WWW.PDF.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Разные материалы
 

«Сравнительный анализ методов интерактивной триангуляции сеточных функций Автор: Андрей Семенихин Редактор: Алексей Игнатенко (ignatenko В работе ...»

Сравнительный анализ методов интерактивной

триангуляции сеточных функций

Автор: Андрей Семенихин

Редактор: Алексей Игнатенко (ignatenko@graphics.cs.msu.su)

В работе рассматриваются различные ячеечные алгоритмы визуализации трехмерных

скалярных полей заданных на регулярной сетке. Проводится подробное исследование и

описание методов визуализации, отмечаются преимущества и недостатки тех или иных

подходов

Содержание

1. Введение

2. Задача триангуляции

3. Постановка задачи

4. Обзор методов решения задачи триангуляции

1. Ячеечные методы (cell-based)

2. Метод предиктора-корректора (predictor-corrector)

3. Мозаичные методы (pre-tessellation methods & particle-based methods)

4. Достоинства и недостатки методов триангуляции

5. Алгоритм"марширующие кубы"

1. Первый этап.

2. Второй этап.

6. Алгоритм Канейро

1. Первый этап

2. Второй этап

7. Алгоритм «МТ6»

8. Алгоритм Скалы

9. Сравнительный анализ методов «Марширующие кубы», Канейро, МТ6 и Скалы.

10. Литература Введение Данная статья посвящена сравнительному анализу алгоритмов визуализирующих заданную поверхность с помощью аппроксимации её треугольниками. Это так называемая задача триангуляции. Проблема визуализации поверхности, заданной различными способами возникает во многих областях математики, физики, медицины:



• Визуализация экспериментальных данных. При проведении физических экспериментов очень часто возникает необходимость отобразить информацию сразу со всех датчиков.

Например, при измерении температуры среды необходимо отобразить область с температурой, выше заданной.

• Функциональное представление. В некоторых математических задачах или расчетах необходимо визуализировать геометрический объект, заданный с помощью одной вещественной непрерывной описывающей функции нескольких переменных в виде F(X)

0. Также может возникнуть общая задача, в которой описывающая функция задана с помощью множества точек, в которых известно её значение.

Рис.1 Функциональное представление. Визуализирован объект, заданный функцией f(x,y,z)=0

• Медицина. Использование компьютеров дало возможность развиваться новым направлениям томографической интроскопии, таким как компьютерная томография (CTcomputed tomography), магнитная резонансная томография (MRI-magnetic resonance imaging) и позитронная эмиссионная томография (PET-positron emission tomography). С помощью томографической аппаратуры можно получить снимки множества сечений тела пациента, которые характеризуют особенности его анатомии и физиологии. Эти снимки с чрезвычайной четкостью показывают различные органы, причем изображения органов не налагаются друг на друга. Методы визуализации позволяют реконструировать трехмерную структуру органов по множеству параллельных сечений. Во многих случаях для установления диагноза врач зрительно анализирует изображения отдельных сечений объекта, полученных при томографическом обследовании. Однако, для некоторых клинических задач, подобных хирургическому планированию, необходимо понимать трехмерную структуру во всей ее сложности и видеть дефекты. Опыт показал, что "умозрительная реконструкция" объектов по изображениям их сечений чрезвычайно трудна и сильно зависит от опыта и воображения наблюдателя. В таких случаях хотелось бы представить человеческое тело так, как его увидел бы хирург или анатом.

Рис.2 Визуализация мочевого пузыря человека. Слева - данные, полученные с помощью УЗИ, справа - реконструированная поверхность.

• Аналогичные подходы применяются также для экспериментальных и модельных данных, которые получают в других областях, таких как динамика жидкостей, геология, метеорология, молекулярный анализ.

Задача триангуляции Под визуализацией трехмерных скалярных полей понимается визуализация поверхности заданной с помощью функции от трех аргументов и фиксированного значения этой функции уровня.

Где f(x,y,z) - это заданная функция, а с - заданный уровень. Множество точек, удовлетворяющее этой формуле, и есть искомая поверхность. Однако удобнее восстанавливать не саму поверхность, а поверхность аппроксимирующую искомую с помощью треугольников. Такой способ визуализации называется триангуляцией.

При решении задачи визуализации важную роль играет способ задания функции, которая описывает искомую поверхность. В большинстве прикладных задач функция задается таблично на регулярной сетке или имеет явное отображение, описываемое заданной формулой.

Но могут возникать задачи, в которых нет явно заданного отображения, или таблица значений задана на нерегулярной сетке. Такие задачи могут возникать во многих приложениях, например, в задаче измерения расстояния до поверхности с помощью облучения или в задаче реконструкции трехмерной структуры с помощью множества контуров-«срезов» (в медицинских исследованиях). В таких задачах предлагается использовать следующий алгоритм действий [19]: поверхность S, заданная выборкой X, аппроксимируется касательными плоскостями, проходящими через каждую точку выборки X. Затем искомая функция, задающая поверхность, считается следующим образом: для каждой точки P пространства R функция в этой точке равна расстоянию до ближайшей касательной плоскости, взятому со знаком «+», если точка находится внутри объема, ограниченного построенными плоскостями, или со знаком «-», если точка находится вне этого объема. Затем проводится триангуляция поверхности, заданной с помощью получившейся функции.

Постановка задачи

Мы будем сравнивать алгоритмы по следующим критериям:

• Скорость работы

• Ошибка аппроксимации

• Количество сгенерированных треугольников (большое количество получаемых треугольников, несомненно, негативно влияет на скорость отрисовки искомой поверхности, тратится большое количество памяти).

• Качество генерируемых треугольников Для пояснения этого критерия необходимо ввести некий термин - «мера правильности треугольника». Это есть отношение меньшей стороны треугольника к большей стороне. Таким образом, мера правильности треугольника может принимать значения от нуля до единицы (для равностороннего треугольника, иначе называемого правильным). Чем «компактнее»

треугольник - тем правильнее освещение (рис. 4). Если учесть тот факт, что большое количество треугольников невыгодно, то получается, что «идеальный» треугольник - тот, у которого максимальная площадь и минимальный периметр. Это равносторонний треугольник.

Таким образом, мера правильности треугольника обуславливает корректность освещения.

Рис. 4. Слева поверхность состоит из 32 треугольников, справа - из 20000.

Обзор методов решения задачи триангуляции Ячеечные методы (cell-based) В методах такого типа происходит разбиение области триангуляции на ячейки параллелепипеды[1,5,15,16,17] или треугольные пирамиды[2,3,4,6]. Далее производится триангуляция поверхности в каждой ячейке отдельно. Причем каждая ячейка триангулируется одним из заданных ранее способов, т.е. значения координат для треугольников просто «подставляются» из заранее заданной таблицы.

Для применения методов этого типа необходимо задать допустимую ошибку аппроксимации, на основе которой выбрать размер ячейки - куба или тетраэдра (если быть точным - то треугольной пирамиды, т.к. тетраэдрами нельзя «замостить» пространство без пропусков и наложений.) После этого с помощью уже известных таблиц триангуляции получить искомое множество треугольников. При этом процедура триангуляции каждой ячейки сводится к анализу значений функции в вершинах этой ячейки - другими словами, определяется, какие вершины лежат «внутри» поверхности, а какие - «снаружи». На основе этого можно сделать вывод о достаточности определения функции только в вершинах ячеек.

Наиболее известные ячеечные алгоритмы: метод Канейро (Caneiro)[2], метод [3], предложенный Гуэзеком (Gueziec), метод Скалы (Skala)[4], метод Марширующих кубов[1].

Метод предиктора-корректора (predictor-corrector) Методы из этого класса основаны на добавлении к уже имеющемуся множеству точек триангуляции ещё одной, лежащей на касательной плоскости к заданной функции (это положение предиктора(predictor) - предсказанное) и затем передвижению её до визуализируемой поверхности (это положение корректора (corrector) - скорректированное).





При использовании методов[7,8] из этого класса, необходимо знать значение функции во всех точках пространства и найти хотя бы одну точку, принадлежащую искомой поверхности. Метод заключается в «наращивании» треугольников - на каждой итерации метода к уже существующему множеству треугольников добавляется еще один, построенный на ребре крайнего треугольника и предсказанной (а затем скорректированной по кривизне поверхности) точки на поверхности.

Мозаичные методы (pre-tessellation methods & particle-based methods)

Суть таких методов[9,10,18] заключается в разбиении искомой поверхности на части дальнейшей их триангуляции. Разбиение на части в pre-tessellation методах подразумевает разбиение поверхности на «примитивные» поверхности - фрагменты сфер и плоскостей.

Разбиение на части в методах из плеяды particle-based - менее «интеллектуально» - ищутся только фрагменты плоскостей. При этом возникает проблема «соединения» уже «протриангулированных» частей. Чаще всего этот процесс сводится к подбору локальных по Делоне треугольников, соединяющих части искомой поверхности.

Определение: треугольник локален по Делоне, если его самая маленькая сфера ограничения не содержит никакую другую точку триангуляции, которая имеет ту же самую поверхностную ориентацию.

Достоинства и недостатки методов триангуляции Основа методов первого типа - независимая триангуляция каждой ячейки с помощью таблиц триангуляции - является одновременно их сильной и слабой стороной. Высокая скорость работы этих методов делает их наиболее привлекательными по отношению к другим методам и дает возможность использовать их в интерактивных приложениях, но большим минусом считается их относительная индифферентность к поведению функции вне выбранного множества точек. Другими словами это невозможность правильно визуализировать локальные искривления - масштаб треугольников всегда пропорционален размеру ячейки. Такие методы идеально подходят для визуализации трехмерных скалярных полей, заданных на регулярной сетке.

Методы второго и третьего типа применимы только при визуализации полей определенных в каждой точке той части пространства, которое нас интересует. Большим плюсом таких методов можно считать их зависимость от локального искривления функции - в таких методах мелкие детали не «пропадут». Несмотря на сильную потерю в скорости по сравнению с методами первой группы и ограничениями на дифференцируемость функции и связность поверхности, привлекают высоким «качеством» получаемой поверхности.

Заметное различие между ячеечными методами и методами второго и третьего типа заключается еще и в том, что методы первого типа часто довольно просты в реализации, и предоставляют возможность визуализации «нетривиально» заданных скалярных полей. Так, к примеру, создать регулярную сетку на основе нерегулярной значительно проще, нежели восстановить функцию в каждой точке пространства. Это же относится и к проблеме восстановления поверхности по «срезам»[5], возникающей в томографии.

Рис.3. Слева - триангуляция с учетом локальных искривлений, справа - без.

(Поверхность справа получена с помощью метода «Марширующих кубов»(cell-based), слева - с помощью метода Стюарта(predictor-corrector)) Таким образом, учитывая постановку задачи, необходимо провести сравнительный анализ алгоритмов, относящихся к ячеечным методам по следующим критериям:

• Скорость работы

• Ошибка аппроксимации

• Количество сгенерированных треугольников

• Качество генерируемых треугольников Однако, рассматриваемые алгоритмы имеют одну и ту же основу. Поэтому скорость и ошибка аппроксимации различаются несущественно [4]. Таким образом, анализ алгоритмов достаточно провести по следующим критериям - количество треугольников, «качество» треугольников.

Алгоритм "марширующие кубы"

Алгоритм «Марширующие кубы», предложенный Лоренсеном [1], можно разбить на два этапа:

1. Разбиение области G пространства R3 на конечное множество ячеек, поиск ячеек пересекаемых искомой поверхностью.

2. Аппроксимация поверхности в найденных ячейках.

Две эти подзадачи являются независимыми. Рассмотрим их подробнее.

Первый этап.

Основные проблемы этого этапа заключается в следующем:

1. Разбить область G на ячейки.

2. Выбрать ячейки, которые пересекаются с искомой поверхностью.

После того как область G будет разбита на ячейки, значения функции, в общем случае, задающей поверхность будут известны только в вершинах этих ячеек. Таким образом, ячейка является главной структурной единицей во всех алгоритмах, на этом этапе.

В тех задачах, в которых функция, задающая поверхность задана таблицей на регулярной сетке, проблема разбиения области G на ячейки сразу отпадает, ввиду однозначности ее решения - ячейка должна быть параллелепипедом - для того, чтобы знать значения функции в вершинах ячейки. Если же функция задана явно, то ячейку можно выбрать произвольной формы и размера. Однако следует учесть некоторые проблемы связанные с аппроксимацией искомой поверхности в ячейке. Если размер ячейки будет очень большим, то возможна большая потеря точности.

Рис.5. На схеме квадрат обозначает ячейку, овал - некий изгиб искомой поверхности.

Как видно из рис.5, при большом размере ячейки некоторые части искомой поверхности просто не будут видны. Однако выбирать ячейки очень маленького размера не очень хорошо с точки зрения быстродействия. Поэтому размер ячейки надо выбирать не меньше допустимой погрешности построения искомой поверхности.

Форма ячейки в алгоритме «Марширующие кубы» - параллелепипед. Однако это не единственно возможный вариант. Форма ячейки определяет дальнейшую триангуляцию ячейки.

Пусть форма ячейки - многогранник с N вершинами, тогда сопоставим каждой ячейке Nбитовый индекс, а каждой вершине - один бит в индексе. Причем, если вершина ячейки находится вне объема ограниченного искомой поверхностью, то значение этого бита «0», иначе

- «1». Тогда количество разных типов триангуляции будет 2N. Отсюда видно, что использовать в качестве ячейки, например, икосаэдр не оптимально. Многогранник с наименьшим количеством вершин - треугольная пирамида. Именно она используется в качестве ячейки в алгоритмах Канейро, MT6, Скалы.

Итак, допустим, что область G уже разбита на ячейки. Тогда главной проблемой становится поиск ячеек пересекаемых искомой поверхностью. Пусть С - множество ячеек, тогда Cv множество ячеек пересекаемых поверхностью F(P)=v. Тогда можно считать, что поверхность пересекает ячейку, если существуют такие P1 и P2 - вершины ячейки, что (*)

–  –  –

Где pi и pj - вершины ячейки.

Таким образом, проблема свелась к следующему: из множества ячеек C выбрать подмножество Cv ячеек, удовлетворяющих условию (**).

Рассмотрим далее проблему аппроксимации поверхности в ячейке.

Второй этап.

Как уже было сказано, пространство разбивается на ячейки, и отбираются только те ячейки, в которых надо производить аппроксимацию. Таким образом, задачей второго этапа является аппроксимация поверхности в одной ячейке. Наиболее оптимальный способ аппроксимации триангуляция. Посчитаем, сколько способов триангуляции имеет параллелепипед. Пусть имеется 8-битовый индекс. Тогда сопоставим каждой вершине один бит в индексе. Причем, если вершина ячейки находится вне объема ограниченного искомой поверхностью, то значение этого бита «0», иначе - «1». Тогда количество разных типов триангуляции будет 28=256. Однако из рис.6 видно, что способ триангуляции с индексом (I) совпадает со способом триангуляции с индексом (not I).

Рис.6

Итого получается 128 различных способов триангуляции.

Однако, используя симметрию и вращение, все 128 способов можно свести к 14:

Получив способ триангуляции, можно уже аппроксимировать поверхность в ячейке. К этому моменту уже известно количество треугольников, а для каждого треугольника известны ребра ячеек, на которых лежат его вершины. Остается найти точку на ребре ячейки, в которой поверхность ее пересекает. В случае явно заданной функции точку можно с большой точностью найти методами поиска корня, а в случае заданной таблично функции - точка ищется линейной интерполяцией двух вершин.

Алгоритм Канейро Алгоритм Канейро [2], основанный на разбиении пространства на треугольные пирамиды, как и алгоритм «Марширующие кубы», состоит из двух этапов:

1. Разбиение пространства на конечное множество ячеек, поиск ячеек пересекаемых искомой поверхностью.

2. Аппроксимация поверхности в найденных ячейках.

Первый этап Как уже было сказано, алгоритм использует в качестве ячеек треугольные пирамиды. Для этого пространство разбивается на параллелепипеды в соответствии с сеткой, на которой задана функция, а затем каждый параллелепипед разбивается на треугольные пирамиды. Такой же подход применяется в алгоритмах Скалы и МТ6. Разбиение параллелепипеда на треугольные пирамиды по методу Канейро показано на рис.7.

Рис. 7 Однако при подобном разбиении «швы» «разрезов» не совпадают. Другими словами, стороны треугольников, полученных в результате триангуляции соседних ячеек, не будут совпадать, что повлечет за собой появление «дырок». Для решения этой проблемы предлагается разбивать параллелепипеды в «шахматном порядке» - по очереди меняя шаблон разбиения: с показанного на рис.7 на зеркальный, как показано на рис.8 Рис. 8 Второй этап Задача второго этапа - аппроксимация поверхности в ячейке. Для алгоритмов Канейро, Скалы и алгоритма МТ6, второй этап один и тот же - производится триангуляция треугольной пирамиды в соответствии со значениями функции в вершинах.

Посчитаем, сколько способов триангуляции имеет треугольная пирамида. Пусть имеется 4битовый индекс. Тогда сопоставим каждой вершине один бит в индексе, таким же образом, как и для параллелепипеда. Тогда количество разных типов триангуляции будет 24=16. Однако, используя симметрию и вращение, 16 способов можно свести к 3.

Алгоритм «МТ6»

Алгоритм «МТ6» был предложен Гуезеком [3] как альтернатива алгоритму Канейро. Основное отличие этих двух методов в том, что для алгоритма «МТ6» отпадает необходимость смены шаблонов с прямого на зеркальный и обратно. Это достигается путем симметричного разбиения параллелепипеда, показанного на рис.9.

Рис. 9

Алгоритм Скалы

Алгоритм Скалы [4], относящийся к разряду ячеечных методов, был разработан, для визуализации трехмерных скалярных полей, заданных с помощью функции, определенной в каждой точке пространства. Однако, метод разбиения пространства на ячейки таков, что дает возможность использовать этот алгоритм для визуализации скалярных полей заданных на регулярной сетке.

Для разбиения пространства на ячейки метод Скалы использует узлы регулярной сетки, находящиеся в вершинах параллелепипеда, полученного тем же способом, что и в предыдущих рассмотренных методах, и дополнительную точку, находящуюся на пересечении диагоналей этого параллелепипеда. Значение функции в этой точке предлагается считать как линейную интерполяцию значений функции в вершинах параллелепипеда. Для каждого параллелепипеда, полученного из узлов регулярной сетки, строится ячейка способом, показанным на рис. 10. При таком разбиении для каждой ячейки используются «срединные»

точки «соседних» параллелепипедов. На рис.10 это точки I,K,D. Итог этого разбиения - 12 треугольных пирамид (DEAC, DABC, DFBC, DFEC, IEAC, IAHC, IGHC, IEGC, KAHC, KHJC, KJBC, KABC).

Рис. 10 Сравнительный анализ методов «Марширующие кубы», Канейро, МТ6 и Скалы.

Для сравнения методов были использованы следующие критерии:

• Количество генерируемых треугольников • «Качество» генерируемых треугольников Сравнение производилось следующим образом: на ввод алгоритмам подавались тестовые поверхности, заданные на регулярной сетке 30х30х30. Для каждой поверхности просчитывалось количество треугольников, вектор качества треугольников и средняя мера правильности треугольника.

Вектор качества треугольников (ВКТ) определяется следующим образом:

P При этом, i-ый элемент ВКТ определяется как процентное содержание треугольников с мерой качества V, во множестве сгенерированных треугольников.

Где V удовлетворяет следующему неравенству:

Средняя мера правильности треугольников подсчитывалась как среднее арифметической мер правильности всех треугольников.

Ниже приведены результаты сравнения алгоритмов по количеству треугольников и средней мере качества.

Количество Средняя мера Поверхность треугольников качества Таблица 1 Сравнение методов Канейро, МТ6, «Марширующие кубы» (М.К.).

При анализе полученных результатов можно сделать следующие выводы:

• Алгоритм Скалы генерирует неоправданно большое количество треугольников (к примеру, при визуализации поверхности тора этот алгоритм произвел в 5 раз больше треугольников, чем алгоритм «Марширующие кубы»).

• Алгоритм «МТ6» показал на всех тестовых поверхностях результаты хуже, чем алгоритм Канейро (для каждой тестовой поверхности количество генерируемых треугольников алгоритмом «МТ6» было выше, чем количество генерируемых треугольников алгоритмом Канейро, а средняя мера качества ниже).

• Алгоритм «Марширующие кубы» генерирует значительно меньшее количество треугольников, чем другие алгоритмы.

Таким образом, можно сказать, что алгоритм «Марширующие кубы» имеет лучшие показатели качества по выбранным критериям. Однако, Дёрст (Durst) в своей работе [11] показал топологическую неточность построенных поверхностей с помощью алгоритма «Марширующие кубы»: из-за большого количества шаблонов триангуляции, может получиться ситуация как на рис.11.

Рис. 11

Решения этой проблемы [15,16,17], основаны на изменении шаблонов триангуляции и попытке «предугадать» (отсюда пошло название - asymptotic decider) как на самом деле себя ведет поверхность в ячейке. Однако такой подход в несколько раз увеличивает количество треугольников, генерируемых алгоритмом «Марширующие кубы». К тому же, такой алгоритм уже нельзя считать интерактивным [15]. Несмотря на существование топологической неточности в генерируемой поверхности, алгоритм «Марширующие кубы» широко используется на практике, т.к. вероятность проявления ошибок такого рода достаточно мала. К примеру, при визуализации тестовых поверхностей топологическая неточность ни разу не проявилась.

Таким образом, при решении прикладных задач на интерактивную визуализацию трехмерных скалярных полей заданных на регулярной сетке, лучше всего использовать алгоритм Канейро, в том случае, если важна топологическая точность получаемой поверхности. В противном случае, целесообразнее использовать алгоритм «Марширующие кубы».

–  –  –

Рис. 12. Слева фрагмент сферы, полученный в результате работы алгоритма «Марширующие кубы», справа - тот же фрагмент, после не интерактивного преобразования того же множества треугольников.

Литература [1] William E. Lorensen, Harvey E. Cline «Marching Cubes: A high resolution 3D surface construction algorithm», CG vol.21, no.4, July 1987 [2] Bernardo P. Carneiro, Arie E. Kaufman «Tetra-Cubes: An algorithm to generate 3D isosurfaces based upon tetrahedra», SIGGRAPH'96, pp. 205-210 [3] Andre Gueziec «Exploiting Triangulated Surface Extraction Using Tetrahedral Decomposition», IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics, Vol. 1, Issue 4, pp. 328 - 342, December [4] Vaclav Skala «Precision of Isosurface Extraction from Volume Data and Visualization», Conference on Scientific Computing 2000, pp. 368 - 378.

http://www.emis.de/journals/AMUC/_contributed/algo2000/skala.pdf [5] Paolo Cignoni «Speeding up Isosurface Extraction Using Interval Trees», IEEE Transaction on visualization and CG, vol.3, no.2 April-June 1997 [6] G.M. Treece, R.W. Prager and A.H.

Gee, «Regularised marching tetrahedra:

improved iso-surface extraction», Technical Report CUED/F-INFENG/TR 333, Cambridge University Engineering Dept, September 1998. http://citeseer.ist.psu.edu/treece98regularised.html [7] A. Hilton, A. J. Stoddart, J. Illingworth, T. Windeatt «Marching triangles: Range image fusion for complex object modeling», International Conference on Image Processing, 1996.

ftp://ftp.ee.surrey.ac.uk/pub/vision/papers/hilton-icip96.ps.Z [8] Tasso Karkanis, A. James Stewart, «Curvature-Dependent Triangulation of Implicit Surfaces»

IEEE Computer Graphics and Applications, v.21 n.2, p.60-69, March 2001 [9] B. Crespin, P. Guitton, C. Schlick. «Efficient and accurate tessellation of implicit sweeps».

Proceedings of CSG'98, 1998 [10] Marshall Bern and David Eppstein, «Mesh Generation and Optimal Triangulation», Computing in Euclidean Geometry Eds. World Scientific, 1992, pp. 23-90 [11] M. Durst, "Letters: Additional Reference to Marching Cubes," Computer Graphics, vol. 22, no. 2, pp. 72-73, 1988.

[12] C. Rocchini, P. Cignoni, F. Ganovelli, «Marching Intersections: an Efficient Resampling Algorithm for Surface Management», International Conference on Shape Modeling & Applications, 2001.

http://smi2001.ima.ge.cnr.it/abstracts/47.pdf [13] Yutaka Ohtake, Alexander G. Belyaev «Dual/Primal mesh optimization for polygonized implicit surfaces», ACM Symposium on Solid Modeling and Applications, pp. 171 - 178, 2002.

http://cis.k.hosei.ac.jp/~F-rep/SM02ob.pdf [14] Y. Ohtake, A. G. Belyaev, «Dynamic meshes for accurate polygonization of implicit surfaces with sharp features», Proceedings of the International Conference on Shape Modeling & Applications, Page: 74, 2001. http://cis.k.hosei.ac.jp/~F-rep/OhtakeSmi01.pdf [15] Gregory M. Nielson, Bernd Hamann «The asymptotic decider: resolving the ambiguity in marching cubes», IEEE Visualization, Proceedings of the 2nd conference on Visualization '91, pp.83 - 91, 1991 [16] Adriano Lopes, Ken Brodlie «Improving the Robustness and Accuracy of the Marching Cubes Algorithm for Isosurfacing», IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics, pp 16-29, [17] Sergey V. Matveev «Approximation of Isosurface in the Marching Cube: Ambiguity problem», Proceedings IEEE Visualization '94, pp. 288-292 [18] Andrew P. Witkin, Paul S. Heckbert «Using Particles to Sample and Control Implicit Surfaces», Proceedings of the 21st annual conference on Computer graphics and interactive techniques, pp: 269

- 277, 1994. www.cs.cmu.edu/~aw/pdf/particles-reprint.pdf [19] H. Hoppe, T. DeRose, T. Duchamp, J. McDonald, and W. Stuetzle. «Surface reconstruction from unorganised points». SIGGRAPH'92 proceedings, 26(2), pp. 71-78.

© Graphics & Media lab (cgm@graphics.cs.msu.su)



Похожие работы:

«I.ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Статус документа Рабочая программа по технологии разработана на основе • Федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования (приказ Министерства образования и науки от 06.10.2009г № 373 «Об утвержде...»

«ГОСТ 2.702-75 УДК 744.43:621.3.062:006.354 Группа Т52 Единая система конструкторской документации Правила выполнения электрических схем Дата введения 01.07.77 Настоящий стандарт распространяется на электриче...»

«Владимирский государственный университет Инновационные методы обучения (Активные методы обучения) «Мозг, хорошо устроенный, ценится выше, чем мозг, хорошо наполненный» М. Монтень...»

«УДК 331 БЕСКОНТРОЛЬНОЕ КРЕДИТОВАНИЕ РЫНКА ТОВАРОВ И УСЛУГ НЕИЗБЕЖНАЯ ПРИЧИНА ИНФЛЯЦИИ Ю.В. Иголинская, Дальрыбвтуз, Владивосток Контроль за темпом роста цен на потребительские товары и услуги, отслеживание уровня инфляции и разработка мер по ее подавлению – важнейшие задачи органов государственной власти, осуществляющих денежно-кредитное р...»

«Закон о международных коммерческих компаниях, 2000 (Глава 270 Свода законов Белиза, исправленное издание 2000) Учредительный договор а также Устав Hermes Management Ltd (Ранее: CASUAL ENTERPRISES LTD.) Зарегистрировано 7-го октября 1998 года Первая поправка 16...»

«Мёбиусная терапия Г.П. Юрьев Институт философии Российской академии наук В статье обосновывается новый подход к диагностике и терапии синдрома моральной интоксикации человека в парадигме ленты Мёбиуса и структуры кофигуративного у...»

«В. Р. КЕЙСЕЛЬМАН (ДОРОЖКИН) ГРАНИ АЛЬТРУИЗМА ВВЕДЕНИЕ В современном мире встречается достаточно много проявлений альтруистичного поведения: преподавание и лечение, воспитание и поддержка слабого, сиблинговая забота друг о друге, родительская опека, ранговые сою...»

«Государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский городской университет управления Правительства Москвы Институт высшего профессионального образо...»

«Алиса в Стране Чудес Основные направления Раскрой: Увеличить все шаблоны и вырезать. Разложить на ткани; проверить соответствие лицевой и изнаночной сторон, учесть направление ворса для бархата (вел...»








 
2017 www.pdf.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - разные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.