WWW.PDF.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Разные материалы
 

«ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ Глава 1. АНАЛИЗ ИЗВЕСТНЫХ РЕШЕНИЙ. ИХ ДОСТОИНСТВА И НЕДОСТАТКИ......... 10 Глава 2. SVD АНАЛИЗ ОБРАТНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ...»

2

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. АНАЛИЗ ИЗВЕСТНЫХ РЕШЕНИЙ.

ИХ ДОСТОИНСТВА И НЕДОСТАТКИ......... 10

Глава 2. SVD АНАЛИЗ ОБРАТНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ

ЗАДАЧИ В КЛАССИЧЕСКОЙ ПОСТАНОВКЕ.... 20

2.1 Оператор прямой задачи и его производные............ 20

2.1.1 Оператор прямой задачи................... 20

2.1.2 Первая формальная производная.............. 21 2.1.3 Вторая формальная производная.............. 22 2.1.4 Сопряженные операторы к формальным производным Фреше оператора прямой задачи F............... 24 2.1.5 Численная реализация оператора прямой задачи..... 26

2.2 Стандартная постановка задачи обращения полного волнового поля....................... 27

2.3 Линеаризованная постановка и сингулярное разложение..... 29 2.3.1 Линеаризация оператора прямой задачи.......... 29 2.3.2 О компактности первой производной Фреше оператора прямого моделирования...................... 30 2.3.3 Регуляризация линейного обращения полных волновых полей путём усечения сингулярного разложения 31

2.4 Влияние свободной поверхности на качество решения обратной динамической задачи сейсмики.............. 35 2.4.1 Постановка задачи....................... 36 2.4.2 Программная реализация расчета SVD........... 37 2.4.3 Выбор параметра регуляризации............... 42 2.4.4 Численные эксперименты................... 43 Глава 3. МОДИФИКАЦИЯ ЦЕЛЕВОГО ФУНКЦИОНАЛА И ФОРМУЛИРОВКА MBTT................ 48



3.1 Постановка MBTT.......................... 48

3.2 Линеаризация оператора прямой задачи.............. 50

3.3 Численные эксперименты...................... 52 3.3.1 Пример разложения модели на пропагатор и рефлектор.......................... 52 3.3.2 Анализ информативности и разрешающей способности реконструкции пропагатора.......... 54

3.4 Нелинейный метод наименьших квадратов в постановке MBTT. 61 3.4.1 Минимизация по переменной p................ 62 3.4.2 Численный пример минимизации по p............ 64

–  –  –

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.............................. 91 ЛИТЕРАТУРА.............................. 93 ВВЕДЕНИЕ Объект исследования – нелинейный метод обращения полного волнового поля в задаче реконструкции макроскоростного строения среды на предмет SVD анализа соответствующих линеаризованных постановок для дальнейшего их использования при разработке и исследовании численных алгоритмов решения обратной динамической задачи сейсмики и создания на этой основе научно-исследовательской версии проблемно ориентированного программного обеспечения.

Актуальность Решение обратной динамической задачи сейсмики нелинейным методом наименьших квадратов находится в центре внимания специалистов в области вычислительной геофизики начиная с середины 80-х годов прошлого столетия.

Примерно в это же время возникает проблема реконструкции макроскоростной составляющей: при отсутствии в спектре зарегистрированного сигнала очень низких временных частот или чрезвычайно больших расстояний между источниками и приёмниками невозможно определение плавных вариаций скорости распространения сейсмических волн, поскольку именно эта составляющая гарантирует корректное отображение в пространстве структуры изучаемых геологических объектов.

Благодаря значительным успехам в области геофизического приборостроения, в последнее время стала возможной регистрация сейсмических сигналов на частотах до 5 Гц, однако и этого, оказывается, недостаточно для реконструкции макроскоростного строения среды.

Ответ на этот вопрос можно получить путём численного анализа сингулярного спектра производной Фреше оператора обратной задачи, переводящего текущее распределение скорости в наблюдаемые волновые поля. Для этого требуется модификация целевого функционала, обладающая заметно более высокой чувствительностью к изменчивости макроскоростной модели, известная как формулировка MBTT (аббревиатура от английского Migration Based Travel Times).

Цель исследования – оценить разрешающую способность операторов, возникающих при линеаризации нелинейных постановок в методе обращения полного волнового поля для реконструкции макроскоростного строения среды в рамках SVD анализа и таким образом повысить качество сейсмических изображений структуры сложных сред.

Научные задачи:

1. Разработать численный алгоритм построения SVD линеаризованного оператора прямой задачи для классической постановки обратной динамической задачи сейсмики и для постановки MBTT.

2. В рамках SVD анализа оценить разрешающую способность операторов, возникающих при линеаризации классической постановки задачи и постановки MBTT.

Теория и методы исследования Теоретической основой решения поставленной научной задачи являются: – математический аппарат функционального анализа и численных методов для вывода формул формальных производных Фреше оператора прямого моделирования и конечно-разностной аппроксимации соответствующих линейных операторов (функция Грина, интегральное уравнение первого рода, краевые задачи для уравнения Гельмгольца в неограниченной области и в полупространстве); – теория обратных условно-корректных задач (а именно: регуляризуемость, квазирешение, построение аппроксимирующих отображений с помощью спектрального разложения); – современные алгоритмы вычислительной линейной алгебры (итерационный метод построения старших сингулярных чисел и соответствующих им сингулярных векторов, не требующий явного задания матрицы); – численные методы решения экстремальных задач (такие как метод наискорейшего спуска, метод сопряженных направлений и метод проекции градиента).

Основной метод исследования – SVD анализ разрешающей способности оператора применительно к решению обратной динамической задачи сейсмики. При разработке численного алгоритма использовалась математическая библиотека SlepC для расчета SVD оператора, не требующего задания линейного оператора в явном виде, а требующего его описания в виде функции действия этого оператора на произвольный вектор. Для разработки научно-исследовательской версии программного обеспечения использовался язык программирования C++.

Защищаемые научные результаты:

1. Постановка задачи MBTT в области временных частот.

2. Численный алгоритм расчета SVD формальных производных Фреше операторов прямого моделирования в классической постановке и в постановке MBTT.

3. Научно-исследовательский вариант программного обеспечения.

Новизна работы. Личный вклад Предложен оригинальный подход к решению обратной динамической задачи сейсмики для скалярного волнового уравнения и сделана оценка разрешающей способности этого подхода со стандартной постановкой задачи обращения полных волновых полей: – основываясь на формулировке MBTT во временной области, выполнена постановка задачи обращения волновых фронтов в области временных частот путем модификации целевого функционала с разделением пространства моделей на два подпространства - гладких, плавно изменяющихся пропагаторов, и резких, быстро изменяющихся рефлекторов; – линеаризованы классическая постановка задачи обращения волновых фронтов и постановка MBTT; – разработан и реализован численный алгоритм для построения SVD первых формальных производных Фреше операторов прямого моделирования для стандартной постановки и для формулировки MBTT; – с использованием SVD анализа оценено влияние кратных волн, связанных со свободной поверхностью, на результаты восстановления скоростной модели верхней части разреза; – используя научно-исследовательский вариант проблемно ориентированного программного обеспечения, предназначенного для численного построения SVD, выполнен анализ разрешающей способности первых производных Фреше для классической постановки и для постановки MBTT; – опираясь на результаты анализа разрешающей способности, разработан и реализован в виде научно-исследовательского программного обеспечения нелинейный алгоритм обращения волновых фронтов в формулировке MBTT.





Теоретическая и практическая значимость результатов Различные сценарии обращения полных волновых полей на предмет оценки разрешающей способности и устойчивости к помехам во входных данных показывают, что присутствие в данных кратных волн, связанных со свободной поверхностью, уменьшает разрешающую способность и увеличивает устойчивость результатов обращения волновых фронтов в присутствии некоррелированных помех. Аналогичным образом математический аппарат SVD анализа может быть применен для исследования влияния минимальной частоты, максимального выноса, геометрии системы наблюдения и других важных параметров на результаты волнового обращения.

Сравнительный анализ разрешающей способности метода обращения полного волнового поля в стандартной постановке и в формулировке MBTT показывает выгодное отличие последней применительно к задаче реконструкции макроскоростного строения среды. Численными исследованиями установлено, что модифицированная постановка метода обращения полных волновых полей обладает устойчивым подпространством, позволяющим восстанавливать в линейном приближении макроскоростную составляющую при разумных требованиях на доминирующую частоту зондирующего сигнала (15 Гц), точность измерений ( первые проценты) и использование выносов источник - приёмник порядка глубины целевых объектов.

Разработанный и реализованный алгоритм нелинейного обращения волновых фронтов по методу наименьших квадратов в постановке MBTT подтверждает результаты сравнительного SVD анализа. Проведенная серия численных экспериментов демонстрирует заметную чувствительность модифицированного целевого функционала к гладким вариациям скоростной модели в отличие от стандартного среднеквадратичного функционала невязки. Предложенный метод способен восстанавливать макроскоростное строение среды даже в отсутствие в спектре зарегистрированного сигнала частот ниже 7 Гц.

Апробация работы и публикации Результаты диссертационной работы докладывались, обсуждались и были одобрены специалистами на пяти международных конференциях в России и за рубежом:

– Международной конференции по обратным задачам и смежным проблемам (Китай, Нанкин, октябрь 2012 г.);

– 10-й Международной конференции “Математические и численные аспекты теории распространения волн” (Тунис, Тунис, июнь 2013 г.);

– Французско-немецкой школе-конференции по обратным задачам и уравнениям в частных производных (Германия, Бремен, октябрь 2013 г.);

– 6-й Международной геолого-геофизической конференции и выставке “Санкт-Петербург 2014. Геонауки – инвестиции в будущее” (Россия, СанктПетербург, апрель 2014 г.);

– 11-м Международном конгрессе по вычислительной механике (Испания, Барселона, июль 2014 г.).

Основные результаты, полученные автором, изложены в 7 опубликованных работах, в том числе 2 статьи - в ведущих научных рецензируемых журналах из перечня ВАК и 5 материалах международных и российских конференций и симпозиумов.

Благодарности Автор глубоко признателен научному руководителю д.ф.-м.н., профессору Владимиру Альбертовичу Чеверде, который оказал неоценимую помощь в реализации данной работы, к.ф.-м.н. Д.А. Неклюдову, к.ф.-м.н. И.Ю. Сильвестрову, к.ф.-м.н. В.В. Лисице и к.ф.-м.н. М.И. Протасову за всестороннюю поддержку и плодотворные обсуждения по теме диссертации.

Автор благодарен В.И. Самойловой за методические рекомендации и продуктивные консультации при подготовке диссертации.

Глава 1

АНАЛИЗ ИЗВЕСТНЫХ РЕШЕНИЙ. ИХ ДОСТОИНСТВА

И НЕДОСТАТКИ

Сейсмические поля, индуцированные во внешних оболочках Земли и измеренные на её поверхности, содержат важную в прикладных целях информацию о физических свойствах земных недр. Важные открытия в этой области уже сделаны с использованием времен пробега волн (Oldham, 1906; Gutenberg, 1914; Lehman, 1936). Попыток интерпретировать амплитуды сейсмических волн не предпринимается вплоть до 80-х годов, когда качество сейсмических данных глобальной сейсмической сети стало значительно выше и стало возможным применять реальные сейсмограммы в рамках метода суммирования нормальных мод. Для подбора длиннопериодных сейсмограмм в томографической инверсии используется оценка производных Фреше сейсмограмм в приближении Борна с целью получения высокоразрешенной скоростной модели верхней мантии (Gilbert, 1975; Woodhouse, 1984). Матрица чувствительности, или матрица первых производных Фреше, т.е. матрица, составленная из частных производных сейсмических данных по параметрам модели, явно оценивается перед переходом к обращению линеаризованной системы. Метод суммирования нормальных мод позволяет обращать ограниченное количество параметров (несколько сотен), что делает возможной оптимизацию с построением матрицы чувствительности в явном виде, несмотря на большое количество сейсмограмм.

Тем временем сейсморазведка берет на себя решение задачи построения изображений земных недр высокого разрешения путем использования многокомпонентных систем наблюдения.

Построение матрицы разрешающей способности в этом случае становится очень затратным, так как количество параметров превосходит десятки тысяч. Вместо этого прибегают к другим способам построения изображений - с использованием модели взрывающихся отражающих границ и некоторых кинематических поправок. Суммирование амплитуд позволяет построить детализированное изображение геологического разреза для определения и характеризации резервуаров (Claerbout, 1971; Claerbout, 1976). Сумма времен пробега от конкретной точки границы раздела до источника и приемника должна совпадать со временем вступления отраженной волны. Отражательная способность же как свойство амплитуды соответствующей сейсмической трассы в выбранной точке рефлектора представляет мигрированное изображение, необходимое для стратиграфической интерпретации. Поэтому миграция - это концепция для конвертации сейсмических данных, записанных в пространстве и времени, в изображение физических параметров, что часто называют геометрическим описанием коротких длин волн приповерхностной зоны. При этом скоростная макромодель, или фоновая модель, предоставляет кинематическую информацию, необходимую для фокусировки волн внутри пространства.

Ограниченные выносы системы наблюдения и ограниченный частотный диапазон сейсмических источников делают построение сейсмических изображений слабочувствительным к промежуточным длинам волн (Jannane et al., 1989).

Это служит мотивацией к следующему шагу в решении задачи – построению скоростной макромодели с использованием кинематической информации и с последующим использованием амплитуды для разработки алгоритмов миграции (Claerbout and Doherty, 1972; Gazdag, 1978; Stolt, 1978; Baysal, 1983; Yilmaz, 2001;

Biondi and Symes, 2004). Эта процедура эффективна для относительно простых геологических моделей, однако большие трудности возникают при построении изображений сложных структур, таких как соляные интрузии, изображения под солью и др. В сложных геологических средах построение качественной макроскоростной модели для миграции является непростой задачей. Для итерационного уточнения макроскоростной модели предлагаются различные подходы (Snieder et al., 1989; Docherty et al., 2003), но они имеют ряд ограничений ввиду слабой чувствительности отраженных данных к большим и средним длинам волн в приповерхностной зоне. Одновременно с этой схемой обращения Лайи (Lailly, 1983) и Тарантола (Tarantola, 1984) переформулировали принцип построения изображений Клербаута (Claerbout, 1971; Claerbout, 1976) в локальную задачу оптимизации, целью которой является минимизация среднеквадратичной невязки между наблюдаемыми и моделируемыми данными. Ученые показали, что градиент целевой функции, вдоль которого отыскивается возмущение модели, может быть построен как кросс-корреляция падающей волны, исходящей из источника с распространяющимися в обратном времени временными невязками. Возмущенная таким образом модель после первой итерации локальной оптимизации выглядит как изображение, полученное путем миграции в обратном времени. Одна лишь разница заключается в том, что в миграции обратно во времени продолжается сейсмическое волновое поле, записанное в позиции примника, в то время как в волновом обращении Лайи и Тарантолы обратно во времени продолжается невязка между наблюдаемыми и моделируемыми данными. Возмущения скоростей, прибавленные к стартовой модели, приводят к обновленной модели, которая используется как стартовая на следующей итерации процесса минимизации. Впечатляющее количество данных, содержащихся в сейсмограммах, вовлечено в вычисление градиента. Это вычисление выполняется с помощью суммирования по всем источникам, приёмникам и временным отсчетам.

В то время построение изображений путем подбора волновых форм значительно зависит от мощности компьютеров, даже для 2D геометрий (Gauthier, Virieux and Tarantola, 1986). Несмотря на это такой подход успешно применяется в различных работах, где используются такие способы прямого моделированию, как рефлективити метод для слоистых сред (Kormendi and Dietrich, 1991), конечно-разностный метод (Kolb, Collino, and Lailly, 1986; Ikelle, Diet and Tarantola, 1988; Crase et al., 1990; Pica, Diet and Tarantola, 1990; Djikpss and ee Tarantola, 1999), метод конечных элементов (Choi, Min and Shin, 2008) и теория лучевого метода (Cary and Chapman, 1988; Koren et al., 1991; Sambridge and Drijkoningen, 1992). Менее ресурсозатратный подход был найден Джин с соавторами (Jin et al., 1992) и Ламбаре с коллегами (Lambare et al., 1992). Они доказывают теоретически связь между обобщенным преобразованием Радона на лучах (Beylkin, 1985; Bleistein, 1987; Beylkin and Burridge, 1990) и минимизацией среднеквадратичной невязки. Путем задания специальных норм в пространстве данных, которые варьируются от одной точки к другой, после диагонализации Гессиана этими исследователями преобразование Радона переформулировано как итерационный метод наименьших квадратов. Применение такого подхода к синтетическим и реальным данным предлагается другими исследователями как для 2D сред (Thierry, Operto and G. Lambar, 1999; Operto, Xu and Lambar, e e 2000), так и для 3D сред (Thierry et al., 1999; Operto et al., 2003) благодаря эффективному асимптотическому прямому моделированию (Lucio, Lambar and e Hanyga, 1996). При построении изображения гладкая модель предполагается заданной, и линеаризация оператора прямого моделирования в приближении Борна производится в фиксированной макромодели, поэтому в процессе линейной оптимизации обновляется только само изображение. Такие методы построения изображений обычно называют миграцией/обращением или глубинной миграцией в истинных амплитудах до суммирования. Главное различие с волновым обращением, которое было описывается выше, заключается в том, что макроскоростная модель не меняется с итерациями и после линеаризации волнового уравнения моделируются только однократно рассеянные волновые поля.

В случае обращения волновых полей полная информация о волновом поле в сейсмограмме может быть использована для оптимизации. Это приводит к полному обращению волновых полей (FWI), где полное волновое моделирование используется на каждой итерации оптимизационного процесса в конечной модели, полученной на предыдущей итерации. В оптимизацию вовлечены все типы волн: рефрагированные волны, закритические отражения и многократнорассеянные волны, такие как кратные волны. Для прямого моделирования используют различные методы, такие как метод конечных элементов (Marfurt, 1984; Min et al., 2003), метод конечных разностей (Virieux, 1986), метод конечных объёмов (Brossier, Virieux and Operto, 2008) и псевдоспектральные методы (Danecek and Seriani, 2008), методы граничных интегралов, такие как рефлективити метод (Kennett, 1983), обобщенные лучевые методы, такие как ВКБД приближение и сейсмограммы Маслова (Chapman, 1985), теория полных волновых полей (de Hoop, 1960) и даже теория дифракции (Klem-Musatov and Aizenberg, 1985).

Изначально полное обращение волновых полей не использовалось в качестве эффективного способа построения изображений ввиду того, что первые исследования на эту тему ограничивались сейсмическими данными, содержащими только отраженные волны. Для систем наблюдения с малыми выносами сейсмическое поле оказывается нечувствительным к средним длинам волн, поэтому оптимизационный процесс не может восстановить истинную скоростную модель в течение итераций. Только когда используются достаточно точные стартовые модели минимизация волновых полей сходится к решению задачи. Различные методы глобальной и полуглобальной отпимизации используются для получения стартовой модели (Koren et al., 1991; Jin and Madariaga, 1993; Jin and Madariaga, 1994; Mosegaard and Tarantola, 1995; Sambridge and Mosegaard, 2002). Однако достаточно слабая их производительность из-за нечувствительности к средним длинам волн приводит многих исследователей к мысли, что такая оптимизация неэффективна.

Только когда для восстановления длинноволновых и средневолновых структур используются большие выносы и проходящие волны, обращение полных волновых полей достигает своего совершенства, что было показано исследованиями Мора, Пратта и др. (Mora, 1987; Mora, 1988; Pica, Diet and Tarantola, 1990; Pratt et al., 1996). Методом FWI ученые пытаются охарактеризовать широкий и непрерывный спектр волновых чисел в каждой точке модели, объединяя построение макромодели и задачу миграции в одну процедуру. Примеры, иллюстрирующие обращения широкоазимутальных поверхностных данных, демонстрируют способность FWI к одновременному восстановлению целого пространственного спектра (Pratt, 1999; Ravaut et al., 2004; Brenders and Pratt, 2007a). Однако надежное применение FWI к длинновыносным данным до сих пор остается актуальной задачей ввиду возрастающих нелинейностей, появляющихся из-за волновых полей, пробегающих десятки длин волн под различными углами падения (Sirgue, 2006).

Конечной целью в создании способов построения сейсмических изображений и является способность напрямую использовать алгоритмы обращения полных волновых полей при отсутствии априорной информации. К сожалению, ввиду того что в настоящее время задача обращения волновых полей является задачей локальной оптимизации, построение надежной стартовой модели является важной задачей из-за отсутствия очень низких частот (1 Гц) во входных данных, что объясняется несовершенством существующих систем регистрации сигнала. Стартовая модель может быть построена с помощью томографии на отраженных волнах и на основе миграционного скоростного анализа, которые в настоящее время широко используются в сейсморазведке. Полный обзор томографических методов сделан Вудвардом с соавторами (Woodward et al., 2008).

Другие возможные способы построения стартовой модели, которые приводят к более автоматизированной процедуре и более близки к FWI, это, например, томография на первых вступлениях, стереотомография или полноволновое обращение в области Лапласа.

Томография на первых вступлениях - это нелинейное обращение первых вступлений с целью восстановления гладкой модели (Nolet, 1987; Hole, 1992;

Zelt and Barton, 1998). Для вычисления матрицы Фреше временные невязки продолжаются в обратном времени вдоль лучевых траекторий. Томографическая система линейных уравнений, включающая сглаживающую регуляризацию, в основном решается методами сопряженных градиентов, таких как LSQR (Paige and Saunders, 1982). Либо к томографии на первых вступлениях применяют метод сопряженных состояний, что помогает избежать построение матрицы Фреше в явном виде (Taillandier et al., 2009). Пространственное разрешение томографии на первых вступлениях определяется шириной первой зоны Френеля (Williamson, 1991).

Примеры применения обращения полных волновых полей к реальным данным, где стартовая модель получена с помощью томографии на первых вступлениях, приведены в работах (Ravaut et al., 2004; Operto et al., 2006; Jaiswal et al., 2008; Jaiswal et al., 2009; Malinowsky and Operto, 2008); в работе (Pratt and Worthington, 1991) для межскважинной системы наблюдения и в работе (Gao et al., 2006) для данных вертикального сейсмического профилирования.

Несколько слепых тестов для поверхностных систем наблюдения выполнено с использованием одновременной томографической инверсии первых вступлений и последующим обращением полных волновых фронтов. Результаты такого обращения в масштабах разработки нефтяных месторождений и в масштабе литосферы представлены в работах Брендерса и Пратта (Brenders and Pratt, 2007а; Brenders and Pratt, 2007б; Brenders and Pratt, 2007в), сделан вывод, что при получении стартовой модели методом томографической инверсии для построения приемлемой скоростной модели необходимы очень низкие частоты и большие выносы. Например, только верхняя часть тестовой модели BP была успешно восстановлена Брендером и Праттом (Brenders and Pratt, 2007), при этом использовалась начальная частота 0.5 Гц и максимальный вынос 16 км.

Другой недостаток томографии заключается в том, что такой подход не работает, когда в истинной модели присутствуют низкоскоростные включения, так как эти зоны образуют так называемые области тени.

Задача пикирования первых вступлений также является трудноразрешимой при низкоскоростных аномалиях. Подбор времен первых вступлений не гарантирует того, что вычисленные времена пробега поздних вступлений, такие как вступление отраженных волн, соответствуют истинным временам пробега отраженных волн с ошибкой, не превышающей полупериода, особенно если в волновом поле присутствуют эффекты, связанные с анизотропией среды. Следует подчеркнуть, что томография на первых вступлениях может быть переформулирована как задача обращения фаз первых вступлений с использованием алгоритма обращения полных волновых полей в частотной области при комплекснозначных временных частотах (Min and Shin, 2006; Ellefsen, 2009). В сравнении с классическим обращением первых вступлений, основанном на высокочастотном асимптотическом разложении, этот метод учитывает ограниченность частотного диапазона входного сигнала. Удачная подборка вещественных и мнимых частей частоты позволяет извлечь фазу первого вступления. Основные принципы и некоторые приложения данного подхода разработаны Мин и Шин (Min and Shin, 2006), и Эллефсен (Ellefsen, 2009) применительно к приповерхностной зоне.

Томографическими методами обращения, основанными на временах пробега рефрагированных и отраженных волн, получают более качественную стартовую модель для волнового обращения. Вместе с этими методами стереотомография, возможно, один из самых многообещающих способов, потому что она использует наклон локально когерентных событий и имеет надежную процедуру для полуавтоматического пикирования времен вступлений (Lambare, 2008).

Применение стереотомографического метода к синтетическим и реальным данным представлено в работах (Billette and Lambar, 1998; Alerini et al., 2002;

e Billette et al., 2003; Lambare and Alrini, 2005; Dummong et al., 2008).

e Другим инструментом построения стартовых моделей для волнового обращения является обращение полных волновых полей в области Лапласа или в области Фурье-Лапласа (Shin and Cha, 2008; Shin and Ha, 2008; Shin and Cha, 2009). Обращение волновых полей в области Лапласа можно рассматривать как обращение полных волновых полей в частотной области, где используются чисто мнимые комплекснозначные частоты. Такое обращение эквивалентно инверсии сейсмограмм, демпфированных по времени. Применение данного метода к обращению реальных данных, полученных в Мексиканском заливе, показано в работе Шин и Ча (Shin and Cha, 2009).

Резюмируя все вышесказанное, можно заключить, что все рассмотренные методы реконструкции макроскоростного строения среды накладывают обременительные ограничения на частотный состав регистрируемых данных. В связи с этим возникает мысль проанализировать введённую в середине 90-х годов прошлого столетия модификацию целевой функции, известную под формулировкой MBTT (Migration Based Travel Time). Её привлекательной чертой представляется изначальное расщепление пространства скоростных моделей на два подпространства - глобальные пропагаторы (плавно меняющаяся скоростная модель или макроскоростная составляющая) и локальные рефлекторы (резко меняющееся локализованное в пространстве возмущение). Надо сказать, что французскими математиками (Clement, Chavent and Gomez, 2001) были получены весьма обнадёживающие результаты по применению данного подхода к реконструкции макроскоростной модели, но, к сожалению, по ряду причин эти исследования были остановлены.

–  –  –

В дальнейшем будем использовать представление производной (2.5).

2.1.3 Вторая формальная производная Построим теперь вторую формальную производную оператора прямой задачи Fxs по модели m. Пусть h2 M - малое возмущение модели. Следуя определению, вторая производная задаётся линейной по h2 составляющей разности

–  –  –

(2.8)

Как легко видеть, вторая формальная производная Фреше оператора прямой задачи F есть симметричная билинейная форма:

–  –  –

2.1.4 Сопряженные операторы к формальным производным Фреше оператора прямой задачи F При организации итерационного процесса поиска точки минимума целевого функционала необходимо знание сопряжённых операторов к формальным производным оператора прямой задачи (Гадыльшин, Чеверда, 2014).

Напомним определение сопряжённого оператора (см. Канторович, Акилов, 1984, гл. V). Пусть линейный оператор L действует из гильбертова пространства M в гильбертово пространство U.

Тогда сопряженный оператор L действует из U в M по правилу:

L : U M, m M, u U Lm, uU = m, L uM, (2.9)

где ·, · M и ·, · U скалярные произведения в M и U соответственно. Далее будем полагать, что пространство моделей M и данных U являются гильбертовыми и, следовательно, U обладают скалярными произведениями.

Следуя определению, получим выражение для сопряженного оператора к формальной производной оператора прямой задачи F:

–  –  –

Полученные сопряжённые операторы к формальным производным оператора прямой задачи Fxs (m; ) очевидным образом обобщаются на случай оператора F (m) (см. соотношения (2.14)-(2.16)).

2.1.5 Численная реализация оператора прямой задачи Оператор прямой задачи Ff (m; ) (см. 2.1.1) дает описание волнового процесса в неограниченном пространстве. Для численных экспериментов требуется информация о полном волновом поле лишь в ограниченной расчетной области, для чего вводятся идеально согласованные поглощающие слои (Perfectly Matched Layer, PML) (Grote and Sim, 2010). В частности, для введения поглощающих слоев в направлении x, в уравнении требуется сделать замену переменных следующего вида:

1 (2.12), 1 + i(x) x x где - угловая частота, а (x) - функция, равная нулю в расчетной области и на ее границе и монотонно возрастающая с удалением от границы. Аналогично вводятся поглощающие слои в направлении z.

Конечно-разностная аппроксимация полученных уравнений приводит к комплексной системе линейных алгебраических уравнений на нахождение волнового поля в частотной области. Матрица такой системы является разреженной и имеет блочную пятидиагональную структуру (ввиду использования центральной конечно-разностной схемы 4-го порядка аппроксимации). Разреженная матрица хранится в специальном сжатом формате (Compressed Sparse Row, CSR), который содержит информацию только о ненулевых элементах. Решение системы уравнений находится путем построения LU-разложения и последующими прямой и обратной подстановками. Численная реализация такого подхода производится с использованием параллельной библиотеки SuperLU (Li and Demmel, 2003), которая на вход принимает размерность системы, матрицу, записанную в формате CSR, и количество MPI-процессов, использущихся для расчетов.

Численная реализация оператора прямой задачи Ff (m; ) оформлена в виде класса на языке программирования C++. Основными входными параметрами являются: размеры расчетной области по x и z в точках, ширина поглощающего слоя в точках, угловая частота, скоростная модель, заданная на регулярной сетке, количество MPI-процессов и правая часть.

2.2 Стандартная постановка задачи обращения полного волнового поля

Все рассмотрения в данной работе проводятся в области временных частот, поэтому волновое поле U (x; ) есть комплекснозначная функция положения точки x и частоты (см. раздел 2.1.1). Обратная задача состоит в построении скоростной модели среды по волновому полю, зарегистрированному в конечном наборе точек в R2, которым соответствуют реальные координаты сейсмоприёмников.

В рассмотрение вводится линейный оператор взятия следа полного волнового поля от одного из источников на фиксированной временной частоте в точках, соответствующих расположению приемников:

(2.13) P : U CN R, здесь и далее CN есть пространство комплекснозначных векторов размерности N, N R - количество приемников. Если используется всего N S источников с координатами xi, то пространство данных для каждого из них на фиксированной частоте j определяется действием следующего оператора, переводящего элемент m из пространства моделей в вектор из пространства CN RN S :

–  –  –

При решении этой задачи в основном применяются методы отыскания точки минимума с использованием локальной минимизации целевого функционала путём вычисления его градиента и/или гессиана (Virieux, Operto, 2009).

Так как поиск идёт локально, велика вероятность остановки процесса в локальном минимуме, весьма далеко расположенном от глобального, соответствующего точному решению обратной задачи. Наиболее ярко наличие локальных минимумов проявляется при неизвестной макроскоростной составляющей, описывающей времена пробега между достаточно удалёнными друг от друга точками среды (несколько доминирующих длин волн). Этот эффект известен начиная с середины 80-х годов прошлого века (Gauthier et. al., 1986) как проблема определения трендовой составляющей. Однако эта проблема не связана с конкретным выбором метода минимизации градиентного/квазиньютонова типа (с выбором градиента, гессиана или их модификации). Как показывает анализ сингулярного разложения производной оператора прямой задачи (Алексеев и др., 1997; Silvestrov et al., 2013), проблема связана со структурой целевого функционала (2.17) и не может быть преодолена без привлечения низких временных частот или/и использованием значительных удалений источника от системы наблюдений.

В то же время, если макроскоростная составляющая известна, то, откровенно говоря, обращение полного волнового поля и не требуется, так как миграционные преобразования в истинных амплитудах (Beylkin, 1985; Протасов, Чеверда, 2006; Protasov, Cheverda, 2011) дают практически полную информацию о строении быстро меняющейся составляющей скоростного строения среды (здесь идет речь о модельной задаче - реконструкции скоростного строения акустической среды с постоянной плотностью).

2.3 Линеаризованная постановка и сингулярное разложение 2.3.1 Линеаризация оператора прямой задачи Обратная динамическая задача с использованием введённого в разделе 2.2 оператора прямой задачи сводится к нелинейному операторному уравнению:

–  –  –

Для отыскания его решения можно, в частности, использовать метод Ньютона и его различные модификации.

При этом искомая модель mtrue строится как предел последовательности решений следующих линейных операторных уравнения (Канторович, Акилов, 1984):

–  –  –

Как показано А.С. Алексеевым с соавторами (Алексеев и др., 1997), итерационный процесс (2.20) даёт и точку минимума целевого функционала в стандартной постановке (2.17). Поэтому при достаточно хорошем априорном приближении m0 к точной модели mtrue исходная нелинейная задача сводится к последоваF тельности обращений линейного оператора Lcls (mk ). В результате основm ные особенности получаемого решения определяются свойствами формальной производной оператора прямой задачи, то есть линеаризованным оператором прямой задачи.

2.3.2 О компактности первой производной Фреше оператора прямого моделирования Напомним, что произвольный оператор K, отображающий одно нормированное пространство X в другое нормированное пространство Y, называется компактным, если он преобразует каждое множество, ограниченное в X, в множество, относительно компактное в Y. Если при этом K непрерывен, то он называется вполне непрерывным. Как нетрудно показать, каждый компактный линейный оператор вполне непрерывен (см. Канторович, Акилов, 1984, с.

321). Также отметим простейшие свойства компактных операторов:

• Линейная комбинация K = 1 K1 + 2 K2 компактных операторов K1 и K2, переводящих X в Y, есть компактный оператор.

• Если K B(X, Y )2, P B(Y, Z) и один из этих операторов компактен, то и произведение P K также компактно.

–  –  –

Для нахождения численного решения линейного операторного уравнения первого рода (2.20) оно должно быть сведено к системе линейных алгебраических уравнений (Гадыльшин, Чеверда, Неклюдов, 2014). Как было показано Здесь B(X, Y ) - множество всех линейных непрерывных операторов, действующих из X в Y.

в предыдущем разделе, формальная производная оператора прямого моделирования является компактным оператором и, следовательно, имеет матричное представление. К сожалению, в настоящее время нет доказательств компактности второй производной, поэтому её компактность предполагается. Тогда полученное в предыдущем разделе уравнение суть линейное операторное уравнение первого рода с компактным оператором. Компактный оператор не имеет ограниченного обратного, поэтому получаемая при его конечномерной аппроксимации матрица неизбежно должна быть плохо обусловленной, причём число обусловленности тем больше, чем точнее аппроксимируется оператор. Поэтому построение численного решения полученного уравнения невозможно без применения регуляризующей процедуры, в качестве которой выбрано усечение сингулярного разложения (Cheverda, Kostin, 1995; Костин, Чеверда, 1997; Костин, Чеверда, 2010).

Краткое описание этой процедуры. Пусть после выполнения конечноразностной аппроксимации интегрального уравнения первого рода получена система линейных алгебраических уравнений:

–  –  –

где L : Rn Rm, m Rn и d Rm (как правило, в обратной динамической задаче сейсмики число уравнений существенно превышает число неизвестных, то есть рассматриваемые системы линейных алгебраических уравнений переопределены). Тогда сингулярное разложение матрицы L можно выразить формулой L = U V, (2.23) где U - ортогональная матрица m m, - диагональная матрица порядка m n с неотрицательными вещественными числами на диагонали, расположен

–  –  –

2.4 Влияние свободной поверхности на качество решения обратной динамической задачи сейсмики Вклад верхней части разреза (ВЧР) необходимо учитывать как при структурной реконструкции геологической среды (форма и расположение границ раздела), так и при определении её сейсмических параметров (обратная динамическая задача) (Гадыльшин, Чеверда, Неклюдов, 2014). Искажение получаемых результатов при использовании неточной структуры приповерхностных слоёв может быть весьма значительным и приводить к существенным ошибкам, как в глубинах, так и в форме целевых горизонтов, не говоря уже о корректности восстановления латеральной изменчивости параметров (Козырев и др., 2003;

Евдокимов, Жерняк, Сысоев, 2006). В связи с этим восстановление строения верхней части среды является одной из наиболее востребованных среди широкого круга сейсмических исследований. Можно утверждать, что к настоящему времени она представляет собой довольно развитую область сейсморазведки, в которой используется разнообразный набор методов и приемов.

Перечислим лишь основные известные способы ее решения:

• Решение обратной кинематической задачи с последующим вводом полученных статических поправок. Решение обратной кинематической задачи здесь строится для приповерхностных слоёв в целях вычисления необходимых временных сдвигов в исходные сейсмограммы, что позволяет избежать искусственного искривления целевых горизонтов и обеспечить корректную фокусировку волновых сейсмических изображений (Li, Luo, 2003; Коротков, Козырев, 2011);

• Применение методов сейсмической томографии на рефрагированных лучах для реконструкции скоростного строения приповерхностной зоны и его последующее использование для расчёта статических поправок и построения волновых сейсмических изображений целевых горизонтов (Li, Luo, 2003;

Zhang, Zhang, 2011);

• Определение скоростной структуры верхней части разреза с использованием поверхностных волн (Socco, Foti and Boiero, 2010; Piatti et al., 2013);

• Методы обращения полных волновых полей с ориентацией на верхнюю часть разреза (Shen et al., 2012; Bretaudeau et al., 2013).

Как видно, выбор подходов, ориентированных на реконструкцию строения ВЧР, довольно богат. Поэтому не будем предлагать какой-либо новый или усовершенствованный метод. Наша основная цель – понять, насколько знание тонкой приповерхностной структуры повышает качество изображений целевых глубинных горизонтов. Точнее, может ли корректный учет кратных волн, образованных на свободной поверхности, повысить качество решения обратной динамической задачи сейсмики, включая, в том числе, и построение изображений в истинных амплитудах. Во многом это исследование инициировано серией публикаций об использовании кратных волн для повышения разрешающей способности и информативности результатов сейсмических исследований (см. достаточно полную библиографию в работе (Berkhout, Verschuur and Blacquiere, 2012)). Мы же ограничимся изучением метода обращения полных волновых полей, точнее, его реализацией для двух сценариев – учитывающего и не учитывающего наличие кратных волн.

2.4.1 Постановка задачи Будем считать, что изучаемый волновой процесс описывается скалярным уравнением Гельмгольца для двумерно неоднородной среды (см. 2.1.1). Все рассмотрения будут проводиться на примере модели, представленной на рис. 2.4.

Данная модель характеризуется значительными латеральными вариациями, а также заметными контрастами по вертикали, что и обеспечивает возникновение в ней интенсивных кратных волн. Для этой модели выполняется конечноразностное моделирование волнового поля в области временных частот для системы многократного перекрытия. При этом используется следующая геометрия источников и приёмников: неподвижные 496 приёмников, расположенные на глубине 5 м от линии z=0 с шагом 20 м, и 33 источника, равномерно размещенные на этой же линии с шагом 300 м.

Моделирование выполнено для двух различных условий на верхней границе (линия z=0):

–  –  –

• В области z0 расположен поглощающий слой (Perfectly Matched Layer, PML) (см. Grote and Sim, 2010).

Тем самым, в первом случае будут возникать интенсивные кратные волны, связанные со свободной поверхностью, в то время как во втором случае таких волн нет. Следовательно, используя разные граничные условия, можно оценить вклад кратных волн в качество решения обратной задачи.

2.4.2 Программная реализация расчета SVD

Оператор прямого моделирования F, введенный в разделе 2.2, представляет собой набор решений уравнений Гельмгольца для различных временных частот и различных положений источника. Его программная реализация имеет несколько уровней параллелизма (Гадыльшин, Чеверда, Неклюдов, 2014). На первом уровне производится распараллеливание по временным частотам, что логично, так как при заданной скоростной модели и различных временных частотах получаются разные системы линейных алгебраических уравнений. Для каждой временной частоты строится своя группа MPI-процессов, количество которых задается во входном файле настроек. Управление всеми частотными группами (всего N f штук) осуществляется путем создания выделенного управляющего MPI-процесса (см. рис. 2.1). Следующий уровень параллелизма - неза

–  –  –

висимое распараллеливание каждой частотной группы, которое достигается за счет параллельной реализации LU-разложения в библиотеке SuperLU (раздел 2.1.5). Как видно из формул производных Фреше оператора прямой задачи Fxs (m; ) (раздел 2.1), вычисление производной Фреше оператора прямого моm F делирования также сводится к набору решений уравнений Гельмгольца, а m значит для расчетов можно использовать аналогичную схему распараллеливания.

Для сокращения объёма вычислений используется итерационный метод построения старших сингулярных чисел и соответствующих им сингулярных векторов, не требующий явного задания матрицы (Hernandez, Roman and Vidal, 2005; Hernandez, Roman and Tomas, 2008). Его реализация выполняется с использованием специализированной библиотеки SLEPc (Scalable Library for Eigenvalue Problem Computations), ориентированной на высокопроизводительные вычислительные системы с параллельной архитектурой (http://www.grycap.upv.es/slepc/ ). Для проведения вычислений необходимо задать параметр r, то есть размерность устойчивого пространства, и иметь подпрограмму, вычисляющую действие матрицы на произвольный вектор.

Алгоритм расчета SVD состоит из двух стадий:

1. Инициализация.

2. Итерационный процесс построения старших сингулярных чисел и соответсвтующих им сингулярных векторов.

На стадии инициализации создаются частотные группы MPI-процессов и управляющий MPI-процесс. Управляющий процесс считывает файл настроек, в котором указывается вся необоходимая информация для расчетов, в частности параметры регулярной сетки, параметры PML, набор временных частот, путь к файлу со скоростной моделью, в окрестности которой производится линеаризация задачи, количество MPI-процессов на каждую частотную группу, конфигурация системы наблюдения (расположение источников и приемников), количество старших сингулярных векторов. Далее по очереди настройки считывают все частотные группы процессов. Каждый процесс из частотной группы создает экземпляр класса (раздел 2.1.5) для решения прямой задачи. Затем независимо друг от друга каждая частотная группа генерирует соответствующую ей матрицу, ассоциированную с прямой задачей на текущей временной частоте, и обращается к библиотеке SuperLU для построения LU-факторов. Когда LU-факторы построены, частотная группа переходит в режим ожидания.

Параллельно с инициализацией частотных групп управляющий процесс создает экземпляр класса из библиотеки SLEPc, которому необходимо указать, какой из итерационных методов расчета SVD будет использоваться, значение толерантности (вещественное число, характеризующее допустимый уровень относительной погрешности расчета сингулярных чисел и векторов) и размерность задачи.

Схематично инициализация алгоритма расчета SVD представлена на рис. 2.2.

–  –  –

h производной, соответствующую частоте j, можно считать независимо от F остальных частотных групп MPI-процессов. Расчет производной (m) h m реализуется следующим образом: управляющий процесс отправляет каждой группе вектор h и переходит в режим ожидания, в свою очередь частотные группы, находящиеся в режиме ожидания, получают вектор h и начинают расчет своей компоненты производной, как только расчет завершается, данные отправляются на управляющий процесс и частотная группа опять переходит в режим ожидания. Схема MPI-обменов расчета производной изображена на рис. 2.3.

–  –  –

2.4.3 Выбор параметра регуляризации Остановимся подробнее на выборе параметра регуляризации r. При решении практических задач выбор оптимального параметра регуляризации весьма нетривиален. Эта проблема хорошо изучена, ей посвящено множество публикаций (обзор может быть найден, например, в монографии (Vogel, 2002)). В итоге предложен ряд подходов, которые могут оказаться приемлемыми в тех или иных ситуациях. Однако сам факт их многообразия говорит о том, что не существует эффективного способа, годного «на все случаи жизни».

В рассматриваемой постановке ситуация значительно упрощается, так как подразумевается, что правильное решение известно, а основной целью является сравнение эффективности различных сценариев решения обратной задачи. Разные сценарии сравниваются с точки зрения получения «наилучшего» результата, достижимого при помехе заданного уровня (Silvestrov et al., 2012). Определить, что есть «наилучший» результат, можно сравнивая получаемое решение с известной правильной моделью по некоторому критерию.

Для каждого сценария обращения полного волнового поля при заданном уровне помехи существует оптимальное значение параметра регуляризации (число обусловленности усеченной системы (2.27)), при котором достигается минимум среднеквадратичной ошибки (mean-squared error, MSE) между восстановленными параметрами модели и их правильными значениями. Критерий оценки результатов обращения для различных сценариев основан на этой величине.

Модели, построенные при оптимальном значении, можно назвать «наилучшими достижимыми моделями».

Среднеквадратичная ошибка представляется как сумма двух слагаемых:

–  –  –

где cov(dr ) обозначает матрицу ковариации данных, которая определяет статистические свойства помехи (см. Menke, 1994). Второе слагаемое – разрешённость восстановленных параметров, здесь R – означает матрицу разрешающей способности, которая строится как:

–  –  –

Для иллюстрации эффективности восстановления целевого объекта при различных сценариях наблюдений используется величина, называемая относительной среднеквадратичной ошибкой (relative mean-squared error, RMSE):

–  –  –

2.4.4 Численные эксперименты На рис. 2.5 приведено поведение нормализованных собственных чисел матриц L для двух сценариев – со свободной поверхностью (СП) и с поглощающим слоем. В случае без СП собственные числа убывают с ростом индекса гораздо медленнее, чем в случае со свободной поверхностью. Это означает, что теоретически в первом случае нужно ожидать более высокую информативность результата инверсии (для заданного уровня помех можно использовать более высокую размерность устойчивого подпространства).

На рис. 2.6 приводится зависимость относительной среднеквадратичной ошибки решения от значения параметра регуляризации r при обращении данных с заданной помехой. Результат обращения полного волнового поля без учёта кратных волн, образованных на СП, позволяет получать лучший результат (минимальная RMSE) для оптимально выбранного параметра регуляризации.

Однако этот сценарий заметно менее устойчив к выбору регуляризации, а именно:

если параметр регуляризации выбран не оптимальным образом, RMSE быстро возрастает и превосходит ошибку, полученную с учётом образования кратных волн на свободной поверхности. Это особенно заметно для больших значений параметра r. Результаты линеаризованного обращения для двух сценариев при r = 140 представлены на рис. 2.7.

Как было сказано, сценарий без учёта кратных от свободной поверхности позволяет получить приемлемое качество восстановленных параметров. Если регуляризация не оптимальна, результат применения процедуры обращения полного волнового поля без СП становится неустойчивым и даёт результат с весьма низким разрешением. В то же время сценарий со свободной поверхностью имеет весьма широкий диапазон допустимых значений параметра регуляризации. При любом значении из этого интервала будут получаться практически одинаковые результаты, хотя и заметно уступающие по разрешённости наилучшему достижимому результату в первом сценарии.

Действительно, как видно из рис. 2.8, использование оптимального для свободной поверхности параметра регуляризации r = 500 для модели, не учитывающей наличия кратных волн, приводит практически к полному разрушению изображения (см. рис. 2.8а). В то же время, использование параметра регуляризации r = 650, который заметно отличается от оптимального, практически никак не меняет изображения для модели, учитывающей наличие кратных волн.

Таким образом, учёт кратных волн заметно повышает устойчивость алгоритма, хотя и снижает разрешающую способность получаемого изображения.

Рисунок 2.4 – Полная модель (а), начальное приближение (б), искомое возмущение (в).

Модель описывается квадратом величины, обратной скорости распространения волн (медленности) Рисунок 2.5 – Нормированные сингулярные числа в логарифмическом масштабе для случая со свободной поверхностью и без неё Рисунок 2.6 – Зависимость относительной среднеквадратичной ошибки (RMSE) от регуляризации для случая со свободной поверхностью и без неё Рисунок 2.7 – Обращение на основе усечённого SVD для r = 140 (а) без кратных от свободной поверхности, (б) с учетом кратных, образованных на свободной поверхности.

Выбранная регуляризация оптимальна для сценария без свободной поверхности (см. рис.

2.6) Рисунок 2.8 – Обращение на основе усечённого SVD для r = 650 (а) без кратных от свободной поверхности, со свободной поверхностью (б), обращение для r = 500 со свободной поверхностью (в) (выбранная регуляризация оптимальна для сценария со свободной поверхностью; см. рис. 2.6)

–  –  –

Определение макроскоростного строения является ключевым элементом метода обращения полного волнового поля. Для успешного решения этой задачи необходима модификация целевого функционала (2.17), существенно повышающая его чувствительность именно к макроскоростной составляющей (Гадыльшин и Чеверда, 2014). Впервые она была предложена французскими математиками (Clement, Chavent and Gomez, 2001).

В её основе лежит декомпозиция пространства моделей на два подпространства - гладких, плавно изменяющихся пропагаторов, обозначаемых далее p, и резких, быстро изменяющихся рефлекторов, обозначаемых r:

m = p + r,

–  –  –

Как показано в работе П. Лайи (Lailly, 1983), применение сопряжённого оператора эквивалентно выполнению так называемой глубинной миграции до суммирования, которая фокусирует отражённые волны, переводя их из временного масштаба в глубинный, используя текущую скоростную модель m. Накопленный опыт при реализации этой процедуры на практике наглядно показывает, что такая скоростная модель должна быть гладкой и не порождать отражённых волн. Её предназначение - "посадить"на место регистрируемые отражения

–  –  –

Обращение полного волнового поля в формулировке MBTT состоит в построении пропагатора p M и временного рефлектора s D, минимизирующих функционал невязки MBTT:

–  –  –

Когда пропагатор и временной рефлектор найдены, пространственный рефлектор находится путём миграционного преобразования (3.4).

3.2 Линеаризация оператора прямой задачи Линеаризованная постановка в формулировке MBTT рассматривается опять-таки в предположении, что имеющееся начальное приближение m0 уже достаточно близко к точному решению, то есть mk = m0 + m, где

mM m0 M. Тогда:

–  –  –

Таким образом, в предположении, что известно strue, получена линейная задача на нахождение возмущения пропагатора p.

3.3 Численные эксперименты

–  –  –

В целях снижения вычислительных ресурсов на данном этапе все рассмотрения проводятся в двумерном пространстве. Для вычислений используется равномерная сетка из 200 150 точек с шагом hx = hz = 10 м. Данные рассчитаны для N f = 220 частот, расположенных равномерно в диапазоне от 5 до 40 Гц. Число источников N S = 25, приёмников N R = 99. И приёмники и источники располагаются равномерно на поверхности расчетной области.

Форма импульса в источнике задается в виде импульса Рикера с доминирующей частотой 15 Гц. В качестве пространства искомых решений используется "медленность" (от общепринятого "slowness" в англоязычной литературе), то есть величина, обратная к скорости распространения волн, но на рисунках для облегчения восприятия приводится уже её пересчёт в скорость.

Рассматривается простейшая модель - однородный слой в однородном полупространстве, распределение скорости в которой обозначено пунктирной линией (рис. 3.1). Сплошной линией обозначена модель, выбранная в качестве начального приближения - полупространство без слоя. Отметим, что, несмотря на свою простоту, данная модель уже содержит обе основные компоненты - и плавный пропагатор, и резко изменяющийся в пространстве рефлектор. Действительно, размер неоднородности составляет три доминирующих длины волны, чего уже вполне достаточно для возникновения трудностей с реконструкцией скоростного строения среды методом обращения полного волнового поля в стандартной постановке (Jannane et al., 1989; Алексеев и др., 1997). В то же время, на такой наглядной модели будет отчётливо видно, насколько устойчиво определяются рефлекторы и пропагатор в каждой из рассматриваемых постановок.

Рисунок 3.1 – Вертикальный профиль истинного распределения скоростей mtrue (пунктирная линия) и начальное приближение m0 (сплошная линия) Чтобы иметь эталон для сравнения, строится точный пропагатор и пространственный рефлектор для изучаемой модели.

Для этого используется Гауссово сглаживание модели, не приводящее к образованию сколько-нибудь значимых отражений, но и не меняющее времена распространения волн (см. рис. 3.2).

Теперь, когда есть точный пропагатор p и полная модель m, можно построить точный пространственный рефлектор rtrue, исходя из представления m = p + r (разложения строятся для медленностей и исключительно для наглядности переводятся в скорости) (см. рис. 3.3, вверху). Следующий шаг - построение временного рефлектора strue на основе соотношения (3.4). Для этого решается интегральное уравнение первого рода с гладким ядром. Так как здесь решение необходимо только для тестирования, оно получено с использованием метода LSQR (Paige, Saunders, 1982), количество итераций в котором подбиралось методом проб и ошибок. Как показано в книге А.Б. Бакушинского и А.В. Гончарского (Бакушинский, Гончарский, 1989), число итераций методов градиентного типа является регуляризующим параметром, зависящим от уровня помех в данных. Этот параметр выбирается таким, чтобы получить приемлемое совпадение синтетических сейсмограмм для точной модели m (см. рис. 3.1) и для модели, задаваемой в виде суперпозиции пропагатора и пространственного рефлектора, построенного по соотношению (3.4) (рис. 3.3, внизу). Как видно на рисунке, рефлектор действительно корректно описывает резкую изменчивость скоростного строения. Синтетические сейсмограммы, соответствующие этим двум моделям, практически полностью совпадают (рис. 3.4). Построенное разложение можно представить в виде соотношения

–  –  –

Оно действительно является разложением на "пропагатор" и "рефлектор".

3.3.2 Анализ информативности и разрешающей способности реконструкции пропагатора При рассмотрении строения устойчивых подпространств операторов Lcls и Lmbtt (Gadylshin and Tcheverda, 2012; Gadylshin and Tcheverda, 2013; Chavent et.

al., 2013) считается, что временной рефлектор strue известен, а уклонение истинного пропагатора от начального приближения невелико, так что для нахождения p можно ограничиться решением линейной задачи (3.10). Пространство допустимых скоростных моделей M ограничивается вертикально-неоднородными Рисунок 3.2 – Истинный пропагатор ptrue полученный в результате гауссова сглаживания истинного распределения скорости средами, а в качестве начального приближения m0 берется однородная модель, в которой скорость распространения сейсмической волны составляет 3000 м/с, а возмущение скорости - 150 м/c относительно начального приближения, то есть примерно 2%. Итак, требуется восстановить однородное включение в виде ступеньки мощностью в 600 м (три доминирующих длины волны), верхняя граница которой находится на глубине 500 м.

Следуя разделу 2.3.3, для сравнительного анализа разрешающей способности и информативности метода обращения полных волновых полей в стандартной формулировке и в формулировке MBTT строится сингулярное разложение соответствующих линеаризованных операторов - Lcls и Lmbtt в окрестности начального приближения m0. Их сингулярные спектры представлены на рис.3.5.

Как видно на графике, начиная с числа обусловленности 1 /n 100, имеется разбегание этих спектров. Для понимания устройства устойчивого подпространРисунок 3.3 – Истинный пространственный рефлектор rtrue (вверху). Пространственный рефлектор, полученный в результате действия оператора M(ptrue ) на найденный временной рефлектор strue (внизу) Рисунок 3.4 – Полная сейсмограмма, содержащая отраженную волну (слева). Сейсмические трассы для приемников с номерами 10 (справа, вверху) и 50 (справа,внизу). Сплошная линия соответствует трассе в истинной модели mtrue, пунктирная - в модели, полученной путём суперпозиции ptrue + M(ptrue ) strue ства оператора Lmbtt на линейную оболочку из его Nmbtt старших правых сингулярных векторов (1 /Nmbtt 100) проецируется разность p = ptrue m0.

Аналогичную проекцию можно вычислить и для классической постановки, проектируя p на Ncls старших правых сингулярных векторов оператора Lcls (1 /Ncls 100) (рис.3.6). Сравнение двух изображений показывает, что в стандартной постановке (левое изображение) данная проекция уверенно идентифицирует только верхнюю и нижнюю границу слоя, в то время как его внутреннему содержанию соответствуют практически нулевые значения. При условии нахождения в линейной оболочке из правых сингулярных векторов для стандартной постановки, соответствующих числу обусловленности менее 100, нет никаких шансов восстановить пропагатор. В то же время, приведённая проекция пропагатора на такую же линейную оболочку (правое изображение), но из правых сингулярных векторов для формулировки MBTT довольно уверенно повторяет его форму в границах целевого слоя. Таким образом, эта линейная оболочка образует устойчивое подпространство, позволяющее восстановить строение пропагатора.

Замечание 1. Отыскание решения в подпространстве правых сингулярных векторов, соответствующих числу обусловленности cond = 100, означает, что относительная погрешность решения получается умножением погрешности правой части на 100. Другими словами, ошибка в 1% в правой части (в данных) может привести к ошибке 100% в решении, то есть к абсолютной потере точности и, следовательно, информативности решения.

–  –  –

образованных из r правых сингулярных векторов операторов Lcls и Lmbtt соответственно. Мерой совпадения/несовпадения двух евклидовых подпространств является их раствор, определяемый как норма разности соответствующих орРисунок 3.5 – Сингулярные спектры операторов Lcls (сплошная линия) и Lmbtt (пунктирная линия) в логарифмическом масштабе тогональных проекторов (см. гл.3 книги Ахиезер, Глазман, 1977). Как показано С.К. Годуновым с соавторами (см. гл.3 книги Годунов и др., 1992), для отыскания раствора нужно построить матрицу попарных скалярных произведений базисных векторов из этих подпространств (в данном случае это как раз правые сингулярные векторы операторов Lcls и Lmbtt ) и найти её сингулярное разложение. Полученные сингулярные числа задают косинусы серии углов. Минимальный косинус, то есть максимальный угол, и равен углу раствора подпространств.

Из приведенных значений угла раствора между подпространствами Xcls r и Xmbtt для растущего целочисленного параметра r видно, что для небольших r значений r (r 50) угол раствора не превосходит 10, что говорит о близости этих подпространств (рис.3.7). Однако дальнейший рост размерности r, начиная, примерно, с r = 50, приводит к стремительному увеличению угла раствора.

При r = 62, что соответствует числу обусловленности усеченной системы 102, Xcls и Xmbtt становятся практически ортогональными с углом раствора 86. Слеr r Рисунок 3.6 – Искомое возмущение пропагатора p (сплошная линия) и его проекция на старшие сингулярные векторы оператора Lcls (левое изображение). Искомое возмущение пропагатора p (сплошная линия) и его проекция на старшие сингулярные векторы оператора Lmbtt (правое изображение) !h Рисунок 3.7 – Углы раствора между подпространствами Xr и Xr в зависимости от

–  –  –

Анализ информативности и разрешающей способности реконструкции пропагатора показывает выгодное преимущество метода обращения полных волновых полей в формулировке MBTT применительно к задаче реконструкции макроскоростного строения среды. Следующий шаг - реализация нелинейного метода наименьших квадратов в модифицированной постановке.

3.4.1 Минимизация по переменной p

–  –  –

3.4.2 Численный пример минимизации по p Вернемся к примеру, рассмотренному в разделе 3.3.2. Пространство допустимых скоростных моделей M ограничивается вертикально-неоднородными средами, а в качестве начального приближения m0 берется однородная модель, в которой скорость распространения сейсмической волны составляет 3000 м/с, а возмущение скорости - 150 м/c относительно начального приближения. Требуется восстановить однородное включение в виде ступеньки мощностью в 600 м (три доминирующих длины волны), верхняя граница которой находится на глубине 500 м.

Исследуем чувствительность целевого функционала к переменной p.

Для этого рассмотрим предобусловленный метод сопряженных градиентов в следующей форме:

–  –  –

Рисунок 3.8 – Истинное направление обновления пропагатора Рисунок 3.

9 – Обращение данных в постановке MBTT при известном направлении обновления пропагатора для s = strue. Красным изображена истинная модель, синим восстановленная естественно, неизвестно, то следующим шагом будет изучение базиса пространства гладких моделей. Предлагается на первом этапе рассмотреть кубические B-сплайны.

–  –  –

Рисунок 3.11 – Классическое обращение данных при известном направлении обновления пропагатора.

Красным изображена истинная модель, синим - восстановленная Три B-сплайна и их ортогонализация представлены на рис. 3.13. Проекция истинного возмущения пропагатора p = ptrue p0 на линейное подпространство, натянутое на эти сплайны, представлена на рис. 3.14.

Рисунок 3.12 – Целевой функционал.

Красным - классическое обращение, синим - MBTT для сценария s = strue и черным - MBTT для s = s0 В следующем эксперименте повторяются предыдущие 3 сценария нелинейного обращения по пропагатору, но с одной лишь разницей - Pk теперь представляет собой ортогональный проектор на пространство гладких функций, натянутое на базисные сплайны (см. рис. 3.15, 3.16 и 3.17). Поведение целевых функционалов представлено на рис. 3.18. В сценариях, где используется ненулевой временной рефлектор, пропагатор восстанавливается с хорошей точностью, и чем ближе s к точному значению strue, тем выше качество решения. Результаты классического обращения показывают, что стандартный целевой функционал нечувствителен к гладкой модели.

3.4.3 Минимизация по переменной s

В предыдущем разделе было показано, что качество восстановления пропагатора зависит от используемого в обращении временного рефлектора. Чем ближе к истинному значению последний, тем лучше восстанавливается гладкая модель. Для того чтобы реализовать весь цикл нелинейного обращения в формулировке MBTT, приведем схему минимизации модифицированного функционала по переменной s.

Градиент s E(p; s) задается следующим выражением:

–  –  –

Рассмотрим скоростную модель mtrue, представленную на рис. 3.19.

Начальное приближение m0 таково, что скорость распространения сейсмических волн постоянна вплоть до глубины 100 м и представляет собой линейную по глубине функцию, начиная с глубины 100 м и до 1500 м (см. рис. 3.20).

Система наблюдения состоит из 25 точечных источников и 99 гидрофонов, расположенных равномерно в верхней части модели (см. рис. 3.21). Частотный диапазон входных данных состоит из 207 временных частот, расположенных равномерно на отрезке [7, 40] Гц. Форма импульса - вэйвлет Рикера с доминирующей частотой 15 Гц.

Стартовая модель m0 выбрана такой, что она практически не дает описание макроскоростного строения среды. Поэтому представляет интерес сравнить классический метод обращения полного волнового поля с его модифицированной постановкой MBTT (Chavent et. al., 2014b). Результаты классического обращения для начального приближения m0 представлены на рис. 3.22. Отметим достаточно неплохое восстановление целевых горизонтов верхней части среды, однако ошибка в положении нижней границы составляет 200 м, что, по меркам геофизики, является неприемлемым результатом. Убедимся теперь, что метод MBTT окажется более информативным применительно к задаче восстановления гладкой модели.

Численный эксперимент, описанный в разделе 3.4.2, показывает, что качество восстановления пропагатора сильно зависит от временного рефлектора s, используемого в обращении. Предлагается схема минимизации в формулировке MBTT, представленная на рис. 3.23. На стадии 1 целевой функционал E(p; s) минимизируется по переменной s, затем на стадии 2 тот же функционал минимизируется по переменной p, используя временной рефлектор, полученный на первой стадии. Затем этот цикл, состоящий из двух стадий, повторяется снова.

Результаты восстановления полной модели m(p; s) = p + M(p) s на стадии 1 изображены на рис. 3.24. Соответствующее поведение целевого функционала представлено на рис. 3.25.

Следующий шаг - реконструкция пропагатора с использованием обновленного на первой стадии временного рефлектора. В качестве базиса гладкого подпространства предлагается выбрать те из восьми B-сплайнов, которые сфокусированы в верхней части среды (см. рис. 3.26). Результаты обращения для стадии 2 представлены на рис. 3.27 и 3.28.

Восстановленная полная модель на стадии 3 (минимизация по s) изображена на рис. 3.29, соответствующее поведение целевой функции - рис. 3.30. Базис гладкого подпространства на стадии 4 изображен на рис. 3.31, результаты обращения - рис. 3.32 и 3.33 соответственно. Отметим практически идеальное качество восстановления пропагатора.

Так как восстановленная после 4 стадий обращения MBTT модель хорошо описывает макроскоростное строение среды, предлагается использовать эту модель в качестве начальной для классического обращения. Результаты такого численного эксперимента представлены на рис. 3.34 и 3.35. Отметим, что в отличие от первого эксперимента (рис. 3.22) границы разделов сред восстанавливаются на правильных местах (см. рис. 3.36 для сравнения результатов обращения и рис. 3.37 для сравнения синтетических сейсмограмм).

Рисунок 3.13 – Три кубических B-сплайна (вверху) и их oртогонализация (внизу) Рисунок 3.

14 – Вверху: ортогонализация B-сплайнов. Внизу: истинное возмущение пропагатора (черным) и его проекция на гладкое подпространство (красным) Рисунок 3.15 – MBTT обращение пропагатора с использованием B-сплайнов для s = strue.

Красным изображена истинная модель, синим - восстановленная Рисунок 3.16 – MBTT обращение пропагатора с использованием B-сплайнов для s = s0.

Красным изображена истинная модель, синим - восстановленная Рисунок 3.17 – Классическое обращение с использованием B-сплайнов. Красным изображена истинная модель, синим - восстановленная Рисунок 3.18 – Целевой функционал. Красным - классическое обращение, синим - MBTT для сценария s = strue и черным - MBTT для s = s0 Рисунок 3.19 – Истинное распределение поля скоростей mtrue Скорость м/с)

–  –  –

Рисунок 3.22 – Классическое обращение для стартовой модели, изображенной на рис.

3.20.

Черным изображена истинная модель, красным - восстановленная

–  –  –

Рисунок 3.24 – Восстановление полной модели.

Минимизация по переменной s. Черным изображена истинная модель, красным - восстановленная. Стадия 1 Значение целевого функционала

–  –  –

Рисунок 3.27 – Восстановление полной модели.

Минимизация по переменной p. Черным изображена истинная модель, красным - восстановленная. Стадия 2 Значение целевого функционала

–  –  –

Рисунок 3.29 – Восстановление полной модели.

Минимизация по переменной s. Черным изображена истинная модель, красным - восстановленная. Стадия 3 Значение целевого функционала

–  –  –

Рисунок 3.32 – Восстановленнная полная модель и истинная модель.

Минимизация по переменной p. Черным изображена истинная модель, красным - восстановленная. Стадия 4

–  –  –

Рисунок 3.34 – Классическое обращение для стартовой модели, полученной после обращения MBTT.

Черным изображена истинная модель, красным - восстановленная Gullfaks, отображающей типичное строение ряда резервуаров Северного моря (см. рис. 3.38). Входные данные синтезированы для набора из 18 частот, расположенных равномерно в диапазоне [5,20] Гц, каждая из которых имеет равный вклад в целевой функционал (здесь имеется в виду, что Фурье-спектр зондиру

–  –  –

ющего сигнала f () = 1 для всех ). Используется следующая геометрия источников и приёмников: неподвижные 200 приёмников, расположенные на глубине 10 м от линии z=0 с шагом 20 м, и 20 источников, равномерно размещенные на этой же линии с шагом 200 м. Вертикально неоднородная модель (см. рис. 3.39) используется в обращении в качестве начального приближения.

Как и в предыдущих численных экспериментах, применим для решения задачи стандартный метод обращения полных волновых полей. Результаты обращения представлены на рис. 3.40 и рис. 3.41. Как можно заметить, классический метод не позволяет восстановить гладкую компоненту решения для выбранного диапозона частот в данных. Восстановленная модель содержит в основном резко осциллирующую компоненту решения, однако положение целевых горизонтов восстанавливается со значительной ошибкой (см. рис. 3.41). В то же время, 5 Гц это почти предельная временная частота, которая может быть достоверно извлечена из реальных данных.

Рисунок 3.36 – Классическое обращение (слева) и классическое обращение после MBTT (справа).

Черным изображена истинная модель, красным - восстановленная Наряду со стандартным подходом, представлены результаты обращения в постановке MBTT (см. рис. 3.42). Начальное приближение для временного рефлетора s - входные данные, начальный пропагатор p выбран таким же, как стартовая модель для стандартного обращения (см. рис. 3.39). Кубические 2D B-сплайны используются в качестве базиса пространства пропагаторов. Неизвестная гладкая можель p строится путем минимизации модифицированного целевого функционала методом сопряженных градиентов в пространстве пропагаторов. Стадия восстановления пропагатора представлена на рис. 3.43. Важно отметить значительную чувствительность модифицированного целевого функционала к макроскоростной модели. Более того, как только обновляется пропаРисунок 3.37 – Разница между наблюдаемыми и моделируемыми данными.

Слева:

классическое обращение, справа: классическое обращение после MBTT гатор p, одновременно с ним обновляется и глубинный рефлектор r, поскольку они связаны оператором миграции: r = M(p) s. На рис. 3.43 видно, что в течение процесса оптимизации одновременно обновляются и гладкая модель, и глубинный рефлектор. Как результат, если пропагатор близок к истинной макроскоростной модели, то границы раздела сред восстанавливаются корректно. Финальная скоростная модель, полученная в результате применения метода MBTT, представлена на рис. 3.42.

Рисунок 3.38 – Истинное распределение поля скоростей mtrue.

Двумерная модель Gullfax

–  –  –

Рисунок 3.40 – Результат обращения классическим методом Рисунок 3.

41 – Результат обращения классическим методом. Вертикальное сечение решения (расстояние 2000 м) на разных итерациях. Черным - истинное распределение скорости, красным - восстановленная модель Рисунок 3.42 – Результат обращения модифицированным методом MBTT Рисунок 3.43 – Результат обращения модифицированным методом MBTT. Вертикальное сечение решения (расстояние 2000 м) на разных итерациях. Черным - истинное распределение скорости, красным - восстановленная модель, синим - восстановленная макроскоростная модель ЗАКЛЮЧЕНИЕ Основной результат работы – оценка разрешающей способности операторов, возникающих при линеаризации классической постановки обратной динамической задачи сейсмики и её модифицированной постановки MBTT. Для этих целей был разработан численный алгоритм построения SVD линеаризованного оператора прямой задачи для двух постановок задачи. Сравнительный анализ разрешающей способности метода обращения полного волнового поля показывает выгодное отличие формулировки MBTT применительно к задаче реконструкции макроскоростного строения среды. Численными исследованиями установлено, что модифицированная постановка метода обращения полного волнового поля обладает устойчивым подпространством, позволяющим восстанавливать в линейном приближении макроскоростную составляющую при разумных требованиях на доминирующую частоту зондирующего сигнала (15 Гц), точность измерений (первые проценты) и использование выносов источник – приёмник порядка глубины целевых объектов.

Разработанный и реализованный алгоритм нелинейного обращения волновых фронтов по методу наименьших квадратов в постановке MBTT подтверждает результаты сравнительного SVD анализа. Проведенная серия численных экспериментов демонстрирует заметную чувствительность модифицированного целевого функционала к гладким вариациям скоростной модели в отличие от стандартного среднеквадратичного функционала невязки. Предложенный метод способен восстанавливать макроскоростное строение среды даже в отсутствие в спектре зарегистрированного сигнала частот ниже 7 Гц.

Дальнейшее развитие использования метода MBTT представляется в переходе от рассмотрения скалярного волнового уравнения к рассмотрению уравнений динамической теории упругости, а также в переходе от 2D моделей к 3D моделям.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ахиезер Н.И. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве.

Т.1 / Н.И. Ахиезер, А.Б. Глазман. – Харьков: Харьковский университет,1977.

2. Бакушинский А.Б. Итеративные методы решения некорректных задач / А.Б. Бакушинский, А.В. Гончарский. – М.: Наука,1989.

3. Вайнберг Б.Р. Принципы излучения, предельного поглощения и предельной амплитуды в общей теории уравнений с частными производными / Б.Р. Вайнберг // Успехи математических наук. – 1966. – № 21(3). – C. 115– 194.

4. Восстановление двумерных возмущений скорости вертикально– неоднородной акустической среды по данным многократного перекрытия (линеаризованная постановка) / А.С. Алексеев [и др.] // Геология и геофизика. – 1997. – C. 1980–1992.

5. Гадыльшин К.Г. Обращение полных волновых полей нелинейным методом наименьших квадратов: SVD анализ / К.Г. Гадыльшин, В.А. Чеверда // Вычислительные методы и программирование. – 2014. – № 3. – C. 499–513.

6. Гадыльшин К.Г. Влияние свободной поверхности на качество решения обратной динамической задачи сейсмики / К.Г. Гадыльшин, В.А. Чеверда, Д.А. Неклюдов // Технологии сейсморазведки. – 2014. – № 3. – C. 43–50.

7. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах / С.К. Годунов [и др.] – Новосибирск: Наука, 1992.

8. Канторович Л.В. Функциональный анализ / Л.В. Канторович, Г.П. Акилов.

– М.: Наука,1984.

9. Костин В.И. r–решение уравнения первого рода с компактным оператором в гильбертовых пространствах: существование и устойчивость / В.И Костин, В.А. Чеверда // Докл. РАН. – 1997. – № 335(3). – C. 308–312.

10. Костин В.И. r–псевдообратный для компактного оператора / В.И Костин, В.А. Чеверда. // Cибирские электронные математические известия. – 2010.

– № 7. – C. 258–282.

11. Протасов М.И. Построение сейсмических изображений в истинных амплитудах / М.И. Протасов, В.А. Чеверда. // Докл. РАН. – 2006. – № 407(4). – C. 528–532.

12. Эйдус Д.М. О принципе предельного поглощения / Д.М. Эйдус. // Математический сборник. – 1962. – № 57(99). – C. 13–44.

13. 2d pp– and ps–stereotomography for a multicomponent datset / M. Alerini [et al.] // 72nd Annual International Meeting, SEG, Expanded Abstracts. – 2002.

– P. 838–841.

14. 2–d traveltime and waveform inversion for improved seismic imaging: Naga thrust and fold belt, india / P. Jaiswal [et al.] // Geophysical Journal International. – 2008. – doi:10.1111/j.1365–246X.2007.03691.x.

15. 3–d preserved amplitude prestack depth migration on a workstation / P. Thierry [et al.] // Geophysics. – 1999a. – № 64. – P. 222–229.

16. 3–d ray–born migration/inversion, part 2: Application to the seg/eage overthrust experiment / S. Operto [et al.] // Geophysics. – 2003. – № 68. – P. 1357–1370.

17. A decade of tomography / M.J. Woodward [et al.] // Geophysics. – 2008. – № 73(5). – P. VE5–VE11.

18. Bao G. Regularity of an inverse problem in wave propagation / G. Bao, W.W. Symes. // Lecture Notes in Physics. – 1997. – № 486. – P. 226–235.

19. Beylkin G. Imaging of discontinuities in the inverse scattering problem by inversion of a causal generalized radon transform / G. Beylkin. // Journal of Mathematical Physics. – 1985. – № 26. – P. 99–108.

20. Beylkin G. Linearized inverse scattering problems in acoustics and elasticity / G. Beylkin, R. Burridge. // Wave Motion. – 1990. – № 12. – P. 15–52.

–  –  –

22. Biondi B. Angle–domain common–image gathers for migration velocity analysis by waveeld–continuation imaging / B. Biondi, W.W. Symes. // Geophysics. – 2004. – № 69. – P. 1283–1298.

23. Bleistein N. On the imaging of reectors in the earth / N. Bleistein. // Geophysics. – 1987. – № 52. – P. 931–942.

24. Brenders A.J. Ecient waveform tomography for lithospheric imaging:

Implications for realistic 2d acquisition geometries and low frequency data / A.J. Brenders, R.G. Pratt. // Geophysical Journal International. – 2007a. – № 168. – P. 152–170.

25. Brenders A.J. Full waveform tomography for lithospheric imaging: Results from a blind test in a realistic crustal model / A.J. Brenders, R.G. Pratt. // Geophysical Journal International. – 2007б. – № 168. – P. 133–151.

26. Brenders A.J. Waveform tomography of marine seismic data: What can limited oset oer? / A.J. Brenders, R.G. Pratt. // 75th Annual International Meeting, SEG, Expanded Abstracts. – 2007в. – P. 3024–3029.

27. Brossier R. Parsimonious nite–volume frequency–domain method for 2d p–sv wave modelling / R. Brossier, J. Virieux, S. Operto. // Geophysical Journal International. – 2008. – № 175. – P. 541–559.

28. Cary P. Automatic 1–d waveform inversion of marine seismic refraction data / P. Cary, C. Chapman. // Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society.

– 1988. – № 93. – P. 527–546.

29. Chapman C. Ray theory and its extension: Wkbj and maslov seismograms / C. Chapman // Journal of Geophysics. – 1985. – № 58. –P. 27–43.

30. Chavent G. Comparative SVD-analysis of standard L2 Full Waveform Inversion and its Migration Based Travel Time formulation / G. Chavent, K. Gadylshin, V. Tcheverda // WAVES 2013: Proceedings of the 11th International Conference on Mathematical and Numerical Aspects of Waves (Tunisia, Gammarth, 3-7 June 2013). – 2013 – P. 119–120.

31. Chavent G. Full waveform inversion in migration based travel-time formulation / G. Chavent, K. Gadylshin, V. Tcheverda // 6th Saint Petersburg International Conference and Exhibition on Geosciences 2014: Investing in the Future. – 2014a.

– P. 73–77.

32. Chavent G. Full waveform inversion in migration based travel time formulation / G. Chavent, K. Gadylshin, V. Tcheverda // WCCM XI : Proceedings of the 11th World Congress on Computational Mechanics (Spain, Barcelona, 20-25 July 2014). – 2014b – P. 182–188.

33. Cheverda V.A. R–pseudoinverses for compact operators in hilbert spaces:

existence and stability / V.A. Cheverda, V. I. Kostin. // Journal of Inverse and Ill–posed Problems. – 1995. – № 3(2). – P. 131–148.

34. Choi Y. Two–dimensional waveform inversion of multi–component data in acoustic–elastic coupled media / Y. Choi, D.J. Min, C. Shin. // Geophysical Prospecting. – 2008. – № 56. – P. 863–881.

35. Claerbout J. Toward a unied theory of reector mapping / J. Claerbout // Geophysics. – 1971. – № 36. – P. 467–481.

36. Claerbout J. Fundamentals of geophysical data processing / J. Claerbout – McGraw–Hill Book Co., Inc., 1976.

37. Claerbout J. Downward continuation of moveout corrected seismograms / J. Claerbout, S. Doherty. // Geophysics. – 1972. – № 37. – P. 741–768.

38. Clement F. Migration–based traveltime waveform inversion of 2–d simple structures: A synthetic example / F. Clement, G. Chavent, S. Gomez. // Geophysics. – 2001. – № 66. – P. 845–860.

39. Comparison of prestack stereotomography and nip wave tomography for velocity model building: Instances from the messinian evaporites / S. Dummong [et al.] // Geophysics. – 2008. – № 73(5). – P. VE291–VE302.

40. Crustal imaging from multifold ocean bottom seismometers data by frequency– domain fullwaveform tomography: Application to the eastern nankai trough / S. Operto [et al.] // Journal of Geophysical Research. – 2006. – № 111. – doi:10.1029/2005JB003835.

41. Danecek P. An ecient parallel chebyshev pseudospectral method for large– scale 3d seismic forward modelling / P. Danecek, G. Seriani. // 70th Conference&Technical Exhibition, EAGE, ExtendedAbstracts. – 2008.

42. de Hoop A. A modication of cagniard’s method for solving seismic pulse problems / A. de Hoop. // Applied Scientic Research. – 1960. – № 8. – P.

349–356.

–  –  –

44. Ellefsen K. A comparison of phase inversion and traveltime tomography for processing of near–surface refraction traveltimes / K. Ellefsen. // Geophysics. – 2009. – № 74(6). – P. WCB11–WCB24.

45. First–arrival travel time tomography based on the adjoint state method / C. Taillandier [et al.] // Geophysics. – 2009. – № 74(6). – P. WCB57–WCB66.

46. Full–waveform inversion for macro–velocity model reconstruction in look–ahead oset vsp: numerical svd–based analysis / I. Silvestrov [et al.] // Geophysical propsepcting. – 2003. – № 61(6). – P. 1099–1113.

47. Gadylshin K. Full Waveform Inversion through migration-based traveltime formulation in frequency domain / K. Gadylshin, V. Tcheverda. // International Conference on Inverse Problems and Related Topics 2012 (China, Nanjing, 21-26 October 2012). – Electronic Source.

48. Gadylshin K. Comparative SVD-analysis of standard L2 Full Waveform Inversion and its MBTT reformulation / K. Gadylshin, V. Tcheverda. // FrancoGerman Summer School Inverse Problems and Partial Dierential Equations (Germany, Bremen, 7-11 October 2013). – Free access: http://www.math.unibremen.de/zetem/alt/optimmedia/cms/ipschool2013/SCIPAPDE-2013.pdf

49. Gauthier O. Two–dimensional nonlinear inversion of seismic waveforms:

Numerical results / O. Gauthier, J. Virieux, A. Tarantola. // Geophysics. – 1986. – № 51. – P. 1387–1403.

50. Gazdag J. Wave equation migration with the phase–shift method / J. Gazdag.

// Geophysics. – 1978. – № 43. – P. 1342–1351.

51. Gilbert F. An application of normal mode theory to the retrieval of structural parameters and source mechanisms from seismic spectra / F. Gilbert, A. Dziewonski. // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. – 1975. – № 278. – P. 187–269.

–  –  –

53. Hole J.A. Nonlinear high–resolution three–dimensional seismic travel time tomography / J.A. Hole. // Journal of Geophysical Research. – 1992. – № 97. – P. 6553–6562.

54. Ikelle L. Linearized inversion of multioset seismic reection data in the k domain: Depth–dependent reference medium / L. Ikelle, J. P. Diet, A. Tarantola.

// Geophysics. – 1988. – № 53. – P. 50–64.

–  –  –

56. Li X.S. SuperLU_DIST: A Scalable Distributed-Memory Sparse Direct Solver for Unsymmetric Linear Systems / X.S. Li, J.W. Demmel. // ACM Trans.

Mathematial software. – 2003. – № 2. – P. 110–140.

57. Jin S. Background velocity inversion by a genetic algorithm / S. Jin, R. Madariaga. // Geophysical Research Letters. – 1993. – № 20. – P. 93–96.

58. Jin S. Non–linear velocity inversion by a two–step monte carlo method / S. Jin, R. Madariaga. // Geophysics. – 1994. – № 59. – P. 577–590.

59. Kennett B.L.N. Seismic wave propagation in stratied media / B.L.N. Kennett.

– Cambridge University Press,1983.

60. Klem–Musatov K.D. Seismic modelling by methods of the theory of edge waves / K.D. Klem–Musatov, A.M. Aizenberg. // Journal of Geophysics. – 1985. – № 57. – P. 90–105.

61. Kolb P. Prestack inversion of 1–d medium / P. Kolb, F. Collino, P. Lailly. // Proceedings of the IEEE. – 1986. – P. 498–508.

62. Kormendi F. Non–linear waveform inversion of plane–wave seismograms in stratied elastic media / F. Kormendi, M. Dietrich. // Geophysics. – 1991. – № 56. – P. 664–674.

63. Lailly P. The seismic inverse problem as a sequence of before stack migrations / P. Lailly. // Conference on Inverse Scattering, Theory and Application, Society for Industrial and Applied Mathematics, Expanded Abstracts. – 1983. – P. 206– 220.

–  –  –

67. Lucio P.S. 3d multivalued travel time and amplitude maps / P.S. Lucio, G. Lambar, A. Hanyga. // Pure and Applied Geophysics. – 1996. – № 148.

e

– P. 113–136.

68. Malinowsky M. Quantitative imaging of the permomesozoic complex and its basement by frequency domain waveform tomography of wide–aperture seismic data from the polish basin / M. Malinowsky, S. Operto. // Geophysical Prospecting. – 2008. – № 56. – P. 805–825.

69. Marfurt K. Accuracy of nite–dierence and nite–elements modeling of the scalar and elastic wave equation / K. Marfurt. // Geophysics. – 1984. – № 49. – P. 533–549.

70. Min D.J. Refraction tomography using a waveform–inversion back–propagation technique / D.J. Min, C. Shin. // Geophysics. – 2006. – № 71(3). – P. R21–R30.

71. Migration velocity analysis using a genetic algorithm / P. Docherty [et al.] // Geophysical Prospecting. – 2003. – № 45. – P. 865–878.

72. Monte carlo estimation and resolution analysis of seismic background velocities / Z. Koren [et al.] // Journal of Geophysical Research. – 1991. – № 96. – P.

20289–20299.

73. Mora P.R. Nonlinear two–dimensional elastic inversion of multi–oset seismic data / P.R. Mora. // Geophysics. – 1987. – № 52. – P. 1211–1228.

74. Mora P.R. Elastic waveeld inversion of reection and transmission data / P.R. Mora. // Geophysics. – 1988. – № 53. – P. 750–759.

75. Mosegaard K. Monte carlo sampling of solutions to inverse problems / K. Mosegaard, A. Tarantola. // Journal of Geophysical Research. – 1995. – № 100. – P. 12431–12447.

76. Multi–scale imaging of complex structures from multifold wide–aperture seismic data by frequency–domain full–waveeld inversions: Application to a thrust belt / C. Ravaut [et al.] // Geophysical Journal International. – 2004. – № 159. – P.

1032–1056.

77. Nolet G. Seismic tomography with applications in global seismology and exploration geophysics / G. Nolet. – D. Reidel Publ. Co.,1987.

78. Oldham R. The constitution of the earth / R. Oldham. // Quarterly Journal of the Geological Society of London. – 1906. – № 62. – P. 456–475.

79. Operto S. Can we image quantitatively complex models with rays? / S. Operto, S. Xu, G. Lambar. // Geophysics. – 2000. – № 65. – P. 1223–1238.

e

80. Paige C.C Lsqr: An algorithm for sparse linear equations and sparse least squares / C.C. Paige, M.A. Saunders. // Association for Computing Machinery Transactions on Mathematical Software. – 1982. – № 8. – P. 43–71.

81. Pica A. Nonlinear inversion of seismic reection data in laterally invariant medium / A. Pica, J. Diet, A. Tarantola. // Geophysics. – 1990. – № 55. – P. 284–292.

82. Practical aspects and applications of 2d stereotomography / F. Billette [et al.] // Geophysics. – 2003. – № 68. – P. 1008–1021.

83. Pratt R.G. Seismic waveform inversion in the frequency domain, part 1: Theory and verication in a physical scale model / R.G. Pratt. // Geophysics. – 1999.

– № 64. – P. 888–901.

84. Pratt R.G. Combining wave–equation imaging with traveltime tomography to form high–resolution images from crosshole data / R.G. Pratt, N.R. Goulty. // Geophysics. – 1991. – № 56. – P. 204–224.

85. Pratt R.G. Inverse theory applied to multisource cross–hole tomography, part 1: Acoustic wave–equation method / R.G. Pratt, M.H. Worthington. // Geophysical Prospecting. – 1990. – № 38. – P. 287–310.

86. Protasov M. True amplitude imaging by inverse generalized radon transform based on gaussian beam decomposition of the acoustic green’s function / M. Protasov, V. Tcheverda. // Geophysical prospecting. – 2011. – № 59(2). – P.

197–209.

87. Retrieving both the impedance contrast and background velocity: A global strategy for the seismic reection problem / R. Snieder [et al.] // Geophysics. – 1989. – № 54. – P. 991–1000.

88. Robust elastic non–linear waveform inversion: Application to real data / E. Crase [et al.] // Geophysics. – 1990. – № 55. – P. 527–538.

89. Sambridge M. Genetic algorithms in seismic waveform inversion / M. Sambridge, G. Drijkoningen. // Geophysical Journal International. – 1992. – № 109. – P.

323–342.

90. Sambridge M. Monte carlo methods in geophysical inverse problems / M. Sambridge, K. Mosegaard. // Reviews of Geophysics. – 2002. – № 40. – P. 1–29.

91. Seismic imaging of the naga thrust using multiscale waveform inversion / P. Jaiswal [et al.] // Geophysics. – 2009. – № 74(6). – P. WCC129–WCC140.

92. Shin C. Waveform inversion in the laplace domain / C. Shin, Y.H. Cha. // Geophysical Journal International. – 2008. – № 173. – P. 922–931.

93. Shin C. Waveform inversion in the laplace–fourier domain / C. Shin, Y.H. Cha // Geophysical Journal International. – 2009. – № 177. – P. 1067–1079.

94. Shin C. A comparison between the behavior of objective functions for waveform inversion in the frequency and laplace domains / C. Shin, W. Ha. // Geophysics.

– 2008. – № 73(5). – P. VE119–VE133.

95. Sirgue L. The importance of low frequency and large oset in waveform inversion / L. Sirgue. // 68th Conference&Technical Exhibition, EAGE, ExtendedAbstracts. – 2006. – p. A037.

96. Stolt R.H. Migration by fourier transform / R.H. Stolt. // Geophysics. – 1978.

– № 43. – P. 23–48.

97. Tarantola A. Inversion of seismic reection data in the acoustic approximation / A. Tarantola. – Geophysics. – 1984. – № 49. – P. 1259–1266.

98. Tarantola A. Inverse problem theory: Methods for data tting and model parameter estimation / A. Tarantola. – Elsevier Science Publ. Co., Inc.,1987.

99. Thierry P. Fast 2d ray–born inversion/migration in complex media / P. Thierry, S. Operto, G. Lambar. // Geophysics. – 1999б. – № 64. – P. 162–181.

e

100. Two–dimensional asymptotic iterative elastic inversion / S. Jin [et al.] // Geophysical Journal International. – 1992. – № 108. – P. 575–588.

101. Two–dimensional velocity model from wide–angle seismic data by waveeld inversion / R.G. Pratt [et al.] – Geophysical Journal International. – 1996. – № 124. – P. 323–340.

102. Virieux J. P–sv wave propagation in heterogeneous media, velocitystress nite dierence method / J. Virieux. // Geophysics. – 1986. – № 51. – P. 889–901.

103. Virieux J. An overview of full–waveform inversion in exploration geophysics / J. Virieux, S. Operto. // Geophysics. – 2009. – № 74(6). – P. WCC1–WCC26.

104. Waveform tomography at a groundwater contamination site: Vsp–surface data set / F. Gao [et al.] // Geophysics. – 2006б. – № 71(1). – P. H1–H11.

105. Wavelengths of earth structures that can be resolved from seismic reection data / M. Jannane [et al.] // Geophysics. – 1989. – № 54. – P. 906–910.

106. Weighted–averaging nite–element method for 2d elastic wave equations in the frequency domain / D.J. Min [et al.] // Bulletin of the Seismological Society of America. – 2003. – № 93. – P. 904–921.

107. Williamson P. A guide to the limits of resolution imposed by scattering in ray tomography / P. Williamson. // Geophysics. – 1991. – № 56. – P. 202–207.

108. Woodhouse J. Mapping the upper mantle: Three dimensional modelling of earth structure by inversion of seismic waveforms / J. Woodhouse, A. Dziewonski. // Journal of Geophysical Research. – 1984. – № 89. – P. 5953–5986.

109. Yilmaz O. Seismic data analysis: processing, inversion and interpretation of seismic data / O. Yilmaz. // SEG. – 2001.

110. Zelt C. Three–dimensional seismic refraction tomography: A comparison of two methods applied to data from the faeroe basin / C. Zelt, P.J. Barton. // Journal

Похожие работы:

«Приложение № 6 К РЕГЛАМЕНТУ ИСПОЛНЕНИЯ ПОРУЧЕНИЙ КЛИЕНТА НА ОПЕРАЦИИ С ИНОСТРАННЫМИ ЦЕННЫМИ БУМАГАМИ В ОАО «ИК «ПРОСПЕКТ» Декларация о рисках, связанных с приобретением иностранных ценных бумаг Настоящей Декларацией о рисках Открытое акционерное общество «ИНВЕСТИЦИОННАЯ КОМПАНИЯ «ПРОСПЕКТ», включенное в состав Участников торг...»

«276 ДЕМОГРАФІЯ, ЕКОНОМІКА ПРАЦІ, СОЦІАЛЬНА ЕКОНОМІКА І ПОЛІТИКА Татьяна В. Ерошкина, Светлана С. Борисенко ДИНАМИКА СОЦИАЛЬНО-ДЕМОГРАФИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАСЕЛЕНИЯ ДНЕПРОПЕТРОВСКОЙ ОБЛАСТИ В статье освещены основные проблемы формирования населения Днепропетровской области: интенсификация смертности, сверхсмертность мужчин, отрицательный есте...»

«УДК 159.9 Л.С. Габова, С.В. Истомина, г. Шадринск Снижение тревожности у младших школьников посредством групповой работы В статье обосновывается необходимость актуальность работы по нивелированию отрицательных эмоциональных состояний у детей, описаны результаты внедрения коррекционно-развивающей программы по снижению уров...»

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АКТИВИЗИРУЮЩИЙ ПОТЕНЦИАЛ ТЕАТРА В СОЦИАЛЬНОЙ РАБОТЕ С ПОЖИЛЫМИ выпускная квалификационная работа по направлению 040400 «Социальная работа» уровень магистратура Работу выполнила студентка...»

«Муниципальная городская централизованная библиотечная система Г. Гуково Отдел обслуживания центральной городской библиотеки. Сценарий Литературного вечера, посвященного жизни и творчеству М.А. Шолохова. Составитель: Прожорина Т.Ф. библиограф отдела обслуживания ЦБ г.Гуково Контактная информ...»

«Горный электровелосипед Leisger ADV MD5 1. Тип товара: горный электровелосипед 2. Характеристики: Рама: алюминиевый сплав 6061, усиленная Размер рамы: 19 Амортизационная вилка: RST Размер колеса: 27,5, двойные алюминиевые обода Электродвигатель: бесщет...»

«Договор № от « » 2013 г. Договор № транспортно-экспедиционного обслуживания г. Москва «» 2013 г. Общество с ограниченной ответственностью Транспортная компания «Юником-карго», именуемое в дальнейшем Экспедитор, в лице Генерального директора Пешехонова Сергея Юрьевича, действующе...»

«Приложение № 4 к Условиям открытия и обслуживания расчетного счета Перечень тарифов и услуг, оказываемых клиентам подразделений Центрально-Черноземного банка ОАО «Сбербанк России» на территории Тамбовской област...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Казанский государственный университет имени...»

«Фазовая зонная пластинка Цель работы: изучить принцип действия и познакомиться со свойствами фазовой зонной пластинки (ФЗП). Для расчета дифракционных картин Френель предложил приближенный способ, основанный на представлении о так называемых полуволновых зонах (зонах Френеля). Из определения зон Френеля для точки наблюдения Р следу...»

«Система работы с молодыми работниками и молодыми специалистами в ОАО «ЛУКОЙЛ» и организациях Группы «ЛУКОЙЛ» Политика ОАО «ЛУКОЙЛ» в области работы с молодыми работниками и молодыми специалистами Политик...»

«МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ХОЛОДНЯНСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА» Согласовано Согласовано Утверждено Руководитель МО Заместитель директора Директор МБОУ по УВР МБОУ «Холоднянская СОШ» Мишина О.В. «Холоднянская СОШ» Е.Ю.Лысых Протокол №_ от...»

«Journal of Siberian Federal University. Engineering & Technologies 3 (2009 2) 250-277 ~~~ УДК 541.182.023.4+546.57+621.315.592+541.121+543.7 Применение серебра (обзор) Л.Т. Денисова, Н.В. Белоусова, В.М. Денисов, В.В. Иванов Сибирский федеральный университет, Россия 660041, Красноярск, пр. Свободный, 79 1 Receive...»

«Информация о квалификации и опыте работы Председателя Правления, его заместителя, членов Правления, Главного бухгалтера и его заместителя Банка: Соловьев Сергей Владимирович Наименование занимаемой должности: Председатель Правления Даты согласования, фактического назначения (избрания, переизбрания) на должность: в кач...»

«Алгебра С. Е. Михеев 20 июня 2015 г. Оглавление Глава 7. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 5 §7.1. Определения и действия с матрицами..................... 5 № 7.1.1. Описания матриц................»

«Борис Докторов Хроника nрезидентскои изОиратепыой кампании BCWA 2016rода Опыт социологического наблюдения социального процесса БОРИС ДОКТОРОВ ХРОНИКА ПРЕЗИДЕНТСКОЙ ИЗБИРАТЕЛЬНОЙ КАМПАНИИ В США 2016 ГОДА ОПЫТ СОЦИОЛОГИЧЕСКОГО НАБЛЮДЕНИЯ СОЦИАЛЬНОГО ПРОЦЕССА Москва • 2017 УДК 316 ББК 66.3 Д63 Докторов Б. З...»

«1 Постановления Президиума ВАС РФ по вопросам частного права (на основе публикаций на сайте ВАС РФ в январе 2012 г.)1 Постановление Президиума ВАС РФ от 06.09.2011 № 2929/11 (есть оговорка о возможности п...»

«156 УДК 543.054:547.466 Сорбция синтетических красителей полимерами с молекулярными отпечатками Хальзова С.А.1, Зяблов А.Н.1, Дуванова О.В.1, Селеменев В.Ф.1, Козлов А.Т.2 ФГБОУ ВО «Воронежский государственный университет», Воронеж Воронежский во...»

«СУДЬБЫ. Любовь Сталбо Эти воспоминания о тяжких судьбах близких мне людей – напоминание потомкам о происходившем в СССР в течение моего века. Семья моя принадлежала к еврейско-русской интеллигенции, пострадавшей (как и другие подобные семьи) от войн, революций и репрессий. В XIX...»

«ПРОГРАММА вступительного экзамена для поступающих в магистратуру по направлению подготовки 35.04.09 Ландшафтная архитектура Магистерская программа «Ландшафтный дизайн»1.Общие положения К вступительным испытаниям в магистратуру допускаются лица,...»

«Договор на оказание услуг г. Пермь «_» 20_ года Открытое акционерное общество «Акционерный коммерческий банк «Пермь», именуемое в дальнейшем «Банк», в лице Председателя Правления Саранской Л.В., действующей на основании Устава, с одной стороны и _, именуемое в дальнейше...»

«РЕСПИРАТОРНЫЙ ДИСТРЕСС У НОВОРОЖДЕННЫХ Под редакцией М.В.Фомичева Москва «МЕДпресс-информ» УДК 616.24-001:616-053.3 ББК 54.12 Р43 Все права защищены. Никакая часть данной книги не может быть воспроизведена в любой форме и любыми средствами без письменного разрешения владельцев авторск...»

«Лілія Кавлюк Всі секрети мікростоків або як заробляти творчістю Видання друге, доповнене і покращене Зміст Вступ 1. Про стоки 1.1. Що таке мікростоки? 1.2. Що можна продавати на стоках? 1.3. Стилі і напрями векторної ілюстрації 1.4. Ч...»

«1 96_156043 АРБИТРАЖНЫЙ СУД СВЕРДЛОВСКОЙ ОБЛАСТИ Именем Российской Федерации РЕШЕНИЕ г. Екатеринбург Дело № А60-13432/2007-С 7 27.02.2008 года Резолютивная часть решения объявлена 20.02.2008 года Полный текст решения изготовлен 27.02.2008 года Арбитражный суд Свердловской области в составе председательствующего...»

«I Алла ГРАЧЕВА / ПОЭТ ОДЕЖДЫ Серия «Модное сумасшествие» S M S I E Y Y A K E I S SM EI YY A K E I S S E Y Алла ГРАЧЕВА / ПОЭТ ОДЕЖДЫ M I Y A K E 2014 УДК 82-94 ББК 85.14 Г78 Серия «Модное сумасшествие» основана в 2014 году Благодарим...»

«В случае продажи имущества, находящегося в собственности менее 3 лет, дарения, сдачи имущества в аренду и получения иных доходов, с которых не был удержан налог в 2014 году, гражданам не позднее 30 апреля 2015 года необходимо представить декларацию по форме 3-НДФЛ. Обязанность предоставления декларации конкретным ли...»

«Как выращивать огурцы. Огурец – представитель семейства тыквенных и единственный из овощей, плоды которого (зеленцы) едят в зеленом недозрелом виде. Огурцы обладают отличным вкусом, а также ценными диетическими и лече...»










 
2017 www.pdf.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - разные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.