моделирования и современного вычислительного эксперимента на компьютере.

Основная идея решения на компьютере неравновесных задач тепломассообмена заключается в замене исходных дифференциальных уравнений и краевых условий, описывающих теплообмен, конечно-разностными аналогами и в последующем решении алгебраических уравнений с неизвестными значениями определяемых функций в узлах сетки.

Однако численные методы только кажутся простыми и оптимистичными, их применение порождает новые требования и проблемы. Одной из таких проблем является спектр неизбежных ошибок округления, аппроксимации, схемных ошибок, которые искажают решение, сглаживая неоднородности, проявляясь в виде фиктивных источников, стоков и т.д. Уменьшение этих ошибок – непростая задача. Так, например, сгущение конечно-разностной сетки, приводящее к снижению ошибок аппроксимации, одновременно может приводить к возрастанию ошибок округления и схемных ошибок. Применение нейтральных (по отношению к спектру ошибок) конечноразностных схем к уравнениям тепломассопереноса позволяет не только удовлетворять требованиям адекватности вычислительного эксперимента, но и повышать устойчивость счета, эффективность вычислительного алгоритма.

Проведение теплофизических расчетов предполагает знание законов тепломассообмена, инженерных методов расчета, основанных на теории подобия и моделирования. Поэтому в учебном пособии последовательно излагаются в соответствии с существующим образовательным стандартом подготовки бакалавров по направлению «Металлургия» законы теплопроводности, диффузии, конвективного теплообмена и теплообмена излучением. Рассмотрены различные постановки задач теплофизики формирования слитка с учетом фазовых и структурных переходов.

Значительное внимание уделяется выработке практических навыков вычислительного эксперимента. Рассматривается общий алгоритм решения задач тепломассообмена, обсуждаются проблемы аппроксимации, устойчивости. Описаны эффективные методы решения сеточных уравнений, а также даны прошедшие практическую проверку Паскаль-программы их реализации.

Основная задача учебного пособия состоит в том, чтобы в рамках курса моделирования не только познакомить студентов технического университета с основами предмета, но и пробудить у них интерес к методам вычислительного эксперимента на компьютере, к пониманию и умению оценки спектра ошибок, применяя известный программный продукт и разрабатывая собственные программы для решения конкретных задач.

Учебное пособие состоит из трех частей. Первая часть содержит теоретические основы математического моделирования, вторая часть – лабораторный практикум, в третьей части представлены материалы для самостоятельной работы и контроля уровня обученности. Нумерация параграфов в каждой главе начинается заново, при этом первая цифра параграфа соответствует номеру главы. Номера формул и рисунков в главе имеют сквозную нумерацию (первая цифра соответствует номеру главы). В каждой главе своя нумерация примеров.

Небольшой объем учебного пособия обусловил ограничения при изложении обширных вопросов моделирования в металлургии и заставил прибегнуть к физическому уровню строгости изложения. Сознательный уход от подробного математического обоснования позволил акцентировать внимание на постановке задач и основных проблемах практического решения. Углубленное изучение предмета можно продолжить, пользуясь приведенным списком литературы.

ВВЕДЕНИЕ

Моделирование представляет собой метод исследования свойств одного объекта посредством изучения свойств другого объекта, более удобного для исследования и находящегося в определенном соответствии с первым объектом, т.е. при моделировании экспериментируют не с самим объектом, а с его заменителем, который называют моделью.

Методы моделирования применяются практически во всех областях деятельности человека – при решении научно-технических задач, для изучения социальных, экономических, медицинских, военных или экологических проблем.

Моделями человек начал пользоваться с незапамятных времен. Исторически первыми моделями как заместителями некоторых объектов были, видимо, символические условные модели.

Это языковые знаки, которые в ходе развития составили разговорный язык. Применение символических условных моделей другого типа связано, вероятно, с возникновением обмена: сначала предметы раскладывали в два ряда, друг напротив друга, чем и добивались однозначного соответствия, потом было установлено, что соответствия объектов одного рода объектам второго рода можно добиться, сравнивая их с объектами третьего рода, сначала с естественными объектами – пальцы рук и ног, затем с искусственными – специально изготовленными палочками. Эти первые логические условные модели постепенно привели к формированию понятию числа.

Следующий этап развития логического моделирования – возникновение знаковых числовых обозначений.

В глубокой древности возник и получил развитие метод распространения свойств одних объектов на другие, который теперь называется умозаключением по аналогии.

Дальнейшее развитие логических знаковых моделей связано с возникновением письменности и математической символики, а это относится примерно к 2000 г. до н. э. – времени расцвета цивилизаций Египта и Вавилона. Некоторые данные позволяют полагать, что вавилоняне уже пользовались таким важным для моделирования понятием, как подобие в форме элементарного геометрического подобия прямоугольных треугольников.

Развитие моделирование получает в Древней Греции в V – III вв. до н. э. В Греции была создана геометрическая модель Солнечной системы, греческий врач Гиппократ для изучения глаза человека пользовался глазом быка, его физической аналогичной моделью, математик Евклид построил учение о геометрическом подобии.

Более 400 лет назад, в середине XV в., обоснованием методов моделирования занимался Леонардо да Винчи. Он пользуется аналогиями: сравнение полета птицы и плавания под водой. Им ставится актуальный до сих пор вопрос о соответствии практики и теории, о необходимости проверки и обобщения результатов опыта и его роли в познании.

Вопросы подобия в связи с созданием различных конструкций и их моделированием часто возникают в XVI – XVII вв. О том, что подобию стали уделять много внимания в XVII в., пишет Г. Галилей в своем сочинении «Разговоры о двух новых науках». Например, при постройке в Венеции галеры с увеличенными размерами подпорки с сечениями, выбранными исходя из гео- Г. Галилей метрического подобия, оказались недостаточно прочными, и размеры их пришлось корректировать на основе физических соотношений. Галилей констатировал, что «прочность подобных тел не сохраняет того же отношения, которое существует между величиной тел».

Первые строгие научные формулировки условий подобия и уточнения этого понятия были даны применительно к механическому движению в конце XVII в. И. Ньютоном в работе «Математические начала натуральной философии». В работе рассматриваются движения материальных тел и устанавливаются законы их подобия. Основами современного учения о подобии являются сформулированные И. Ньютоном прямая теорема подобия и основные положения подобия. В них указаны свойства подобных механических систем и критерии, характеризующие движения систем, подобие которых обеспечено. И. Ньютон открыл пути применения подобия и моделирования для обоснования теоретических положений. Им построена И. Ньютон наглядная механическая модель для объяснения световых явлений (корпускулярная теория света), математическая модель для объяснения явления тяготения и мн. др.

Работы И. Ньютона по теории подобия и моделирования долгое время не получали развития, хотя в начале XVIII в. во Франции и других странах проводились многочисленные опыты на моделях арок и проверялись различные гипотезы работы их свода.

Одним из первых теоретически обоснованно применил статическое подобие И.П. Кулибин при разработке проекта арочного моста пролетом 300 м. Исследования он проводил на деревянных моделях в 1/10 натуральной величины. В них было впервые учтено, что увеличение линейных размеров в k раз меняет собственный вес в k3 раз, а площади поперечных сечений элементов – в k2 раз. И.П. Кулибин установил, что обеспечение подобия влияния собственного веса в модели возможно при некоторой дополнительной нагрузке. Предложенный метод моделирования собственного веса конструкции соответствует современному способу «догрузки» моделей в центрифугах.

В 1822 г. появились работа Ж. Фурье «Аналитическая теория теплопроводности», в которой было показано, что члены уравнений, описывающих физические явления, всегда имеют одинаковую размерность, это свойство получило название правила Фурье или правила размерной однородности уравнений математической физики. В 1848 г. Ж.Л.Ф. Бертран, пользуясь методом подобных преобразований, установил наиболее общие свойства подобных механических движений и указал способы осуществления подобия сложного механического движения, четко сформулировав положение о наличии критериев подобия. Вскоре появился ряд работ, посвященных приложению теории подобия к различным механическим явлениям. Например, законы звуковых явлений в геометрически подобных телах из уравнения движения упругих тел; условия подобия гидродинамических явлений. Появились работы в области строительной механики, в области упругости.

Однако практическое применение теории подобия и моделирования зачастую встречало серьезные препятствия, трагическим примером чему служит история с английским броненосцем «Кэптен». Этот корабль построили в 1870 г. В то же время английские ученые-кораблестроители Фруд и Рид создали теорию моделирования кораблей; исследование модели броненосца показало, что он должен опрокинуться даже при небольшом волнении. Специалисты Адмиралтейства не придали значения опытам ученых с «игрушечной» моделью, в результате при выходе в море «Кэптен» перевернулся и 523 моряка погибли.

Примером удачного использования методов моделирования является их применение Д.И. Журавским при сооружении железнодорожных мостов. Ранее для определения размеров составных частей ферм мостов применялись упрощенные приемы, и все раскосы и тяжи каждой фермы моста делались одного и того же размера. Выводы о том, что их нагрузки неодинаковы, сначала казались неправдоподобными и были проверены на модели из металлической проволоки. На этой модели оказалось возможным, проводя смычком от скрипки по проволокам, по высоте тона получаемого звука определить степень натяжения проволок, т.е. элементов крепления моста.

Развитие учения о подобии долгое время шло путем определения частных условий подобия для явлений только определенной физической природы. Наконец, в 1909–1914 гг. в результате работ Н.Е. Жуковского, Д. Рэлея, Ф. Букингема была сформулирована в первой редакции теорема, позволившая установить условия подобия явлений любой физической природы. Начиная с этого времени метод подобия становится основным методом экстраполяции характеристик модели в характеристики оригинала при физическом моделировании.

Параллельно с развитием физического моделирования шло развитие логического моделирования в знаковой форме.

История развития знакового моделирования – это прежде всего история развитие математики. В конце XVI в. Д. Непер ввёл понятие логарифма, в XVII в. И. Ньютон и Г. Лейбниц создали дифференциальное исчисление. Наряду с аналитическими методами получают развитие численные методы решения различных задач. Все это привело к распространению учения о подобии на величины и процессы различной физической природы, имеющие при этом определенную аналогию или хотя бы какое-то математическое соответствие. При этом стали различать подобие математическое и аналоговое. Постепенно моделирование стало охватывать все большие области научной и технической деятельности человека. Например, для отработки анти-сейсмичности конструкций зданий модели иногда имели довольно внушительные размеры площадью до 20 м2 и массой до 30 т. Гидроэнергетические объекты, такие как плотины, каналы, гидротурбины для таких станций, как Волжская, Братская, Асуанская ГЭС, исследовались на физических моделях, изображающих в уменьшенном масштабе эти сооружения.

Широко распространены специальные модели, сочетающие в себе физическую и математическую модели с натурными приборами. Эти модели применяются для наладки приборов управления и тренировки персонала, в первом случае такие модели стали называться испытательными стендами, во втором – тренажерами.

Физическое моделирование основано на изучении явлений на моделях одной физической природы с оригиналом. При физическом моделировании сохраняют особенности поведения объекта исследования, что существенно облегчает получение требуемых результатов, так как для модели выбирают наиболее удобные геометрические размеры и диапазоны изменения физических величин.

Метод физического моделирования имеет очень большое значение, когда в комплекс явлений, характеризующих исследуемый процесс, входят такие явления, которые не поддаются математическому описанию. Одним из примеров физического моделирования является исследование переходных процессов в энергетических системах на моделях этих систем, где мощные генераторы и трансформаторы заменены малогабаритными электрическими машинами и трансформаторами, а дальние линии электропередачи – соответствующими эквивалентами. Однако во многих случаях использование метода физического моделирования приводит к необходимости изготовления дорогостоящих моделей, пригодных для решения ограниченного круга задач.

Математическое моделирование основано на идентичности дифференциальных уравнений, описывающих явление в оригинале и модели, отличающихся по своей природе. Главное преимущество математического моделирования перед физическим заключается в возможности исследовать явления природы, трудно поддающиеся изучению, используя хорошо изученные явления. При математическом моделировании более наглядно, чем при физическом моделировании, осуществляется индикация и регистрация результатов исследований. Здесь можно просто варьировать в широких пределах исходные данные задачи для выбора оптимальных (по заданному критерию) параметров исследуемой системы. Время решения задачи, по желанию исследователя, может быть изменено в широких пределах.

История математического моделирования в металлургии имеет богатые традиции в России. Назовем несколько имен российских ученых из области новейшей истории металлургии.

Выпускник Петербургского горного института В.Е. ГрумГржимайло родился в 1864 г., профессор, член-корреспондент АН СССР, преподавал в вузах Петербурга, Екатеринбурга, работал на заводах Урала, основал кафедру «Металлургии стали и теории печей» в Уральском университете. Им разработана статическая теория газов в печах, заложены основы динамической теории печных газов. Под его руководством построено около 800 печей, разработанный им атлас печей на всемирном конгресВ.Е. Грум-Гржимайло се во Франции в 1926 г. получил всемирное признание.

Становление металлургической теплотехники как науки связано с именем профессора М.А.

Глинкова (род. в Пермской губернии в 1906 г.). Работал на Урале, возглавлял кафедры в Свердловске, позднее – в Московском институте стали и сплавов. По его учебнику «Основы общей теории тепловой работы печей» подготовМ.А. Глинков лено несколько поколений инженеров. М.А. Глинков уделял значительное внимание теплофизике, автоматизации и экологии промышленных печей, созданию сталеплавильных агрегатов непрерывного действия.

Дальнейшие достижения металлургов-теплофизиков связаны с именем Б.И. Китаева (1908–1983 гг.). Б.И. Китаев родился в Санкт-Петербурге, получил образование в Свердловске, работал начальником мартеновского цеха в г. Чермоз Пермской области, позднее возглавлял кафедру «Металлургических печей» в Уральском политехническом институте. Им разработаны основы теории слоевых металлургических процессов, теплообмена в доменных печах, его учебники переведены за рубежом. Б.И. Китаев был экспертом ЮНЕСКО по вопросам меБ.И. Китаев таллургии.

С именем профессора Ю.А. Самойловича (род. в 1933 г.) связаны первые систематические вычислительные эксперименты на компьютере по моделированию теплофизики кристаллизующихся слитков на основе математических моделей. Он исследовал закономерности электромагнитного воздействия на кристаллизующиеся слитки Ю.А. Самойловича для управления структурой формирующегося металла. В возглавляемой им лаборатории во Всесоюзном институте металлургической теплотехники (г. Свердловск) на основе математического моделирования решены многие практические проблемы металлургии.

Примером эффективного применения результатов математического моделирования в разработке металлургических агрегатов является деятельность главного конструктора Уралмаша, доктора технических наук В.М. Нисковских (род. в 1925 г.). Им впервые показана возможность активного деформирования стального В.М. Нисковских слитка в двухфазном состоянии. Под его руководством разработаны высокопроизводительные машины непрерывного литья заготовок криволинейного типа, которые победили в остром конкурентном соперничестве и были закуплены ведущими металлургическими странами (Японией, Австрией, Канадой, США и др.) Математическое моделирование в металлургии позволяет ускоренно находить оптимальные решения при планировании производства и управления им. Применение автоматизированных систем управления технологическим процессом (АСУ ТП), основанных на применении адекватных математических моделей, приводит к росту производительности труда, повышению качества продукции, снижению ее себестоимости, повышению культуры производства.

Для металлургии как отрасли хозяйствования характерны две особенности. Во-первых, масштабы производства металлов и сплавов вывели металлургию по потреблению энергетических ресурсов на одно из первых мест среди других отраслей. Вовторых, технологические процессы в металлургии, связанные с переработкой сырья и получению конечных продуктов, протекают при повышенных температурах. Инженеру-металлургу приходится решать широкий спектр задач – от подготовки шихты, выплавки металла, получения качественной готовой продукции до решения экологических проблем снижения уровня теплового и химического загрязнения окружающей среды.

–  –  –

1.1. Объекты математического моделирования в металлургии Характеристики объекта управления На рис. 1.1. показана схема технологического объекта управления (ТОУ), где U – вектор контролируемых управляющих входов (расходы сырых материалов, энергии, топлива и т.д.); V – вектор контролируемых возмущений (качественные показатели сырья, параметры состояния оборудования, простои и т.д.); Z – вектор неконтролируемых возмущений (параметры внешней по отношению к АСУ ТП среды); Y – вектор выходов объекта [показатели состояния технологического процесса (температура, давление, состав вещества), качественные и количественные показатели промежуточных (литейная форма) или конечных (отливка) продуктов, технико-экономические показатели производства];

Рис. 1.1. Технологический объект управления Математическая модель ТОУ представляет собой зависимость Y = f (U, V, Z, t) (1.1) при известном виде функции f, которая в общем случае может зависеть от времени t (в динамических моделях), и существующих ограничениях на переменные ui ; yi.

Стохастическая математическая модель строится в условиях неполноты знаний о ТОУ или его стадиях, в ней связи между входами и выходами ТОУ имеют вероятностный характер.

Детерминированная математическая модель представляет совокупность алгебраических или дифференциальных уравнений, характеризующих причинно-следственные связи между входами и выходами ТОУ на основании известных законов сохранения массы, энергии, химических превращений и др.

В комбинированных математических моделях сочетаются признаки стохастического и детерминированного моделирования, например процесс кристаллизации отливки описывается детерминированной моделью, а входящие в эту модель коэффициенты определяются стохастическими методами.

Математическая модель оптимального управления технологическим процессом литейного производства включает целевую функцию. В основе целевой функции могут быть различные технико-экономические критерии, например, минимальное время регулирования, ограничения на температурные градиенты в отливке, вызывающие ее растрескивание в процессе кристаллизации, минимальная себестоимость получения отливки и др.

Задача оптимального управления производством отливок в целом подразделяется на ряд подзадач:

• шихтовка;

• плавка;

• смесеприготовление;

• формовка;

• разливка;

• охрана окружающей среды.

Шихтовка

При формировании и загрузке плавильной шихты возникают две задачи:

1) расчет оптимального состава шихты, обеспечивающего требуемые пределы содержания в ней отдельных химических элементов с учетом их угара и минимальную стоимость при имеющихся ресурсах;

2) автоматическое управление механизмами дозирования компонентов шихты и подачи их в плавильные печи.

Принцип действия дозатора основан на изменении грузоподъемности электромагнита в зависимости от намагничивающего тока. Дозатор (рис. 1.2) состоит из подъемного электромагнита (ПЭ), датчика массы (ДМ), измерительного прибора (ИП), цифрового устройства (ЦУ) и коммутатора (К).

Электромагнит питается от генератора постоянного тока (Г), управляемого оператором с помощью регулятора тока (РТ).

Рис. 1.2. Структурная схема электромагнитного кранового дозатора шихты

Плавка Плавление металла осуществляется в печах различного типа: вагранках, дуговых, индукционных печах.

Вагранки являются агрегатами непрерывного действия и применяются для плавки чугуна. Дуговые и индукционные печи являются агрегатами периодического действия.

Дуговые печи (рис. 1.3) имеют высокую электрическую мощность и включают держатели электродов 1, электроды 2, ванну с жидким металлом 4. Источником тепла является дуга 3 между электродами и ванной с расплавом.

Рис. 1.3. Схема трехфазной дуговой плавильной печи Использование математических моделей электрических, тепловых и технологических процессов позволяет прогнозировать ход плавки и вырабатывать оптимальные управляющие воздействия.

Смесеприготовление Материал литейной оснастки – формы, стержни и другие – является многокомпонентным; от точности рецептуры смесей, получаемых в дозаторах (рис. 1.4), зависит качество продукции. Целевая функция АСУ ТП смесеприготовления представляется как поддержание рецептуры смесей и режимов их получения, обеспечивающих минимальные затраты на производство заданного вида и количества отливок при известной технологии литья. Математическая модель может описывать характер влияния состава смеси на качество отливок. Поддержание оптимальной рецептуры смесей снижает брак литья на 2–3 %, а при отклонении от оптимума он линейно зависит от квадрата этого отклонения.

Рис. 1.4. Схема многокомпонентного дозатора:

1, 2, 3 – бункеры; 4, 5, 6 – дозаторы; 7 – транспортер Формовка Смеси для изготовления литейных форм подлежат специальному уплотнению, обеспечивающему поверхностную твердость, газонепроницаемость. При уплотнении прессованием и встряхиванием степень уплотнения существенно зависит от давления сжатого воздуха в пневмоприводе встряхивающей машины, частоты встряхиваний, условий сушки форм и стержней и т.д. Схема оборудования представлена на рис. 1.5.

Рис. 1.5. Схема оборудования для изготовления форм и стержней

Математические модели позволяют прогнозировать оптимальные условия формовки, время прохождения формы через сушильную камеру и т.д.

Разливка Одной из важнейших целей является получение качественного слитка. Именно при затвердевании происходит формирование кристаллической структуры слитка, возникновение в нем физической и химической неоднородности и других дефектов, переходящих в готовые изделия. Проблемами, возникающими в процессе разливки в литейные формы, являются дозирование расплава и регулирование скорости его подачи.

Стабилизация химического состава расплава, его чистота, простота дозирования достигаются при магнитодинамическом (МГД) способе (МГД-насосы, МГД-дозаторы).

С тиглем 1 (рис. 1.6) сообщаются каналы 2, 3, 6, причем каналы 2, 6 охвачены индукторами, каждый из которых представляет замкнутый магнитопровод 7 с обмоткой питания, 4, 5 – активная часть МГД-дозатора. Суммарное действие электромагнитных сил вызыРис. 1.6. Схема магнитодинамического вает движение расплава чеспособа подачи расплава рез выходной металлопровод в литейную форму 9 к приемнику.

По сравнению с разливкой в изложницы значительно повысить производительность и выход годной продукции позволяет переход к непрерывному литью металлов. Технология производства слитков на машинах непрерывного литья заготовок (МНЛЗ) состоит в том (рис. 1.7), что расплав из промежуточного ковша подается в верхнюю часть кристаллизатора, где при интенсивном первичном охлаждении затвердевают лишь поверхностные слои металла, поэтому вытягиваемый слиток имеет под кристаллизатором незатвердевшую часть (жидкое ядро) и высокую температуру поверхности.

Сформировавшаяся твердая корка слитка, способная выдержать статическое давление столба жидкой стали высотой 1–1,5 м, имеет толщину на выходе из кристаллизатора 2–4 см. Затвердевающий слиток непрерывно извлекается из кристаллизатора при помощи тянущих роликов и поступает в протяженную зону вторичного охлаждения, где формирование слитка заканчивается. Отвод тепла на этом этапе осуществляют подачей через форсунки воды или водовоздушной смеси на поверхность слитка и элементов оборудования. После завершения кристаллизации по всему сечению слитка он разрезается на мерные заготовки, поступающие в дальнейший передел. Для слитков прямоугольного поперечного сечения (слябов) 2401800 мм глубина жидкого ядра достигает 15–20 м при скорости вытягивания 0,8– 1 м/мин.

Стремление к увеличению производительности и уменьшению высоты машин привело к созданию МНЛЗ криволинейного типа (рис. 1.8). Особенностью этой технологии является разгиб слитка в двухфазном состоянии при помощи правильных валков, после чего слиток перемещается в горизонтальной плоскости, разрезается на мерные заготовки и поступает в дальнейший передел.

Процессы формирования стального слитка протекают при высоких температурах, при больших градиентах температур как в самом слитке, так и в элементах технологического оборудования, сопровождаются фазовыми и структурными превращениями, появлением температурных напряжений, которые приводят к появлению трещин и других дефектов.

На рис. 1.9 показано температурное поле Рис. 1.7. Схема МНЛЗ и возникающие в твердой фазе термоуп- вертикального типа ругие напряжения в растущем плоском слое, моделирующем затвердевание стального сляба от его поверхности до плоскости симметрии. При температуре выше изотермы ликвидуса (1773 К) металл находится в жидком состоянии.

В интервале температур ликвидуса и солидуса (1703 К) – двухфазное состояние стали. При температуре ниже солидуса металл находится в твердом состоянии. На расстоянии 6,5 м по технологической линии непрерывного слитка затвердевание завершается, однако температурное поле остается неоднородным. Видно, что в слитке с неизотермической поверхностью у границы затвердевания (изотерма солидуса) появляются сжимающие температурные напряжения, которые компенсируются растяжением поверхностных слоев слитка. После окончания затвердевания в процессе остывания слитка напряжения перераспределяются: растянутой становится его центральная часть и сжатой – поверхность. Появление растягивающих напряжений в осевой зоне после окончания кристаллизации типично для непрерывных слитков и приводит на практике к возникновению центральных (паукообразных) трещин, которые не залечиваются при дальнейшей обработке слитка давлением.

Рис. 1.8. Схема МНЛЗ криволинейного типа

Температурные градиенты и напряжения в твердой фазе уменьшают не только выбором рациональных режимов охлаждения поверхности слитка, но и увеличением теплоотдачи на фронте кристаллизации от жидкого ядра. На рис. 1.10 показана схема перемешивания жидкого ядра слитка в кристаллизаторе специальным рабочим телом – вращающимся активатором, вводимым в расплав. Охлаждение погруженного в расплав активатора приводит к образованию на его поверхности гарнисажа – тонкой корки затвердевшего металла. Тепловая эрозия гарнисажа струей подаваемого расплава приводит к уменьшению перегрева последнего и образованию из обломков дендритов новых центров кристаллизации неориентированно растущих кристаллов. Циркуляция расплава в жидком ядре в виде торообразных вихрей (вихри Тейлора) приводит к снижению температурных градиентов.

Рис. 1.9. Изотермы (слева) и термоупругие напряжения при кристаллизации и остывании плоского слитка Потоки расплава в жидком ядре приводят не только к уменьшению температурных градиентов, но и к переносу легирующих компонентов примесей по всему объему слитка. Явление неоднородного распределения примесей в объеме слитка называется сегрегацией примеси. На рис. 1.11 показан пример неоднородного распределения примеси в жидком ядре непрерывного горизонтального слитка. Полый слиток вытягивается из неподвижного кристаллизатора длиной L2 и дорна длиной L1 с постоянной скоростью W. Течение в жидком ядре слитка симметрично относительно вертикального диаметра. Частицы расплава, охлаждаясь у границ затвердевания, опускаются в нижнюю часть слитка, образуя зоны нисходящих потоков. Восходящие потоки имеют место в центральной части жидкой фазы. Свободная конвекция приводит к искривлению изотерм: более теплые слои расплава скапливаются в верхней части слитка, а холодные – в нижней с образованием здесь застойной зоны.

Рис. 1.10. Схема механического перемешивания жидкого ядра слитка (слева), линии тока (в центре) и поле температур в формирующемся слитке Потоки расплава вызывают и неосесимметричное распределение примеси: обогащенные примесью слои расплава опускаются в нижнюю часть жидкого ядра. Нерастворимая в твердой фазе примесь (в данном случае углерода) вытесняется в расплав, что приводит к возникновению у границ затвердевания диффузионных погранслоев, обогащенных примесью.

Вращение слитка в процессе его вытягивания позволяет достичь положительных металлургических эффектов.

Рис. 1.11. Схема получения горизонтального слитка (слева), поля функции тока и окружной скорости (в центре), концентрации примеси и температуры Дальнейший прогресс в производстве качественной металлопродукции связан с разработкой агрегатов, в которых совмещены МНЛЗ и устройства дальнейшего передела слитка – прокатные станы. Такие совмещенные агрегаты позволяют значительно экономить тепловую энергию за счет сокращения промежуточных подогревов слитка в прокатных станах.

В современных технологических процессах бесслитковой прокатки корочки металла намораживают из расплава непосредственно на валках-кристаллизаторах и обрабатывают давлением. Этим достигается дальнейшая минимизация тепловых потерь и энергоресурсов.

Для активного воздействия на процесс кристаллизации слитка применяют электромагнитное перемешивание (ЭП) его жидкого ядра. Вводимая извне энергия электромагнитного поля расходуется на измельчение первичного литого зерна, повышение степени физической и химической неоднородности слитков, улучшение их поверхности. Устройства электромагнитного перемешивания разнообразны как по виду применяемых электромагнитных полей (бегущих, вращающихся, пульсирующих), так и по способу конкретной технической реализации. Перспективными с точки зрения экономии вводимой в тело слитка энергии следует признать резонансные режимы перемешивания, при которых частота электромагнитного поля совпадает с частотой собственных колебаний жидкого ядра слитка. Применение ЭП дает положительные металлургические эффекты повышения качества слитка (рис. 1.12).

На рис. 1.13 показаны варианты математического моделирования теплофизики деформирования твердой фазы кристаллизующегося слитка. Видно, что во всех вариантах охлаждения у фронта кристаллизации в температурном интервале хрупкости стали появляются участки, на которых эквивалентные температурные напряжения ( 1) превышают предел прочности и возможно образование трещин.

–  –  –

Переход к интенсивному форсуночному охлаждению на узкой грани сляба (вариант 4) снижает локальное растрескивание, но одновременно повышается вероятность образования трещин у широкой грани сляба.

Математическое моделирование теплофизики деформирования позволяет ускоренно спроектировать режимы охлаждения слитка в конкретных технологических условиях.

Процесс непрерывного литья автоматически регулируется системой управления, включающей приборы (рис.

1.14):

Рис. 1.14. Схема автоматизации процесса непрерывного литья

1) уровнемер расплава в кристаллизаторе;

2) уровнемер глубины лунки;

3) яркостный пирометр;

4) термометр измерения температуры воды на выходе из кристаллизатора;

5) дифманометр для определения расхода воды через кристаллизатор;

6) манометр для измерения давления воды в кристаллизаторе;

7) манометр для измерения давления воды в зоне вторичного охлаждения;

8) дифманометр для определения расхода воды в зоне вторичного охлаждения.

Охрана окружающей среды Металлургическое производство связано со значительными масштабами выбросов вредных веществ в окружающую среду.

Например, при изготовлении и сушке 1 кг стержневой смеси в воздух поступает до 7,5 г различных углеводородов (фенола, формальдегида, метанола, ацетона и др.). При этом воздух рабочей зоны может содержать до 2,7 мг/м3 фенола, 0,9 мг/м3 формальдегида, 2,1 мг/м3 метанола. Сточные воды литейных производств характеризуются высоким значением водородного показателя (рН = 10…11), содержат до 10 г/л шлама в виде взвешенных частиц размером 100–200 мкм. Электродуговые печи выделяют в атмосферу в расчете на 1 т металла до 12 кг пыли, 1,2– 1,6 кг СО, 0,24–0,32 NO и NO2.

Возникают проблемы охраны окружающей среды, которые решаются методами контроля и применением устройств, позволяющих эффективно утилизировать вредные выбросы. Дымовые газы перед выбросом их в атмосферу очищают от пыли и примесей, пропуская через фильтры. При этом перед фильтрами их предварительно охлаждают в теплообменниках от температуры 1600 оС до 100 оС.

На рис. 1.15 показана схема контроля газохода.

Газоход 1 оснащают термопарой 2, пробоотборным зондом 5. На части газохода измеряется перепад давлений с помощью отборников 3, 4. Сигналы от термометра, манометра, дифманометра и пылемера через устройство связи с объектом (УСО) поступают в компьютер, контролирующий массу пыли и теплосоРис. 1.15. Схема контроля газохода держание дымовых газов.

Математическое моделирование процессов тепло- и массопереноса в этом случае позволяет прогнозировать оптимальные режимы и конструкции теплообменника для охлаждения дымовых газов, центрифуги для сбора пыли.

Масштабы и характер металлургических процессов производства слитков неразрывно связаны с необходимостью постоянного совершенствования конструкций металлургических агрегатов, режимов их работы, повышения качества продукции и снижения расхода подводимой энергии.

В решении этих задач особая роль принадлежит моделированию процессов и объектов в металлургии, позволяющему прогнозировать оптимальные условия производства и охраны окружающей среды.

1.2. Классификация моделей Моделирование относится к общенаучным методам познания, его использование на эмпирическом и теоретическом уровнях приводит к условному делению моделей на материальные и идеальные (рис. 1.16).

Идеальное моделирование – основано на идеальной (мыслимой) аналогии и всегда носит теоретический характер.

Идеальное моделирование подразделяют на два типа: интуитивное и научное.

Интуитивное моделирование основано на собственном опыте без объяснения причин наблюдаемого явления.

Научное моделирование логически обосновано, использует минимальное число гипотез.

Идеальное моделирование всегда является первичным по отношению к материальному (вначале в сознании человека формируется идеальная модель, а затем на ее основании Рис. 1.16. Виды моделирования строится материальная).

Знаковое моделирование использует в качестве моделей схемы, знаки, буквы, чертежи и т.д.

Материальное моделирование объекта выполняется с использованием его материального аналога (макета, образца и т.д.).

При натурном моделировании реальному объекту ставится в соответствие его увеличенный или уменьшенный материальный аналог с последующим применением теории подобия.

Аналоговое моделирование основано на аналогии процессов и явлений, имеющих различную физическую природу, но одинаково описываемых формально (например, электротепловая аналогия).

При наблюдении за объектом в голове исследователя формируется мысленный образ объекта, который принято называть когнитивной моделью (мысленной, способствующей познанию) (рис. 1.17).

Представление когнитивной модели на естественном языке называется содержательной моделью. В технике содержательную модель часто называют технической постановкой проблемы.

По функциональному признаку и целям содержательные модели подразделяются на описательные, объяснительные и предсказательные.

Концептуальной моделью принято называть содержательную модель, при формулировке которой используются понятия и представления предметных областей знания, занимающихся изучением объекта моделирования.

Концептуальные модели базируются на определенной концепции или точке зрения и подразделяются на три вида:

логико-семантические, структурно-функциональные и причинно-следственные.

Логико-семантическая модель является описанием объекта в терминах соответствующей области знаний с логически непротиворечивыми утверждениями и фактами.

При построении структурно-функциональной модели объект рассматривается как целостная система, расчлененная на отдельные подсистемы и элементы.

Причинно-следственная модель используется для прогнозирования поведения объекта.

Рис. 1.17. Взаимосвязь моделей Формальная модель является представлением концептуальной модели с помощью одного или нескольких формальных языков (языков математических теорий, алгоритмов).

Математическая модель – это идеальная научная знаковая формальная модель, в которой описание объекта осуществляется на языке математики, а исследование модели проводится с использованием тех или иных математических методов.

Информационные модели получили распространение с развитием вычислительной техники и представляют по существу информационные справочники, реализованные с помощью систем управления базами данных. Они не могут генерировать новые знания, отсутствующие в базе данных.

1.3. Классификация математических моделей Параметры математических моделей могут иметь различную «математическую природу»: могут быть постоянными величинами, функциями, скалярами, векторами, тензорами различных рангов и т.д.

Варианты описания неопределенных параметров (рис. 1.18):

1) детерминированное – каждому параметру модели соответствует конкретное целое, вещественное, комплексное число, либо функция;

2) стохастическое – значения отдельных параметров определяются случайными величинами, заданными плотностями вероятностей;

3) случайное – значения отдельных параметров модели устанавливаются случайными величинами, полученными в результате обработки экспериментальной выборки данных параметров;

4) интервальное – отдельные параметры задаются интервальными величинами от минимального до максимального значений;

5) нечеткое – параметры модели описываются функциями принадлежности нечеткому множеству («много больше пяти», «около нуля» и т.д.). Разделение моделей на одномерные, двухмерные, трехмерные зависит от координат пространства; увеличение размерности усложняет модель и предполагает использование многопроцессорных компьютеров с использованием языков параллельных вычислений.

По отношению ко времени:

1) в квазистатических процессах скорость изменения внешних воздействий на объект моделирования существенно меньше скорости релаксации;

2) в динамических процессах скорость изменения внешних воздействий на объект моделирования велика по сравнению со скоростью релаксации;

3) в стационарных процессах значения параметров в фиксированной точке модели не зависят от времени;

4) в нестационарных процессах время является существенной независимой переменной.

Методы реализации математических моделей подразделяются на аналитические и алгоритмические (рис. 1.19).

Рис. 1.18. Классификация математических моделей в зависимости от параметров

Рис. 1.19. Классификация в зависимости от методов реализации

Примеры аналитических выражений:

n x ak x k xk + 1, lim 1 + – алгебраические;

n n k =0 xx x e x = 1 + + + +... – приближенное (точность 10–4 1! 2! 3!

обеспечивают 6 членов разложения, точность 10-8 – 10 членов).

Аналитические методы получили новый виток в развитии с появлением пакетов символьных вычислений (Derive, MatLab, Mathcad, Maple, Mathematica и др.).

При численном подходе совокупность математических соотношений модели заменяется конечноразностным аналогом и последующим приближенным решением алгебраических уравнений. Разработка и использование численных методов является предметом вычислительной математики.

При имитационном моделировании на отдельные элементы разбивается сам объект исследования, система математических соотношений заменяется некоторым алгоритмом, моделирующим взаимодействие друг с другом моделей отдельных элементов системы.

1.4. Этапы разработки математических моделей Процесс разработки математических моделей трудоемок, длителен, связан с использованием труда различных специалистов и может быть представлен последовательностью этапов (рис. 1.20).

Рис. 1.20. Этапы построения математической модели

1.5. Вопросы для самоконтроля

1. Какова роль процессов тепломассообмена в металлургии?

2. Какими технологиями в металлургии достигается минимизация тепловых потерь и энергоресурсов?

3. Что такое модель и моделирование?

4. Назовите примеры из истории моделирования в металлургии.

5. Цели моделирования на различных этапах производства слитков: шихтовке, плавке, смесеприготовлении, формовке, разливке, охране окружающей среды.

6. Цели моделирования при производстве слитков.

7. По каким классификационным признакам можно различать модели?

8. Какие существуют типы моделирования?

9. Назовите характерные особенности аналоговых моделей.

10. Что такое когнитивная модель, содержательная модель?

11. Каковы особенности детерминированного и неопределенного моделирования?

12. Перечислите этапы построения математических моделей.

2. Основные понятия стохастического моделирования

2.1. Моделирование в условия неопределенности

Известные закономерности, описывающие объекты в металлургии, можно условно разделить на две группы:

1) детерминированные (однозначно определенные);

2) находящиеся в условиях неопределенности.

Граница, отделяющая случайное событие от неслучайного, очень размытая. В чистом виде однозначно определенных процессов, по-видимому, нет. При описании достаточно сложных процессов закономерности всегда носят стохастический характер.

Причины появления неопределенности:

• показатели объекта зависят от большого количества факторов, часть которых может быть неизвестна исследователю;

• при построении модели обычно ограничиваются отбором наиболее существенных (по мнению субъекта или в силу объективных обстоятельств) переменных, что приводит к огрублению модели;

• математические погрешности, возникающие при линеаризации модели или использовании разложения в ряд при ограничении на число членов ряда; ошибки измерений, погрешности при проведении эксперимента и т.д.

В зависимости от полноты описания неопределенность можно разбить на три основные группы: неизвестность, недостоверность и неоднозначность (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Виды описания неопределенности Неизвестность – это начальная стадия описания неопределенности, при которой информация полностью отсутствует.

Недостоверность – это вторая стадия описания неопределенности, которая для различных этапов сбора информации может классифицироваться как неполнота, недостаточность, недоопределенность и неадекватность. Неполнота характеризуется тем, что собрана не вся возможная информация; недостаточность – собрана не вся необходимая информация. Недоопределенность – для некоторых элементов определены не их точные описания, а лишь множества, которым эти описания принадлежат; неадекватность – когда имеет место описание, не всегда удовлетворяющее целям исследования.

Неоднозначность – это конечная (по полноте возможного описания) степень неопределенности, когда вся возможная информация собрана, но полностью необходимое описание не получилось.

Математически неопределенность может быть описана стохастически, статистически, с позиций теории нечетких множеств, а также интервально (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Формы описания неопределенности

Стохастическое описание используется тогда, когда неопределенные параметры имеют вероятностный (случайный) характер, при этом необходимо, чтобы был определен закон распределения таких случайных параметров.

Статистическое описание является, по существу, частным случаем стохастического описания. Эту форму описания применяют, когда заданы только выборочные оценки какихлибо характеристик случайной величины.

При описании с позиций нечетких множеств неопределенный параметр задается некоторым множеством возможных его значений, характеризующих принадлежность (с помощью функции принадлежности) объекту. Функция принадлежности может принимать значение от 1 (полная принадлежность) до 0 (полная непринадлежность).

Интервальное описание можно использовать, когда неопределенные параметры заданы только диапазонами возможных значений (верхней и нижней границами), причем параметр может принимать любое значение внутри интервала и ему нельзя приписать никакой вероятностной меры.

2.2. Функция распределения и плотность распределения случайной величины

Опыт – это осуществление какого-нибудь комплекса условий, который может быть воспроизведен много раз.

Под событием понимается результат опыта или наблюдения. События могут быть элементарными (неразложимыми) и составными (разложимыми).

Элементарное событие происходит в результате единичного опыта. Составное событие – это совокупность элементарных событий.

Пример 1. Игральный кубик подбрасывается 2 раза.

Пусть составное событие определено следующим образом: «сумма выпавших цифр равна 6». Тогда элементарными будут события «5 + 1», «4 + 2», «3 + 3», «2 + 4» и «1 + 5». Любые другие сочетания не относятся к рассматриваемому составному событию.

Генеральной совокупностью называют совокупность событий, которые могут быть реализованы в результате бесконечного числа однотипных опытов. Выборочной совокупностью, или выборкой, называют совокупность случайно отобранных событий из генеральной совокупности.

Объемом совокупности называют число событий N этой совокупности.

Случайной величиной называют переменную величину, которая в результате опыта может принимать различные значения. Случайные величины обычно обозначают большими буквами, например Х. Значения случайной величины, которые она принимает в результате опыта, обозначают малыми буквами x1, x2,..., xn. При массовых испытаниях каждое из возможных значений случайной величины x1, x2,..., xn может встретиться m1, m2, …, mn раз. Эти числа называют частотами.

Весь набор значений случайной величины образует генеральную совокупность Nx. Отсеянные из генеральной совокупности Nx значения грубых ошибок образуют выборку объемом N. Если всего было проведено Nx опытов, то в результате выборки n

–  –  –

Пример 2.

В литейном цехе появление брака в отливках связано с различными элементами технологического процесса:

из-за низкого качества литейной формы (песчаные раковины, обвалы, ужимины и др.); вследствие нарушения технологического процесса плавки и внепечной обработки металла (неметаллические включения, газовые раковины, пористость и др.);

из-за нарушения режима заливки формы (шлаковые включения, корольки, спаи и др.). Каждый из указанных элементов процесса независимо от другого может быть причиной окончательного брака в отливке.

Пусть вероятность получения качественной отливки без дефектов «по вине» формы р(ф) = 0,98; по вине металла р(м) = 0,93;

по вине заливки р(з) = 0,99. Необходимо оценить надежность технологического процесса в целом, т.е. определить вероятность получения бездефектной отливки р(фмз).

Решение. По формуле (2.3) находим:

р(фмз) = р(ф) р(м) р(з) = 0,98 0,93 0,99 = 0,90.

Для несовместных событий (они не могут наступить одновременно) справедлива теорема сложения вероятностей:

p ( A1 + A2 +... + An ) = p ( A1 ) + p ( A2 ) +... + p ( An ). (2.4)

Из этой теоремы вытекают два следствия:

1. Для полной группы несовместных событий сумма их вероятностей равна единице:

n

–  –  –

Пример 3. В партии поковок доля брака составляет 3 % (р(А) = = 0,03).

Здесь событие А состоит в выборе дефектной детали.

Противоположное ему событие, состоящее в выборе годной детали, будет. По формуле (2.6) находим p ( A ) = 1 p ( A ) = 1 0,03 = = 0,97, т.е. партия поковок содержит 97 % годных деталей.

Законом распределения случайной величины называют любое правило (таблицу, функцию), позволяющее находить вероятности всевозможных событий.

Случайные величины бывают дискретными и непрерывными.

Дискретными случайными величинами называют такие, которые могут принимать конечное и счетное множество возможных значений.

Непрерывными случайными величинами называют такие, которые в некотором интервале могут принимать любое значение.

Число бракованных поковок в различных выборках из генеральной совокупности есть дискретная случайная величина, а размер этих изделий – непрерывная случайная величина.

Всякую непрерывную случайную величину можно задать в виде дискретной, если все возможные ее значения разбить на интервалы и задать вероятности появления этих интервалов (из-за ограниченности измерительных средств все замеры непрерывных величин задаются в дискретном виде). Случайные величины характеризуются функциями распределения вероятностей.

Интегральной функцией распределения F(xi) случайной величины X называется вероятность того, что случайная величина примет значения, не превосходящие хi, т.е. попадет в интервал (–, хi):

F(xi) = р(X xi).

Задание F(xi) и определяет закон распределения случайной величины Х (рис. 2.3).

В большинстве практически важных случаев распределение случайных величин может быть задано с помощью введения функции плотности вероятностей f (x) (дифференциальной функции распределения). Здесь х – вектор, компонентами которого являются величины хi.

Рис. 2.3. Интегральная функция распределения

–  –  –

График плотности распределения f(x) называется кривой распределения случайной величины (рис. 2.4). Исходя из геометрической интерпретации интеграла как площади соответствующей криволинейной трапеции заключаем, что для произвольного х0 + число F(x0) равно площади под кривой распределения, лежащей левее прямой X = х0. Аналогично интерпретируется вероятность р(x1 x x2).

Рис. 2.4. Плотность распределения случайной величины

Случайная величина x, для которой существует плотность распределения f(x), называется непрерывной.

Если под случайной величиной x понимать продолжительность безотказной работы объекта, то произведение f(х)dх есть вероятность отказа объекта в интервале времени (х1, х2). Значение функции распределения F(х) равно вероятности отказа объекта до момента х. В теории надежности часто употребляют такое понятие, как вероятность безотказной работы р(х), которое является дополнительным понятием к функции распределения F(x).

Значение вероятности безотказной работы в точке х равно вероятности того, что случайная величина X превысит х, т.е.

изделие будет работать безотказно в течение времени x:

Р(х) = 1 – F(х) = р{X х}.

Функция Р(х) называется также функцией надежности.

Примерные графики функции распределения F(х) и функции надежности Р(х) изображены на рис. 2.5.

Рис. 2.5. Графики функции распределения F(x) и функции надежности P(x)

2.3. Меры положения и рассеяния кривой распределения Кривая распределения плотностей вероятностей случайной величины характеризуется своим положением на оси абсцисс и рассеиванием случайной величины. Для оценки положения и рассеяния кривой распределения вводятся соответствующие критерии, или меры.

К мерам положения относятся: мода, математическое ожидание и медиана случайной величины.

К мерам рассеяния относятся: дисперсия, стандартное отклонение и размах.

Модой распределения (Mо) называется наиболее вероятное значение случайной величины X. Плотность вероятности f(х) принимает максимальное значение в окрестности моды. Функция распределения плотности вероятностей может иметь одно или несколько максимальных значений в разных местах области (рис. 2.6).

Рис. 2.6. Кривые распределения случайной величины X:

а – одномодальная; б – двухмодальная; в – антимодальная

–  –  –

Рис. 2.8. Распределение Гаусса

• x – мода;

• – характеризует кучность распределения погрешностей около x ; чем меньше, тем кучнее распределяются случайные величины около x (рис. 2.9).

–  –  –

4. На расстоянии ± 3 от вершины кривой ее ветви так близки к оси абсцисс, что в пределах ± 3 99,7 % всей площади ограничивается кривой. Принято считать, что на расстоянии ± 3 от вершины кривой ее ветви пересекаются с осью абсцисс, и в этих пределах заключена вся площадь кривой, т.е.

100,0 %. Погрешность в этом случае составляет 0,3 %, что допустимо при решении многих задач производства.

5. – это мера рассеяния, мера точности. На основании п. 4 справедливо утверждение, что разброс 6.

С использованием закона Гаусса вероятный процент брака вычисляется следующим образом (считаем, что все детали партии имеют действительные размеры в пределах поля рассеяния):

xmax – xmin = 6, где xmax, xmin – максимальное и минимальное значения параметра (размера). При этом площадь, ограниченная кривой нормального распределения и осью абсцисс, равна единице и определяет 100 % заготовок партии. Площадь заштрихованных на рис. 2.10 участков представляет собой количество деталей, выходящих по своим размерам за пределы допуска.

Рис. 2.10. К определению количества годных деталей

–  –  –

Отметим свойства функции Лапласа: Ф(0) = 0; Ф(–х) = = –Ф(х) (функция нечетная); Ф( ) = 1/2. Из рис. 2.11 видно, что кривые F(х) и Ф(x) эквидистантны.

Пример 5. На металлургическом заводе проведено контрольное определение твердости по Шору рабочего слоя большой партии однотипных листопрокатных валков.

Установлено, что твердость (случайная величина x) распределена нормально с математическим ожиданием 60 ед. по Шору и средним квадратическим отклонением 5 ед. по Шору. Необходимо найти вероятность того, что значение твердости валков заключено в пределах 57–65 ед. Шора, оговоренных ГОСТом.

Решение. Используем формулу (2.29). По условию задачи x1 = 57; x2 = 65; M x = 60; = 5, следовательно,

–  –  –

Вероятность того, что абсолютное отклонение будет меньше утроенного стандартного отклонения, равна 0,9973, и большие отклонения практически невозможны. В этом состоит «правило трех сигм»: при нормальном распределении случайной величины абсолютная величина её отклонения от математического ожидания не превышает утроенного стандартного отклонения.

Это правило применяют для проверки нормальности распределения изучаемой величины и для выявления грубых ошибок (промахов) в экспериментальных данных.

Пример 6. Величина отбеленного рабочего слоя валов после чистовой обработки является нормально распределенной случайной величиной со средним квадратичным отклонением x = 1 мм.

Необходимо определить вероятность брака валов по причине малого и большого отбела, если бракуются валы, отбел которых отклоняется от требований технических условий более, чем на 2 мм.

Решение. Используем формулу (2.32). По условию задачи = 2 мм; x = 1 мм, следовательно, вероятность получения годной продукции p ( X 2 ) = 2Ф ( 2 1) = 2Ф ( 2 ) = 0,9544.

Вероятность получения брака равна вероятности противоположного события:

p ( X 2 ) = 1 0,9544 0,05.

Экспоненциальное распределение

Экспоненциальное распределение характерно для внезапных отказов элементов и систем. Плотность вероятности экспоненциального распределения задается уравнением:

f ( x ) = e лx, F ( x ) = 1 e лx, (x) =, x 0, (2.34) где параметр распределения, являющийся строго положительной константой.

Среднее значение x и стандартное отклонение экспоненциального распределения совпадают и равны обратному значению параметра x = = 1/. Графики функций F(х) и f(x) приведены на рис. 2.12.

Рис. 2.12. Графики плотности f(x), интенсивности отказов (x) (а) и функции F(x) экспоненциального распределения (б)

Свойства экспоненциального распределения:

• интенсивность отказов (х) постоянна, т.e. не зависит от аргумента (значения случайной величины).

• вероятность безотказной работы на данном интервале не зависит от времени предшествующей работы, а зависит от длины интервала. Это значит, что будущее поведение элемента не зависит от прошлого, если в данный момент он исправлен.

Равномерное распределение Если погрешность измерений с одинаковой вероятностью может принимать любые значения, не выходящие за некоторые границы, то такая погрешность описывается равномерным законом распределения. Распределение по закону равной вероятности встречается, когда наряду со случайными факторами, вызывающими рассеивание, действует доминирующий систематический фактор, непрерывно и равномерно изменяющий во времени положение центра группирования Mx. Графически такое распределение случайной величины отображается прямоугольником (рис. 2.13).

Рис. 2.13. Распределение случайной величины по закону равной вероятности Если рассеяние размеров зависит только от переменных систематических погрешностей, от износа режущей кромки инструмента, то распределение действительных размеров партии деталей подчиняется закону равной вероятности.

Например, при установившемся износе режущего инструмента уменьшение его размеров во времени подчиняется прямолинейному закону, что соответственно увеличивает (при обработке валов) или уменьшает (при обработке отверстий) диаметры обрабатываемых заготовок. Тогда в момент времени t1 вал будет иметь размер а, в момент времени t2 b. Естественно, что изменение размеров обрабатываемых заготовок тоже происходит по закону прямой линии.

При изменении случайной величины X в интервале от a до b плотность f(x) постоянна и равна С; вне этого интервала она равна нулю.

Так как площадь, ограниченная кривой распределения:

b C ( b a ) = 1, отсюда C = f (x)dx = 1,. (2.35) ba a

–  –  –

Равномерное распределение наиболее характерно для неисключенных систематических погрешностей (погрешность от трения в опорах электромеханических приборов, погрешность дискретности в цифровых приборах и др.). Если отсутствуют данные о виде распределения систематической погрешности, то они принимаются равномерными, так как оцениваются границами (пределами) допускаемых погрешностей.

–  –  –

Для более подробного описания распределения используются моменты более высоких порядков.

Третий центральный момент (М3) характеризует асимметрию распределения случайных погрешностей, т.е. скошенность (рис. 2.15). Коэффициент асимметрии:

n

–  –  –

Четвертый центральный момент (М4) характеризует форму (крутизну кривой), плосковершинность или островершинность распределения случайных погрешностей (рис.

2.16) и описывается с помощью эксцесса:

n

–  –  –

M Ek = 44 3 = i =1 3. (2.43) у Число 3 вычитают потому, что для нормального распределения погрешностей M4 = 3, следовательно, Ek = 0, т.е. в качестве кривой с нулевым эксцессом принята кривая нормального распределения.

Выражение 1 / Ek называется контрэксцессом. Если Ek 0, то говорят, что имеется положительный эксцесс, т.е. вершина кривой находится выше кривой нормального распределения. Если Ek 0 – имеется отрицательный эксцесс и вершина кривой находится ниже вершины кривой нормального распределения.

Рис. 2.16. Плосковершинность и островершинность распределения случайных погрешностей

–  –  –

Пусть Х – непрерывный количественный случайный признак с функцией распределения F(x) и плотностью распределения f(х).

Квантилью порядка Р или Р-квантилью распределения F(x) называется величина xP, являющаяся решением уравнения F(xР) = P, 0 P 1. (2.44) Поскольку для непрерывного признака ее функция распределения F(x) непрерывная и монотонно возрастающая, решение уравнения (2.44) – единственно (рис. 2.17).

Квантиль порядка Р = 0,5 называется медианой распределения (рис. 2.18). Ордината Рис. 2.17. К определению квантиля медианы рассекает площадь между кривой плотности вероятности и осью абсцисс пополам.

Для непрерывного признака ее функция распределения имеет вид:

x

–  –  –

2.7. Интервальные оценки истинного значения Рассмотренные ранее оценки результата измерения ( x, ), выраженного одним числом, называются точечными оценками. Более полным и надежным способом оценки случайных величин является определение интервальной оценки, которая с заданной степенью достоверности включает в себя значение оцениваемого параметра.

Вероятность того, что случайная погрешность не выйдет за пределы интервала [x1, x2], называется доверительной вероятностью, а сам интервал – доверительным:

= р(хн х хв) = 1–, (2.45) где хmin = х – х1, хmax = х + х2 – нижняя и верхняя доверительные границы параметра х; – уровень значимости ( = р(хн х хв) = = 1– ).

Доверительный интервал характеризует степень воспроизводимости результатов измерений, причем при большом доверительном интервале наблюдается большая доверительная вероятность. Таким образом, доверительный интервал и доверительная вероятность – основные характеристики случайной погрешности.

Наиболее часто значения доверительных вероятностей принимают равными 0,90; 0,95; 0,99 или уровни значимости соответственно 0,10; 0,05; 0,01. В технических измерениях ограничиваются доверительной вероятностью = 0,95.

При нормальном законе распределения случайных погрешностей часто пользуются доверительным интервалом от +3 до –3, для которого доверительная вероятность равна 0,9973. Такая доверительная вероятность означает, что в среднем из 370 случайных погрешностей только одна по абсолютному значению будет больше 3.

Различного рода ошибки, влияющие на правильность принятия решения о техническом состоянии объекта, неизбежно возникают в процессе диагностирования.

Основные причины ошибок диагностирования:

• неточное измерение и преобразование контролируемого параметра;

• неточное сравнение измеренного значения параметра с нижним и верхним допустимыми пределами;

• ненадежное функционирование средств контроля в процессе диагностирования.

При диагностировании могут возникнуть различные ошибки.

Будем считать состояние S1 исправным, а состояние S2 неисправным. Если при исправном состоянии объект диагностируется как неисправный, то это называется ошибкой первого рода (ложным отказом). Если неисправный объект при диагностике признан исправным, то это ошибка второго рода (пропуск дефекта).

В дальнейшем будем обозначать вероятность ошибки первого рода буквой 1, а вероятность ошибки второго рода – 2.

Ошибка, относящаяся к диагнозу S1 (принимается решение о наличии диагноза S2, когда в действительности объект принадлежит диагнозу S1), называется ошибкой первого рода.

Ошибка, относящаяся к диагнозу S2 (принимается решение в пользу диагноза S1, когда справедлив диагноз S2), называется ошибкой второго рода.

Поясним смысл вышеуказанных ошибок на конкретном примере. Пусть производится диагностирование объекта по одному параметру x. Задача состоит в выборе значения x0 параметра x таким образом, что при x x0 следует принимать решение о снятии объекта с эксплуатации, а при x x0 – допустить дальнейшую эксплуатацию.

С учетом ошибок диагностирования распределение значений параметра x для исправных и неисправных объектов показано на рис. 2.20. Из рисунка видно, что области исправного S1 и неисправного S2 состояний пересекаются, потому принципиально невозможно выбрать значение x0, при котором в результате технического диагностирования было бы принято безошибочное решение. Заштрихованные на рис. 2.20 площади под кривыми f (x|S1) и f (x|S2) характеризуют вероятности ошибочных решений при диагностировании объекта.

Вероятность исправного состояния (ошибка первого рода 1):

p ( x x0 S1 ) = f ( x S ) dx =, (2.46) x0 Рис. 2.20. Распределение плотности вероятности значений параметра x для исправного S1 и неисправного S2 состояний объекта

–  –  –

Значения ошибок характеризуют качество процесса диагностирования в целом, а это значит, что они должны учитываться при задании и определении показателей диагностирования. Это можно сделать следующим образом. Например, при измерении параметров во время диагностирования кривая рассеяния может занимать внутри поля допуска различные положения (рис. 2.21), и в этом случае нельзя определить, какому участку поля рассеяния они соответствуют. Так, например, точки А и В могут принадлежать кривым 1 и 2, расположение которых могут подтверждать годность объекта, но могут относиться к кривым 1а и 2а (ошибки второго рода), в значительной части выходящими за пределы допуска, показывая тем самым брак контролируемого объекта (заштрихованные участки).

Для исключения опасности появления ошибок второго рода при контроле в случае, когда поле допуска превышает поле рассеяния, т.е., необходимо с помощью настройки обеспечить расположение кривой фактического распределения размеров внутри поля допуска с таким расчетом, чтобы ее центр группирования (математическое ожидание Мx) отстоял от предельных размеров не менее, чем на 3.

Рис. 2.21. Возможные положения кривых распределения размеров относительно поля допуска при 6 Доверительная вероятность определяет область допустимых значений, а уровень значимости – критическую область, т.е. вероятность того, что х выйдет за пределы [ x1, x2 ]. Выбираемое значение должно быть достаточно малым, чтобы не была совершена ошибка первого рода, т.е. чтобы не была забракована правильная оценка. С другой стороны, слишком малое значение может привести к ошибке второго рода, когда будет принята ложная оценка. Уровень значимости лежит в пределах 0,02 0,1.

2.8. Представление параметров распределения

Множество однотипных объектов из генеральной совокупности значений случайной величины X (x1, x2, …, xn) на практике характеризуется и представляется:

• эмпирической функцией распределения;

• полигоном частот;

• гистограммой частот.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию FX(x), определяющую частоту того, что случайная величина X в результате испытания примет значение, меньшее x, т.е.

FX (x) = W (X x). (2.48) Таким образом, эмпирическая функция распределения выборки неубывающая и служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

Полигоном частот называю ломаную, отрезки которой соединяют точки (x1; n1), (x2; n2),…, (xk; nk), где ni, i = 1,…, k – частоты (число наблюдений), при которых отмечалось значение признака, равное xi. Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты xi, а на оси ординат – соответствующие им частоты ni. При этом сумма всех частот равна объему выборки.

Пример 1. Построить полигон частот (рис. 2.22) для следующего распределения:

xi 1 4 5 7 ni 20 10 14 6

–  –  –

2.9. Основы корреляционного и регрессионного анализа Целью моделирования любого технологического процесса является установление количественной зависимости выходного параметра от одного или группы входных параметров, которые могут изменяться случайно. В функциональной связи Y = f (X) каждому значению независимой переменной X отвечает одно вполне определенное значение зависимой переменной Y. Если независимой переменной соответствует несколько значений Y, то связь между переменными X и Y приобретает статистический характер и называется корреляционной.

Простейшей и распространенной зависимостью между величинами X и Y является линейная регрессия. Оценка тесноты или силы связи между величинами X и Y осуществляется методами корреляционного анализа.

Рассмотрим линейную регрессию от одного параметра (рис. 2.24). Пусть для произвольного фиксированного значения x получено несколько значений Y. Предполагается, что величина Y распределена нормально с математическим ожиданием

–  –  –

метрами генеральной совокупности.

Рис. 2.24. Корреляционное поле зависимости Y = f (х) с эмпирической (1) и теоретической (2) линиями регрессии Для оценки этих неизвестных величин по выборке объемом n сопряженных пар значений x1, y1; x2, y2; …; xn, yn в декартовой системе координат можно построить корреляционное поле, содержащее n точек. Если нанести на поле средние значения yi, соответствующие всем значениям переменной xi, то зависимость y от x станет более очевидной.

Ломаная линия, соединяющая точки yi, отнесенные к серединам интервалов xсрi, называется эмпирической линией регрессии. С увеличением числа опытов ломаная линия сглаживается и приближается к предельной линии – теоретической линии регрессии.

–  –  –

Отсюда видна непосредственная связь коэффициента корреляции r и коэффициента k в уравнении линейной регрессии, их знаки всегда совпадают.

Выражения (2.58), (2.59) выражают тесноту и вид связи между переменными x и y.

2.10. Вопросы для самоконтроля

1. Сформулируйте основные причины появления неопределенностей. Какие из них являются субъективными, а какие – объективными?

2. Как описывается неопределенность математически?

3. Приведите примеры математического описания неопределенностей в металлургии.

4. Когда в задаче математического моделирования применяется стохастическое описание переменных?

5. Дайте определение функции и плотности распределения.

6. Меры положения и рассеяния кривой распределения.

Объясните различие между модой, медианой и математическим ожиданием.

7. Что характеризуют дисперсия, стандартное отклонение, коэффициент корреляции?

8. Дайте характеристики законам распределения: нормальному, экспоненциальному, равномерному.

9. Что характеризуют начальный и центральные моменты?

10. Квантили распределения.

11. Интервальные оценки, доверительные интервал и вероятность.

12. Ошибки диагностирования первого и второго рода, их значение.

13. Способы представления параметров распределения: эмпирическая функция распределения, полигон частот, гистограмма частот.

14. Что такое корреляционное поле, линии регрессии?

15. Метод наименьших квадратов для получения уравнения линейной регрессии.

16. Коэффициент корреляции, его смысл.

3. Математические модели теплофизики металлургических процессов с детерминированными структурами

3.1. Законы конвективного тепломассообмена Процессы конвективного тепло- и массообмена происходят в результате движения теплоносителя (жидкости или газа) и всегда тесно связаны с соответствующими процессами молекулярного переноса (теплопроводностью и диффузией).

В зависимости от причины движения теплоносителя различают конвекцию вынужденную и свободную (естественную).

В первом случае движение теплоносителя обусловлено внешними причинами: насосом, вентилятором, компрессором и т.п. Во втором случае движение теплоносителя вызвано неоднородностью температур или концентраций компонент теплоносителя.

Конвективная теплоотдача играет важную роль при нагреве металла в печах, при химико-термической обработке металла, формировании слитка. При этом, как правило, основную роль играет вынужденная конвекция, однако и свободно конвективный теплообмен определяет теплоотдачу от нагретых поверхностей в окружающую среду.

При конвективном тепломассообмене перенос теплоты неразрывно связан с переносом массы. Если текучая среда плотностью [кг/м3] движется в направлении оси x со скоростью ux [м/с], то ее массовая скорость характеризует массу среды, проходящей в единицу времени через единичную площадку

–  –  –

Коэффициент теплоотдачи характеризует плотность теплового потока на границе текучей среды и соприкасающегося с ней тела, отнесенную к температурному напору.

Таким образом, плотность теплового потока при конвективном теплообмене между поверхностью тела и окружающей средой определяется уравнением теплоотдачи:

–  –  –

Аналогичное уравнение описывает массоотдачу.

При этом плотность потока массы i-го компонента смеси определяется суперпозицией концентрационной, термо- и бародиффузии:

–  –  –

где DT, D p – коэффициенты термо- и бародиффузии, DT = kT D, D p = k p D ; kT, k p – термо- и бародиффузионные отношения, kT = DT D, k p = D p D.

Коэффициент пропорциональности D характеризует концентрационную диффузию и называется коэффициентом концентрационной диффузии

–  –  –

Коэффициент концентрационной диффузии (коэффициент диффузии) характеризует плотность потока массы i-го компонента смеси при единичном градиенте концентрации примеси.

Термодиффузия происходит в смеси с неоднородной температурой: более тяжелые молекулы стремятся перейти в холодные области (эффект Соре).

Бародиффузия происходит в смеси с неоднородным давлением: тяжелые молекулы стремятся перейти в область повышенного давления.

При равенстве молекулярных масс компонентов смеси термо- и бародиффузия отсутствует, основную роль играет концентрационная диффузия, соотношение (3.8) переходит в закон Фика.

3.2. Уравнения конвективного тепломассообмена Дифференциальное уравнение неразрывности Дифференциальное уравнение неразрывности (сплошности) вытекает из закона сохранения массы текучей среды и накладывает, поэтому, ограничения на скорости течения. Этот закон постулирует следующее: изменение массы контрольного объема в некоторый промежуток времени течения среды должно компенсироваться изменением ее плотности за этот же промежуток времени. Вывод уравнения рассмотрим на примере одномерного течения в канале (рис. 3.2).

Рис. 3.2. Расчетная схема к выводу уравнения неразрывности

В некотором сечении канала x с площадью поперечного сечения f среда объемом fdx плотностью течет со скоростью u в направлении возрастания координаты x.

Используя понятие массовой скорости u, кг/(м2с), запишем расход массы за время d через левую и правую грани контрольного объема:

–  –  –

Полученное одномерное уравнение неразрывности распространяется и на трехмерный случай, когда массовая скорость изменяется и в направлении двух других координат:

–  –  –

где u, v, w – проекции скорости соответственно на оси x, y, z.

В частном случае для среды с постоянной плотностью (несжимаемой, = const) уравнение неразрывности переходит в уравнение несжимаемости:

–  –  –

т.е. скорость в канале постоянного сечения не изменяется в направлении течения.

Для произвольной системы координат уравнение неразрывности (3.11) может быть записано в обозначениях теории поля:

–  –  –

где G, кг/c – массовый секундный расход в канале площадью поперечного сечения f. Из последнего уравнения следует постоянство расхода при стационарном течении в канале:

–  –  –

а при течении несжимаемой среды ( = const) из уравнения (3.16) следует обратно пропорциональная зависимость между скоростью течения и площадью поперечного сечения канала:

скорость возрастает в сужающихся и падает в расширяющихся участках канала.

Дифференциальное уравнение переноса энергии

Дифференциальное уравнение переноса энергии характеризует зависимость между температурой, временем и координатами в дифференциальной форме и является частным случаем первого закона термодинамики:

Q = dU + A, (3.17) в соответствии с которым подводимая теплота dQ расходуется на увеличение внутренней энергии dU и на работу расширения dA.

В результате для одномерного случая (рис.

3.3) из (3.17) можно получить следующее дифференциальное уравнение:

–  –  –

Дифференциальное уравнение движения В уравнение переноса энергии входят компоненты скоростей вязкой среды. Следовательно, для нахождения поля температур необходимо знать поле скоростей. Такое поле описывается уравнением движения, являющимся частным случаем второго закона Ньютона. Рассмотрим одномерное течение с изменением скорости в поперечном направлении. Для выделенного на рис.

3.4 контрольного объема запишем второй закон Ньютона:

du dm = df1 + df 2 + df 3, (3.20) d где df1, df2 и df3 – соответственно равнодействующие сил тяжести, внешнего давления и вязкого трения.

–  –  –

в котором составляющие правой части характеризуют соответственно силы тяжести, внешнего давления и вязкого трения, а левой части – инерционные силы. Физический смысл полученного уравнения заключается в равновесии указанных сил для элементарного объема вязкой среды.

В трехмерном случае в левой части уравнения (3.22) появляются дополнительные конвективные члены, характеризующие пространственный перенос среды, а также добавки к силам трения, действующим по всем граням контрольного объема в форме параллелепипеда.

В результате уравнение движения в проекции на ось x принимает следующий вид:

1 p du = gx + 2u, (3.23) d x

–  –  –

Дифференциальное уравнение теплоотдачи в пограничном слое Теплоотдачей называется теплообмен между твердой поверхностью и вязкой средой, обтекающей эту поверхность.

Практика показывает, что плотность теплового потока при теплоотдаче прямо пропорциональна разности температур вязкой среды Тc и поверхности твердого тела Тп, называемой температурным напором.

Примем для определенности Тп Тc, тогда уравнение теплоотдачи (уравнение Ньютона) будет иметь вид:

q = (Tп Tс ), (3.25)

где [Вт/(м2·К] – коэффициент теплоотдачи, равный плотности теплового потока на твердой границе при единичном температурном напоре. Коэффициент теплоотдачи может изменяться от нуля до бесконечности. Действительно, как следует из (3.25), при = 0 q = 0 (адиабатная поверхность), а при q/ = 0 и Тп = = Тс (изотермическая поверхность). Решить уравнение (3.25) относительно неизвестного коэффициента теплоотдачи без привлечения дополнительной гипотезы не удается, так как не известна плотность теплового потока у твердой границы.

Для формулировки этой гипотезы рассмотрим понятие гидродинамического пограничного слоя, введенное Л. Прандтлем в 1904 г., на примере обтекания плоской поверхности потоком вязкой среды, движущейся с постоянной скоростью uc параллельно этой поверхности (рис. 3.5). Частицы среды у твердой поверхности тормозятся, что является причиной искажения профиля скорости. Это искажение можно характеризовать градиентом u y, который обращается в нуль на некотором удалении от поверхности в невозмущенном потоке.

Динамическим пограничным слоем называется слой заторможенной вязкой среды толщиной д у твердой поверхности, в пределах которого u y 0.

Рис. 3.5. Схема к понятию динамического пограничного слоя Аналогично понятию динамического пограничного слоя Г. Кружилин в 1936 г. ввел понятие температурного пограничного слоя. При движении у твердой поверхности частицы вязкой среды, имеющие температуру Тc, при торможении у поверхности нагреваются до температуры этой поверхности Тп (рис. 3.6). Температурным пограничным слоем называется слой вязкой среды толщиной т у твердой поверхности, в пределах которого T y 0.

Рис. 3.6. Схема к понятию температурного пограничного слоя

На практике толщины пограничных слоев определяют как расстояния от твердой стенки до поверхностей, на которых скорость и температура составляют 99 % от их значений в невозмущенной среде (uc, Тc).

Суть гипотезы пограничных слоев состоит в том, что сила вязкого трения S y = µ ( u y ) проявляется в пределах динамического пограничного слоя, а процесс теплоотдачи осуществляется в пределах температурного пограничного слоя и подчиняется закону теплопроводности Фурье q = ( T y ).

Подставляя эту плотность теплового потока из закона Фурье в уравнение теплоотдачи (3.25), получаем уравнение теплоотдачи в пограничном слое:

T y, = (3.26) Tп Tс коэффициент теплопроводности в котором относится к вязкой среде в пограничном слое.

Условия однозначности Система дифференциальных уравнений конвективного теплообмена описывает бесконечное множество процессов. Чтобы выделить конкретный процесс и определить его единственное решение, систему дифференциальных уравнений нужно замкнуть условиями однозначности, дающими математическое описание всех частных особенностей рассматриваемого явления.

Различают следующие виды условий однозначности.

1. Геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела или системы, в которой протекает процесс.

2. Физические условия характеризуют физические свойства среды: плотность (t), теплопроводность (Т), вязкость µ(Т), теплоемкость с(Т) и др.

3. Временные, или начальные, условия характеризуют распределение температуры и скорости в системе в начальный момент времени. Для стационарных задач эти условия отсутствуют.

4. Граничные условия характеризуют распределение температур и скоростей на границе текучей (жидкой, газообразной) среды. Граничные условия для температуры включают в себя распределение температуры, тепловых потоков на границе расчетной области. Рассмотрим классификацию этих условий. Остановимся на классификации граничных условий для скорости на границе вязкой среды.

Условие полного прилипания вязкой среды к твердой поверхности (рис. 3.7) u y =0 = 0. (3.27)

–  –  –

где, [Н/м] – коэффициент поверхностного натяжения жидкости.

При постоянном коэффициенте поверхностного натяжения эта сила не является причиной движения жидкости, она лишь вызывает дополнительное давление, изменяя уровень жидкости в каналах малого диаметра (капиллярах), либо стремится придать конечному объему жидкости форму с наименьшей поверхностью.

Например, в условиях невесомости жидкость принимает форму шара.

Однако при переменном коэффициенте поверхностного натяжения силы поверхностного натяжения не скомпенсированы, появляется причина движения, и граничные условия на свободной поверхности в этом случае принимают вид:

–  –  –

где = T [Н/(м·К)]– температурный коэффициент поверхностного натяжения, отрицательное значение этого коэффициента отражает тот факт, что сила поверхностного натяжения уменьшается с увеличением температуры. С учетом линейной зависимости (3.32)

–  –  –

Свободная конвекция жидкости определяется разностью плотностей холодных и нагретых ее слоев. Уравнение Навье – Стокса в форме (3.22) получено без учета зависимости физических свойств жидкости от температуры, в частности, в нем не учтена зависимость плотности от температуры.

Рассмотрим на примере уравнения Навье – Стокса приближенный способ учета переменной плотности в неоднородном температурном поле, называемый приближением Буссинеска:

–  –  –

Граничные значения завихренности определяются приближенно из уравнения Пуассона (3.48).

Формулировка плоской задачи тепловой конвекции несжимаемой жидкости в (––Т) переменных оказывается предпочтительнее формулировки ее в динамических (u–v–p–Т) переменных, так как понижает порядок системы дифференциальных уравнений с пяти до трех.

–  –  –

Таким образом, для анизотропной среды уравнение теплопроводности также приводится к стандартному виду, однако изменяется вид оператора Лапласа, в нем появляются коэффициенты анизотропии ky, kz, корректирующие теплопроводность по направлениям.

–  –  –

Граничные краевые условия характеризуют форму тела и условия его теплообмена с окружающей средой. Различают четыре вида граничных краевых условий.

При граничных условиях 1-го рода на поверхности тела для каждого момента времени задается распределение температуры:

–  –  –

На рис. 3.12 показано распределение температуры в процессе остывания тела с изотермической границей ( Tп = const ), при этом плотность теплового потока переменна ( tg ~q).

При граничных условиях 2-го рода на поверхности тела для каждого момента времени задается плотность теплового потока:

qп = f ( xп, yп, zп, ). (3.69)

–  –  –

Рис. 3.15. Расчетная схема к граничным условиям 4-го рода Дифференциальное уравнение теплопроводности вместе с краевыми условиями образуют краевую задачу теплопроводности, имеющей единственное решение.

–  –  –

Пример 1. Определить потери тепла через кирпичную стенку ( л к = 0,3 Вт / (м К) ) площадью 35 м за сутки.

Как изменится теплопроводность, если кирпичную стенку заменить деревянной (сосна поперек волокон, л д = 0,107 Вт / (м К) ).

Толщины стенок составляют к = д = 25 см, температуры наружной и внутренней поверхностей стенки соответственно t1 = 20 oC, t2 = –20 oC. Определить стоимость потерь при цене 1 кВт·ч энергии 1 руб.

Решение. По формуле (3.86) определяем потери тепла через кирпичную стенку:

20 ( 20 ) T1 T2 Qк = S = 3 5 24 3600 = 62500 кДж, к к 0, 25 0,3 потери тепла через деревянную стенку:

20 ( 20 ) T T Qд = 1 2 S = 3 5 24 3600 = 22200 кДж.

д д 0, 25 0,107 Один кВт·ч тепловой энергии составляет 1·3600 = 3600 Дж, следовательно, стоимость потерь через кирпичную стенку составляет 62500/3600 = 17,4 руб., а через деревянную стенку – 22200 / 3600 = 6,2 руб., что почти в 3 раза меньше.

3.9. Метод регулярного теплового режима расчета нагрева (охлаждения) тел Нестационарными называются такие процессы, при которых температурное поле изменяется не только в пространстве, но и во времени.

Среди практических задач нестационарной теплопроводности важнейшее значение имеют две группы процессов:

• температура тела претерпевает периодические изменения (температурное поле Земли, насадка регенераторов доменной печи и др.);

• температура изменяется монотонно (задачи нагрева охлаждения тел).

Аналитическое решение задач нестационарной теплопроводности часто бывает затруднительным, поэтому в практике расчета времени нагрева (охлаждения) тел применяют при

–  –  –

т.е. в соответствии с методом регулярного теплового режима безразмерная температура убывает по экспоненциальному закону.

На практике метод регулярного теплового режима применяется и для расчета массивных тел сложной формы, для этого число Био, характеризующее темп охлаждения (нагревания) тела, определяют экспериментально (рис.

3.17) на участке линейной зависимости:

Рис. 3.17. Зависимость логарифма температуры от числа Фурье

–  –  –

Решение (3.99) отражает «закон квадратного корня» роста корки твердой фазы при затвердевании слитка (рис. 3.20), в соответствии с которым скорость роста твердой фазы уменьшается с течением времени. Это объясняется возрастающим тепловым сопротивлением растущей корки, через которую отводится теплота фазового перехода.

Пример 3. Непрерывный плоский стальной слиток (сляб) толщиной 2 = 20 см вытягивается со скоростью 0,6 м/мин из неподвижного кристаллизатора (рис.

3.21). Температура поверхности сляба поддержи- Рис. 3.20. Зависимость вается постоянной, Тп = 900 оС. толщины корки от времени Свойства стали: L = 275 кДж/кг;

= 7800 кг/м3; = 45 Вт/(м·К); Tпл = 1500 оС. Определить протяженность двухфазной зоны l по длине слитка.

–  –  –

где aэф = ( cэф ) – коэффициент эффективной температуропроводности.

В квазиравновесной модели кристаллизации принят линейный закон выделения твердой фазы в двухфазной зоне (рис.

3.23), поэтому функция и ее производная принимают вид:

–  –  –

Рис. 3.24. График функции эффективной теплоемкости Таким образом, выделение скрытой теплоты затвердевания учитывается за счет эквивалентного повышения теплоемкости в двухфазной зоне. При такой постановке задачи границами двухфазной зоны являются изотермы ликвидуса и солидуса.

При дальнейшем охлаждении слитка в твердой фазе происходят структурные переходы с выделением соответствующих теплот структурных переходов. Тепловые эффекты этих переходов можно учесть также эквивалентным повышением теплоемкости при температурах Т, Т, Т с учетом удельных теплот этих переходов L, L, L. В результате на графике зависимости теплоемкости от температуры (рис. 3.25) наблюдается спектр повышения теплоёмкости при температурах структурных и фазового переходов. Поэтому теплоёмкость, учитывающая фазовые и структурные переходы в металле, называется спектральной теплоемкостью.

Рис. 3.25. График функции спектральной теплоемкости

Уравнение теплопроводности (3.102), содержащее эффективную (или спектральную) теплоёмкость, зависящую от температуры, нелинейно, так как коэффициенты уравнения зависят от его решения (распределения температуры). Поэтому решать такое уравнение следует на компьютере численно.

Сначала по заданному начальному распределению температуры определяются эффективные (спектральные) теплоёмкости в расчётной области. Затем решается уравнение теплопроводности с рассчитанными коэффициентами и находится некоторое распределение температуры. Далее уточняются значения коэффициентов и снова находится уточнённое распределение температуры. Такой итерационный процесс продолжается до достижения требуемой точности решения.

3.12. Приближенный учет конвекции жидкого ядра кристаллизующегося слитка В жидком ядре слитка тепло переносится не только теплопроводностью, но и конвекцией. Причинами этому могут быть естественная конвекция перегретого расплава, перемешивание расплава струей подаваемого жидкого металла, электромагнитные и другие воздействия на жидкое ядро слитка. Конвективный теплоперенос в объеме жидкой фазы может быть учтен введением эквивалентной теплопроводности:

л экв = ек л ж, (3.103) где ек коэффициент конвекции, зависящий от интенсивности движения расплава. В частности, в условиях свободной конвекции он может быть больше единицы, и эквивалентная теплопроводность жидкой фазы может значительно превышать теплопроводность твердой фазы слитка.

При затвердевании сплавов, температурный интервал двухфазной зоны которых заключен между значениями температур ликвидуса и солидуса, возникает необходимость интерполяции теплопроводности. На рис.

3.26 показан вариант линейной интерполяции теплопроводности в двухфазной зоне:

к ж T Tлик, при т (T ) = т + к ж (T Tсол ) при Tсол T Tлик, (3.104) Tлик Tсол т T Tсол.

при Рис. 3.26. Аппроксимация теплопроводности у фронта фазового перехода Возрастание эквивалентной теплопроводности в жидкой фазе при её перемешивании приводит к увеличению теплоотдачи на фронте фазового перехода, разогреву твердой фазы и соответственному увеличению теплоотдачи на поверхности слитка.

3.13. Законы теплообмена излучением Источником теплового излучения является нагретые тела.

Излучение в узком интервале длин волн от до +d называется монохроматическим, суммарное излучение во всем диапазоне длин волн 0 называется интегральным. Состав интегрального излучения характеризуется спектром излучения, который может быть сплошным для твердых тел и селективным для газов.

Характеристики излучения

1. Поток поверхностного излучения – энергия, излучаемая поверхностью во всевозможных направлениях полупространства в единицу времени:

–  –  –

Произведение q,T d равно энергии, излучаемой в диапазоне длин волн d (рис. 3.29).

Рис. 3.29. Спектральная зависимость энергии излучения Зависимость q,T() при различных температурах показана на рис. 3.30. Видно, что при любой температуре наблюдаются максимумы энергии q,T, при этом с повышением температуры выделение максимальной энергии смещается в коротковолновый диапазон.

Рис. 3.30. Температурная и спектральная зависимости энергии излучения. Выделена область видимого излучения

Из закона Планка следует закон смещения Вина, установленный немецким физиком В. Вином в 1893 г.:

maxT = b, (3.111) где b постоянная Вина, b = 2,910–3 мK, т.е. длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергии излучения абсолютно черного тела, обратно пропорциональна абсолютной температуре этого тела, т.е. с увеличением температуры максимальное выделение энергии смещается в коротковолновый диапазон.

Закон Стефана – Больцмана установлен Д. Стефаном (1879 г.) из анализа экспериментальных данных, а затем Л.

Больцманом (1884 г.) теоретическим путем и определяет интегральную энергию излучения абсолютно черного тела:

=

–  –  –

Экраном в теории теплообмена излучением называют тонкое непрозрачное для тепловых лучей тело с высокой отражательной способностью, предназначенное для защиты от теплового излучения.

Рассмотрим две параллельные изотермические пластины с температурами Т1 T2, разделенные экраном, температура которого Тэ (рис. 3.37).

Степени черноты материала пластин и экрана обозначим соответственно 1, 2 и э.

Площади пластин и экрана равны S1 = S2 = Sэ = S.

Из уравнения (3.123) следует, что экран уменьшает Рис. 3.37.

Плоский экран плотность теплового потока:

–  –  –

т.е. один непрозрачный экран, отражающая способность которого (1–) в четыре раза больше отражающей способности пластин, уменьшает поток энергии излучения в 7 раз.

3.16. Сложный (радиационно-конвективный) теплообмен При теплообмене между поверхностью тела и окружающей средой (рис. 3.38) разделение общего процесса переноса тепла на теплопроводность, конвекцию и тепловое излучение является условным. В действительности эти явления протекают одновременно и влияют друг на друга: конвекция сопровождаетсятепловым излучением, а тепловое излучение – конвекцией.

Плотности теплового потока при конвективном теплообмене между поверхностью тела с температурой Тп и окружающей средой с температурой Tc определяется уравнеРис. 3.38.

Расчетная схема нием теплоотдачи:

–  –  –

где и – коэффициент теплоотдачи, учитывающий излучение;

к = – коэффициент теплоотдачи конвекцией.

Пример 7. Определить коэффициент теплоотдачи излучением с поверхности металлической отливки в открытом пространстве при температуре Тп = 1000 оС, степень черноты отливки = 0,8, температура окружающей среды Тс = 20 оС.

Решение. По формуле (3.131) с учетом того, что Спр = пр =,

–  –  –

1. Что называется конвективным тепломассообменом?

2. Плотность теплового потока при конвективном тепломассообмене. Теплоотдача, уравнение теплоотдачи Ньютона – Рихмана, физический смысл и размерность коэффициента теплоотдачи.

3. Массоотдача, коэффициент диффузии, его смысл и размерность.

4. Дифференциальное уравнение неразрывности, уравнение несжимаемости, их физический смысл.

5. Дифференциальное уравнение переноса энергии, его физический смысл.

6. Коэффициент температуропроводности, его размерность и физический смысл.

7. Дифференциального уравнения движения вязкого теплоносителя, его физический смысл.

8. Коэффициенты динамической и кинематической вязкости, их размерность и физический смысл.

9. Дифференциальное уравнение теплоотдачи в пограничном слое.

10. Условия однозначности в задачах конвективного тепломассообмена, виды граничных условий для скорости.

11. Коэффициент поверхностного натяжения, его размерность и физический смысл. Условия возникновения конвекции Марангони.

12. Коэффициент объемного расширения теплоносителя.

Приближение Буссинеска в задачах тепловой конвекции, его физический смысл.

13. Какие уравнения включает постановка краевой задачи тепловой конвекции в динамических переменных?

14. Завихренность, функция тока теплоносителя, их размерности, физический смысл. Дифференциальное уравнение переноса завихренности.

15. Дифференциальное уравнение теплопроводности, его физический смысл.

16. Как учитываются в уравнении теплопроводности неоднородные свойства?

17. Как учитываются в уравнении теплопроводности анизотропия свойств?

18. Как задаются граничные условия теплообмена первого, второго и третьего видов? Физический смысл коэффициента теплоотдачи.

19. Граничные условия контактного теплообмена (четвертого вида). Смысл и размерность теплового сопротивления контакта.

20. Теплопроводность плоского слоя, определение расхода тепла.

21. Безразмерная формулировка краевой задачи теплопроводности. Числа Био и Фурье, их физический смысл.

22. Особенности теплопроводности при фазовых и структурных переходах в металле.

23. Как определяется плотность теплового потока на границе фазового перехода?

24. Математическая формулировка задачи теплопроводности с подвижной границей фазового перехода.

25. Получите «закон квадратного корня» роста корки твердой фазы при затвердевании слитка.

26. Какова методика сквозного счета в задачах теплопроводности со структурными и фазовыми переходами?

27. Вид функции относительного содержания твердой фазы в задачах с фазовым переходом.

28. Способы вычисления эффективной и спектральной теплоемкостей.

29. Как приближенно учесть конвекцию жидкого ядра кристаллизующегося слитка в задачах теплопроводности?

30. Характеристики теплового излучения.

31. Радиационные характеристики тел. Чем характеризуются абсолютно белое, черное и прозрачное тела? Диффузное и зеркальное отражение, цветные тела.

32. Законы Планка, Вина, Стефана – Больцмана, Кирхгофа, Ламберта.

33. Определение эффективного излучения для прозрачных и непрозрачных тел.

34. Расчет теплообмена излучением между бесконечными пластинами. Приведенная степень черноты.

35. Теплообмен излучением между телами, когда одно тело находится внутри другого.

36. Экранирование как способ защиты от теплового излучения.

37. Что такое сложный (радиационно-конвективный) теплообмен?

38. Как определяется коэффициент теплоотдачи, учитывающий излучение?

4. Основы теории подобия и моделирования в металлургии

4.1. Подобие физических явлений Решение на основе математического моделирования затруднительно. Наиболее мощным средством решения реальных задач в металлургии, обобщения экспериментальных и расчетных данных является теория подобия и моделирования.

Теория подобия (учение о подобных явлениях) дает общий метод преобразования выражений, содержащих дифференциальные операторы, к алгебраическим уравнениям.

Суть метода в том, что реальный процесс заменяется условной схемой (моделью), в которой все дифференциальные операторы сохраняют постоянное значение в пространстве и во времени. Термин «подобие» заимствован из геометрии. Так, для подобных фигур (рис. 4.1)

–  –  –

Этот пример иллюстрирует дальнейшее развитие понятия подобие – аффинное подобие, при котором допускается неравенство масштабов по отдельным координатным осям. В этом случае геометрические фигуры или пространственные объекты как бы деформируются: круг превращается в эллипс, параллелепипед с неравномерными ребрами – в куб и т.п. Переход к аффинному подобию возникает, например, при моделировании процессов в слоевых агрегатах, когда размер частицы слоя мал по сравнению с размерами аппарата.

Преобразующие функции (4.3), осуществляющие взаимосвязь между координатами модели и объекта, могут быть и нелинейными.

Для реализации подобия физических явлений геометрического подобия недостаточно, необходимо соблюдение подобия и по другим характеристикам, определяющим эти явления:

времени, скоростям, массам, силам, температурам, теплофизическим свойствам и т.д.

Приведем основные понятия подобных явлений.

Одноименными величинами называются такие, которые имеют одинаковые физический смысл и размерность (например, температура объекта и модели).

Сходственными точками системы называются такие точки, координаты которых удовлетворяют условию геометрического подобия (1).

Сходственные моменты времени наступают по истечении периодов времени и, имеющих общее начало отсчета и связанных между собой константой подобия C =.

Подобными называются физические явления, протекающие в геометрически подобных системах, если у них во всех сходственных точках в сходственные моменты времени отношения одноименных величин есть постоянные числа. Эти постоянные числа называются числами подобия.

Следует отметить, что подобными могут быть явления одинаковой природы, описывающиеся одинаковыми аналитическими зависимостями. Явления, описываемые одинаковыми уравнениями, но имеющие различную природу, называются аналогичными. Пример аналогичных явлений: теплопроводность и диффузия, описываемые одинаковыми по внешнему виду уравнениями Фурье и Фика. Известны электротепловая, гидротепловая аналогии.

Получим числа подобия, предполагая, что объект и модель удовлетворяют второму закону Ньютона:

–  –  –

( ) u = u x, y, Re, Fr, (4.14) ( ) Eu = Eu x, y, Re, Fr при этом каждая искомая величина зависит уже от двух безразмерных координат и двух параметров. В рассматриваемой задаче число параметров при переходе к безразмерным переменным уменьшилось на три.

В решении (4.14) числа подобия, составленные из параметров (Fr, Re), называются определяющими, а безразмерная скорость u и число Эйлера Eu – определяемыми.

Условия, достаточные для существования подобия физических явлений (третья теорема подобия), были впервые сформулированы в 1930 г.

Кирпичевым и Гухманом в виде трех положений:

1) подобные процессы должны быть качественно одинаковыми, т.е. они должны иметь одинаковую физическую природу и описываться одинаковыми дифференциальными уравнениями;

2) условия однозначности (геометрические и физические параметры системы, начальные и граничные условия) подобных процессов должны быть одинаковыми во всем, кроме численных значений размерных постоянных, содержащихся в этих условиях;

3) одноименные определяющие критерии подобных процессов должны иметь одинаковые численные значения.

Отметим следствия теоремы:

1) если процессы А и В подобны, то любая физическая величина в данной точке процесса А пропорциональна соответствующей величине в сходственной точке процесса В;

2) подобные процессы можно рассматривать как один и тот же процесс, но взятый в различном масштабе, причем масштабы разноименных величин могут быть неодинаковыми.

Пример 1. При моделировании испытаний самолета в аэродинамической трубе изготовлена модель самолета, уменьшенная в 50 раз (рис.

4.2). Определяющим критерием является число Рейнольдса Re = u0l v, характеризующее режим обтекания. Первое условие теоремы Кирпичева – Гухмана выполнено, так как в модели и в реальных условиях одна и та же моделирующая среда – воздух. Второе условие (однородность профиля скорости потока воздуха) выполняется не во всем объеме трубы, а только в её рабочей части за пределами гидродинамических погранслоёв толщиной. Третье условие – равенство чисел Рейнольдса – выполняется, если в модели увеличить скорость в 50 раз или уменьшить вязкость воздуха в 50 раз. Последнее нереально. Значительное увеличение скорости приводит к ионизации воздуха, при этом изменяется дифференциальное уравнение течения ионизированного воздуха и нарушается первое условие. Поэтому работа с моделью самолета, уменьшенной в 50 раз, не отвечает условиям подобия. В аэродинамических трубах продувают самолеты натуральных размеров.

Рис. 4.2. Схема моделирования самолета в аэродинамической трубе

Функциональные зависимости (4.14) определяемых критериев от определяющих описывают все подобные явления. Однако определяющие критерии, характеризующие соотношение определенных физических факторов, могут принимать очень большие или очень малые значения и перестают оказывать влияние на протекание процесса. Это явление называется вырождением критерия или автомодельностью процесса по отношению к данному критерию. Смысл термина заключается в том, что при изменении вырожденного критерия безразмерные характеристики процесса не изменяются, т.е. он остается подобным самому себе, моделирует сам себя. Например, в уравнениях (4.14) при течении вязкого газа влияние силы тяжести может быть пренебрежимо малым по сравнению с влиянием других сил, например сил инерции и сил вязкого трения.

В этих условиях вырожденным оказывается критерий Фруда, характеризующий соотношение сил инерции и гравитации, т.е.

поток является автомодельным по отношению к критерию Фруда.

–  –  –

При малых значениях числа Рейнольдса ( Re 103 ) силы вязкого трения преобладают над силами инерции, течение вязкой среды имеет слоистую, ламинарную структуру. При больших значениях числа Рейнольдса ( Re 104 ), когда инерционные силы преобладают над силами вязкого трения, циркуляция вязкой среды имеет турбулентную структуру. Поперечные пульсации скорости и температуры при турбулентной конвекции приводят к возрастанию вязкости и температуропроводности.

Область изменения числа Рейнольдса 103 Re 104 характеризует смешанный режим течения, при котором наблюдается примерное равенство сил инерции и вязкого трения и происходит смена ламинарного и турбулентного режимов течения.

Таким образом, число Рейнольдса, характеризующее отношение сил инерции к силам вязкого трения, играет важную роль для определения структуры течения вязкого теплоносителя при вынужденной конвекции.

Отношение третьего члена уравнения (4.19) ко второму дает число Фруда:

–  –  –

gTl l gTl 3 ul Re = = = = Gr.

v2 v v При данном соотношении между числом Рейнольдса, характеризующим вынужденную конвекцию, и числом Грасгофа, характеризующим свободную конвекцию, отмечается одинаковый масштаб скорости и следует ожидать похожие режимы течения. Так, если турбулентный режим наступает в условиях вынужденной конвекции при Re 104, то в условиях свободной конвекции этот режим наступает при Gr 108. Из этой оценки также следует, что если Re = Gr 104, то в расчетах теплообмена необходимо учитывать как вынужденную, так и свободную конвекцию, т.е. рассматривать процессы смешанного теплообмена.

Отношение чисел Пекле и Рейнольдса дает новый безразмерный комплекс – число Прандтля, зависящее только от теплофиPe v зических свойств среды: Pr = =. Это число представляет Re a собой отношение кинематической вязкости теплоносителя, пропорциональной толщине динамического пограничного слоя, к температуропроводности, пропорциональной толщине температурного пограничного слоя (рис. 4.3). Таким образом, число Прандтля является непосредственной мерой отношения толщин динамического и температурного пограничных слоев.

В предельном случае, когда число Прандтля мало, толщина динамического пограничного слоя много меньше толщины температурного пограничного слоя, д т Pe 1. Такой случай имеет место для жидких металлов. При больших числах Прандтля, наоборот, толщина динамического пограничного слоя больше, чем толщина температурного слоя, д т Pe 1. Это наблюдается в смолах, маслах и других вязких средах с малой температуропроводностью.

Рис. 4.3. Распределение скорости и температуры в пограничных слоях при малом (слева) и большом числах Прандтля

4.3. Теплообмен при вынужденном движении теплоносителя в каналах Вынужденным называется движение теплоносителя под действием внешней вынуждающей силы, например перепада давления.

При движении теплоносителя в трубах и каналах формируются гидродинамический и температурный пограничные слои. В пределах участка гидродинамической стабилизации l0 эти слои смыкаются (рис. 4.4). Для круглой трубы диаметром d длина этого участка l0 50d.

В пределах участка гидродинамической стабилизации (при x l0) растет толщина пограничного слоя, из-за теплового сопротивления этого слоя уменьшается коэффициент теплоотдачи.

При x l0 режим течения зависит от критерия Рейнольдса (рис. 4.5). При Re 2·103 наблюдается ламинарное течение теплоносителя, при Re 104 поток становится турбулентным. При Re = 2·103…104 наблюдается переходный режим течения и теплообмена.

Рис. 4.4. Схема теплоотдачи в трубе

–  –  –

При турбулентном течении температура и скорость пульсируют около их средних значений. Определим среднюю температуру потока в сечении канала. Через элементарную площадку dS в единицу времени поток теплоносителя переносит теплоту dQ = cTudS Q = cTudS S

–  –  –

При ламинарном неизотермическом течении теплоносителя возможны различные режимы теплообмена.

В частности, при вязкостно-гравитационном режиме на вынужденное движение теплоносителя влияет свободная конвекция, учитываемая числом Грасгофа, достаточно точное обобщение опытных данных дает формула для среднего числа Нуссельта в длинных трубах:

–  –  –

Пример 1. Определить коэффициент теплоотдачи и количество передаваемой за единицу времени теплоты при течении воды в горизонтальной трубе диаметром d = 8 мм и длиной l = 6 м, если скорость u = 0,1 м/с, температура воды Тпот = 80 оС, температура стенки трубы Тст = 20 оС.

Решение. При Тпот = 80 оС свойства воды: пот = 0,675 Вт/(м·К), пот = 0,365·10–6 м2/c, = 6,32·10–4 К–1, Prпот = 2,21; при Тст = 20 оС Prст = 7,02.

При этих свойствах вычисляем критерии Рейнольдса и Грасгофа:

–  –  –

= 0,15 21900,33 (1, 43 106 ) ( 2, 21 7,02 ) 0,1 = 8,56.

0,25

–  –  –

Q = d l (Tпот Tст ) = = 724 3,14 0,008 6 ( 80 20 ) = 6,55 кВт.

4.4. Теплообмен при свободной конвекции в неограниченном объеме Свободным (естественным) называется движение теплоносителя, обусловленное разностью плотностей нагретых и холодных его частиц при отсутствии сил внешнего давления.

Под неограниченным объемом понимается такой объем, размеры которого много больше толщины погранслоя, при этом тепловые возмущения от нагретого (охлажденного) тела не распространяются на весь объем, поэтому на некотором конечном удалении от тела теплоноситель можно считать невозмущенным.

Рис. 4.6. Схема теплоотдачи у нагретой вертикальной стенки

Рассмотрим свободный теплообмен вертикальной плиты или трубы (рис. 4.6). Характер движения теплоносителя зависит в основном от температурного напора T = Tст Tпот, где Tст – температура нагретой поверхности (стенки); Tпот – температура потока теплоносителя, неподвижного вдали от поверхности. С увеличением температурного напора ламинарное движение теплоносителя вдоль стенки переходит в турбулентное движение. В нижней части плиты с увеличением толщины ламинарного гидродинамического пограничного слоя теплоотдача падает, затем возрастает в переходной области и стабилизируется в области турбулентного течения теплоносителя.

Определяющую роль при свободной конвекции играет число Рэлея, равное произведению чисел Грасгофа и Прандтля Ra = Gr · Pr.

Уравнение подобия, справедливое для различных форм поверхности теплообмена, имеет вид:

Nu пот = CRa пот, n (4.26)

–  –  –

Видно, что при турбулентном режиме средний коэффициент теплоотдачи не зависит от характерного размера – высоты стенки, т.е. процесс теплоотдачи автомоделен к этому параметру.

Пример 2. Определить тепловой поток при свободной конвекции от голого вертикального трубопровода диаметром d = = 120 мм и высотой h = 6 м к воздуху.

Температура стенки Тст = = 523 К, температура воздуха Тпот = 293 К.

Решение. При определяющей температуре Тпот = 293 К свойства воздуха: кинематическая вязкость = 15,06·10–6 м2/c; теплопроводность = 0,026 Вт/(м·К); число Прандтля Pr = 0,703; коэффициент объемного расширения = 1/(Тпот + 273) = 1/293 К–1.

Числа Грасгофа и Рэлея:

–  –  –

4.5. Теплообмен при свободной конвекции в ограниченном объеме В малом (ограниченном) пространстве размеры пространства соизмеримы с толщиной погранслоя, и характер свободной конвекции определяется не только температурным состоянием поверхностей, но и формой и размерами пространства.

В вертикальных щелях структура течения зависит от толщины щели (рис. 4.7). Если толщина щели достаточно велика, то на ее поверхностях образуются восходящий и нисходящий потоки, которые движутся без взаимных помех. Формирование погранслоев при этом происходит так же, как и в неограниченных объемах. В узких щелях погранслои из-за взаимных помех взаимодействуют, образуя несколько циркуляциион–ных контуров (вихрей) по высоте щели. Размеры этих вихрей зависят от толщины щели и температурного перепада Т = Т1 Т2.

Рис. 4.7. Схема теплоотдачи в вертикальной щели (Т1 Т2, 1 2)

–  –  –

свойства воздуха: кинематическая вязкость = 27,8·10–6 м2/c;

теплопроводность = 0,0349 Вт/(м·К); число Прандтля Pr = = 0,684; коэффициент объемного расширения = 1/(Тср + + 273) = 1/413 К–1. Вычислим коэффициент температуропроводности воздуха:

а = /Pr = 27,8·10–6/0,684=40,6·10–6 м2/c.

Вычислим по формуле (4.30) коэффициент конвекции:

–  –  –

5.1. Основы метода сеток Решение краевых задач теплофизики в каждом конкретном случае – достаточно сложный процесс. Аналитическое решение даже одномерного уравнения теплопроводности, являющегося дифференциальным уравнением в частных производных параболического типа, трудноосуществимо, если иметь в виду зависимость теплофизических свойств от температуры, нелинейность граничных условий, т.е. зависимость их от температурного поля. Можно сказать, что аналитические методы оказываются практически непригодными для нахождения двухи трехмерных температурных полей в областях сложной конфигурации. От этих недостатков свободны численные методы, в которых дифференциальные операторы заменяются алгебраическими, получающиеся матричные уравнения решаются на компьютерах с нахождением температурного поля в узловых точках конечно-разностной сетки.

Основная идея численных методов состоит в замене непрерывных функций и их производных по времени и координатам, а также в краевые условия их приближенными значениями в отдельных точках (узлах) сетки. В результате такой замены дифференциальная краевая задача сводится к системе алгебраических (матричных) уравнений относительно искомых параметров в узлах и ячейках сетки.

В общем случае расположение узлов сетки в исследуемой области может быть произвольным. Оно определяется особенностями решаемой задачи. На практике часто применяют сетку, равномерно покрывающую расчетную область. Такая сетка с заранее определёнными расстояниями между ближайшими узлами (шагами сетки) называется регулярной. Фрагмент такой сетки применительно к одномерной нестационарной задаче показан на рис. 5.1.

Рис. 5.1. Фрагмент сетки

–  –  –

x 4 x Вторая производная определена с точностью до квадрата шага сетки, т.е. имеет второй порядок точности. С таким же вторым порядком точности может быть получена формула первой производной. Для этого в разложении (5.2), записанном через узловые точки k-го слоя, учтем еще один член ряда

–  –  –

Ошибки аппроксимации Ошибки аппроксимации обычно больше ошибок округления и связаны с дискретным представлением отдельных членов уравнения переноса, использованием разложения функции в укороченный ряд Тейлора. Порядок ошибки аппроксимации оценивается максимальным значением остаточного члена ряда Тейлора. Грубо ошибки аппроксимации можно оценить на следующем примере. При числе разбиений по толщине слоя N = = 10 шаг сетки hx 1/10, ошибка аппроксимации первой производной односторонними разностями равна О(hx) 1/10 10 %, второй производной – O ( hx2 ) 1 100 1 %. Более точно ошибки аппроксимации всего уравнения переноса можно оценить, находя решение на последовательности сгущающихся сеток.

На практике полезно строить график изменения функции в характерной точке при сгущении сетки. При этом схемы первого порядка точности в области достаточно густой сетки дают линейное приближение к точному решению, а схемы второго порядка точности – параболическое (рис. 5.6).

Рис. 5.6. Стремление численных решений к точному решению со сгущением сетки при схемах аппроксимации первого (1) и второго (2) порядков точности Общим свойством ошибок аппроксимации является их исчезновение при асимптотическом стремлении к нулю шагов сетки (сгущении сетки).

–  –  –

Остальные интегралы можно определить численно, используя теорему о среднем, взяв за средние значения центральную точку x области интегрирования Ф и нижний предел времени интегрирования.

В итоге получим:

–  –  –

Указанное отличие, как видно из сравнения (5.32) с соответствующей аппроксимацией конвективного члена уравнения (5.27), составляет u Ti hx и исчезает, когда u = 0, т.е. при постоянной скорости. Это свидетельствует о том, что интегральный и дифференциальный методы дают различные конечно-разностные аналоги дифференциального уравнения переноса, причем это различие увеличивается с возрастанием градиента скорости переноса. Интегральный метод позволил учесть закон сохранения в дискретном аналоге уравнения переноса. Следовательно, ошибку u Ti hx можно трактовать как нарушение закона сохранения переносимого параметра в дискретном аналоге уравнения переноса, полученном дифференциальным методом.

Заметим, что указанная схемная ошибка в отличие от ошибок аппроксимации при сгущении сетки ( hx 0 ) не только не стремится к нулю, но даже возрастает.

Другая схемная ошибка связана с неодинаковой точностью конечно-разностного представления отдельных членов уравнения переноса. Поясним ее на следующем примере.

Запишем стационарное уравнение переноса энергии:

–  –  –

Получим конечно-разностный аналог этого уравнения, применяя для аппроксимации правой части (диффузионного члена) формулу второго порядка точности, а для левой части (конвективного члена) – формулу правосторонней разности первого порядка точности:

–  –  –

Уравнение (5.34) имеет низший, первый порядок точности, поэтому погрешностью O ( hx2 ), имеющей более высокий второй порядок, можно пренебречь.

Подставляя в (5.34) погрешность O ( hx ) из (5.5), получим:

–  –  –

Из последнего уравнения видно, что погрешность влияет на коэффициент при диффузионном члене уравнения переноса, поэтому ее называют схемной искусственной температуропроводностью (диффузией).

Вынесем в уравнении (5.36) температуропроводность за скобку:

–  –  –

Таким образом, возмущение, которое должно переноситься только в направлении скорости, т.е. по потоку, при использовании формулы центральной разности для конвективного члена переносится и против потока. Схема (5.44) не обладает, поэтому, свойством транспортивности, а (5.46) характеризует схемную ошибку в точке i = n 1, связанную с нарушением этого свойства. Нарушение свойства транспортивности эквивалентно возникновению фиктивных (счетных) источников (стоков) в конечноразностном аналоге уравнения переноса.

Существуют и другие схемные ошибки, связанные главным образом с нестационарностью и многомерностью уравнения переноса. Схемы аппроксимации уравнения переноса, свободные от схемных ошибок, называются нейтральными.

5.4. Способы аппроксимации конвективных членов Как мы уже убедились при анализе схемных ошибок, аппроксимация конвективного члена уравнения переноса играет важную роль в численном решении этого уравнения. Поэтому целесообразно провести сравнительный анализ нескольких наиболее распространенных разностных схем на регулярной сетке.

Схема с центральными разностями

u T u T ( uT ) i +1 i +1 i 1 i 1 (5.47) x 2hx консервативна, так как конвективный член записан в дивергентной форме, имеет второй порядок точности, поэтому она свободна от счетной диффузии. Однако главным недостатком этой схемы является, как мы уже убедились ранее, ее нетранспортивность. Поэтому схема (5.47) применяется в расчетной практике редко, в основном при малых числах Пекле.

В первой схеме с разностями против потока используются односторонние разности, а не центральная разность, причем при положительной скорости потока используется формула лево-, а при отрицательной – правосторонней разности, т.е.

–  –  –

где uп = ( ui +1 + ui ) 2, uл = ( ui 1 + ui ) 2, а значения Т выбираются в зависимости от знака усредненных скоростей:

Ti, uп 0, Ti 1, uл 0, Tп = Tл = Ti +1, uп 0. Ti, uл 0.

Схема с донорными ячейками обладает как свойством транспортивности, так и свойством консервативности. Формально она имеет первый порядок точности, однако усреднение скоростей сохраняет в ней кое-что от второго порядка точности. Поэтому схема (5.49) имеет меньшую по сравнению со схемой (5.48) величину счетной диффузии.

Способы аппроксимации конвективных членов можно продолжить. Однако уже рассмотренные способы достаточно иллюстрируют сложность проблемы устранения схемных ошибок и построения нейтральных разностных схем уравнений переноса.

5.5. Аппроксимация граничных условий Аппроксимацию граничных условий рассмотрим на примере граничных условий теплообмена 3-го рода для правой границы (рис. 5.8) Рис. 5.8. Фрагмент сетки у правой границы

–  –  –

Отметим нелинейность граничных условий для температуры, т.е. зависимость ее на поверхности от значений во внутренних узлах сетки. Это приводит к итерационному процессу удовлетворения граничным условиям, который заканчивается при достижении наперед заданной точности.

5.6. Методы решения сеточных уравнений Разностные уравнения, полученные из неявных и явнонеявных схем, являются, как было показано, линейными алгебраическими уравнениями. На фиксированном временном слое для всех внутренних узловых точек эти уравнения образуют систему:

ATi 1 + BTi + CTi +1 = Fi, i = 1, 2,..., N 1, (5.62) которую можно записать в векторно-матричном виде:

–  –  –

Эта формула применима для одномерной области с регулярной сеткой. Расчет по формуле (5.82) с учетом (5.83) продолжается до тех пор, пока искомое решение не будет удовлетворять требуемой точности:

–  –  –

Рассмотрим в общих чертах процедуру решения сопряженной задачи конвективного теплообмена, в которой совместно решаются уравнения конвекции, например, в переменных завихренность и функция тока (–) и уравнение переноса энергии для температуры Т. Рассмотрим вычислительный цикл для нестационарных уравнений ––T-системы (рис. 5.10).

Исследуемая область покрывается конечно-разностной сеткой, в узлах которой определяется решение. Процедура счета начинается с задания начальных условий для функций,, T, причем для нахождения стационарного решения вид начальных условий несущественен.

Далее для некоторого приращения по времени вычисляются завихренность и температура во внутренних узлах сетки с помощью конечно-разностных аналогов соответствующих уравнений переноса. Затем решается конечно-разностный аналог уравнения Пуассона для функции тока, в котором используются новые значения завихренности, вычисленные во внутренних узловых точках. Отметим, что решение уравнения Пуассона включает в себя итерации, которые называются внутренними. В процессе внутренних итераций завихренность не изменяется. После выхода из внутренних итераций по наперед заданной точности вычисляются компоненты скорости.

Рис. 5.10. Блок-схема решения задачи конвективного теплообмена Следующий шаг вычислительного цикла связан с уточнением граничных условий для завихренности и температуры.

При этом используются новые (уже вычисленные) значения,, Т во внутренних приграничных точках области. Расчет –

– Т-системы с уточнением граничных условий повторяют до достижения наперед заданной точности. Одновременно могут уточняться неоднородные свойства, например вязкость, температуропроводность и др. Эти повторения называются внешними итерациями (в отличие от внутренних итераций для уравнения Пуассона).

При выходе из внешних итераций проводится расчет чисел Нуссельта (безразмерной теплоотдачи), и вычислительный цикл повторяется для нового слоя по времени. Если находится стационарное решение задачи, то необходимость во внешних итерациях отпадает, и расчет чисел Нуссельта откладывается до выхода решения на стационарное с заданной степенью точности.

Выход из внутреннего итерационного цикла осуществляется по условию:

iq, j 1. (5.86) iq,+j1 max

–  –  –

где р – номер внешней итерации. При значениях чисел Прандтля, близких к единице, скорости сходимости итерационных процессов по температуре и завихренности примерно одинаковы. При числах Прандтля, меньших единицы, что соответствует расплавленным металлам, сходимость по температуре может достигаться медленнее, чем по завихренности. В этом случае «замораживание» температурного поля в течение нескольких шагов по времени и расчет только завихренности может привести к экономии времени счета.

Общие затраты компьютерного времени зависят также от задаваемой точности внутренних и внешних итераций,, Т. Рекомендуется задавать = 0,005, = Т = 0,01. С уменьшением указанных значений допустимых погрешностей увеличиваются затраты компьютерного времени при практически неизменном решении, увеличение погрешностей приводит к колебаниям решения.

5.8. Вопросы для самоконтроля

1. Основы метода сеток. Запись первой и второй производных с первым и вторым порядками точности.

2. Явная и неявная схемы аппроксимации уравнения переноса энергии.

3. Схемы аппроксимации первого и второго порядков точности для уравнения теплопроводности.

4. Сравнительная характеристика ошибок округления, аппроксимации и схемных ошибок в вычислительном эксперименте.

5. Как оценить погрешность в вычислительном эксперименте?

6. От чего зависит схемная ошибка консервативности в уравнении переноса?

7. Каковы условия существования схемной ошибки искусственной диффузии, как она проявляется в численном решении?

8. Причины возникновения и проявление схемной ошибки транспортивности.

9. Способы аппроксимации конвективных членов уравнения переноса. Понятие о нейтральных разностных схемах.

10. Формулы аппроксимации граничных условий конвективного теплообмена первого и второго порядков точности.

11. Векторно-матричное представление сеточных уравнений.

12. Метод прогонки решения матричных уравнений и его реализация на компьютере.

13. Итерационный метод последовательной линейной верхней релаксации решения матричных уравнений и его реализация на компьютере.

14. Как организовать алгоритм решения сопряженных уравнений тепломассопереноса на компьютере?

–  –  –

Случайной величиной называют переменную величину, которая в результате опыта может принимать различные значения.

Случайные величины обычно обозначают большими буквами, например Х. Значения случайной величины, которые она принимает в результате опыта, обозначают малыми буквами x1, x2,..., xn. При массовых испытаниях каждое из возможных значений случайной величины x1, x2,..., xn может встретиться m1, m2, …, mn раз. Эти числа называют частотами. Весь набор значений случайной величины образует генеральную совокупность Nx. Отсеянные из генеральной совокупности Nx значения грубых ошибок образуют выборку объемом N. Если всего было проведено Nx опытов, то в результате выборки получаем n, и отношеmi = N i =1 ние mi /N называют частостью или относительной частотой.

Распределение случайной величины X (рис. 1.1), определяющей вероятность того, что эта величина примет значения, не превосходящие хi, т.е.

попадет в интервал (, xi ), называется интегральной функцией распределения F(xi):

F(xi) = р(X xi). (1.1) Рис. 1.1. Плотность распределения случайной величины Плотность вероятности f (х) задает распределение случайной величины и количественно оценивается вероятностью события р(x1 X x2) = f(x)dx. Функция распределения F(x) является первообразной для плотности f(x), поэтому x2

–  –  –

f(x) называют также дифференциальной функцией распределения.

Распределение случайной величины представляют гистограммой частот – ступенчатой функцией, состоящей из прямоугольников, основанием которой служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны отношению ni/h (плотность частоты). Площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.

Модой распределения (Mо) называется значение случайной величины X, при котором f(x) принимает максимальное (наиболее вероятное) значение в окрестности какого-либо значения случайной величины х.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений:

n M x = xi pi. (1.3) i =1

–  –  –

6) подсчитываем число выборочных данных vj, попавших в каждый (j-й) интервал группирования (j = 1, 2, …, s);

7) подсчитываем количество выборочных данных, попавших в j-й интервал группирования h (v1 + … + vjx);

8) подсчитываем выборочную функцию распределения

–  –  –

2. Построить гистограмму частот.

3. Построить график функции распределения.

4. Найти для данного распределения моду, математическое ожидание и дисперсию.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте основные причины появления неопределенностей. Какие из них являются субъективными, а какие – объективными?

2. Как описывается неопределенность математически?

3. Приведите примеры математического описания неопределенностей в металлургии.

4. Когда в задаче математического моделирования применяется стохастическое описание переменных?

5. Дайте определение функции и плотности распределения.

6. Меры положения и рассеяния кривой распределения.



Pages:   || 2 |



Похожие работы:

«Том 8, №3 (май июнь 2016) Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ» publishing@naukovedenie.ru http://naukovedenie.ru Интернет-журнал «Науковедение» ISSN 2223-5167 http://naukovedenie.ru/ Том 8, №3 (2016) http://naukovedenie.ru/index.php?p=vol8-3 URL статьи: http://naukovedenie.ru...»

«Принцип соответствия и эволюция физики Ю.И. Богданов Физико-технологический институт РАН 1 Москва, Нахимовский пр.,34 Материалы докладов, посвященных всемирному году физики. Прочитаны в Московск...»

«О. Х. Бгажба, С. З. Лакоба История Абхазии с древнейших времен до наших дней http://apsnyteka.org/ Об авторах Бгажба Олег Хухутович (р. 1941) Академик, доктор исторических наук,...»

«Международный научный журнал «СИМВОЛ НАУКИ» №4/2015 ISSN 2410-700X тормозных механизмов автомобилей оборудованных АБС: иными словами, зафиксированный в работе [1, с. 26] Z-образный характер изменения абсолютной величины суммарного линейного износа образцов является экспериментальным подтверждением усталостной прир...»

«ВП М Щ П Д Г Г У ЫА Т О О Ь Е АОУ М З К Н У л. ИИРМЛК О ХУДОЖЕСТВЕННОЙ ТЕХНИКЕ ПИАНИСТА СОДЕРЖАНИЕ П реди слови е От а в т о р а В ведение. О механистической и худож ественной фортепианной технике Глава I. О свободе...»

«КОТЛЫ ОТОПИТЕЛЬНЫЕ ВОДОГРЕЙНЫЕ ЧУГУННЫЕ ГАЗОВЫЕ PROTHERM 60(50,40,30,20)KLO ВЕРСИЯ «МЕДВЕДЬ» Руководство по эксплуатации Сертификат соответствия № UA.1.087.03842-01 Изготовитель: PROTHERM, s.r.o. 909 01 Скалица, ул. Плюштя 45 тел.: (0801) 6966 101, 6966 102 факс: (0801) 664 4017 СОДЕРЖАНИЕ 1 Описание и рабо...»

«И. П. КОНАКОВА Э. Э. ИСТОМИНА ОСНОВЫ РАБОТЫ В «КОМПАС-ГРАФИК V 14» Учебное пособие Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина...»

«ТЕОРИЯ 1. Радиационная безопасность, учебное пособие, pdf.2. ЗН и ХО в ЧС, учебное пособие, pdf. И.С. Асаенок А.И. Навоша РАДИАЦИОННАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ Учебное пособие МИНСК 2004 И.С. Асаенок А.И. Н...»

«Оценка военно-технической и военно-экономической эффективности влияния реализации технологий радиоэлектронной борьбы на развитие техники радиоэлектронной борьбы Доктор технических наук профессор А.Д. Луценко, А.И. Шарапов...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Сыктывкарский лесной институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный лесотехнический...»

«2573-1-8811 01.12.2015 Техническое руководство ABB-free@home® Метеостанция WS-1 Оглавление Оглавление 1 Указания к руководству 2 Безопасность 2.1 Используемые символы и сигнальные слова 2.2 Применение по назначению 2....»

«АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ЦЕНТРОСОЮЗА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КООПЕРАЦИИ» КАЛИНИНГРАДСКИЙ ФИЛИАЛ АННОТАЦИИ РАБОЧИХ ПРОГРАММ УЧЕБНЫХ ДИ...»

«Глава 4 Денежные рынки Разделы программы (b)(ii)1. Продемонстрируйте знание и понимание инструментов денежного рынка и рынка этих инструментов.0. Введение Основными игроками на денежных рынках обычно являются: • правительство (через Центральный банк);• местные или фе...»

«УДК 316.6 ВЛИЯНИЕ ПСИХОЛОГИЧЕСКИХ ФАКТОРОВ НА ВОСПРИЯТИЕ ИНФОРМАЦИИ ИНДИВИДУУМОМ Е.А. Сучков1, Н.А. Смирнова2, А.В. Бикмаева3 кандидат технических наук, начальник научно-исследовательской лаборатории...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Грозненский государственный нефтяной технический университет имени академика М.Д. Миллионщикова» ПРИКАЗ 31/4з-нк-к 20.09.2015г. На основании решения приемной комиссии от 2...»

«Организационно-методические основы проектно-инвестиционной деятельности компании «РИВС» Кутлин Б.А., (ЗАО «РИВС-проект») Компания ЗАО «РИВС» является инжиниринговой компанией с выраженной инвестиционной составляющей деятельности. В составе компании имеется тех...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Филиал государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Кузбасский государственный технический университет» в г. Прокопьевске КАФЕДРА ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЕ СОЦИАЛЬНО...»

«МИНОБРНАУКИ РОССИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский архитектурный институт (государственная академия) (МАРХИ) Методол...»

«ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ МИНЕРАЛЬНО-СЫРЬЕВОЙ УНИВЕРСИ...»

«УДК 620.179.16 Ткаченко Андрей Акимович Развитие методов, разработка оборудования и технологии ультразвукового контроля электросварных труб в процессе производства Специальность 05.11.13 Приборы и методы контроля природной среды, веществ, матер...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ОДЕССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени И.И. МЕЧНИКОВА ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ, ЭКОНОМИКИ И МЕХАНИКИ ОТДЕЛЕНИЕ ПСИХОЛОГИИ Кафедра общей психологии и психологии развития личности Авторы составители: Л.Н. Акимов...»

«Направление 35.03.10 (250700.62) «Ландшафтная архитектура» Профиль «Ландшафтное строительство» Дисциплина «Декоративные питомники» Содержание лекционных занятий 1. Введение Декоративное древоводство как отрасль растениеводства, задачи и роль в...»

«Секция «Государственное и муниципальное управление» 1 СЕКЦИЯ «ГОСУДАРСТВЕННОЕ И МУНИЦИПАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ» ПОДСЕКЦИЯ «ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ГОСУДАРСТВА В СОВРЕМЕННОЙ ЭКОНОМИКЕ» Управление финансированием системы здравоохранения в РФ: проблемы...»

«Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 77 www.mai.ru/science/trudy/ УДК 62-40 Интегральная оценка текущего технического состояния бортовых систем самолета на основе их эталонных образов Евдокименков В.Н.*, Ким Р.В.**, Воронов А.А.***, Векшина А.Б.**** Московский авиационный институт (нацио...»







 
2017 www.pdf.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - разные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.