WWW.PDF.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Разные материалы
 

«§13. Алгебраические расширения полей 13.1. Конечные расширения. Поле, конечномерное как векторное пространство над полем, называется конечным расширением поля. Его размерность dim ...»

§13. Алгебраические расширения полей

13.1. Конечные расширения. Поле, конечномерное как векторное

пространство над полем, называется конечным расширением поля. Его размерность dim называется степенью над и обозначается deg или

[ ].

Упражнение 13.1. Пусть расширения полей конечны и,, …,

составляют базис над, а,, …, составляют базис над. Покажите,

что попарных произведений составляют базис над. В частности,

deg = deg deg. (13-1) Поскольку целость и алгебраичность элемента над полем означают одно и то же, из доказанных в n 10.1 на стр. 150 свойств целых элементов вытекает, что всякая коммутативная -алгебра, конечномерная как векторное пространство над, алгебраична над, и если в нет делителей нуля, то является полем. Наоборот, любое поле, конечно порождённое как -алгебра, является конечным расширением поля. В частности, любая конечно порождённая -подалгебра [,, …, ] в любом поле конечной степени над тоже является полем конечной степени над, причём эта степень делит deg по упр. 13.1.

Упражнение 13.2. Убедитесь, что любое конечное поле имеет положительную характеристику char() = 0, является конечным расширением своего простого подполя1 = () и имеет порядок || = [ ].

13.1.1. Примитивные расширения. Пусть многочлен [] неприводим и deg = 1. Алгебра [] () не имеет делителей нуля и -мерна над.

Поэтому она является полем. Элементы этого поля однозначно записываются в виде + + +, где, а класс = mod() является корнем многочлена. Поле []() называется примитивным расширением поля, полученным присоединением к полю корня неприводимого многочлена. Если понятно, какой многочлен имеется в виду2, примитивное расширение []() часто обозначают [] или (). Так, запись [ ] по определению означает примитивное расширение []( ), где таков, что многочлен неприводим в [].



Пример 13.1 (кубические расширения) Пусть — произвольное поле и = + + + [] неприводим над.

Поле = []() имеет степень 3 над и его элементы однозначно записываются в виде + +, где, а означает класс mod(). Такие напомним, что простым подполем поля называется наименьшее подполе в, содержащее единицу без явного указания многочлена обозначение [] мало осмысленно

13.1. Конечные расширения записи перемножаются и складываются по стандартным правилам раскрытия скобок с учётом соотношения () = 0.

Упражнение 13.3. Пусть = и () = + + 1. Запишите (1 + 2) и (1 + + ) в виде + +.

Так как () = 0, многочлен () раскладывается в [] в произведение () = ( ) (), где квадратный трёхчлен () = + + [] либо приводим над, и тогда () = ( )( ) (13-2) для некоторых,, либо неприводим, и тогда разложение (13-2) пишется лишь над квадратичным расширением = [] () поля, степень которого над исходным полем равна 6. Чтобы выяснить, какой из этих двух случаев имеет место, заметим, что дискриминант1 () = ( ) ( ) ( ) = () (), (13-3) будучи симметрическим многочленом от корней, является многочленом от коэффициентов и лежит в.

Упражнение 13.4. Убедитесь, что ( + + ) = 4, а ( + + ) = 4 27.

Приводимость в [] равносильна тому, что () = ( ) является квадратом в. Согласно (13-3), это эквивалентно тому, что квадратом в является (). Но если () квадрат в, то он квадрат и в : иначе многочлен () был неприводим над, и квадратичное расширение [] ( ()) поля вкладывалось бы в поле по правилу mod ( ()) (), что невозможно по упр. 13.1, т. к. deg = 3. Итак, неприводимый кубический многочлен [] тогда и только тогда полностью разлагается на линейные множители над кубическим расширением [](), когда () квадрат в.

–  –  –

13.1.2. Сепарабельность. Если в рассмотренном выше прим. 13.1 характеристика исходного поля равна 3, некоторые из корней, и многочлена могут совпасть, хотя он и неприводим над. Скажем, над полем = () рациональных функций с коэффициентами в поле = (3) многочлен () = [] неприводим, т. к. не имеет корней в, однако над примитивным расширением = [ ] = [] () он становится полным кубом1 :

= ( ).

Определение 13.1 Многочлен [] называется сепарабельным, если у него нет кратных корней ни в каком расширении. Алгебраическое расширение (возможно, бесконечное) называется сепарабельным, если минимальный над многочлен [] любого элемента сепарабелен.

Упражнение 13.6. Покажите, что корень многочлена [] является кратным, если и только если () = 0.

Тем самым, многочлен [] сепарабелен тогда и только тогда, когда

–  –  –

и это условие проверяемо в самом поле при помощи алгоритма Евклида.

Упражнение 13.7. Убедитесь, что все неприводимые многочлены над любым полем характеристики нуль сепарабельны.

Пример 13.2 (сепарабельность конечных полей) Если многочлен неприводим, то он не может иметь отличных от констант общих делителей ни с каким ненулевым многочленом меньшей степени.

Поэтому неравенство нод(, ) 1 возможно только когда 0. Над полем характеристики равенство = 0 равносильно тому, что показатели всех мономов, входящих в с ненулевым коэффициентом, делятся на. Если = = (), так что = для всех, последнее условие означает, что многочлен является чистой -той степенью: () = + ( ) + + + = + ( ) + + + = ( + + + + ) и, стало быть, приводим. Тем самым, все неприводимые многочлены над полем сепарабельны. В частности, каждое конечное поле сепарабельно над своим простым подполем.

Упражнение 13.8. Пусть = (). Покажите что многочлен () = [] неприводим над и несепарабелен.

напомню, что ( + ) = + в любом поле характеристики 3

13.1. Конечные расширения Пример 13.3 (корни из единицы) Корни уравнения = 1 в произвольном поле образуют конечную мультипликативную подгруппу, которая обозначается () и называется группой корней из единицы поля. Как и всякая конечная мультипликативная подгруппа в поле, группа () циклическая. Если её порядок равен, то говорят, что поле содержит все 1, и буде это так, образующие группы () () называются первообразными корнями степени из единицы. Всего имеется () первообразных корней, и если — один из них, все степени с 0 1 различны. Поэтому следующие три условия эквивалентны:

• поле допускает расширение, содержащее все 1

• многочлен 1 сепарабелен над

–  –  –

Отметим, что при выполнении этих условий любой многочлен () = с ненулевым сепарабелен, поскольку () = имеет единственный корень нуль, не являющийся корнем.

Лемма 13.1 Любое конечное расширение можно получить в качестве верхнего этажа башни последовательных примитивных расширений = =, (13-4)

–  –  –

Доказательство. Пусть поле уже построено. Если, возьмём в качестве + [] минимальный многочлен любого элемента над полем и вложим примитивное расширение [] () в поле по правилу mod(). Обозначим через + образ этого вложения. Поскольку степень поля над + строго меньше, чем над, через конечное число шагов оно исчерпается.

Лемма 13.2 Для любого многочлена [] существует конечное расширение, над которым полностью раскладывается на линейные множители.

Доказательство. Разложим в [] на неприводимые множители. Если хоть один из них, назовём его, не линеен, перейдём от к расширению = = [] () и повторим процедуру. Поскольку над многочлен имеет строго большее число линейных множителей, чем над, после нескольких таких итераций мы получим требуемое расширение.

200 §13. Алгебраические расширения полей Теорема 13.1 (теорема о примитивном элементе) Всякое конечное сепарабельное расширение примитивно, т. е. имеет вид = [](), где [] — неприводимый многочлен степени deg.

Доказательство. Если поле конечно, поле тоже конечно, и его ненулевые элементы образуют циклическую мультипликативную группу. Если — образующая этой группы1, то = []. Поэтому далее мы будем считать, поле бесконечным. Индукция по длине башни из лем. 13.1 сводит теорему к случаю, когда поле = [, ] [] является башней двух примитивных расширений и как -алгебра порождается двумя сепарабельными алгебраическими элементами,. Мы собираемся подобрать так, чтобы порождённая над элементом = + подалгебра [] совпадала со всем полем. Так как алгебраичен над, алгебра [] всегда будет полем. Достаточно добиться, чтобы оно содержало : тогда и = тоже будет в нём лежать. Обозначим через () и () минимальные многочлены элементов и над полем. Элемент является общим корнем многочлена () [] и многочлена () = ( ), коэффициенты которого лежат в зависящем от параметра поле []. Рассмотрим любое поле, над которым,, а с ними и, полностью разлагаются на линейные множители. Если мы подберём так, чтобы был единственным общим корнем многочленов и в поле, то выразив ( ) = нод ( (), ()) через многочлены и по алгоритму Евклида, мы получим искомое представление в виде рациональной функции от их коэффициентов, лежащих в поле []. Пусть deg =, deg = deg =.





Обозначим через,, …, и,, …, корни многочленов и в, считая, что = и =. Тогда корни суть ( ) = + ( ), где

1. Мы хотим, чтобы + ( ) для всех, кроме = = 1.

В силу сепарабельности при 1 разности 0, поэтому каждое из неравенств с 1 запрещает ровно одно значение. При = 1 запреты выражаются неравенствами для всех 1, и автоматически соблюдаются в силу сепарабельности. Таким образом, нам не подходит всего лишь конечное множество значений, что и доказывает теорему в случае, когда поле бесконечно.

Следствие 13.1 Если поле является сепарабельным алгебраическим расширением поля и степени всех его элементов2 ограничены, то конечно над, и deg = max deg.

это рассуждение показывает, что любое конечное поле как алгебра над любым своим подполем всегда порождается одним элементом — образующей своей мультипликативной группы, и хотя сепарабельность не используется при этом явно, в прим. 13.2 мы видели, что все конечные поля сепарабельны над своими простыми подполями напомним, что степенью алгебраического элемента называется степень минимального многочлена этого элемента

13.2. Продолжение гомоморфизмов Доказательство. Если не лежит в примитивном расширении [], порождённом каким-либо другим элементом, то deg [, ] deg, и степень примитивного элемента поля [, ] строго больше deg. Поэтому подполе в, порождённое элементом максимальной степени, совпадает со всем.

13.2. Продолжение гомоморфизмов. Поскольку у полей нет ненулевых собственных идеалов, все ненулевые гомоморфизмы полей в кольца инъективны.

Каждое вложение полей продолжается до вложения колец многочленов [] [], переводящего многочлен [] в многочлен [], получающийся из [] применением к каждому коэффициенту.

Лемма 13.3 Пусть = []() — примитивное расширение поля, а — любое вложение в произвольное поле.

Вложения, совпадающие с на подполе, находятся в канонической биекции с корнями многочлена в поле. В частности, таких вложений не более deg, и их ровно deg, если и только если многочлен полностью раскладывается над в произведение deg попарно разных линейных множителей.

Доказательство. Каждый элемент задаёт гомоморфизм [], () ().

–  –  –

отображения на всевозможные подполя [] непусто, ибо содержит, и частично упорядочено отношением (, ) (, ) когда и | =.

Упражнение 13.9. Убедитесь, что этот чум удовлетворяет условиям леммы Цорна.

Покажем, что его максимальный элемент имеет область определения =. Если имеется элемент, то его минимальный многочлен [] над полем делится в [] на его минимальный многочлен, над полем. Коль скоро многочлен полностью раскладывается в [] на линейные множители, его делитель, тоже обладает этим свойством. Поэтому к примитивному расширению [] применима лем. 13.3, и вложение продолжается на строго большее подполе [] = [](, ).

Предложение 13.1 Если расширение конечно, то вложение полей продолжается до вложения не более, чем [ ] различными способами. Наличие ровно [ ] продолжений равносильно тому, что расширение сепарабельно и образ [] минимального над многочлена [] любого элемента полностью раскладывается в [] на линейные множители.

Доказательство. Разложим в башню (13-4) примитивных расширений = =, (13-5) где = [ ] []( ) и многочлен [] является минимальным над многочленом элемента. Ограничения продолжающего вложения на подполя образуют цепочку последовательно продолжающих друг друга вложений. Так как по лем. 13.3 каждый шаг этой цепочки можно осуществить не более, чем deg = [ ] способами, продолжающих вложений имеется не больше, чем [ ] = [ ], и их ровно столько, если и только если каждый многочлен имеет deg различных корней в поле. Поскольку башню (13-5) можно начать присоединением любого элемента =, из наличия [ ] продолжений вытекает, что образ минимального многочлена = любого элемента раскладывается над в произведение deg различных линейных множителей. В частности, сепарабелен. Наоборот, если все элементы сепарабельны, а образы их минимальных многочленов полностью раскладываются над на линейные множители, то эти множители будут различны, и в любой цепочке (13-5) каждый многочлен, будучи делителем многочлена в кольце [], переведётся вложением в многочлен, полностью разлагающийся над [] в произведение попарно различных линейных множителей. Поэтому вложение будет продолжаться вдоль такой цепочки ровно [ ] способами.

13.3. Поле разложения и алгебраическое замыкание Упражнение 13.10. Пусть в условиях предл. 13.1 поле как алгебра над порождается элементами,, …,. Покажите, что наличие ровно [ ] продолжений равносильно тому, что каждый элемент сепарабелен и его минимальный многочлен полностью раскладывается в [] на линейные множители.

Предложение 13.2 Если поле алгебраично1 над, то любое вложение, тождественное на подполе, является автоморфизмом поля.

Доказательство. Достаточно убедиться, что () =. Пусть имеет над минимальный многочлен []. Вложение переводит корни многочлена в корни многочлена. Поэтому = для некоторых, где = означает -кратную итерацию вложения. Из инъективности вытекает, что = im.

13.3. Поле разложения и алгебраическое замыкание. В этом разделе мы установим существование у любого поля некоторых специальных расширений, единственных с точностью до неканонического изоморфизма, тождественно действующего на.

Определение 13.2 (поле разложения) Поле называется полем разложения многочлена [], если полностью раскладывается в [] на линейные множители, и для любого расширения, в котором полностью раскладывается на линейные множители, существует вложение, тождественное на подполе.

Пример 13.4 (поле разложения кубического многочлена) В прим.

13.1 на стр. 196 мы видели, что полем разложения неприводимого кубического многочлена [], дискриминант () которого является квадратом в, служит примитивное кубическое расширение = [](), а если () не квадрат в, то он не квадрат и в, и полем разложения в этом случае служит квадратичное расширение поля при помощи (), имеющее над полем степень 6.

Теорема 13.2 У любого многочлена [] есть поле разложения, и между любыми двумя полями разложения многочлена имеется тождественный на подполе (но не канонический) изоморфизм.

Доказательство. Рассмотрим любое конечное над поле, над которым полностью раскладывается на линейные множители2 и обозначим через,, …, корни, а через — наименьшее подполе в, содержащее и все эти корни. Поле раскладывается в башню (13-4) примитивных но не обязательно конечно см. лем. 13.2 на стр. 199 204 §13. Алгебраические расширения полей расширений = =, (13-6) на каждом этаже которой присоединяется элемент1 {,, …, }. Если поле таково, что полностью раскладывается над ним на линейные множители, включение продолжается вдоль башни (13-6) до тождественного на вложения по лем. 13.4: минимальный многочлен каждого присоединяемого элемента, будучи делителем многочлена, полностью раскладываются над на линейные множители. Тем самым, является полем разложения. Для любого другого поля разложения имеются вложения и. Поскольку композиции и биективны по предл. 13.2, каждое из вложений сюрьективно, т. е. является изоморфизмом.

Пример 13.5 (классификация конечных полей) Согласно упр.

13.2 каждое конечное поле характеристики является конечным расширением своего простого подполя = () и состоит из = элементов, где = [ ]. Так как ненулевые элементы поля образуют конечную мультипликативную группу порядка 1, все они удовлетворяют уравнению = 1. Следовательно, элементы поля суть различных корней многочлена () = [], сепарабельного, поскольку = 1. Таким образом, поле является полем разложения многочлена и единственно с точностью до (неканонического) изоморфизма.

Определение 13.3 (алгебраическое замыкание) Алгебраическое над алгебраически замкнутое поле называется алгебраическим замыканием поля.

Упражнение 13.11. Покажите, что любое конечное расширение допускает тождественное на вложение в любое алгебраическое замыкание поля.

Теорема 13.3 У каждого поля есть алгебраическое замыкание, и между любыми двумя алгебраическими замыканиями поля имеется тождественный на (но не канонический) изоморфизм.

Доказательство. Для любых двух алгебраических замыканий, поля включение продолжается до тождественного на вложения. Симметричным образом имеется тождественное на вложение. По предл. 13.2 композиции и биективны. Поэтому и тоже биективны, и.

отметим, что число этажей башни может оказаться меньше, чем число корней многочлена, поскольку присоединение очередного корня может привести к автоматическому присоединению ещё нескольких

13.3. Поле разложения и алгебраическое замыкание Существование алгебраического замыкания устанавливается в несколько итераций. Для начала допустим, что поле содержится в алгебраически замкнутом поле. Тогда множество алгебраичных над элементов поля является полем по предл. 10.2 на стр. 152. Любой многочлен из [] [] имеет корень в. Поскольку алгебраичен над, он алгебраичен и над, а значит, лежит в. Тем самым, поле алгебраически замкнуто и является алгебраическим замыканием поля. Остаётся убедиться в наличии какогонибудь алгебраически замкнутого поля. Сначала установим существование поля, над которым каждый многочлен [] полностью разлагается на линейные множители. Это делается при помощи трансфинитной индукции. Введём на множестве [] такой линейный порядок, при котором у любого подмножества имеется минимальный элемент1. Тогда для каждого [] имеется поле над которым полностью разлагается на линейные множители и которое содержит аналогичные поля для всех, а также поле : для наименьшего [] таковым полем является поле разложения над, и буде наименьшим многочленом, для которого такого поля нет, возьмём в качестве поле разложения над полем. Теперь можно положить = [ ]. Повторяя процедуру, строим бесконечную цепочку вложенных полей, в которой каждый многочлен из [] полностью разлагается на множители над +. Поле = алгебраически замкнуто и содержит.

Следствие 13.2 В любой башне конечных расширений расширение сепарабельно, если и только если сепарабельны оба расширения и.

Доказательство. Если поле сепарабельно над, то сепарабельно и его подполе. Так как минимальный многочлен над любого элемента делит сепарабельный минимальный многочлен элемента над, то сепарабельно над. Наоборот, если оба этажа башни сепарабельны, то согласно предл. 13.1 тождественное вложение в алгебраическое замыкание допускает ровно deg продолжений до вложения, и каждое из них ровно deg способами продолжается до вложения, так что всего имеется deg deg = deg продолжений тождественного вложения до вложения, что по предл. 13.1 означает сепарабельность расширения.

существование такого порядка на любом множестве составляет утверждение теоремы Цермело, которая равносильна лемме Цорна и аксиоме выбора, см. Ван Дер Варден. «Алгебра» (М., «Мир», 1976, стр. 246 – 249) или П. С. Александров. «Введение в теорию множеств и общую топологию» (М., «Наука», 1977, стр. 80 – 83.) 206 §13. Алгебраические расширения полей

13.4. Нормальные расширения. Алгебраическое расширение называется нормальным, если любой неприводимый над многочлен [], имеющий корень в, полностью разлагается в [] на линейные множители.

Упражнение 13.12. Покажите, что неприводимый над приведённый многочлен [], имеющий корень в алгебраическом расширении, является минимальным многочленом элемента над.

Таким образом, нормальность алгебраического расширения равносильна тому, что минимальный любого элемента над полностью раскладывается в [] на линейные множители.

Упражнение 13.13. Убедитесь, что любое квадратичное расширение нормально.

Лемма 13.5 Фиксируем произвольное алгебраическое замыкание поля.

Алгебраическое расширение нормально тогда и только тогда, когда образы всех тождественных на вложений совпадают друг с другом.

Доказательство. Отождествим с подполем () при помощи одного из вложений1 и будем далее считать, что. Любое тождественное на вложение переводит каждый элемент в один из корней его минимального над полем многочлена [], и если для каждого все корни лежат в, то и (). Наоборот, по лем. 13.4 для каждого корня минимального многочлена [] каждого элемента имеется вложение, с, () =, и если образы всех вложений, лежат в, то и все корни всех минимальных многочленов всех элементов поля лежат в.

Лемма 13.6 Пусть в башне алгебраических расширений поле нормально над.

Тогда нормально и над, а вот нормально над, если и только если образ любого тождественного на вложения совпадает с.

Доказательство. Минимальный над многочлен любого элемента делит в [] минимальный многочлен элемента над, и если в [] второй из них полностью раскладывается на линейные множители, то и первый раскладывается. Поэтому нормально над. Второе утверждение вытекает из лем. 13.5: фиксируем алгебраическое замыкание и заметим, что образы всех вложений лежат в, поскольку каждое такое вложение продолжается до вложения, образ которого совпадает с.

Предостережение 13.1. Башня нормальных расширений и может не быть нормальным расширением. Например, расширение существующих по лем. 13.4 на стр. 201

13.4. Нормальные расширения [ 2] представляется башней из двух нормальных по упр. 13.13 квадратичных расширений, не является нормальным: четыре его вложения в алгебраическое замыкание, переводят примитивный элемент mod( 2) поля [ 2] = []( 2) в четыре разных комплексных корня из 2, и образы этих вложений суть три разных подполя в.

Предложение 13.3 Конечное расширение нормально тогда и только тогда, когда является полем разложения некоторого многочлена1 [].

Доказательство. Пусть нормальное над поле порождается как алгебра над элементами,, …,, и пусть [] — минимальный многочлен элемента над полем. Тогда многочлен = полностью раскладывается над на линейные множители, и по упр. 13.10 поле вкладывается в любое другое поле, над которым полностью раскладывается на линейные множители. Следовательно, является полем разложения многочлена. Наоборот, если является полем разложения некоторого многочлена [], то любое тождественное на подполе вложение в фиксированное алгебраическое замыкание является изоморфизмом на подполе [,, …, ], порождённое всеми корнями,, …, многочлена в. Поэтому нормально по лем. 13.5.

13.4.1. Композиты. Зафиксируем алгебраическое замыкание поля. Для любого набора содержащих и содержащихся в полей,, …, наименьшее подполе в, которое содержит все поля, называется композитом этих полей и обозначается …. Иначе композит можно описать как пересечение всех подполей в, содержащих каждое из полей, или как линейную оболочку всевозможных произведений …, где для каждого.

Предложение 13.4 Пусть поля и содержат и содержатся в. Если поле нормально (соотв.

сепарабельно) над, то композит нормален (соотв. сепарабелен) над.

Доказательство. Тождественные на подполе вложения композита в алгебраическое замыкание = биективно соответствуют тождественным на подполе вложениям в : любое вложение по -линейности продолжается до вложения, и наоборот, каждое -линейное вложение ограничивается на подполе. Поэтому утверждения непосредственно следуют из лем. 13.5 и предл. 13.1.

не исключено, что приводимого над 208 §13. Алгебраические расширения полей Теорема 13.4 (нормальное замыкание) Для любого конечного сепарабельного расширения существует нормальное и сепарабельное над поле, которое вкладывается над в любое другое нормальное и сепарабельное над поле. Все такие поля1 конечны над и между любыми двумя из них имеется тождественный на подполе (но не канонический) изоморфизм.

Доказательство. Зафиксируем алгебраическое замыкание и возьмём в качестве композит образов всех = deg различных вложений.

Тогда deg, и нормально и сепарабельно как над так и над, а любое вложение в любое нормальное сепарабельное расширение продолжается до вложения.

13.5. Автоморфизмы полей и соответствие Галуа. Автоморфизмы поля, тождественно действующие на его подполе, называются автоморфизмами над. Все такие автоморфизмы образуют группу Aut { | () = }.

Поскольку каждый автоморфизм над является продолжением включения на расширение, порядок группы автоморфизмов конечного расширения удовлетворяет неравенству из предл. 13.1 на стр.

202:

| Aut | deg.

Конечные расширения, для которых это неравенство превращается в равенство, называются расширениями Галуа. Из предл. 13.1 вытекает, что конечное расширение является расширением Галуа, если и только если оно нормально и сепарабельно.

Для любой группы автоморфизмов поля элементы, неподвижные относительно всех преобразований из, образуют в подполе { | () = }, которое называется полем инвариантов группы. Отметим, что содержит простое подполе поля, изоморфное, когда char() = 0, или = (), когда char() = 0.

Теорема 13.5 Для любой конечной группы автоморфизмов произвольного поля расширение является расширением Галуа степени ||, и Aut =.

–  –  –

имеет коэффициенты в и неприводим над, поскольку группа переводит в себя множество корней любого многочлена положительной степени из [] и не может транзитивно действовать на корнях произведения двух таких многочленов. Тем самым, является минимальным многочленом элемента над полем. Так как полностью разлагается в [] в произведение попарно различных линейных множителей, расширение алгебраично, нормально и сепарабельно, и степень над любого элемента не выше ||. По сл. 13.1 расширение конечно и deg ||. С другой стороны, || |Aut | deg. Поэтому все написанные неравенства являются равенствами, и = Aut.

Следствие 13.3 Для любых конечного расширения полей и подгруппы Aut равенства = и || = deg эквивалентны друг другу, и в случае их выполнения = Aut.

Доказательство. По теор. 13.5 в башне степень deg = ||, откуда всё и следует. Поучительно, однако, дать другое доказательство, не использующее теорему о примитивном элементе, скрытую в ссылке на сл. 13.1, данной при доказательстве теор. 13.5.

Итак, пусть || = deg. Из неравенств || deg deg вытекает, что deg = deg = deg deg, откуда deg = 1 и =.

Наоборот, пусть =. Те же рассуждения, что и в теор. 13.5 показывают, что расширение нормально и сепарабельно. Поэтому тождественное вложение продолжается до автоморфизма поля над ровно deg способами, и |Aut | = deg. Остаётся показать, что Aut =. Поскольку коэффициенты минимального многочлена любого элемента инвариантны относительно Aut, каждый автоморфизм Aut переводит в один из корней многочлена. Согласно (13-7) эти корни составляют орбиту группы. Таким образом, для каждого и каждого Aut существует такой элемент, что () = (). Поэтому для каждого Aut поле является объединением по всем конечного числа подмножеств = { | () = ()}, каждое из которых является подпространством конечномерного векторного пространства над полем. Если поле бесконечно, то конечномерное пространство над ним не представимо в виде объединения конечного числа собственных подпространств1, и значит, одно из подпространств совпадает с, откуда2 =. Если поле конечно, то тоже конечно и порождается над образующей циклической мультипликативной группы ненулевых элементов поля. В этом случае = для такого, что () = ().

см. упр. 11.13 на стр. 170 полезно сопоставить это рассуждение с тем, что использовалось в теор. 13.1 на стр. 200 210 §13. Алгебраические расширения полей Пример 13.6 (поле инвариантов группы треугольника) Рассмотрим проективную прямую = ( ) над произвольным полем.

Группа треугольника = действует на ней дробно линейными преобразованиями, переставляющими точки 0 = (0 1), 1 = (1 1), = (1 0).

Тождественное преобразование, циклы 0 1 0, 1 0 и отражения,,, оставляющие на месте точки 0, 1, соответственно, преобразуют аффинную координату = по формулам:

( 1) Id 1(1 ) (13-8) ( 1) 1 1 которые определяют действие на поле рациональных функций = () по правилу () ( ()). Поле инвариантов этого действия состоит из таких функций (), которые не меняются при подстановках (13-8).

Согласно теор. 13.5, расширение является расширением Галуа степени 6. Опишем поле явно. Если рациональная функция () = () ()

-инвариантна, то -инвариантна и любая рациональная функция от. Такие функции образуют подполе (), и функция является корнем многочлена () () c коэффициентами в этом подполе. Поэтому dim( ) max(deg, deg ). Так как левая часть этого неравенства делится на dim = 6, мы заключаем, что max(deg, deg ) не меньше 6, и если он равен 6, то = (). Инвариантную функцию с deg = deg = 6 нетрудно построить из геометрических соображений. Рассмотрим однородный многочлен (, ) без кратных неприводимых множителей, нули которого на образуют одну -орбиту. Подстановки (13-8) переводят его в многочлен с тем же множеством нулей, т. е. умножают на константы: ( ) = () (), где, (), — мультипликативный гомоморфизм, или — что то же самое — 1-мерный характер группы, коих имеется ровно два: тривиальный и знаковый. Стало быть, либо инвариантен относительно всех постановок (13-8), либо сохраняется поворотами и меняет знак при отражениях. Из трёхточечной орбиты {0, 1, } таким образом получается знакопеременный многочлен = ( ), квадрат которого -инвариантен, а из двухточечной, образованной собственными векторами поворотов1, — -инвариантный многочлен = +. Минимальный лоранов моном полной степени нуль2 по ( ), который можно соорудить из и, это

–  –  –

т. к. это отношение многочленов степени 6, поле инвариантов = ().

отметим, что сами точки могут быть и не определены над полем, но инвариантный многочлен, корнями которого они являются, лежит в [, ] а именно они являются рациональными функциями от =

13.5. Автоморфизмы полей и соответствие Галуа Упражнение 13.14. Проверьте прямым вычислением, что () не меняется при подстановках (13-8).

Пример 13.7 (автоморфизмы и вложения конечных полей) Пусть =, где — простое.

Поскольку расширение нормально и сепарабельно1, |Aut | = [ ] =. Итерации = Id,,, …, автоморфизма Фробениуса различны, т. к. равенство = означает, что все элементов поля корни многочлена, что невозможно при,. Поэтому Aut — циклическая группа порядка, порождённая. Для каждого | подгруппа Aut, порождённая автоморфизмом, имеет порядок, а её неподвижные точки это корни многочлена. Поэтому = является полем разложения многочлена, и Aut. Любое вложение является изоморфизмом на подполе, ибо переводит элементы в корни многочлена. Всего таких вложений имеется, и они образуют одну орбиту группы Aut.

Упражнение 13.15. Покажите, что в [] многочлен является произведением всех неприводимых над приведённых многочленов, степени которых делят.

Теорема 13.6 (соответствие Галуа) Для любого конечного расширения Галуа с группой Галуа = Aut отображение, сопоставляющее подгруппе её поле инвариантов, и отображение, сопоставляющее содержащему подполю подгруппу Aut, являются взаимно обратными биекциями между множеством подгрупп и множеством таких полей, что. При этом нормальные подгруппы взаимно однозначно соответствуют содержащимся в расширениям Галуа, и в этом случае Gal.

Доказательство. Для любого такого поля, что, расширение нормально по лем. 13.6 и сепарабельно по сл. 13.2. Тем самым, оно является расширением Галуа с группой Галуа = Aut, причём || = deg. Очевидно, что является подгруппой в. По сл. 13.3 =. Отсюда сразу следует утверждение о биекции2. Для доказательства второго утверждения рассмотрим действие группы = Gal на содержащихся в подполях. По уже доказанному, централизатор { | | = Id } = Aut каждого такого поля совпадает с подгруппой, соответствующей по Галуа полю. Поскольку расширение нормально и сепарабельно, любое вложение

–  –  –

Согласно лем. 13.6 и сл. 13.2 расширение всегда сепарабельно, а нормально тогда и только тогда, когда () = для всех вложений (13-9). Последнее равносильно тому, что все подгруппы, сопряжённые с, совпадают с, т. е. нормальности. В этом случае группа Gal переводит в себя, и возникает сюрьективный гомоморфизм Gal Gal с ядром Gal. Таким образом, Gal = (Gal ) (Gal ).

Упражнение 13.16. Убедитесь, что соответствие Галуа оборачивает включения:

–  –  –

Упр. 13.2. В силу конечности гомоморфизм колец, переводящий 1 в 1, имеет ненулевое ядро (), и его образ изоморфен (). Поскольку в нём нет делителей нуля, число простое, и образ — поле совпадающее с простым подполем в.

Упр. 13.6. Если () = ( ) (), то по правилу Лейбница () = () + ( ) (), откуда () = () = 0.

Упр. 13.7. Поскольку deg 2, производная 0 и deg deg. Так как не имеет отличных от константы делителей, степень которых меньше deg, нод(, ) = 1.

Упр. 13.11. Это вытекает из лем. 13.4.

Упр. 13.15. Корни многочлена распадаются на орбиты группы = Aut ().

Длина каждой орбиты,, …, делит, а произведение ( ) по всем элементам -орбиты является неприводимым приведённым многочленом с коэффициентами из =. Поскольку многочлен сепарабелен, его разложение на простые множители в [] имеет вид произведения попарно различных приведённых неприводимых многочленов, степени которых делят. С другой стороны, неприводимый приведённый многочлен [] степени делит тогда и только



Похожие работы:

«TQВОПРОСЫ К ЗАЧЕТУ по курсу “Электродинамика сплошных сред” (декабрь 2005) 1. Уравнения Максвелла в электродинамике сплошных сред. Физический смысл фигурирующих там величин.Уравнения Максвелла макроскопические: r divB = 0, r r 1B rotE =, ct r divD = 0, r r 4p r 1 D rotH = j+ c ct r Также присутствует уравнение непрерывности di...»

«Труды ИСА РАН, 2008. Т. 32 Решение трехточечной задачи Штейнера на плоскости средствами MatLab Д. Т. Лотарев Институт системного анализа Российской академии наук (ИСА РАН) Задача Штейнера...»

«Пояснительная записка. Программа кружка «Традиции и обряды моего народа» разработана на основе программы Григорьева В.М, Дайна Г.Л, Мельникова М.Н., требований к результатам освоения основной образов...»

«К ИЗУЧЕНИЮ ФЛОРЫ ОКРЕСТНОСТЕЙ ПОС. УКРАИНКА (БОЛЬШЕЧЕРНИГОВСКИЙ РАЙОН, САМАРСКАЯ ОБЛАСТЬ) Бобкова А.Ю. ФГБОУ ВПО «Поволжская государственная социально-гуманитарная академия», Самара, Россия Научный руководитель –...»

«Муниципальное автономное учреждение дополнительного образования Городской Дворец творчества детей и молодежи «Одаренность и технологии» Рассмотрена и допущена к реализации УТВЕРЖДАЮ решением Экспертно-методического совета Директор МАУ ДО Протокол № 1 от 15 сентября 2015 г. Горо...»

«УДК 811.111’42:001.101 О. Г. Дубровская Когнитивно-дискурсивное направление когнитивной лингвистики как парадигма знания для интерпретации контекста В статье в парадигме когнитивно-дискурсивного направ...»

«В случае продажи имущества, находящегося в собственности менее 3 лет, дарения, сдачи имущества в аренду и получения иных доходов, с которых не был удержан налог в 2014 году, гражданам...»

«Рецензии Кожев А. Атеизм и другие работы / А. М. Руткевич, пер. М.: Праксис, 2006. 512 с. Французский философ русского происхождения Александр Владимирович Кожевников мировую известность обрел под именем Alexandre Kojve (Кожев — с ударением на последнем слоге; имя, странно звучащее и для русского, и для французского уха). Он один...»

«Атласы,карты,глобусы: полиграфическийаспект С.Г. Маркова, к.т.н, доцент кафедры технологии полиграфического производства И.К. Корнилов, к.с.н., профессор кафедры печатного и послепечатного оборудования 1. бщие сведения об аласа и кара Атласыявляютсяоднимизнаиб...»

«ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА ГОСУДАРСТВЕННОЙ СТАТИСТИКИ ТЕРРИТОРИАЛЬНЫЙ ОРГАН ФЕДЕРАЛЬНОЙ СЛУЖБЫ ГОСУДАРСТВЕННОЙ СТАТИСТИКИ ПО МУРМАНСКОЙ ОБЛАСТИ (МУРМАНСКСТАТ) МУРМАНСКАЯ ОБЛАСТЬ В ЦИФРАХ Статистический сборник Мурманс...»








 
2017 www.pdf.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - разные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.