WWW.PDF.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Разные материалы
 

Pages:   || 2 | 3 |

«КОВПАК ИРИНА ОЛЕГОВНА МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАМ СТОХАСТИКИ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ 5-6 КЛАССОВ, РЕАЛИЗУЮЩАЯ ТРЕБОВАНИЯ ФГОС ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ...»

-- [ Страница 1 ] --

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

«МОСКОВСКИЙ ГОРОДСКОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

___________________________________________________________________

На правах рукописи

КОВПАК ИРИНА ОЛЕГОВНА

МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАМ СТОХАСТИКИ В КУРСЕ

МАТЕМАТИКИ 5-6 КЛАССОВ, РЕАЛИЗУЮЩАЯ ТРЕБОВАНИЯ

ФГОС ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

Специальность 13.00.02 - теория и методика обучения и воспитания (математика) Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Научный руководитель:

кандидат педагогических наук, доцент Савинцева Наталья Викторовна МОСКВА 2015

СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………………………………………………………….....4 Глава 1. Психолого-педагогические основы обучения элементам стохастики в 5-6 классах на современном этапе развития математического образования……………………………………………….…14 § 1. Исторический обзор включения элементов стохастики в традиционный школьный курс математики………………………………………………….14 § 2. Психологические и научно-методические основы формирования вероятностно-статистического мышления учащихся 5-6 классов……….
.22 § 3. Этапы и содержательные особенности формирования первоначальных вероятностно-статистических представлений………………………………31 § 4. Сравнительный анализ изложения стохастического материала в современных учебниках по математике для 5-6 классов, реализующих ФГОС основного общего образования……………………………….……..40 § 5. Возможности изучения стохастического материала в курсе математики 5-6 классов для реализации требований стандарта второго поколения… Выводы к первой главе…………………………………………………………….61 Глава 2. Методика обучения элементам стохастики в курсе математики 5-6 классов в условиях стандартов второго поколения……………………..70 § 1. Принципы построения методики обучения элементам стохастики в курсе математики 5-6 классов, реализующей требования ФГОС ООО…………70 § 2. Преемственность курсов математики начальной школы и 5-6 классов при изучении стохастического материала…………………………………..78 § 3. Цели и содержание обучения элементам стохастики в курсе математики 5-6 классов, соответствующего требованиям ФГОС ООО…………………88 § 4. Средства, формы и методы обучения элементам стохастики в курсе математики 5-6 классов в современных условиях………………………...109 § 5. Экспериментальная проверка эффективности разрабатываемой методики обучения элементам стохастики в 5-6 классах…………………...……......154 Выводы ко второй главе………………………………………………………….162 Заключение……………………………………………………………………….166 Библиографический список……………………………………………………168 Приложение 1…………………………………………………………………….183 Приложение 2…………………………………………………………………….184 Приложение 3…………………………………………………………………….185

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность исследования. Главными факторами, влияющими на развитие образования сегодня, являются гуманизация общественноэкономических отношений и формирование новых жизненных установок личности. Эти требования связаны с изменением представлений о сущности готовности человека к выполнению социальных ролей и профессиональных функций. Следствием этих изменений стало принятие новых федеральных государственных образовательных стандартов, определяющих направления подготовки школьника к жизни в современных социально-экономических условиях.

Систематическое изучение элементов стохастики является важным аспектом для развития личности школьника, для совершенствования коммуникативных способностей, умений ориентироваться в общественных процессах, анализировать статистические сведения, встречающиеся в современных средствах массовой информации, в учебной литературе; наблюдать закономерности, делать обоснованные выводы и принимать решения в повседневных ситуациях. Стохастический материал имеет большой потенциал для активизации познавательного интереса школьников, формирования мотивации к изучению математики.

Согласно утвержденным стандартам второго поколения, стохастическая содержательно-методическая линия, включающая элементы комбинаторики, вероятности и статистики, обязательно входит в школьные учебники по математике, а также в дополняющие их дидактические материалы, на ступенях начального и общего образования.

Методика преподавания элементов стохастики в школе была рассмотрена в различных научных исследованиях Г.В. Дорофеева, А.Г. Мордковича, П.В.

Семенова, Е.А. Бунимовича, М.В. Ткачевой, А. Плоцки, Л.О. Бычковой, В.Д.

Селютина, И.И. Зубаревой, Н.Г. Каменковой, В.А. Болотюка, О.С. Медведевой, Т.А. Поляковой, Л.В. Евдокимовой, Е.В. Смыкаловой, Л.А. Тереховой, Е.С.

Виноградовой, Е.Е. Белокуровой и других отечественных и зарубежных ученых.

Л.О. Бычкова [12] посвятила свою диссертацию выявлению возможностей и путей формирования вероятностно-статистических представлений учащихся как компонента общеобразовательной подготовки, направленного на формирование научного мировоззрения и развития мышления учащихся.

В.А. Болотюк [6] в своем исследовании доказывает, что формирование вероятностно-статистических представлений, адекватных особенностям объективной действительности, происходит не стихийно в повседневной жизни, а является результатом целенаправленного обучения, основу которого образуют психологические концепции научения. Результаты исследования Е.А.

Бунимовича также свидетельствуют о том, что даже хорошее знание и понимание других разделов математики само по себе не обеспечивает развития вероятностного мышления.

В исследовании польского математика-методиста А. Плоцки [107] доказано, что изучение элементов стохастики в школьном курсе математики должно осуществляться в виде сквозной содержательно-методической линии, интегрированной с традиционными линиями школьного курса математики. Как продолжение и развитие идей А. Плоцки, принципы построения единой содержательно-методической линии были выделены и обоснованы в работах В.Д.

Селютина [126-129]. На основе работ В.Д. Селютина Л.А. Тереховой [136] был предложен когерентно-интегративный подход к изучению стохастической линии.

Но необходимо отметить, что указанные исследования проводились до утверждения современных стандартов второго поколения [111,112] для начального (ФГОС НОО, 2009 г.) и основного общего образования (ФГОС ООО, 2010 г.). В связи с этим, предложенное авторами для интеграции в основной курс математики содержание стохастического материала во многом превышает требования стандарта, а также не учитывает необходимость преемственности с современным курсом математики начальной школы.

В настоящий момент наблюдаются значительные затруднения при обучении элементам стохастики в 5-6 классах, в силу новизны содержания и отсутствия методических традиций. Существующие подходы, на наш взгляд, не осуществляют систематического и последовательного включения данной содержательно-методической линии в традиционный курс математики.

Стохастический материал изучается «по остаточному принципу» в конце учебного года, либо «от случая к случаю». Три его компонента, комбинаторный, вероятностный и статистический, реализованы в учебниках, как правило, в виде отдельных параграфов или нескольких «рассыпанных» по учебнику задач. В большинстве случаев, эти задачи практически не связаны как между собой, так и с традиционным содержанием курса математики 5-6 классов.

Трудности в обучении элементам стохастики в 5-6 классах возникают также по причине повышенной сложности для учащихся большинства предлагаемых заданий вероятностного и комбинаторного компонентов стохастической линии.

Отметим и несогласованность изучения стохастического материала на уроках математики и информатики в этом периоде. Развивающий потенциал курса информатики на различных этапах изучения тем стохастики используется недостаточно, в то время как многие темы курса информатики идентичны ряду тем стохастической линии курса математики 5-6 классов, таким, как построение и анализ диаграмм, работа с таблицами, и другим.

Также одной из проблем является различие в уровне требований к подготовке выпускников начальной школы в учебниках математики по темам стохастической линии. Вследствие этого, при переходе к обучению на следующую ступень, стартовые возможности по данному материалу у учащихся, поступивших в 5-й класс, значительно отличаются, что также создает затруднения для дальнейшей результативной работы.

Анализ ФГОС ООО, психолого-педагогической и методической литературы, практического опыта преподавания учителей выявляет противоречие между новой системой требований к результатам подготовки учащихся и отсутствием соответствующей методики обучения элементам стохастики в курсе математики 5-6 классов. Необходимость устранения указанного противоречия свидетельствует об актуальности темы исследования и определяет его проблему: поиск путей обучения стохастической содержательнометодической линии, позволяющих осуществлять непрерывное и последовательное формирование первоначальных вероятностно-статистических представлений учащихся в курсе математики 5-6 классов в условиях перехода на стандарты второго поколения.

Цель исследования состоит в разработке методики обучения элементам стохастики в курсе математики 5-6 классов в условиях ФГОС ООО, направленной на достижение планируемых результатов обучения.

Объектом исследования является процесс обучения математике в 5-6 классах средней школы.

Предметом исследования является формирование первоначальных вероятностно-статистических представлений учащихся 5-6 классов при изучении стохастического материала в соответствии с требованиями стандарта второго поколения.

В основу исследования положена следующая гипотеза: если методику обучения элементам стохастики курса математики 5-6 классов строить на основе преемственности с современным курсом математики начальной школы;

равномерности и последовательности в изучении стохастического материала на протяжении учебного периода; интеграции в основное содержание курса математики 5-6 классов; взаимосвязи вероятностного, комбинаторного и статистического компонентов стохастической линии, то это будет способствовать реализации требований ФГОС ООО, а именно: достижения планируемых результатов; развития на основе освоения универсальных учебных действий;

воспитания качеств личности, отвечающих требованиям информационного общества; реализации индивидуальных образовательных траекторий.

Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи исследования:

1) изучить исторические аспекты включения элементов стохастики в школьный курс математики;

2) изучить и проанализировать психологические основы формирования вероятностно-статистического мышления учащихся 5-6 классов, содержание стохастической линии курса математики 5-6 классов и современные требования к организации процесса обучения;

3) определить принципы построения и разработать методику обучения элементам стохастики в курсе математики 5-6 классов, направленную на реализацию требований стандартов;

4) разработать динамическую модель построения методических схем обучения элементам стохастики в 5-6 классах по основным действующим учебникам математики для 5-6 классов и систему заданий, способствующих реализации предлагаемой методики;

5) экспериментально проверить эффективность методики при обучении элементам стохастики.

Теоретико-методологической основой исследования являются: теория содержания основного общего образования и концепция федеральных государственных образовательных стандартов (А.Г. Асмолов, А.М. Кондаков, А.А. Кузнецов, Г.В. Бурменская, И.А. Володарская и др.) [142]; теоретические основы общей теории учения, учебной деятельности и системно-деятельностного подхода (П.Я. Гальперин, В.В. Давыдов, А.Н. Леонтьев, Н.Ф. Талызина, О.Б.

Епишева и др.) [20,24,70,134,38]; основы теории и методики обучения математике (А.Г. Мордкович, П.В. Семенов, Г.В. Дорофеев, Е.А. Бунимович, И.И. Зубарева, М.В. Ткачева) [84,85,8,137,9,11]; методика формирования первоначальных вероятностно-статистических представлений (А. Плоцки, В.Д. Селютин, Л.О.

Бычкова, В.А. Болотюк, Т.А. Полякова, Я.С. Бродский) [107,127,6,108,7];

методика формирования вероятностного мышления учащихся начальной школы (Н.Г. Каменкова; О.С. Медведева, Л.В. Евдокимова, Е.С. Виноградова, Е.Е.

Белокурова) [45,80,37,16,4]; преемственности в обучении математике между начальной и основной школой (В.М. Туркина, Е.В. Смыкалова, А.К.

Мендыгалиева) [140,132,81]; укрепления внутрипредметных связей курса математики средствами стохастики (Л.А. Терехова) [136].

Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования:

теоретические - изучение психолого-педагогической, учебно-методической и математической литературы по теме исследования; анализ содержания современных образовательных стандартов начального и основного общего образования, учебников и учебных пособий по математике для 1- 6 классов;

эмпирические - анализ личного педагогического опыта, изучение и обобщение опыта работы учителей 5-6 классов, анкетирование учителей, беседы с учителями и учащимися 5-6 классов по теме исследования; выдвижение и проверка рабочей гипотезы с помощью педагогического эксперимента; анализ и обобщение результатов эксперимента;

статистические - математическая обработка статистических данных, полученных в ходе проведения экспериментальной работы.

Научная новизна исследования состоит в том, что:

1. Определены принципы построения методики обучения элементам стохастики в современном курсе математики 5-6 классов, реализующей требования ФГОС ООО: преемственность с современным курсом математики начальной школы; равномерность и последовательность в изучении стохастического материала на протяжении учебного года; интеграция в основное содержание курса математики 5-6 классов; взаимосвязь вероятностного, комбинаторного и статистического компонентов стохастической линии;

2. Разработана динамическая модель построения методических схем обучения элементам стохастики в курсе математики 5-6 классов, позволяющая реализовать методику изучения стохастической линии для любого из основных действующих учебников по математике 5-6 классов, соответствующих ФГОС ООО;

3. Определены подходы к формированию содержания вероятностного, статистического и комбинаторного компонентов стохастической содержательно методической линии, которые предусматривают изучение стохастического материала непрерывно на протяжении всего периода обучения 5-6 классов и повышают качество подготовки учащихся.

Теоретическая значимость исследования заключается в том, что ­ определены методические подходы к обучению элементам стохастики в курсе математики 5-6 классов, ориентированные на выполнение современных требований к уровню подготовки учащихся: разработанные на основе преемственности с курсом математики начальной школы система планируемых результатов обучения и конкретизированное содержание вероятностного, статистического и комбинаторного компонентов предлагаемой методики являются основой для создания динамической модели построения методических схем обучения стохастической линии в курсе математики 5-6 классов;

­ выявлены основные пути повышения эффективности обучения стохастической линии в соответствии с основными действующими подходами:

составлены последовательности модулей для каждого учебника, внутри каждого отдельного компонента стохастической линии модули расположены в определенном порядке; определены базовые пути реализации связей традиционного и стохастического содержания школьного курса математики 5-6 классов: в условии или при решении задачи стохастического материала используются понятия основного курса математики 5-6 классов; условие задачи основного курса математики содержит, либо дополняются вопросами, содержащими стохастические понятия.

Практическая значимость заключается в следующем:

­ составлены методические схемы изучения стохастического материала по основным действующим учебникам по математике для 5-6 классов;

­ предложены направления эффективного достижения планируемых результатов обучения через формирование универсальных учебных действий (УУД) и ИКТ-компетенций в условиях ФГОС ООО на основе межпредметных связей курсов математики и информатики 5-6 классов;

­ с учетом преемственности с курсом математики начальной школы разработана универсальная двухуровневая система задач, способствующая формированию предметных и метапредметных умений в процессе обучения элементам стохастики в курсе математики 5-6 классов;

­ разработаны методические рекомендации для изучения вероятностного, статистического и комбинаторного компонентов стохастической содержательной линии.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Методика обучения элементам стохастики в курсе математики 5-6 классов, построенная на основе принципов: преемственность с современным курсом математики начальной школы; равномерность и последовательность в изучении стохастического материала на протяжении учебного года; интеграция в основное содержание курса математики 5-6 классов; взаимосвязь вероятностного, комбинаторного и статистического компонентов стохастической линии, создает условия для реализации требований образовательного стандарта второго поколения;

2. Динамическая модель построения методических схем обучения элементам стохастики в курсе математики 5-6 классов позволяет проектировать процесс обучения стохастической содержательно-методической линии в соответствии с основными действующими подходами к обучению элементам стохастики в курсе математики 5-6 классов;

3. Применение разработанной универсальной двухуровневой системы задач способствует повышению уровня сформированности первоначальных вероятностно-статистических представлений учащихся, а также формированию метапредметных умений в процессе обучения элементам стохастики в курсе математики 5-6 классов.

Достоверность и обоснованность результатов и выводов исследования обеспечены методологией исследования: современными психологопедагогическими теориями, комплексом теоретических и эмпирических методов, адекватных объекту, предмету, цели и задачам исследования; педагогическим экспериментом и статистической проверкой его результатов.

Основные этапы исследования. Исследование проводилось в 3 этапа:

поисковый (2009-2011 гг.), формирующий (2011-2012 гг.) и констатирующий (2013-2014 гг.).

На поисковом этапе (2009-2011 гг.) был проведен анализ литературы, посвященной проблеме исследования, выявлены противоречия, определены теоретические основы методики изучения стохастической линии в 5-6 классах.

Была сформулирована гипотеза, цель и задачи исследования, были разработаны принципы формирования методики обучения элементам стохастики в курсе математики 5-6 классов.

На формирующем этапе (2011-2012 гг.) была разработана методика обучения элементам стохастики в курсе математики 5-6 классов, динамическая модель построения методических схем и система упражнений. На данном этапе проводились семинары для учителей математики и информатики, по итогам которых происходила корректировка предлагаемой системы упражнений, организовано экспериментальное обучение учащихся по одному из разделов системы упражнений.

На констатирующем этапе (2012-2014 гг.) были обобщены результаты педагогического эксперимента, осуществлялась обработка, анализ и обобщение эмпирических данных, сделаны выводы и внесены коррективы в комплекс методических материалов, полученные результаты оформлены в виде диссертационной работы.

Апробация результатов исследования. Экспериментальная работа проводилась в процессе обучения математике учащихся 5-6 классов ГБОУ СОШ № 1357 ЮВАО г. Москвы, ГБОУ СОШ № 871, ГБОУ СОШ № 581, ГБОУ «Гимназия № 1587», ГАОУ ЦО № 548 «Царицыно», ГБОУ СОШ № 896 ЮАО г.

Москвы, АОУ СОШ № 10 г. Долгопрудного Московской области.

Основные положения и результаты исследования докладывались, обсуждались и получили одобрение на заседаниях кафедры математического анализа и методики преподавания математики и научных кафедральных конференциях аспирантов и соискателей Института математики и информатики ГБОУ ВПО МГПУ (Москва, 2009-2014); Научно-практических конференциях профессорско-преподавательского состава, аспирантов и студентов математического факультета МГПУ «Совершенствование научно-методической подготовки учителей математики и информатики в системе непрерывного образования» (Москва, 2010, 2011), 29-м Всероссийском научном семинаре преподавателей математики университетов и педвузов (Москва, 2010), Всеукраинской научно-практической конференции (Ялта, 2010); семинарах для учителей математики школ ЮАО и ЮВАО г. Москвы (2012-2013);

Международной научно-практической конференции «ИКТ-компетенции современного педагога» (Москва, Международной конференции 2013);

«Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования» (Москва, 2013);

Международной заочной научно-практической конференции «Наука и образование в XXI веке» (Москва, 2013); Международной научно-методической конференции-конкурсе молодых ученых, аспирантов и студентов (2 место) «Эвристика и дидактика математики» (Украина, 2013); Международной научнопрактической конференции «Приоритетные направления развития науки» (Уфа, 2014).

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 13 печатных работах автора, в числе которых 3 работы в периодических изданиях, рекомендованных ВАК при Министерстве образования и науки РФ, 1 учебнометодическое пособие.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, библиографического списка и приложений.

ГЛАВА 1. ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ

ЭЛЕМЕНТАМ СТОХАСТИКИ В 5-6 КЛАССАХ НА СОВРЕМЕННОМ

ЭТАПЕ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

§ 1. Исторический обзор включения элементов стохастики в традиционный школьный курс математики «…Нет науки более достойной наших размышлений, и было бы полезно ввести ее в систему народного образования»

П. Лаплас о теории вероятностей Любая позитивно ориентированная эволюция школы предполагает соблюдения определенной преемственности в целях, содержании, формах и методах обучения, поэтому, прежде всего, следует обратиться к историческому опыту преподавания элементов стохастики в системе отечественного математического образования. Это позволит, во-первых, выявить положительный эффект включения комбинаторного, вероятностного и статистического содержания в традиционный материал курса математики основной школы, и, вовторых, проанализировать возможные проблемы и недостатки.

Впервые мысль о введении элементов теории вероятностей в содержание школьного образования была высказана еще ее основателем Пьером Лапласом (1749-1827). Тем не менее, в России сначала в среднюю школу были введены статистики и комбинаторики, а значительно позже - элементы теории вероятностей. Как показывает исследование С.В. Щербатых, «Статистика входила в учебные планы гимназий с 1804 по 1844 гг. в качестве самостоятельной дисциплины [148].

В результате реформ 1844-1846 годов курс математики для гимназий и лицеев был значительно сокращен, преподавание статистики было объединено с географией [127]. При этом учащиеся знакомились только с описательной стороной статистики. Элементы комбинаторики, согласно программе по математике для гимназий от 11 декабря 1845 года, предлагались к изучению в 4 классе.

В 1852 г., после проведения школьной реформы, была введена на полный гимназический курс (7 лет) новая программа по математике, в которой был сделан акцент на межпредметные связи. Спустя 12 лет, в июле 1864 г., педагогический съезд директоров и учителей, проходивший в Одессе, принял решение о сокращении курса математики в связи с перегруженностью программ 1852 г.[122].

В 70-х годах XIX века в России издаются учебники алгебры, содержащие элементы комбинаторики. Одним из таких учебников была «Начальная алгебра»

О.И. Сомова, изданная для Морского кадетского корпуса [133], а также «Начальная алгебра» А.Ю. Давидова, выпущенная для гимназий [23]. Общим для двух данных учебников являлось использование задач абстрактной тематики, не имеющих практического применения, но учебник А. Ю. Давидова отличало большое количество задач для самостоятельной работы (30-100 задач для каждой темы).

Две из пятнадцати глав были отведены элементам теории вероятностей и комбинаторики в учебниках «Начальные основания алгебры» Н.Т. Щеглова [146].

Также большое внимание данным темам было уделено в «Курсе начальной алгебры» К.Д. Краевича [66]. В учебнике Н.Т. Щеглова сложный стохастический материал излагался с опорой на рассмотрение значительного числа примеров, включавших ситуации из реальной жизни. «В целом, данный учебник стал одним из наиболее удачных пособий своего времени, но он получил одобрение Ученого комитета только в качестве пособия для гимназических библиотек, вследствие чего сильно понизилась его востребованность учителями математики» [148].

Особенностью учебника К.Д. Краевича являлось сжатое изложение материала без строгих математических выводов, в виде примеров, некоторые из которых имели прикладной характер. Элементы комбинаторики и теории вероятностей были включены в учебник в виде отдельных глав. Как отмечает В.Д.

Селютин [127], это указывает на то, что попытка построения единой содержательно-методической стохастической линии не была полностью реализована. В дополнение к учебнику К.Д. Краевич выпустил задачник «Собрание алгебраических задач», также содержавший раздел «О вероятностях».

И учебник, и задачник широко использовались при обучении математике в гимназиях.

В начале XX века программы по математике в целом и, в частности, по элементам стохастики, для средних учебных заведений активно обсуждались педагогической общественностью России.

В 1900 году подкомиссия по математике, работавшая в составе Комиссии по вопросу об улучшении преподавания в средней общеобразовательной школе, рекомендовала к изучению в седьмых классах реальных училищ следующие вопросы из комбинаторики: элементы теории соединений и бином Ньютона для натурального показателя [113].

На состоявшихся в 1901-1902 гг. съездах директоров и попечительских советов коммерческих училищ было предложено введение преподавания так называемой политической арифметики, состоящей из теории сложных процентов, теории соединений и теории вероятностей [79]. Несмотря на то, что политическая арифметика в итоге не вошла отдельной дисциплиной в учебный план восьмиклассных коммерческих училищ, в курсе алгебры 7 класса, согласно утвержденному плану, учащиеся должны были знакомиться с такими вопросами, как теория соединений, бином Ньютона для целого и положительного показателя, элементы теории вероятностей по учебникам европейских авторов Габерля, Гольцингера, Кантора и др. В программах по математике ряда европейских стран элементы стохастики также имели место. Например, Меранская программа 1904гг. (Германия), содержала простейшие предложения из теории соединений и их наглядные примеры [148].

На заседаниях Московского математического кружка, созданного на базе Московского университета, а также на I и II Всероссийских съездах преподавателей математики 1912 и 1913 г. большое внимание уделялось, в том числе, и вопросам внедрения элементов стохастики в школьное образование [139,115,116]. Со своим докладом «Об учебных особенностях двух направлений математического курса средней школы» и другими докладами о роли стохастики в школьном курсе математики П.А. Некрасов выступал с инициативой введения элементов стохастики в школьный курс математики. По его мнению, школе необходим был учебный план, включающий преподавание основ комбинаторного анализа и статистического метода [90]. Как отмечает С.В. Щербатых, «явными сторонниками и единомышленниками П.А. Некрасова были педагог П.С. Флоров (директор Урюпинского реального училища) и профессор Юрьевского университета, член совета министра народного просвещения В.Г. Алексеев»

[148].

П.С. Флоров совместно с П.А. Некрасовым [91,92] составил программы по теории вероятностей для средней школы, опубликованные в журналах «Математическое образование» за 1914 год (№ 3) и трех номерах «Журнала МНП» за 1915 год (№ 2,3,4). Программа П.С. Флорова отводила на изучение стохастики 6 часов: первые 2 часа - основной курс (теория соединений, понятие вероятности, бином Ньютона, теорема Я. Бернулли, теорема К. Пирсона) а следующие 4 - дополнительные (перемножение вероятностей, задача Гюйгенса, теорема Чебышева, теорема Байеса, свидетельские показания, задача Бюффона, задача о разорении игроков, некоторые приложения понятия математического ожидания, страхование жизни).

Противником проекта П.А. Некрасова и П.С. Флорова являлся профессор Петербургского университета, академик А.А. Марков [74]. Его точку зрения разделяли академики A.M. Ляпунов, В.А. Стеклов, профессор К.А. Поссе. А.А.

Марков критиковал концепцию изложения элементов стохастики, предложенную П.А. Некрасовым, в частности, порядок изучения тем [65]. Но, по прошествии многих лет, идеи П.А. Некрасова, преданные забвению после революции 1917 года, находят отражение в современном школьном образовании, следовательно, они в свое время опередили развитие методико-математической мысли в России.

В 20-х годах ХХ века снова были предприняты попытки введения элементов стохастики в школьный курс математики [65]. Н.К. Крупская в статье «Главное в преподавании математики» в 1937 г. отмечала, что В.И. Ленин настаивал, чтобы преподавание описательной статистики было введено в средних школах [67,69].

Учебник «Элементарная алгебра» А.П. Киселева содержал ряд статистических сведений: в нем вводилось понятие диаграммы, ее основные виды – столбчатая и круговая, а также полигон частот [46].

В 1925 г. для школ II ступени и рабочих факультетов вышла программа, включающая следующие темы стохастики: «Понятие о вероятности явлений.

Сложение и умножение вероятностей. Понятие о «законе больших чисел», его опытная проверка. Элементы математической статистики. Закон случайных ошибок» [148]. В 1926 году издан учебник С.П. Виноградова, содержащий элементы теории вероятностей.

В программах 1947, 1952, 1954, 1956, 1961, 1963 гг. стохастика была представлена только элементами комбинаторики в 10 классах [1,3,52,148].

В 1960-х гг.

в США, Франции, Бельгии, Англии, Венгрии, Японии, Швеции, Швейцарии проводились эксперименты по введению новых программ по математике на основе подхода, предложенного математиками группы Бурбаки:

введение в начале курса теоретико-множественных понятий, затем остальных понятий с опорой на них. Описанному подходу соответствовала серия школьных учебников бельгийского математика и педагога Ж. Папи [52].

В 1962 г. многие американские математики (Л. Альфорс, Р. Курант, Д.

Монтгомери, Д. Пойа и др.), не разделяющие взгляды бурбакистов, подписали меморандум о приоритете генетического подхода над формальным [148].

В СССР, с опозданием на несколько лет, также была проведена реформа школьного математического образования на основе формально-логического подхода. В 1969 году, в результате реформы А.Н. Колмогорова, элементы теории вероятностей были включены в программу классов с углубленным изучением математики и в факультативные курсы [127]. В отличие от вузовского курса теории вероятностей, основанного на аксиоматическом подходе, в структуре школьной программы главным, по мнению А.Н. Колмогорова, должен был стать раздел «Начала комбинаторики и вычисление вероятностей при помощи подсчета числа благоприятствующих случаев» [64]. В 70-е годы появляются отражающие формально-логический подход пробные учебники по «Алгебре и началам анализа», в которых присутствовали элементы стохастики (преимущественно, комбинаторный компонент).

В 1976 году в Карлсруэ (ФРГ) был проведен III Международный конгресс по математическому образованию, который подвел итоги реформы. Были объявлены недостатки подхода и сделан вывод о том, что реформа не полностью оправдала всех возлагавшихся на нее надежд. Многие педагоги высказали мнение о том, что раннее введение структур может привести к односторонности развития мышления школьников. В то же время почти все соглашались с необходимостью раннего введения элементов статистики и экспериментального знакомства с вероятностными понятиями [148].

Подводя итоги реформы А.Н. Колмогорова, Е.А. Бунимович и С.Б.

Суворова в своей статье подчеркивают: «опыт преподавания в школе основ теории вероятностей в период реформы 60-70-х гг. на формально-логическом уровне дал в основном негативные результаты, что привело к изъятию этою раздела из школьной программы. Материал оказался чрезвычайно сложным и плохо усваивался учащимися» [11].

Основной причиной неудач реформы стала, как отмечает В.Д. Селютин, «не только инородность сугубо научного теоретико-множественного подхода в системе школьного математического образования, но и отсутствие взаимосвязи между давно сформировавшимися методиками обучения в средней и высшей школе» [127]. В итоге реформа А.Н. Колмогорова показала, что далеко не всякий хорошо отлаженный в рамках высшей математики подход будет удачным в применении к школьному математическому образованию, что, в свою очередь, предостерегает на современном этапе от непродуманного внедрения нового учебного материала в школьную программу.

В 70-х годах в СССР проводился ряд педагогических исследований, посвященных общим вопросам методики преподавания элементов стохастики в средней школе (Л.М. Кабехова, «Методика построения единого курса начал теории вероятностей и элементов комбинаторики в 9 классе» [44], И.М.

Гайсинская «Некоторые вопросы методики изучения элементов теории вероятностей в школьном курсе математики» [19]; Жура Кудратов «Теория вероятностей и математическая статистика в курсе математики средней школы»

[68] и т.д.), а также исследования, ориентированные на достижение конкретных целей (А.П. Шихова, «Обучение комбинаторике и ее приложениям в средней школе» [145], А.Я. Дограшвили, «Формирование у учащихся умений и навыков решения комбинаторных и вероятностных задач при обучении математике в восьмилетней школе» [31]; В.В. Фирсов «Некоторые проблемы обучения теории вероятностей как прикладной дисциплине» [141] и др.).

В 80-е гг. в СССР прошла образовательная реформа. Элементы стохастики были введены в программы профильных классов - физико-математического и естественнонаучного, а также в факультативный курс изучения математики.

Среди наиболее выдающихся учебных пособий по факультативным курсам комбинаторики и теории вероятностей можно отметить книгу B.C. Лютикаса «Школьнику о теории вероятностей (для учащихся 8-10 классов)» [71], «Избранные вопросы математики (9-10 классы)» и пособие для учителей «Методика факультативных занятий в 9-10 классах (избранные вопросы математики)», авторов И.Л. Никольской и В.В. Фирсова [83]. К недостаткам предложенных методик относится отсутствие в предлагаемом материале статистического компонента.

Еще одна из авторских разработок факультативных курсов по стохастике курс Н.Н. Авдеевой по статистике для 5(6) и 8(9) классов и для 9(10) класса средней школы. Результаты проверочных работ, наблюдения преподавателей и опрос учащихся показали, что «предлагаемый материал был вполне доступен учащимся, вызывал у них большой интерес, показывая конкретное применение математики к решению практических задач науки и техники» [1].

В 1989 г. в США был принят новый стандарт образования по математике. В программы по математике были включены следующие разделы: для 1-4 классов Элементарные основы статистики и вероятностей», для 5-8 классов – «Статистика и вероятность», для 10-11-м классов – «Статистика. Вероятность.

Дискретная математика» [148].

В России в 90-е годы среди исследований, посвященных преподаванию элементов стохастики в школе, следует выделить исследования Л.О. Бычковой и А. Плоцки. Л.О. Бычкова [12] посвятила свою диссертацию выявлению возможностей и путей формирования вероятностно-статистических представлений учащихся как компонента общеобразовательной подготовки, направленного на формирование научного мировоззрения и развития мышления учащихся. В трудах польского математика-методиста А. Плоцки, защитившего диссертацию в России, обучение стохастике рассматривается как «становление и открытие знаний заново», «как математика в стадии созидания»[106,107].

Работы В.В. Фирсова, Б.В. Гнеденко, В.С. Лютикаса, Д.В. Маневича, А.П.

Шиховой, Л.М. Кабеховой, А.Я. Дограшвили и других ученых создали условия для положительного решения вопроса о целесообразности изучения элементов стохастики в школьном курсе математики как полноправной содержательнометодической линии [141,21,71,73145,44,31].

Анализ исторического опыта преподавания стохастики в школе (Приложение 1) позволяет нам выделить его положительные и отрицательные моменты.

К положительным моментам исторического опыта преподавания стохастики в школе можно отнести следующие:

• исследованиями П.А. Некрасова, Б.В. Гнеденко, А. Плоцки и многих других ученых доказана необходимость введения единой стохастической линии в школьную программу;

• формирование стохастического мышления приводит школьников к пониманию вероятностной природы окружающего мира, развивает личность школьника;

• включение вероятностно-статистической линии в школьный курс математики произошло и в странах Европы и США, что способствует интеграции российского образования в международную систему.

Выявлен и ряд отрицательных моментов:

• изучение статистики в отрыве от теории вероятностей, как это происходило на протяжении XIX и первой половины XX веков, является барьером для формирования у учащихся умения принимать решения в ситуации выбора;

• построение курса стохастики на основе теоретико-множественного подхода ведет к чрезмерному усложнению и плохому усвоению материала;

• непродуманное внедрение нового учебного материала в школьную программу приводит к разрушению системы внутрипредметных связей.

§ 2. Психологические и научно-методические основы формирования вероятностно-статистического мышления учащихся 5-6 классов Одной из приоритетных задач математического образования является развитие вероятностно-статистического мышления учащихся. Функционирование личности в современном обществе не представляется возможным без некоторой вероятностно-статистической подготовки. На страницах газет человек сталкивается с информацией, представленной в виде диаграмм, графиков, с такими понятиями, как средние показатели, тенденция увеличения или уменьшения, шансы, прогноз, возможность, корреляция, опрос общественного мнения. От степени понимания этих и других терминов зависит уровень восприятия человеком информации и, впоследствии, сделанные им выводы.

Понятие «вероятностное мышление» в 1945 г. ввел советский психолог, доктор психологических наук Б.М. Теплов. Оно обозначает вид мышления, «в структуру которого входят суждения о степени вероятности ожидаемых событий». [135]. Наряду с указанным понятием, педагоги и психологи употребляют его синонимы «вероятностно-статистическое» и «статистическое»

мышление.

Т.А.

Полякова в своем диссертационном исследовании [108] выделяет следующие компоненты вероятностного мышления:

1. логический, т.к. при решении вероятностных задач у учащихся формируются основные приемы логического мышления, такие как:

сравнение, связанное с выделением в предметах общего и различного;

анализ, связанный с выделением и словесным обозначением в объекте разных свойств и признаков;

обобщение, связанное с отвлечением от несущественных признаков объектов и объединением их на основе общности существенных признаков.

2. комбинаторный, потому что комбинаторные способы рассуждения играют важную роль в общей структуре мышления. Характерной чертой комбинаторного мышления является целенаправленный перебор из ограниченного круга возможностей при поиске решения задачи, способность субъекта определять, рассматривать и учитывать все возможные варианты сочетания каких-либо признаков или событий.

3. вероятностно-статистический (умение учащихся оперировать понятием «вероятность», ориентироваться в ситуациях неопределенности, анализировать информацию статистического характера).

Понятие «комбинаторное мышление» часто используется для обозначения подвида вероятностно-статистического мышления. Но О.С. Медведева в своем диссертационном исследовании, посвященном вопросам формирования комбинаторного мышления в основной школе, высказывает мысль о том, что «более точно было бы говорить не о комбинаторном мышлении как таковом, а о комбинаторном стиле мышления», «как об определенной особенности мыслительной деятельности субъекта». Под комбинаторным стилем мышления О.С. Медведева понимает «направленность мыслительной деятельности субъекта на решение возникающих проблемных ситуаций на основе активного поиска преобразований соответствующих форм исходных и промежуточных объектов исследования» [80].

Значительное место в отечественной и зарубежной педагогике и психологии принадлежит исследованиям, посвященным поиску эффективных путей формирования вероятностно-статистического мышления. Одним из наиболее значительных в этой области является исследование доктора педагогических наук В.Д. Селютина [127]. По мнению В.Д. Селютина, формирование первоначальных вероятностно-статистических представлений (автор называет их статистическими представлениями) лежит в основе формирования вероятностно-статистического мышления.

Автор замечает, что данный вопрос мало изучен отечественными психологами, в основном, он рассматривается в работах методистов (А.А.

Пинского и Л.С. Шурыгиной [102]), а также зарубежных психологов (Ж. Пиаже, Е. Фишбейна, А. Газита и др. [101,150]).

«Представления – это наглядные образы предметов или явлений, возникающие на основе прошлого опыта путем воспроизведения их в памяти или воображении» [117]. А.А. Пинский и Л.С. Шурыгина дают следующее определение вероятностно-статистическим представлениям: это «представления о гибком «вероятностном» мире с нежесткими связями между явлениями и характеризующими их величинами» [102].

Методологической основой вероятностно-статистических представлений, по словам В.Д. Селютина, является философское учение о диалектическом единстве случайного и необходимого. «Необходимость … вытекает из внутренних причинно-следственных связей явления. Случайность – из внешних, побочных связей». [127].

Для успешного усвоения учащимися начальных понятий теории вероятностей и математической статистики необходим запас предварительно накопленных представлений о вероятностной картине окружающего мира. Эти представления назовем, следуя подходу В.Д. Селютина, первоначальными вероятностно-статистическими представлениями (ВСП).

Автор выделяет несколько типов первоначальных ВСП. К первоначальным вероятностно-статистическим представлениям он относит представления о: 1) неоднозначности и изменчивости явлений, случайных, достоверных и возможных событиях; 2) «более возможных», «менее возможных», и «равновозможных»

событиях; 3) статистических совокупностях и вариации признаков; 4) конкретных проявлениях статистической устойчивости в массе случайных явлений; 5) конкретных проявлениях корреляционной зависимости; реализациях 6) конкретных случайных процессов.

На основе исследований Ф.Н. Шемякина, Б.М. Теплова, Е.Н. КабановойМеллер, В.Н. Сергеевичева, В.Д. Селютин делает вывод: представление является промежуточным звеном между восприятием и понятием, а именно - результатом обобщения отдельных восприятий. По словам Ф.Н. Шемякина, «мышление людей является речевым, словесным, а потому переход от ощущения к мысли осуществляется при обязательном участии слова». [144]. Главную особенность представлений составляет, по словам Б.Г. Ананьева, взаимопроникновение наглядного и обобщенного [2].

П.П. Блонский выдвинул идею о дифференциации представлений по происхождению на два вида: индивидуальные и общие. Также он подчеркивал, как меняются роль и характер представлений в различных возрастных категориях учащихся: «если в младших классах в представлении на первый план выступает действие с предметом, в средних классах предмет фигурирует … в сложном контексте разнообразных связей, то в старших классах на первый план выступает уже не сам предмет, а те отношения, в которых он существует» [5].

Как осуществляется процесс формирования первоначальных статистических представлений? Является ли он стихийным процессом или результатом специально организованного обучения? Попытка найти ответы на эти вопросы сделана в исследованиях Л.О. Бычковой, В.Д. Селютина, В.А.

Болотюка, М.В. Ткачевой, О.С. Медведевой, Л.В. Евдокимовой и других отечественных методистов и психологов.

Л.О. Бычкова, Л.В. Евдокимова, В.Д. Селютин, Т.А. Полякова и В.А.

Болотюк в своих исследованиях анализируют взгляды основоположников различных психологических концепций на проблему соотношения обучения и развития.

Основоположник отечественной психологии Л.С. Выготский отводил ведущую роль в обучении развитию: «его подход нацеливает ребенка не на усвоение тех или иных понятий, а на активное «подтягивание» его уровня мышления с помощью специально построенного обучения системе научных понятий» [18]. Но данная стратегия не всегда приводила к успеху, в ряде случаев усвоение понятий происходило формально. Развитием идей Выготского и вопросами решения данной проблемы занимались его последователи: А.Н.

Леонтьев, Д.Б. Эльконин, П.Я. Гальперин и другие ученые. По П.Я.

Гальперину [20], процесс превращения практических действий с предметами в умственные действия с понятиями проходит через следующие этапы:

1. этап формирования ориентировочной основы действия;

2. этап выполнения действия во внешней, развернутой форме, с реальными предметами;

3. этап выполнения действия в плане громкой речи;

4. этап выполнения действия в плане речи про себя;

5. этап выполнения действия во внутренней речи.

В свою очередь, известный швейцарский психолог Ж. Пиаже, не поддерживая точку зрения Л.С. Выготского, придерживался мнения о том, что главное значение имеет собственная активность ребенка. Он утверждал, что «роль развивающего обучения состоит лишь в активизации функционирования познавательных структур, которыми ребенок уже владеет, и в создании построенных с помощью специальных задач конфликтов между уже сформированными ребенка и результатами его экспериментирования» [101].

Опираясь в своем исследовании на мнения известных психологов, В.Д.

Селютин выдвигает тезис о том, что формирование представлений происходит не стихийно, а только в процессе некоторой деятельности: «опыт непосредственного оперирования предметами в различных сферах деятельности, чувственное отражение существующих между ними зависимостей является основой формирования представлений» [127]. Первоначальные ВСП формируются на основе житейских, бессистемных представлениях школьников о случайностях.

Специальным образом организованное обучение вероятностно-статистическому материалу призвано обобщить и систематизировать уже имеющиеся у учащихся интуитивные отрывочные представления. Л.О. Бычкова также считает, что обучение необходимо строить с учетом законов развития статистического мышления и вероятностной интуиции личности [12].

Данную точку зрения поддерживает и В.А. Болотюк. В своем диссертационном исследовании он подчеркивает, что формирование вероятностно-статистических представлений, адекватных особенностям объективной действительности, происходит не стихийно в повседневной жизни, а является результатом целенаправленного обучения, основу которого образуют психологические концепции научения [6].

В.А. Болотюк рассматривает четыре основные концепции:

1. ассоциативная (Я.А. Коменский, И. Гербарт);

2. условнорефлекторная (Ж.-Ж. Руссо, Д. Дьюи);

3. знаковая (Л.С. Выготский, Н.А. Менчинская, Е.Н. Кабанова-Меллер и др.);

4. операциональная (Л.С. Выготский, А.Н. Леонтьев, П.Я. Гальперин, Н.Ф. Талызина).

В.А. Болотюк делает вывод о том, что из четырех рассмотренных концепций в качестве основы для обучения вероятностно-статистическому материалу более всего подходит операциональная, «которой соответствует организация обучения в соответствии с этапами концепции поэтапного формирования умственных действий, выдвинутой П.Я. Гальпериным и связанной с образованием у человека новых действий, образов и понятий» [6].

Л.В. Евдокимова считает, что, несмотря на недооценку возможностей обучения, с целью построения процесса обучения, направленного на формирование вероятностно-статистического мышления, теорию Ж. Пиаже, тем не менее, целесообразно рассматривать в двух аспектах. «Во-первых, с точки зрения анализа логического содержания и характеристики стадий интеллектуального развития, образующих «предысторию» комбинаторных структур», во-вторых, с точки зрения «описания логической структуры комбинаторных операций и соответствующих экспериментальнодиагностических заданий» [36].

Особый интерес при изучении вопросов формирования вероятностностатистического мышления у детей представляет созданная Ж. Пиаже и Б.

Инельдер теория формально-операциональных структур [101].

Ж. Пиаже выделил 4 основные стадии умственного развития:

стадия сенсомоторного интеллекта (0-2 года);

дооперациональная стадия (2-7 лет);

стадия конкретных операций (8-11 лет);

стадия формальных операций (после 11 лет).

Достигнутые на предыдущей стадии возможности становятся при этом составной частью возможностей на следующей стадии.

Согласно Ж. Пиаже, комбинаторика является основой любого логически правильного рассуждения. Комбинаторные операции он относит к «классификации классификаций», мышлению второго порядка. Мышление первого порядка выявляет и исследует связи между объектами, в то время как мышление второго порядка включает в себя мысли о мыслях, поиск связей между отношениями и маневрирование между реальностью и возможностью.

В.А. Болотюк, как и В.Д. Селютин, ссылается на исследования Ж.Пиаже, посвященные поиску наиболее сенситивного периода в обучении школьников вероятностно-статистическому материалу.

Один из циклов экспериментов Ж. Пиаже был направлен на изучение эволюции комбинаторных представлений у детей различного возраста.

Полученные результаты позволили сделать вывод о том, что:

на дооперациональной стадии развития мышления дети могли только установить между элементами несколько случайных ассоциаций;

на конкретно-операциональной стадии могли составить лишь отдельные комбинации из общего их числа;

на формально-операциональной стадии делали предположение о наборе возможных комбинаций и затем планомерно проверяли свой результат, тем самым демонстрируя комбинаторные способности.

Другой цикл исследований Ж. Пиаже посвятил этапам формирования у детей начальных представлений о вероятности.

В ходе экспериментов были выявлены следующие результаты, аналогичные выводам о формировании комбинаторных способностей:

на дооперациональной стадии у детей возникали трудности с разделением возможных и достоверных событий; «ребенок не может понять необратимость, внутренне свойственную случайным событиям, и поэтому воспринимает чудеса в порядке вещей»;

на конкретно-операциональной стадии дети открывали для себя случайные события в наивной форме, как непредсказуемые; это открытие обусловлено «вступлением в действие конкретных операций, связанных с установлением отношений, освоением натуральных чисел, а также с причинными и пространственно-временными отношениями» [101];

на формально-операциональной стадии подросток приобретали возможность выразить с помощью чисел степень уверенности в наступлении того или иного события.

О.С. Медведева отмечает, что теория формально-операциональных структур Ж. Пиаже тесно перекликается с теорией межполушарной асимметрии мозга, являющейся, в свою очередь, «физиологической основой концепции Д.Б.

Эльконина и В.В. Давыдова о переходе эмпирического мышления к теоретическому в процессе развития» [80,149].

В наиболее общем виде различие между «левополушарным»

«правополушарным» компонентами мышления сводится к противоположному способу организации контекстуальной связи между знаками-словами или образами. «С помощью «левополушарной» стратегии … создается всеми однозначно понимаемый контекст, из связей между предметами и явлениями отбираются строго определенные и внутренне непротиворечивые, создавая простую в использовании модель реальности.

Стратегия правого полушария состоит в формировании многозначного контекста, что достигается взаимодействием всех имеющихся образов и элементов реальности одновременно во многих смысловых плоскостях» [80].

О.С. Медведева ссылается на исследования Д.А. Фарбер и других психологов в области развития мышления детей, которые показывают, что в возрасте с 3 до 7 лет в ситуации как непроизвольного, так и произвольного внимания активизируется преимущественно правое полушарие, и только начиная с 10-летнего возраста – левое. Результаты психологических и физиологических исследований, считает О.С. Медведева, указывают на важность осуществления целенаправленной деятельности учителей на развитие комбинаторного стиля мышления учащихся именно в возрасте 8-12 лет.

Поэтому, по мнению О.С. Медведевой, формирование комбинаторного стиля мышления в возрасте 8-12 лет способствует, с одной стороны, развитию у детей образного мышления в результате решения соответствующим образом подобранных задач, и, с другой стороны, «является как бы одним из «мостиков», по которому можно осуществить переход от эмпирического мышления к теоретическому» Комбинаторный стиль мышления характеризуется [80].

следующими особенностями:

1. Организацией систематического перебора определенным образом ограниченного круга возможностей;

2. Сменой внутреннего плана действий (ВПД) в процессе решения задачи и поиска ее решения;

3. Универсальностью - независимостью от конкретного математического материала.

Именно универсальность комбинаторного стиля мышления О.С.

Медведева считает главной причиной необходимости его формирования у учащихся:

«комбинаторный стиль мышления в наименьшей степени зависит от конкретного изучаемого материала и в равной степени свойственен как учебной, так и производственной деятельности» [80].

Таким образом, можно сделать вывод о том, что формирование вероятностно-статистических представлений в курсе математики основной школы представляет собой процесс поэтапного обучения учащихся комбинаторному, вероятностному и статистическому содержанию на уровне, соответствующем их возрастным особенностям.

§ 3. Этапы и содержательные особенности формирования первоначальных вероятностно-статистических представлений Серия экспериментов, проведенных Женевской психологической школой под руководством Ж. Пиаже [101], и исследования в области межполушарной асимметрии мозга показали, что формировать первые интуитивные представления у детей следует начинать уже в начальной школе, а наиболее благоприятным для начала оперирования комбинаторными и вероятностными понятиями является возраст 10-13 лет, что примерно соответствует 5-7 классам российской школы.

В то же время, подчеркивает Л.В. Евдокимова, вне специально организованного обучения комбинаторные операции «сохраняют все ограничения, свойственные житейским представлениям» [37].

В статье известного педагога и методиста Е.А. Бунимовича [9] рассказывается об экспериментах, проведенных автором на базе московской гимназии №710, ярославской гимназии №20 и калужской гимназии №2. В них исследовались вероятностные представления школьников старших профильных классов, которые еще не изучали вероятностный раздел. Результаты исследования показали, что даже хорошее знание и понимание других разделов математики само по себе не обеспечивает развития вероятностного мышления.

Также опыт автора показал, что в возрасте начальных классов еще многое в представлениях ученика о мире недостаточно сформировано, не хватает и математического аппарата для объяснения представлений о вероятности. В то же время основы описательной статистики, таблицы и столбчатые диаграммы, а также основы комбинаторики возможно и даже необходимо вводить в курс начальной школы. Е.А. Бунимович приходит к выводу, что начинать изложение основ теории вероятности в старших классах – малоэффективно.

Теория, разработанная Ж. Пиаже, не дает ответа на вопрос о механизмах перехода учащихся с предыдущей на последующую стадию развития мышления и роли обучения в организации этого процесса.

В связи с этим возникает вопрос о поиске путей построения эффективной методики формирования вероятностно-статистических представлений на различных этапах школьного математического образования.

В.Д. Селютин делает предположение о том, что процесс формирования вероятностно-статистических представлений можно осуществлять на основе общих закономерностей формирований представлений.

Человек получает представления о случайностях, встречаясь с конкретными их проявлениями. Наблюдаемые явления состоят из отдельных фактов. «Эти множества однородных единиц с варьирующими признаками составляют так называемые статистические совокупности … Изучение конкретных статистических совокупностей помогает выявлению связей между явлениями действительности». [125].

При рассмотрении значительного числа случайных явлений наблюдаются определенные закономерности, называемые статистическими. В их основе лежат сложные взаимодействия причин, как вытекающих из сущности явлений, так и обусловленных случайным стечением обстоятельств. Таким образом, действует известный закон больших чисел: «совокупное действие случайных факторов приводит, при некоторых весьма общих условиях, к результату, почти не зависящему от случая». [127].

Важность наглядной демонстрации учащимся действия закона больших чисел подчеркивали многие отечественные педагоги и методисты. Л.О. Бычкова считает формирование представлений о статистической устойчивости одним из важнейших компонентов статистического стиля мышления: «центральное место занимают … представления, связанные с различными экспериментальными

–  –  –

первоначальных ВСП, третий - с изучением начал теории вероятностей и математической статистики [127].

Основным условием эффективности первого и второго этапов формирования ВСП и В.А. Болотюк, и В.Д. Селютин считают реализацию обучения элементам теории вероятностей и статистики в рамках теории поэтапного формирования умственных действий П.Я. Гальперина.

В.А. Болотюк отмечает, что в 7-8 классах в психическом развитии учащихся происходят положительные изменения в умении обобщать. Вследствие этого, в этом возрасте целесообразно начинать второй этап формирования вероятностно статистических представлений, «организуя деятельность учащихся по сравнению, классификации, обобщению и моделированию конкретных фактов и ситуаций», с которыми учащиеся познакомились на первом этапе.

Ж.Пиаже и Е.Фишбейн [101,150] утверждали, что мышление в своем развитии проходит ряд этапов: наглядно-действенное, наглядно-образное, словесно-логическое. В.А. Болотюк считает, что во время изучения любой области знаний «мышление человека последовательно проходит эти этапы развития заново, а пропуск этапов в формировании действий, адекватных соответствующему содержанию, дает негативные последствия» [6]. В связи с этим В.А. Болотюк разделяет точку зрения Д.В. Маневича о том, что послужило причиной неудач обучения вероятностно-статистическому материалу на абстрактно-формальном уровне: «мышление в области вероятностностатистических представлений у старшеклассников находится, в лучшем случае, на уровне наглядно-действенного», в то время как «формальные курсы ориентированы на словесно-логическое мышление» [73].

По мнению В.А. Болотюка, такая ситуация сложилась вследствие недостаточного подготовительного обучения данному материалу в основной школе [6]. Т.А. Полякова поддерживает это мнение и считает, что, «использование элементов стохастики в процессе обучения математике оказывает непосредственное влияние на формирование, развитие и совершенствование всех трех видов мышления у учащихся» [108]. Г.С. Оразымбетова [95] в статье «Некоторые пути развития вероятностно-статистического мышления»

перечисляет элементы стохастической культуры, способствующие формированию:

наглядно-образного мышления (умение использовать при решении стохастических задач таблицы, графы и стохастическое дерево, требуется умение анализировать и интерпретировать данные, представленные в виде диаграммы);

наглядно-действенного мышления (умение решать прикладные стохастические задачи, проводить эксперименты с помощью реальных предметов, сравнение объектов в ходе эксперимента);

словесно-логического мышления (понимание смысла слов «и», «или», «все», «каждый», «некоторые»; умения выдвигать гипотезы и делать выводы; нахождение вероятности в разных ситуациях связанных с реальной жизнью; знакомство с основными видами событий).

Еще одним актуальным вопросом является вопрос отбора содержания обучения, направленного на формирование первоначальных ВСП.

Л.О.

Бычкова выделяет 3 аспекта вероятностно-статистического образования, которые необходимо учитывать при отборе содержания и планировании учебного процесса:

1. Знания и умения, помогающие ученику воспринимать и анализировать числовые данные, с которыми он встречается в средствах массовой информации и в литературе, дающие возможность делать выводы и принимать решения в конкретных ситуациях повседневной жизни.

2. Система вероятностно-статистических знаний и умений для изучения других предметов школьного курса, для продолжения образования и для использования их в своей будущей работе.

3. Средство развития личности, создающее благоприятные условия для формирования статистического мышления, развития вероятностной интуиции, овладения методологией современной науки [12].

В.Д. Селютин в своем исследовании раскрывает содержательные основы формирования ВСП на всех трех этапах, на протяжении всего школьного обучения математике. На первом этапе наблюдения конкретных случайных явлений могут сопровождаться простейшими вычислениями, использованием арифметических операций над натуральными числами. Следовательно, «содержательной основой формирования статистических представлений школьников на этапе знакомства с простейшими стохастическими ситуациями является арифметика натуральных чисел» [125].

Содержание второго этапа - этапа накопления систематизированных представлений о явлениях стохастической природы - составляют элементы наглядной и описательной статистики. Наглядная статистика - это «совокупность приемов наблюдений и анализа структуры, взаимосвязей и тенденций развития статистических совокупностей и случайных явлений с помощью графических изображений статистических сведений. Под описательной статистикой понимаются первичные способы обработки статистических данных, заключающиеся в систематизации результатов наблюдений и анализе их с помощью таблиц и некоторых обобщающих характеристик» [127].

В.А. Болотюк и В.Д. Селютин подробно рассматривают средства, позволяющие оптимизировать процесс обучения стохастическому материалу.

Под средствами обучения В.А. Болотюк понимает «совокупность объектов любой природы, для которой характерно, что каждый из них: 1) представляет, полностью или частично заменяет изучаемый факт, понятие; 2) дает новую информацию об изучаемом понятии» [6].

В качестве главного средства формирования ВСП в обучении математике В.А. Болотюк выдвигает разработанную им разноуровневую систему сюжетнопрактических задач.

В качестве вспомогательных средств оптимизации процесса обучения ВСП В.А.

Болотюк на основе общей классификации средств обучения выделяет следующие специальные средства:

приборы и модели (фишки, карточки, таблицы случайных чисел, генераторы случайного, графы, блок-схемы);

печатные средства (учебники, учебные и справочные пособия);

экранные средства (диапозитивы, кинофильмы);

контрольно-обучающие устройства и ТСО (компьютеры, калькуляторы, педагогические программные средства).

В.Д. Селютин в своем исследовании уделяет большое внимание организационным средствам формирования ВСП.

Как и В.А. Болотюк, исходя из основных положений теории поэтапного формирования умственных действий, В.Д. Селютин считает необходимым «включить в процесс формирования первоначальных ВСП предметные действия детей с разными объектами, которые обеспечивают чувственную основу познания мира случайностей» [129] С целью определить характер указанных предметных действий, В.Д.

Селютин анализирует исторические аспекты становления теории вероятностей как науки и отмечает, что начальный ее период был связан с попыткой создания теории азартных игр.

Рассматривая не только негативные, но и позитивные черты азартных игр (наглядное отражение случайных явлений и возможность их массового наблюдения), автор приходит к выводу о возможности использования в обучении школьников их «положительных» альтернатив - статистических экспериментов, стохастических игр с подходящим сюжетом и других организационных средств.

Большой интерес в области методики преподавания вероятностностатистического материала представляет классификация В.Д. Селютина организационных средств формирования первоначальных ВСП. Рассмотрим кратко основные средства: 1) Стохастические игры; 2) Статистические эксперименты; 3) Статистические исследования; 4) Мысленный статистический эксперимент; 5) Моделирование (имитация).

Стохастическими автор называет те игры, в которых возможно наблюдение явного, отчетливого проявления фактов стохастической природы [129].

Автор объясняет механизм формирования ВСП во время стохастической игры следующим образом: «в процессе игры лучше всего устанавливается и поддерживается непроизвольное внимание детей к проявлению случайностей … Предметные действия с различными объектами, вызывающие случайные исходы, обеспечивают чувственную основу для знакомства с новыми явлениями»

[127]. Дети с интересом определяют шансы в появлении случайных исходов в соответствии с правилами той или иной стохастической игры и делают вывод о том, справедлива игра или нет.

Стохастические игры больше заинтересуют дошкольников и младших школьников, а в подростковом возрасте они переходят в статистические эксперименты. Статистический эксперимент, по определению В.Д. Селютина, это чувственно-предметная деятельность, направленная на изучение искусственно вызываемых случайных явлений при соблюдении определенного комплекса условий. Наблюдение подбрасывания кубика – стохастическая игра, а подбрасывание кубика с целью дальнейшей записи результатов для их обобщения

- уже статистический эксперимент.

Таким образом, стохастические игры служат организационным средством формирования первоначальных ВСП в основном, на первом этапе, а статистические эксперименты – на втором и третьем.

Работа по формированию первоначальных ВСП не должна ограничиваться только проведением игр и экспериментов, считает В.Д. Селютин, так как в реальности часто имеют место случайные явления, не зависящие от наших действий, возникающие под влиянием большого числа неочевидных для детей факторов. Поэтому одним из важных средств формирования ВСП являются статистические исследования – «изучение явлений из окружающей школьников действительности посредством сбора статистической информации и простейшей ее математической обработки, позволяющей сделать выводы об этих явлениях».

[125].

На необходимость организации целенаправленного наблюдения школьников 5-6 классов за массовыми явлениями окружающей действительности указывает и М.В. Ткачева: «желательно обучать детей 5-6 классов самостоятельному целенаправленному сбору информации о явлениях окружающей их жизни, подсчету данных в небольших (объемом до 30 единиц) выборках, систематизации этих данных по различным признакам» [137]. М.В. Ткачева обращает внимание на то, что организованное наблюдение учащимися неравномерных распределений величин в различных явлениях природы и техники способствует формированию умения распознавать величины, имеющие нормальное распределение.

Не всегда существует возможность проводить в процессе обучения школьников статистические эксперименты с большим числом испытаний и проиллюстрировать тем самым действие закона больших чисел в конкретных ситуациях. Решением данной проблемы может стать проведение мысленного статистического эксперимента: например, разделив класс на группы, провести эксперимент каждой группе, а затем объединить результаты всех учащихся.

Мысленный статистический эксперимент - это «построение мысленной схемы с целью определения возможного "поведения" числовых показателей или наглядных образов результатов наблюдений при сколь угодно большом их числе»

[125].

Мысленный статистический эксперимент моделирует реальный, и, в отличие от него, является ступенью абстрактного мышления, «позволяя перейти от эмпирических понятий статистики к пониманию вероятностных категорий».

О.С. Медведева считает, что планирование (мысленное [127].

экспериментирование) выступает как условие анализа, который связан с мысленным изменением условий задач для выделения существенных отношений, и как условие рефлексии, которая характеризуется интенсивной умственной работой. «Уровень развития планирования проявляется в возможности ученика заранее представить … то, что нельзя наблюдать и непосредственно воспринимать» [80].

При проведении статистических исследований некоторых явлений учащиеся могут столкнуться с ситуацией, когда вероятностная основа явления замаскирована. Данную проблему можно решить с помощью моделирования – замены исследуемого явления другим явлением, имеющим ярко выраженную вероятностную природу.

Л.О.

Бычкова, также рассматривая моделирование как средство обучения школьников вероятностно-статистическому материалу, отмечает:

«анализируемая ситуация может быть взята из повседневной жизни, различных отраслей науки, организации работы транспорта, из сферы обслуживания, страхования, работы социологических служб. Она должна быть доступной для учащихся определенного возраста и быть достаточной с точки зрения математического аппарата, который используется для решения связанной с ней внутримодельной задачи» [12].

Подводя итоги, можно отметить, что, процесс формирования первоначальных вероятностно-статистических представлений имеет следующие особенности:

1) Формирование ВСП происходит главным образом, в процессе решения совокупности сюжетно-практических задач с вероятностно-статистическим содержанием и проходит три этапа, среди которых основным является первый, закладывающий в сознание учащихся эмпирическую базу для последующего изучения материала на более высоком уровне;

2) Критерием сформированности первоначальных ВСП можно считать достижение определенного уровня умений и навыков, связанных с усвоением элементов наглядной и описательной статистики и основных вероятностных понятий, а также умения формулировать правильные выводы об изучаемом явлении стохастической природы и принимать решения на их основе.

§ 4. Сравнительный анализ изложения стохастического материала в современных учебниках по математике для 5-6 классов, реализующих ФГОС основного общего образования Для выявления содержательных особенностей изложения стохастического материала в современном курсе математики 5-6 классов нами были проанализированы основные действующие учебники, рекомендованные Министерством образования и науки РФ, реализующие стандарты второго поколения.

Е.А. Бунимович, Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова и др., «Математика. 5 класс», 2014 г.

К достоинствам учебника [77] можно отнести лаконичность и жесткую структурированность текста, фиксированный в тематических разворотах формат, разнообразный иллюстративный ряд, высокую степень наглядности. Во многих заданиях от учащихся требуется проводить анализ информации, наблюдение и эксперимент, конструирование алгоритмов, поиск закономерностей, исследование.

Отметим, что все эти действия активно способствуют формированию УУД у учащихся 5-6 классов.

В параграфе 8 «Комбинаторные задачи», включенном во вторую главу «Натуральные числа», рассматриваются задачи на размещения из 3-х элементов по 2 (составление чисел), сочетания из 4-х элементов по 2 (отрезки на прямой), перестановки из 3-х элементов (расписание уроков). Они решаются сначала методом упорядоченного перебора (с помощью кодирования), затем дается способ решения задачи на составление чисел с помощью построения дерева вариантов. Несомненно, удачной является подборка разнообразных практических задач и развернутая запись решения.

Задания для самостоятельного решения в параграфе 8 разбиты на 4 группы по общности математической модели: «задачи, похожие на задачу о цифровых кодах», «задачи, похожие на задачу о расписании», «задачи, похожие на задачу об отрезках на прямой», и «решение задач с помощью дерева возможных вариантов». Первые три группы соответствуют, в неявном виде, типам задач на размещения, перестановки и сочетания. Четвертый тип задач представляют собой задачи на правило умножения (№ 119-121), но решать их также предлагается методом построения дерева, что, как показывает практика работы учителей, значительно увеличивает время решения таких задач и снижает мотивацию многих учащихся к изучению стохастики. Например, задачу «имеются ручки 4-х цветов: красные, синие, зеленые, черные – и два вида записных книжек. Сколько различных наборов из ручки и записной книжки можно составить из этих предметов», на наш взгляд, было бы рациональнее решить с помощью правила умножения. Отсутствуют задачи с ограничениями в условии, которые решаются только методом построения дерева или перебором.

В разделе «подведем итоги» (в окончании главы 2, стр. 43) приводятся задачи первых двух видов – перестановки и сочетания - и более сложная задача с ограничением в условии: «Сколько существует двузначных чисел, у которых первая цифра больше второй?».

Особенностью учебника является попытка классифицировать [77] комбинаторные задачи по общности математической модели - «задача, похожая на задачу N» - в неявном виде распределяет задачи на 4 группы: перестановки, размещения, сочетания и правило умножения. Но при этом «похожей», является отнюдь не формулировка задачи, как можно было бы подумать, а способ решения.

Формальный «уход от терминов» является, на наш взгляд, недостатком изложения комбинаторной линии данного учебника. Таким образом, при необходимости самостоятельно определить тип задачи, если аналогичная задача взята не из данного учебника и ее не сопровождает комментарий о том, что она «похожа на задачу N», у учащихся могут возникнуть трудности. На наш взгляд, подобные комментарии возможно заменить на названия соответствующих основных видов комбинаторных соединений, для систематизации опыта учащихся по решению комбинаторных задач параграфа. Это способствовало бы, с нашей точки зрения, более эффективному обучению учащихся поиску решения комбинаторных задач на этапе изучения бесформульной комбинаторики.

Глава 11 «Таблицы и диаграммы» состоит из трех параграфов: «Чтение и составление таблиц», «Диаграммы», «Опрос общественного мнения».

Достоинством данного учебника является также наличие различных типов задач с современным, близким и понятным для учащихся содержанием. В параграфе 43 «Чтение и составление таблиц» представлены задания следующих типов: чтение таблиц, интерпретация данных таблицы, ответы на вопросы по таблице, заполнение таблицы в процессе проведения опроса, запись промежуточных результатов подсчета с помощью отдельной колонки и специальных обозначений, заполнение таблицы по определенному правилу (турнирная таблица).

В параграфе 44 «Диаграммы» вводится понятие диаграммы и дается описание построения столбчатых и линейных диаграмм. Рассматриваются 3 задачи следующих типов: чтение, интерпретация столбчатых и линейных диаграмм, ответы на вопросы по диаграмме, построение диаграммы по готовой таблице с подробными указаниями к его выполнению.

В параграфе 45 «Опрос общественного мнения» рассматривается практическая ситуация, в которой требуется провести в классе опрос мнений, рассказывается о том, как без составления таблицы промежуточных результатов, фиксировать данные в таблице с помощью специальных обозначений: / (один) и (пять). Представлены задания следующих типов: заполнение таблицы и //// построение столбчатой диаграммы по ней, проведение опроса и заполнение таблицы по его итогам, интерпретация данных таблицы, ответы на вопросы по таблице, построение столбчатой диаграммы по готовой таблице результатов опроса, комплексное задание (выбор темы опроса, проведение опроса и самостоятельное составление итоговой таблицы).

С нашей точки зрения, в учебнике [77] недостаточно реализуются внутрипредметные и связи курса математики. В 4-10 главах учебника стохастический материал не представлен. Материал главы 11 рассчитан на изучение в конце учебного года, что затрудняет связь с традиционными темами курса математики 5-6 классов. Достоинством изложения стохастической линии учебника является наличие заданий, содержащих статистические исследования.

Но вероятностный компонент, в том числе, экспериментирование, в рассматриваемом учебнике полностью отсутствует.

Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева и др., «Математика. 6 класс», 2014 г.

В учебнике [78] стохастическая линия реализована в параграфе 5 и в последнем параграфе 50.

Параграф 5 «Столбчатые и круговые диаграммы» осуществляет повторение и углубление темы «Таблицы и диаграммы» 5 класса - материал о столбчатых диаграммах. Формированию начальных стохастических представлений способствует повсеместное применение жизненных примеров. В задания для самостоятельного решения входят 4 упражнения на чтение и интерпретацию столбчатых и круговых диаграмм. На построение круговых и столбчатых диаграмм выделяется всего задачи. Но ни в объяснительном тексте, ни в самих заданиях способ построения круговой диаграммы не приводится.

Первая из задач параграфа 50 «Комбинаторные задачи», включенных в объяснительный текст, относится к задачам на перестановки, вторая – на сочетания, третья – на нахождение числа всех подмножеств данного множества.

Указанные понятия при этом не вводятся, авторы раскрывают математическую структуру задач с помощью описания их на языке теории множеств.

В учебнике [78], как и в учебнике [77], комбинаторные задания для самостоятельной работы разделены по общности математической модели на группы «задача, похожая на задачу N из учебника».

В методических рекомендациях к учебнику авторы предлагают решить задачу о рукопожатиях сначала с помощью дерева, обратив внимание учащихся на то, что оно получится симметричным и его легко представить себе по отдельному фрагменту:

«Подсчитав число решений для выделенного фрагмента, нетрудно с помощью умножения определить число всех возможных вариантов решения». Термин «правило умножения» здесь не вводится, и какое-либо формальное правило действия не предлагается. Учащиеся остаются на уровне содержательного подхода». Авторы считают этот прием решения более предпочтительным в 6 классе, но на наш взгляд, значительно более целесообразным и интересным для учащихся является быстрое решение аналогичных задач с помощью правила умножения (найти число пар элементов и затем разделить на 2).

Недостатком изложения стохастической материала в учебнике [78], как и в учебнике [77], является то, что в последних изданиях этих учебников, в отличие от предыдущих изданий учебников под ред. Г.В. Дорофеева, полностью отсутствует вероятностный компонент стохастической линии.

–  –  –

В учебнике [40] последняя глава «введение в вероятность» содержит 2 параграфа. В первом из них рассматриваются виды событий, даются задачи на определение характера события (достоверное, невозможное или случайное). Во втором параграфе рассматриваются комбинаторные задачи, решаемые методом перебора возможных вариантов. Представлены задания следующих типов (5 класс): определение вида события; решение задач на правило умножения, перестановки, сочетания, размещения, решать их предлагается с помощью построения дерева вариантов.

Правило умножения вводится в 6 классе, но авторы в методическом пособии к учебнику указывают на возможность его самостоятельного открытия учащимися при возникновении проблемной ситуации:

как определить число всех возможных способов, не строя громоздкое дерево вариантов?

В 6 классе вероятностно-статистическая линия представлена в четырех параграфах учебника [42]. В § 16 главы 1 предлагается способ решения некоторых комбинаторных задач по правилу умножения. Правило не формулируется в явном виде, а рассматривается на конкретных примерах и иллюстрируется с помощью дерева вариантов. С нашей точки зрения, целесообразно было бы сделать пояснение, что в таком случае дерево должно быть симметричным, иначе правило умножения не применяется. В 5 классе о том, что не всегда при решении комбинаторных задач дерево вариантов должно получиться симметричным, не упоминается, в 6 классе не приводятся примеры задач, которые решаются методом построения дерева вариантов, но в которых при этом правило умножения использовать нельзя. На наш взгляд, объяснительный текст и задачный материал учебников можно было бы дополнить такими комбинаторными задачами с дополнительными ограничениями для предупреждения у учащихся формального подхода к построению дерева вариантов и применению правила умножения.

Одним из несомненных достоинств учебника [42] является изложение темы «диаграммы». В § 34 диаграммы представлены как один из видов математической модели.

Учащиеся знакомятся с различными видами диаграмм:

столбчатыми, круговыми, линейными, конусными, графическими, накопительными. Представлены задания следующих типов: решение задач на правило умножения, перестановки, сочетания, размещения по правилу умножения;

чтение диаграмм, ответы на вопросы; построение круговых и столбчатых диаграмм по готовым таблицам.

Авторы подробно описывают способ построения диаграммы на компьютере. Но, с нашей точки зрения, возможно, следовало бы добавить описание построения круговой диаграммы вручную и включить разноплановые задачи, связанные с этим типом диаграмм, а также построение диаграмм на основе проведенных самими учащимися опросов или экспериментов.

В § 38 идет повторение классификации видов событий. Представлены задания следующих типов: определение вида события; расположение событий по степени возможности их наступления. Упражнения на определение степени вероятности того или иного события учащиеся должны выполнять с опорой на интуицию. В следующем параграфе, рассматривая конкретные примеры, авторы постепенно подводят учащихся к формулировке классической вероятностной схемы. В методическом пособии к учебнику авторы рекомендуют начинать решение задач на подсчет вероятности по классической схеме с вопросов: 1) Какие имеются варианты (возможности) исходов того или иного события? 2) Являются ли эти исходы равновероятными? 3) Сколько существует равновероятных возможностей? 4) Сколько из них благоприятных?

Вводятся обозначения для вероятностей событий. Предлагается ряд задач, в которых для вычисления вероятности используют комбинаторное правило умножения. С нашей точки зрения, задачный материал учебника целесообразно дополнить заданиями на подсчет количества всех исходов опыта, предшествующими задачам на подсчет вероятности событий, а также задачами на проведение статистического эксперимента, исследования, вычисление частоты события в серии одинаковых случайных опытов.

С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин, «Математика. 5 класс», «Математика. 6 класс», 2013 г.

Рассматриваемые учебники относятся к серии «МГУ - школе». Как следует из методического пособия к данным учебникам, авторы придерживаются принципа фундаментальности изложения теории, «оставляя за учителем право более или менее глубокого изложения теоретического материала на уроке в зависимости от уровня подготовки класса и целей обучения» [109,110]. Материал излагается глубоко, равномерно и лаконично, что, по мнению авторов, в условиях уменьшения числа учебных часов способствует интенсификации процесса обучения.

В учебниках [75], [76] стохастическая линия наиболее полно реализована только в 6 классе, в 5 классе в учебнике встречаются лишь отдельные комбинаторные задачи. Изложение стохастического материала начинается с пункта 1.8. «Круговые диаграммы» главы 1, в котором подробно, с помощью нескольких примеров, описывается способ построения круговой диаграммы в тетради.

В пункте 1 «Задачи на перебор всех возможных вариантов» дополнения к 1-й главе рассматриваются задачи на перестановки, сочетания, размещения, решаемые систематическим перебором, сами понятия не вводятся. Пункт завершается комбинаторными задачами исследовательского характера с повышенным уровнем сложности, разбор которых, по мнению авторов [109], требуется для подготовки к решению задач на вычисление вероятностей случайных событий. Представлены задания следующих типов: чтение круговых диаграмм; построение круговой диаграммы по готовым данным; построение круговой диаграммы по результатам наблюдений; решение задач на перестановки, сочетания, размещения методом перебора и по правилу умножения (правило при этом не формулируется, используется в неявном виде).

Пункт 2 «Вероятность события» дополнения к 1-й главе вводит понятия случайного события, без предварительного рассмотрения примеров учащимся сообщается классическое определение вероятности. Далее вводятся определения достоверного и невозможного событий и приводятся примеры вычисления вероятностей по классической схеме без предварительных упражнений на подсчет числа всех исходов опыта. При рассмотрении одного из примеров ставится вопрос о справедливости/несправедливости игры.

Столбчатые диаграммы, графики изменения величины и графики движения вводятся на конкретных примерах в пункте 5.10, после темы «Декартова система координат на плоскости». Предлагаются задания следующих типов: чтение столбчатых диаграмм; чтение графиков; построение столбчатых диаграмм по готовым таблицам; построение графиков по готовым таблицам.

В связи с требованиями ФГОС ООО авторы выделили ряд заданий учебника в отдельные рубрики: «исследуем», «ищем информацию» и др. На наш взгляд, к недостаткам изложения стохастической линии, кроме неравномерного распределения элементов стохастики по курсу математики 5-6 классов (изучаются, в основном, в 6 классе), относится и отсутствие в рубрике «исследуем» задач на проведение статистических исследований, экспериментов со случайными исходами, вычисления частоты события.

С.А. Козлова, А.Г. Рубин, «Математика. 5 класс», 2013 г.

Отличительной особенностью структуры учебника как для 5, так и для 6 класса является его деление на модули, имеющие входные и итоговые тесты, ориентирующие ученика на рефлексию и оценку степени усвоения знаний по темам данного модуля [60]. Каждый модуль учебника соответствует одной учебной четверти и сопровождается путеводителем, позволяющим учащемуся выбрать индивидуальную траекторию продвижения по образовательным разделам.

Параграф 2.17. Перебор возможных вариантов (Глава 2). С задачами на перебор вариантов учащиеся знакомились в начальной школе при изучении математики по учебникам «Школа 2100». В 5 классе применяется термин «граф», в то время как в начальной школе употребление этого термина предполагалось по усмотрению учителя, вместо него могли использоваться слова «рисунок», «схема» и т.д. Согласно планированию, на изучение темы «Перебор вариантов» в 5 классе отводится один час во второй четверти, но время возможно увеличить за сч ет резервных часов первой четверти. Кроме заданий на заполнение таблиц, распределенных по всему учебнику, данный параграф содержит следующие типы задач: задачи на правило умножения; задачи на перестановки; сочетания, размещения, в том числе, с дополнительными условиями.

На этапе работы с информацией в информационном блоке к данному параграфу отдельно рассматриваются методы подсчета различных вариантов (типы задач 1-3) с помощью графа, с помощью систематического перебора - выписывания в определенном порядке (например, алфавитном), а также с помощью дерева выбора. Дополнительно рассматриваются способы подсчета вариантов, когда ищутся не все возможные варианты выбора, а удовлетворяющие определенным условиям (типы задач 4-7), их рекомендуют к изучению только в сильном классе. На наш взгляд, целесообразно знакомить учащихся с простейшими задачами с ограничениями в условиях, это способствует преодолению формализма в рассуждениях при поиске решения задачи. Как показывает практика, учащиеся после одной-двух первых задач не всегда видят смысл в построении дерева вариантов, в том случае, когда результаты вполне предсказуемы.

Правило умножения предполагается к самостоятельному открытию учащимися только при решении задач повышенного уровня сложности (с буквами вместо чисел), но допускается и возможное постепенное подведение к данному правилу при решении задач базового уровня методом построения дерева вариантов.

Понятия перестановок, сочетаний и размещений не вводятся.

Параграф 8.4. Понятие о вероятности (Глава 8). На изучение данного параграфа отводится три часа. Учащиеся, которые в начальной школе изучали математику по учебникам «Школа 2100», уже с 4 класса знакомы с простейшими задачами на вычисление вероятностей – примерно в том объеме, который содержится в информационном блоке параграфа 8.4. На интуитивной основе вводятся понятия события, опыта со случайными исходами. Дается определение случайного, достоверного и невозможного событий. Представлены задания следующих типов: классификация событий на невозможные, достоверные и случайные; вычисление вероятности по классической схеме; сравнение вероятностей. Определение вероятности авторы рассматривают с точки зрения классической схемы – когда все результаты случайного эксперимента равновозможны. Сначала предполагается работа с понятием равновозможности результатов эксперимента [61]. На наш взгляд, в параграфе содержится недостаточно примеров равновозможных и неравновозможных исходов случайного опыта, один пример иллюстрирует только равновозможные исходы.

Затем формируется умение отбирать благоприятные исходы для данного события и дается классическое определение вероятности.

Уровень сложности большинства предлагаемых задач достаточно высок. Не выделяются отдельно задания, направленные на подсчет всех возможных исходов опыта, что на наш взгляд, нецелесообразно.

С.А. Козлова, А.Г. Рубин, «Математика. 6 класс» 2013 г.

Параграф 9.3. Решение задач на перебор вариантов и вычисление вероятностей (Глава 9). В учебнике [62] также распределены равномерно задания на заполнение таблиц, в то время как комбинаторные и вероятностные задачи встречаются лишь в параграфе 9.3 и предлагаются к изучению в 4 четверти.

Параграф начинается с повторения изученного в 5 классе способа решения задачи на перебор вариантов – построения дерева. Затем условие задачи частично меняется, и с помощью проблемной ситуации: «как решить задачу, если неудобно рисовать дерево вариантов при слишком большом числе ветвей» авторы подводят учащихся к открытию правила умножения.

Далее в информационном блоке следуют задачи 2 и 3 на размещения и перестановки из 3-х элементов, которые решаются с помощью правила умножения.

На основе этого правила вводится понятие факториала. Затем с помощью системы наводящих вопросов учащиеся самостоятельно открывают формулу для вычисления количества различных пар на множестве из n элементов (сочетаний из n элементов по 2, понятие сочетания не вводится). На основе полученного результата и формулы для нахождения числа упорядоченных троек (по правилу умножения, n(n-1)(n-2), т.е.

число размещений из n по 3), а также вычисленного в задаче 3 числа перестановок из трех элементов выводится правило нахождения количества различных неупорядоченных троек на множестве из n элементов:

n(n-1)(n-2)/3!

В следующем информационном блоке параграфа повторяется правило для вычисления вероятности по классической схеме и рассказывается, как в более сложных заданиях вычислять число всех возможных и число благоприятных случаев. В данном вопросе нельзя обойтись без формул для сочетаний, но авторы используют полученные ранее результаты для количества неупорядоченных пар и троек элементов и иллюстрируют задачу с помощью графа – число сочетаний равно числу отрезков, соединяющих определенные вершины. Затем задача обобщается для большего числа элементов, например, 25. Все рассуждения опираются на аналогию с предыдущей задачей, граф не строится.

В рассматриваемом учебнике [62] авторы делают акцент на особенностях курса математики 6 класса по сравнению с 5 классом. Деятельность по решению задач переходит постепенно во внутренний план, но при этом первый этап работы с задачей (генерирование идей) и последний (рефлексия) лучше организовывать в совместной деятельности. Таким образом, ученики обеспечиваются интеллектуальной поддержкой на этих этапах, являющихся для большинства детей наиболее сложными, так как они связаны с принятием решения.

Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов и др., «Математика. 5 класс», «Математика. 6 класс», 2013 г.

В учебниках [14,15] представлен широкий спектр комбинаторных задач, включенных в программу как пятого, так и шестого класса; приведены все основные типы задач комбинаторного характера и предложены простейшие способы их решения: графы, дерево вариантов, правило произведения. Не приводится способ решения с помощью составления таблицы всех возможных вариантов. С нашей точки зрения, это обусловлено тем, что данный метод авторы предполагают рассмотреть уже в начальной школе.

К достоинствам изложения стохастической линии в данных учебниках относится своевременное использование правила умножения (в неявном виде) для решения комбинаторных задач (после введения понятия дерева возможных вариантов), задания по работе с простейшими графами (понятие графа вводится в 6 классе, в задаче № 1249, до этого используются понятия «рисунок», «схема»).

Также в учебниках для 5 и 6 классов широко представлена статистическая составляющая стохастической линии: чтение, интерпретация и заполнение таблиц, среднее арифметическое, круговые (5 класс), столбчатые (6 класс) диаграммы.

Параграф 38 «среднее арифметическое» предлагается к изучению в 5 классе после изучения темы «Умножение и деление десятичных дробей». В нем вводится понятие среднего арифметического, а также средней скорости движения, содержатся задания на нахождение среднего арифметического, средней оценки, средней скорости движения, средней производительности, средней урожайности, суммы чисел по известному среднему арифметическому. В последующих параграфах указанные типы задач встречаются в разделах «задачи на повторение».

Для изучения данных видов диаграмм выделены отдельные параграфы: п.

43 «Круговые диаграммы» в учебнике для 5 класса и п. 47. «Столбчатые диаграммы» в учебнике для 6 класса. Параграф 43 «Круговые диаграммы» (5 класс) начинается с описания способа построения данного вида диаграмм для конкретной задачи. Рассмотрены способы построения диаграммы для исходных данных, выраженных в квадратных километрах, градусах, процентах. Задач для самостоятельного решения только четыре, но все они относятся к различным типам: построение диаграммы по известным данным, построение диаграммы по самостоятельно заполненной таблице, предварительное вычисление исходных данных для построения диаграммы при решении текстовой арифметической задачи.

Параграф 46 «Столбчатые диаграммы» (6 класс) очень небольшой по объему теоретической информации и практических заданий. В нем содержится описание способа построения столбчатой диаграммы на конкретном примере и упражнения на построение круговых и столбчатых диаграмм по уже известным данным или по готовой таблице.

Достоинством учебника [14] является и параграф 47, посвященный работе с графиками, содержащий задания следующих типов: чтение графиков, ответы на вопросы по графику, построение графиков.

Изложение стохастической линии в учебниках [14-15] на наш взгляд, имеет и ряд недостатков. Во-первых, отсутствуют комбинаторные задания с дополнительными ограничениями в условии, которые можно решить только построением дерева (правило умножения неприменимо). Во-вторых, статистические задачи сосредоточены в отдельных параграфах, 4-5 задач в каждом, два вида диаграмм обособлены и разделены в изучении сроком 1 год (окончание 5 класса и окончание 6 класса соответственно), что требует, с нашей точки зрения, регулярного использования дополнительных дидактических материалов. В-третьих, учебники [14-15] не включают задания, посвященные статистическим исследованиям и экспериментам со случайными исходами. Вчетвертых, в системе задач учебников [14-15] полностью отсутствует вероятностный компонент стохастической линии, что противоречит требованиям ФГОС ООО о формировании учебных следующих умений: приводить примеры случайных, достоверных и невозможных событий, сравнивать шансы наступления событий.

Е.А. Бунимович, В.Л. Булычев, учебное пособие «Вероятность и статистика», 2002 г.

В дополнение к ведущим учебникам по математике для 5-6 классов, одним из наиболее популярных учебных пособий для изучения элементов стохастики в основной школе является пособие «Вероятность и статистика». Принятая система изложения материала в учебном пособии близка к той, которая использована в учебниках под редакцией Г.В. Дорофеева.

Одним из достоинств методического пособия [10] является то, что на протяжении всего пособия авторы уделяют значительное внимание применению стохастики для описания процессов реальной действительности, что способствует раскрытию прикладного аспекта школьного курса математики. Особенностью пособия [10], по мнению С.В. Щербатых, «является его универсальность, т.е.

возможность использования в профильных классах, на занятиях математического кружка, на факультативах и т.д. Эта универсальность достигается за счет включения в него дополнительного теоретического материала и соответствующего ему блока задач» [148].

Начинается учебное пособие с рассмотрения случайных событий и качественного сравнения их вероятностей (что вероятнее). Затем с опорой на эксперимент вводится понятие частоты (при этом рассматриваются таблицы частот и гистограммы). Далее следует пункт “Куда стремятся частоты?”, где вводится статистическое определение вероятности, а затем и классическое. В пункте “Вероятность и комбинаторика” рассматриваются правило умножения, правило сложения, сочетания и доказательство формулы для подсчета их числа. Все эти формулы используются для вычисления вероятности. А в пункте “точка тоже бывает случайной” речь идет о геометрическом определении вероятности. В последнем пункте “сколько изюма в булке и сколько рыб в пруду?” рассматривается вопрос статистического оценивания и прогнозирования.

Учебное пособие [10] предлагает задания следующих типов: определение вида события; расположение событий по степени возможности их наступления;

сравнение шансов наступления событий с помощью диаграмм Эйлера-Венна;

вычисление абсолютных и относительных частот с помощью случайного эксперимента; вычисление вероятности на основе ее статистического определения с помощью серии случайных экспериментов, а также по уже имеющимся данным;

подсчет количества возможных исходов опыта; установление равновозможности или неравновозможности исходов данного опыта; вычисление вероятности по классической вероятностной схеме; представление события в виде суммы элементарных исходов опыта; вычисление количества исходов опыта по правилу умножения; вычисление вероятности события с помощью правил сложения, умножения и формулы для числа сочетаний; моделирование случайных экспериментов с помощью компьютера и таблицы случайных чисел; вычисление вероятности на основе ее статистического определения; нахождение распределения вероятностей для всех исходов опыта на основе аксиоматического определения вероятности; статистическое оценивание и прогнозирование.

Пособие Е.Л. Бунимовича и В.Л. Булычева «Вероятность и статистика»

охватывает очень большой объем стохастического материала школьного курса.

Теоретический материал в нем имеет четкую систему, изложен живым и понятным языком, также в пособии предложен широкий спектр статистических и вероятностных задач с практическим содержанием, доступным для восприятия и интересным учащихся 5-9 классов. Однако, на наш взгляд, комбинаторная составляющая пособия, рассчитанного на изучение уже с 5 класса, ограничена и рассматривается только как аппарат для подсчета вероятностей. Уровень сложности предлагаемых задач, начиная с первых параграфов, достаточно высокий. В дальнейших параграфах сложность как теоретического, так и задачного материала нарастает все более высокими темпами. Многие из задач, представленных в пособии, сложны для понимания не только учащихся, но и их учителей, поскольку находятся в стороне от традиционно изучаемых вопросов школьного курса математики. Поэтому, как считает В.Д. Селютин, «пособие "Вероятность и статистика" свидетельствует о том, что для успешного обучения элементам стохастики необходимо добиваться ее согласования с традиционной математикой. Такое согласование может быть достигнуто только в результате установления устойчивых внутрипредметных связей школьного курса математики» [125].

Также, на наш взгляд, в 5-6 классах необходимо более равномерно распределять вероятностное содержание курса математики и постепенно наращивать уровень сложности задач во избежание перегрузок учащихся, ведь главной целью является формирование вероятностного мышления и подготовка к изучению стохастического материала 7-11 классов.

Сопоставляя изложение стохастического материала в различных учебниках по математике для 5-6 классов, отметим, что предлагаемые авторскими коллективами содержание обучения и последовательность тем, отвечая требованиям ФГОС к обязательному уровню подготовки учащихся, тем не менее, сильно варьируются. Задачи, объединяющие стохастическую линию с другими линиями курса, почти не представлены в большинстве рассмотренных учебников.

С нашей точки зрения, это объясняется отсутствием однозначных представлений о месте в структуре элементов стохастики в школьном курсе математики 5-6 классов.

Вследствие этого, внутрипредметные связи традиционных содержательнометодических линий и стохастической линии реализованы недостаточно.

Можно сделать вывод о том, что стохастический материал в учебниках математики 5-6 классов изложен неравномерно, в виде обособленных разделов, что, как показывает опыт учителей, часто приводит к формализму в изучении тем стохастики и недостаточно способствует непрерывному и последовательному формированию вероятностно-статистических представлений.

§ 5. Возможности изучения стохастического материала в курсе математики 5-6 классов для реализации требований стандарта второго поколения Владение информационно-коммуникационными технологиями и формирование способности к их грамотному использованию являются важным элементом формирования универсальных учебных действий учащихся. Новые образовательные результаты могут быть достигнуты только в условиях обучения в информационно-образовательной среде, обеспечивающей информационнометодические условия реализации образовательной программы. Согласно ФГОС ООО, под информационно-образовательной средой понимается открытая педагогическая система, сформированная на основе разнообразных информационных образовательных ресурсов, современных информационнотелекоммуникационных средств и педагогических технологий, направленных на формирование творческой, социально активной личности, а также компетентность участников образовательного процесса в решении учебнопознавательных и профессиональных задач с применением информационно коммуникационных технологий (ИКТ-компетентность), наличие служб поддержки применения ИКТ [143].

В Примерной образовательной программе основного общего образования уделяется большое значение задачам формирования планируемых результатов освоения междисциплинарных программ, включающим развитие у учащихся универсальных учебных действий, компетенций в области использования ИКТ, учебно-исследовательской и проектной деятельности, стратегий смыслового чтения и работы с информацией [111].

Одним из средств эффективного формирования данных результатов служит стохастическая содержательно-методическая линия в рамках курса математики. В связи с этим проиллюстрируем возможности использования при изучении элементов стохастики в 5-6 классах межпредметных связей курсов математики и информатики, которые являются одним из главных средств достижения планируемых результатов освоения учебных и междисциплинарных программ.

На наш взгляд, применение ИКТ при обучении учащихся элементам стохастики в 5-6 классах имеет следующие направления:

Работа с текстом, содержащим информацию, представленную в различных формах (текст, таблица, линейные, столбчатые и круговые диаграммы), с целью ее сопоставления и анализа;

Изменение формы представления информации;

Моделирование экспериментов со случайными исходами;

Оформление результатов статистических исследований;

Презентации со стохастическими играми;

Использование слайдов для наглядного представления данных задачи (диаграмм, таблиц, графиков);

Построение диаграмм и графиков с использованием компьютерных программ;

Использование смарт-доски для построения схем и деревьев вариантов, а также для моделирования объектов задачи и оперирования с ними;

Применение тренировочных и контролирующих интерактивных программированных заданий.

Рассмотрим виды УУД, которые возможно формировать при изучении стохастической содержательно-методической линии в 5-6 классах. Обычным шрифтом выделены формирующиеся УУД при использовании специальной методики обучения элементам стохастики, и курсивом – виды УУД, которые возможно формировать в процессе обучения элементам стохастики учащихся 5-6 классов.

В процессе изучения стохастической линии, на наш взгляд, возможно формировать у учащихся 5-6 классов следующие результаты освоения междисциплинарных программ:

1. Личностные универсальные учебные действия:

1.1. Устойчивый познавательный интерес и становление смыслообразующей функции познавательного мотива;

1.2. Готовность и способность к выполнению норм и требований школьной жизни, прав и обязанностей ученика;

1.3. Уважение к истории, культурным и историческим памятникам, любовь к природе;

1.4. Выраженная устойчивая учебно-познавательная мотивация и интерес к учению;

2. Регулятивные универсальные учебные действия:

2.1. Основы прогнозирования как предвидения будущих событий и развития процесса;

2.2. Ставить новые цели, преобразовывать практическую задачу в познавательную;

2.3. Самостоятельно анализировать условия достижения цели на основе учета выделенных учителем ориентиров действия в новом учебном материале;

2.4. Осуществлять познавательную рефлексию в отношении действий по решению учебных и познавательных задач;

2.5. Выделять альтернативные способы достижения цели и выбирать наиболее эффективный способ;

3. Коммуникативные универсальные учебные действия:

3.1. Организовывать и планировать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками;

3.2. Устанавливать и сравнивать разные точки зрения, прежде чем принимать решения и делать выбор;

3.3. Учитывать разные мнения и интересы и обосновывать собственную позицию;

4. Познавательные универсальные учебные действия:

4.1. Проводить наблюдение и эксперимент под руководством учителя;

4.2. Осуществлять выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий;

4.3. Объяснение явлений, процессов, связей и отношений, выявляемых в ходе исследования;

4.4. Создавать и преобразовывать модели и схемы для решения задач;

4.5. Выдвигать гипотезы о связях и закономерностях событий, процессов, объектов, организовывать исследование с целью проверки гипотез;

5. Формирование ИКТ-компетентности обучающихся

5.1. Создание диаграмм различных видов в соответствии с решаемыми задачами;

5.2. Проведение деконструкции сообщений, выделение в них структуры, элементов и фрагментов;

5.3. Избирательно относиться к информации в окружающем информационном пространстве, отказываться от потребления ненужной информации.

5.4. Сопоставление основных текстовых и внетекстовых компонентов:

объяснение назначения рисунка, пояснение части графика или таблицы;

5.5. Анализировать результаты своей деятельности и затрачиваемых ресурсов.

Основы учебно-исследовательской и проектной деятельности:

6.

6.1. Планирование и выполнение учебных исследований, используя оборудование, модели, методы и приемы, адекватные исследуемой проблеме.

6.2. Отличать факты от суждений, мнений и оценок, критически относиться к суждениям, мнениям, оценкам, реконструировать их основания;

6.3. Использовать догадку, озарение, интуицию;

6.4. Использовать такие математические методы и приемы, как перебор логических возможностей, математическое моделирование;

Стратегии смыслового чтения и работа с текстом 7.

7.1. Находить в тексте требуемую информацию, выделять главную и избыточную информацию;

7.2. Структурировать и преобразовывать текст, используя новые формы представления информации: диаграммы, таблицы, переходить от одного представления данных к другому;

7.3. Сравнивать и противопоставлять заключенную в тексте информацию разного характера;

7.4. Связывать информацию, обнаруженную в тексте, со знаниями из других источников; выявлять противоречивую, конфликтную информацию;

7.5. Критически относиться к рекламной информации;

7.6. Находить способы проверки противоречивой информации.

Возможности формирования перечисленных УУД 1-7 в процессе реализации каждого из предлагаемых направлений использования ИКТ в обучении элементам стохастики отражены в таблице 1:

–  –  –

К сожалению, зачастую стохастический материал и курс информатики изучаются обособленно, крайне мало и бессистемно используются возможности межпредметных связей.

В качестве одного из вариантов решения этой проблемы, при изучении стохастического материала в 5-6 классах мы считаем целесообразным активно использовать подготовку учащихся по информатике:

УУД и компетенции 1-7 формируются более интенсивно при реализации межпредметных связей двух курсов математики и информатики.

Элементы статистики и теории вероятностей и курс информатики в 5-6 классах взаимно дополняют и обогащают друг друга, а также значительно снижается перегрузка учащихся. Это происходит в связи с тем, что учащиеся получают возможность увидеть предлагаемый материал с различных точек зрения, работать с уже знакомыми заданиями на новом уровне.

В настоящее время при изучении курса информатики в 5-6 классах наиболее часто используется авторская программа Л.Л. Босовой [43]. Эта программа соответствует требованиям ФГОС, дает распределение учебных часов по разделам курса и последовательности их изучения с учетом внутрипредметных и межпредметных связей, логики учебного процесса. Программа содержит набор практических работ и практикумов, необходимых для формирования у учащихся информационно-коммуникативных компетентностей и создает условия для развития информационной культуры [50].

В таблице 2 приведен фрагмент календарно-тематического планирования для 5 класса по учебнику Л.Л.

Босовой (1 час в неделю), иллюстрирующий возможности непрерывного формирования перечисленных УУД и ИКТкомпетенций 1-7 в курсе «Информатика и ИКТ» в течение всего учебного года:

Таблица 2. Планируемые результаты освоения учебных и междисциплинарных программ при изучении курса «Информатика и ИКТ» в 5 классе по учебнику Л.

Л. Босовой

–  –  –

Рассмотрим пример реализации представленного планирования. Анализ и построение таблиц, линейных и столбчатых диаграмм учащиеся начинают выполнять в курсе стохастики уже в первом триместре. Это позволяет при изучении данных тем в курсе информатики во втором триместре рационально использовать учебное время, обращаться к уже изученному материалу, увеличивает возможности для организации индивидуальной и групповой работы учащихся.

В свою очередь, построение простейших круговых диаграмм по готовым таблицам в курсе информатики является пропедевтикой более глубокого изучения темы «Круговые диаграммы» при изучении стохастического материала;

учащимся, имеющим представление о диаграммах, легче интерпретировать информацию, представленную в разных видах, выполнять необходимые построения в тетради. Уроки по обобщению и систематизации материала по данной теме можно проводить в компьютерном классе: учащиеся решают систему задач в тетради, получают необходимые данные и выполняют на компьютере построение соответствующих диаграмм. Таким образом, учитель имеет возможность рассмотреть на уроке больше типов задач, повысить подготовку учащихся по математике и более интенсивно формировать УУД средствами межпредметных связей математики и информатики.

Познавательные универсальные учебные действия 4.1. – 4.5. также можно формировать на уроках информатики, построенных в виде эксперимента, а также при использовании проектного метода обучения в курсах информатики и математики.

Таким образом, обучение элементам стохастики открывает широкие возможности для более эффективного достижения планируемых результатов освоения учебных и междисциплинарных программ в условиях ФГОС ООО за счет систематического использования межпредметных связей курсов математики и информатики 5-6 классов.

ВЫВОДЫ К 1 ГЛАВЕ:

Исторический обзор введения элементов стохастики в традиционную 1.

школьную математику показал, что стохастическую линию следует изучать в единстве трех ее компонентов: вероятностного, комбинаторного и статистического с учетом внутрипредметные связей курса математики.

Формирование стохастического мышления приводит школьников к 2.

пониманию вероятностной природы окружающего мира и способствует развитию личности школьника.

Основой формирования вероятностного мышления является 3.

формирование первоначальных вероятностно-статистических представлений учащихся (ВСП).

Результаты психологических и физиологических исследований 4.

указывают на важность осуществления целенаправленной деятельности учителей по развитию комбинаторного стиля мышления и формированию первоначальных ВСП у учащихся именно в возрасте 8-12 лет, что обусловливает необходимость преемственности в обучении стохастике между курсами математики начальной школой и 5-6 классов.

Содержание стохастического материала в современных учебниках по 5.

математике 5-6 классов распределено неравномерно, в виде совокупности внедренных в традиционное содержание нескольких задач, слабо связанных между собой, либо в виде отдельных параграфов, что свидетельствует о недостаточной разработанности методики включения данного материала в основное содержание курса математики 5-6 классов.

6. При изучении стохастического материала в 5-6 классах целесообразно реализовывать межпредметные связи с курсом информатики с целью более эффективного достижения планируемых результатов освоения учебных и междисциплинарных программ.

ГЛАВА 2. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАМ

СТОХАСТИКИ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ 5-6 КЛАССОВ В

УСЛОВИЯХ СТАНДАРТОВ ВТОРОГО ПОКОЛЕНИЯ

§1. Принципы построения методики обучения элементам стохастики в курсе математики 5-6 классов, реализующей требования ФГОС ООО Развитие идеи гуманизации образования способствовало открытию широкого спектра возможностей стохастики для развития личности школьника.

Познание окружающего мира средствами математики, общеинтеллектуальное и общекультурное развитие учащихся выходят на первый план в системе целей школьного математического образования.

Простейшие стохастические понятия получили распространение как в повседневной речи, так и в различных текстах: социологических опросах, результатах спортивных соревнований; аналитических обзорах общественнополитических ситуаций, состояния валютных рынков, сведений о котировках акций, прогнозах погоды, производственных и других процессах. Элементами вероятностной культуры школьника являются представления о закономерностях в массе случайных процессов, умения выявлять общие тенденции и свойства изучаемых явлений, планировать свою деятельность, ориентироваться в динамике современной жизни, правильно оценивать шансы перед принятием решения об участии в игре, выбирать оптимальные стратегии.

На протяжении нескольких последних лет с момента принятия ФГОС НОО, когда элементы стохастики были включены в школьную программу на этапе начального образования, педагогами и методистами начальной школы накоплен богатый опыт преподавания вероятностно-статистической линии в 1-4 классах.

В связи с этим мы выделяем ряд принципов построения методики обучения учащихся элементам стохастики, отвечающей современным требованиям к результатам обучения, основополагающим из которых является следующий принцип:

1. Преемственность с современным курсом математики начальной школы.

Учитывая возрастные особенности учащихся 5-6 классов, наша методика сохраняет преемственность в преподавании элементов стохастики между 1-4 и 5-6 классами, как на уровне содержания, так и на уровне формирования учебных действий. Подробно этот вопрос рассматривается в следующем параграфе диссертации.

Данная методика разработана с учетом планируемых результатов освоения выпускниками начальной школы следующих Программ ФГОС НОО [112,113]:

междисциплинарной программы «Формирование универсальных учебных действий» (сформированности личностных, регулятивных, познавательных и коммуникативных универсальных учебных действий), а также ее разделов:

«Чтение. Работа с текстом» и «Формирование ИКТ-компетентности учащихся» (метапредметные результаты);

Программы по математике для 1-4 классов;

Программы по математике для 5-6 классов [114].

Система контроля и оценки достижения учащимися 5-6 классов планируемых результатов в предлагаемой методике также основана на преемственности со структурой оценивания достижения результатов начального общего образования. Задания базового уровня сложности проверяют сформированность знаний, умений и способов учебных действий по данному предмету, которые необходимы для успешного продолжения обучения на следующей ступени. Особое внимание уделяется оценке умения осознанно работать с условием задачи [51].

Базовыми задачами в данной методике являются стандартные учебнопознавательные или учебно-практические задания, в которых очевиден способ учебных действий. Способность успешно справляться с такого рода заданиями целенаправленно формируется и отрабатывается в ходе учебного процесса со всеми учащимися.

Задания повышенного уровня сложности проверяют способность выпускника выполнять такие учебно-познавательные или учебно-практические задания, в которых нет явного указания на способ их выполнения. Учащийся сам должен выбрать один из известных способов, освоенных в процессе изучения данного предмета. В некоторых случаях учащийся сам должен сконструировать способ решения, комбинируя известные ему способы, привлекая знания из других предметов или опираясь на имеющийся жизненный опыт.

Необходимо подчеркнуть, что ответ учащегося, независимо от формы и способа представления, оценивается как верный, если в его записи отражены все существенные моменты, указанные в комментариях к ответу. В некоторых случаях вывод о достижении планируемого результата может быть сделан при решении учащимся задания с выбором ответа, в других случаях — только при самостоятельной записи учащимся полного или краткого ответа на вопрос задания [53].

Результаты выполненных заданий базового и повышенного уровня позволяют установить возможности ученика и перспективы его математического развития. Например, один из учащихся верно решил несколько заданий базового уровня, а другой сумел выполнить одно-два задания повышенного уровня сложности. В этом случае можно сделать вывод о том, что первый ученик свободно справляется с заданиями, требующими владения основными правилами и алгоритмами курса, воспроизведения хода решения типовых задач, но способность переносить свои знания и умения в нестандартные ситуации, оперировать сразу с несколькими изученными фактами у него еще не выработалась. В то же время второй ученик продемонстрировал обладание этой способностью, но, возможно, имеет какие-то пробелы в базовой подготовке.

Таким образом, анализ характера выполненных заданий позволит педагогам делать обоснованные предположения о возможных успехах и трудностях обучения элементам стохастики для отдельного ученика и целесообразности расширения (или углубления) курса математики для конкретного класса в 5-6 классах.

Изучение стохастического материала, согласно рассматриваемой методике, предполагается вести непрерывно и последовательно, на протяжении всего учебного года, с помощью системы задач и минимального теоретического материала, связывая, по мере необходимости, содержание заданий с изучаемыми параллельно темами традиционного ШКМ, что определяет следующий принцип построения методики:

2. Равномерность и последовательность в изучении стохастического материала на протяжении учебного года.

Как уже отмечалось в параграфе 5 главы 1 нашего исследования, стохастическая линия в основных учебниках и учебных пособиях по математике для 5-6 классов реализуется в виде отдельных параграфов, недостаточно связанных с традиционным материалом курса математики, либо в виде «рассыпанных» по учебнику отдельных задач, не образующих целостную систему. Ситуация осложняется еще и тем, что на изучение элементов стохастики в 5-6 классах по программе отводится очень небольшое число учебных часов. В итоге, значительная часть учителей относится к данному новому разделу математики с недоверием, поэтому изучение на данном этапе элементов стохастики во многих случаях становится бессистемным и формальным. Данная проблема рассматривается в ряде диссертационных работ и статей отечественных педагогов и методистов.

А.Г. Мордкович и П.В. Семенов в статье [84] отмечают, что «без надежной степени равномерной включенности новых стохастических понятий и фактов в «обычную» школьную математику сложно рассчитывать на успех» в поиске путей включения стохастического материала в традиционный курс математики 5-6 классов.

В исследовании О.С. Медведевой показано, что «при концентрированном изучении комбинаторики как специального раздела, весьма трудно выработать методику его преподавания, обеспечивающую усвоение основной массой учащихся элементарных знаний и умений комбинаторного характера» [80]. В связи с этим, автору представляется оптимальным постепенное и систематическое привнесение в решение задач элементов комбинаторного стиля мышления на протяжении всего курса обучения. Автор также доказывает, что, вопреки распространенному мнению, возможностями развития комбинаторного стиля мышления учащихся обладают не только комбинаторные задания, но и традиционный алгебраический и геометрический материал, с помощью соответствующим образом ориентированных содержания обучения и методики преподавания математики.

О.С.

Медведева приводит примеры тем традиционного школьного курса математики 5-6 классов, содержащие задачи комбинаторного характера:

«Задачи из разделов о делителях и кратных данного числа, о делимости суммы, о признаках делимости, о числах простых и составных, таблицах простых чисел, о разложении числа на простые множители, об общих делителях двух чисел и общих кратных двух или нескольких чисел, о нахождении наименьшего общего кратного можно считать задачами комбинаторного характера» [80].

Я.C. Бродский в статье [7] выражает опасения в связи с несоблюдением принципа интегративности в построении стохастической линии в современных школьных учебниках математики. «Почти все содержательные линии курса математики находят применение при изучении комбинаторики и теории вероятностей. Это и вычисления, и преобразование выражений, и уравнения, и элементы геометрии. Но с применением элементов стохастики в традиционных разделах школьного курса математики дело обстоит значительно хуже. Важно, чтобы новая содержательная линия естественно использовалась в курсе математики, … если новый материал будет изучаться не в рамках одной темы, а на протяжении всего периода обучения, то с повестки дня снимется вопрос о применении изученного материала». Также Я.С. Бродский считает, что перед методистами поставлена задача естественно связать новую содержательную линию курса математики с другими: «Стержнем, связывающим новую линию с традиционными линиями школьного курса математики, является метод математического моделирования. Следует усилить внимание к анализу данных, обработке статистического материала» [7].

Известный польский методист А. Плоцки в своих исследованиях доказывает, что структуру традиционного школьного курса математики необходимо дополнить стохастической содержательно-методической линией. При этом ученый настаивает на необходимости серьезных методических разработок, направленных на то, чтобы новая линия стала «одной из ряда положенных, равноправных с другими линиями школьного курса математики, как линия числа, функциональная линия или линия тождественных преобразований» [106,107].

Многолетний опыт методической работы позволил А. Плоцки выявить, что естественное включение элементов стохастики в основное содержание курса математики может осуществляться несколькими способами. Он выделяет три варианта включения стохастической линии в структуру школьного курса математики: 1) проведение цикла уроков, посвященных отдельной теме; 2) проведение непосредственных параллелей между конкретным изучаемым материалом и элементами стохастики; 3) изучение некоторых стохастических понятий во внеурочное время.

В результате А. Плоцки указывает на необходимость включать стохастическое содержание в процесс математического образования так, чтобы сделать возможной интеграцию традиционной школьной математики и элементов стохастики посредством этого содержания.

В связи с этим, в основу предлагаемой методики положен принцип:

3. Интеграция с основным содержанием курса математики 5-6 классов.

О роли внутрипредметных связей курса математики в обучении стохастике учащихся 5-6 классов говорит и Л.О. Бычкова, конкретизируя возможности их реализации при изучении определенных тем: «Для изучения вероятностно-статистического материала большую роль играют внутрипредметные связи, поскольку в других линиях курса формируются понятия и навыки, на базе которых возникают вероятностно-статистические представления и методы» [12]. Автор подчеркивает важнейшую роль десятичных и обыкновенных дробей и процентов для количественной оценки вероятности и обработки реальных данных, а также рациональных чисел и операций с ними, которые являются основой курса математики 5-6 классов. Введение вероятностно-статистической линии открывает новые возможности для их изучения и применения. Классическое определение вероятности, вычисление частоты, среднее значение – все эти понятия вносят новый смысл в изучение рациональных чисел и действий над ними.

Л.О. Бычкова придает большое значение работе с диаграммами и графиками, так как они «знакомят учащихся с подходом к анализу данных, который не содержит в себе вычислений и не предполагает единственного ответа, однако дает возможность делать содержательные выводы и заключения.

Диаграммы и графики отражают фундаментальные свойства случайных явлений, которые достаточно трудно описать с помощью детерминированных и однозначных математических понятий» [12].

В.Д. Селютин продолжает и развивает идеи А. Плоцки. Он также считает, что основной проблемой, препятствующей согласованию традиционной математики и стохастики, является недостаточный уровень развития внутрипредметных связей. Автор создал и обосновал принципы построения стохастической содержательно-методической линии, доказав, что стохастика может быть включена в канву школьной математики как полноценная содержательно-методическая линия.

В.Д. Селютин анализирует основные учебники по математике 5-9 классов школы, отмечая во многих случаях необходимость усиления реализации внутрипредметных связей. Под научным руководством В.Д. Селютина, Л.А.

Терехова [136] создает на основе принципов построения стохастической линии когерентно-интегративный подход, формирующий внутрипредметные связи школьного курса математики за счет систематического включения в каждый раздел учебной программы авторских когерентно-стохастических задач по каждой теме стохастической линии.

Работы В.Д. Селютина [125-130] являются одними из самых значительных исследований, посвященных методике преподавания стохастической линии, обоснованные автором принципы построения стохастической линии создают широкие возможности для разработки методических материалов.

Но, тем не менее, вопрос создания эффективной методики изучения стохастической линии в 5-6 классах остается по-прежнему актуальным. Это обусловлено тем, что рассматриваемые выше исследования В.Д. Селютина и Л.А.

Тереховой проводились до утверждения современных ФГОС НОО и ФГОС ООО второго поколения. В связи с этим, предложенное авторами для интеграции с основным курсом математики содержание стохастического материала превышает требования стандарта для 5-6 классов, а также, что является очень важным для организации эффективного обучения стохастике, не учитывает необходимость преемственности с курсом математики начальной школы.



Pages:   || 2 | 3 |
Похожие работы:

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет им. А.М. Горького» Направление ИОП «Педагогическая инноватика...»

«УДК 378 Т.А. Крючкова, г. Шадринск Подготовка будущих учителей начальных классов к педагогической деятельности в условиях информационной образовательной среды В данной статье раскрывается процесс интеграции информационных и образова...»

«ЗНАЧЕНИЕ КИНЕЗИОЛОГИЧЕСКИХ УПРАЖНЕНИЙ В РАБОТЕ С ДЕТЬМИ ДОШКОЛЬНОГО ВОЗРАСТА «Гимнастика мозга» Презентацию подготовила педагог-психолог Кострица Ольга Леонидовна ГБДОУ детский сад №88 «Исток» г. С-Петербург Кинезиологические упражнения – это движения которые помогают активизировать межполушарное взаимодействие, влияют на развитие умственных способно...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Глазовский государственный педагогический институт имени В.Г. Короленко» УТВЕРЖДАЮ Декан факультета СКиФ Л.А. Богданова «...»

«Жданкина Елена Федоровна РАЗВИВАЮЩАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ СТАРШИХ ДОШКОЛЬНИКОВ В БАССЕЙНЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЭЛЕМЕНТОВ СИНХРОННОГО ПЛАВАНИЯ 13.00.04 – теория и методика физического воспитания, спортивной тренировки, оздоровительной и адаптивной физической культуры АВТОРЕ...»

«Студенческий электронный журнал «СтРИЖ». №4(04). Декабрь 2015 www.strizh-vspu.ru УДК 821.161.1 А.А. АЛЕЩЕНКО (lightally@gamil.com) Волгоградский государственный социальн...»

«Электронный научно-образовательный журнал ВГСПУ «Грани познания». № 2(45). Апрель 2016 www.grani.vspu.ru Т.Г. ЩЕРБАКОВА, О.В. ГРИБАНОВА (Волгоград) ДИНАМИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КАРДИОРЕСПИРАТОРНОЙ СИСТЕМЫ ЛИЦЕИСТОВ ПРИ АДАПТАЦИИ К ОБУЧЕНИЮ В УСЛОВИЯХ ПОВЫшЕННОЙ СЛОЖНОСТИ Рассматриваются результаты...»

«О.Ю. Яцкова Аспирант АППО, кафедры Инновационных образовательных технологий. Педагог-психолог Лицея №554 Санкт-Петербург ФОРМИРОВАНИЕ ТВОРЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА КАК УСЛОВИЕ РАЗВИТИЯ ЛИЧНОСТИ УЧАЩЕГОСЯ. Одаренные...»

«Учреждение образования «Белорусский государственный педагогический университет имени Максима Танка» Факультет психологии Кафедра общей и педагогической психологии СОГЛАСОВАНО СОГЛАСОВАНО Заведующий кафедрой Декан факультета А.В.Музыченко Л.А.Пергаменщик «_» 20_ г. «_» _20_г. Регистационный №_ У П...»

«УДК 372.8; 373.1 ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ «ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ САМООРГАНИЗАЦИИ» Л.Г. Шестакова, кандидат педагогических наук, доцент, заведующий кафедрой математики и физики Соликамский государственный педагогический институт (филиал) ФГБОУ ВПО «Пермский государ...»

«КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФИЛОЛОГИИ И МЕЖКУЛЬТУРНОЙ КОММУНИКАЦИИ Кафедра математической лингвистики и информационных систем в филологии Л.Л. САЛЕХОВА, Н.И. БАТРОВА ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТ...»

««Физическое и духовное развитие детей в танцевальном коллективе» Колдина Юлия Павловна, педагог дополнительного образования Танцевальный коллектив «Экзотика»1.Название программы «Физическое и духовное развитие детей в танцевальном коллективе»2. Направленность программы На...»

«Аннотация к рабочей программе. Рабочая программа 1-й младшей группы № 5 Муниципального дошкольного образовательного учреждения детского сада общеразвивающего вида с приоритетным осуществлением деятельности по физическому развитию детей «Ручеёк» № 29 разработана в соответствии с федеральным государственным образовательным стандартом д...»

«М.Н. Вакула преподаватель кафедры социальной работы, БГПУ им. М. Танка, магистр педагогических наук, г. Минск, Беларусь ФОРМИРОВАНИЕ ТРЕБОВАНИЙ К ЛИЧНОСТНЫМ КАЧЕСТВАМ СОВРЕМЕННОГО МЕНЕДЖЕРА В ТЕОРИЯХ ЛИДЕРСТВА. «Эффективный руководитель проявляет себя таким образом, чтобы обеспечить то,...»

«ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ НАУКА И ПРАКТИКА ется следующими особенностями. Во первых, оно совершается только в данной наглядной ситуации, при не Развитие визуального мышления посредственном восприятии предме младших школьников тов и, во вторых, в...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых» Педагогический институт Кафедра немецкого...»

«УДК 811.161.1'38 + 821.161.1 И. В. Никиенко Томский государственный педагогический университет Дискурсивное синтезирование концепта «Апейрон» в «Сократе Сибирских Афин» В. Д. Колупаева: «афинский» слой * Дискурс поздней прозы В. Д. Колупаева представляет собой синтетическое образо...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «СТЕРЛИТАМАКСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ИМ. ЗАЙНАБ БИИШЕВОЙ» Утверждаю:...»

«МОДЕЛИРОВАНИЕ КАК СРЕДСТВО ФОРМИРОВАНИЯ У ДЕТЕЙ МЛАДШЕГО ШКОЛЬНОГО ВОЗРАСТА НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ УМЕНИЯ ОБОСНОВЫВАТЬ ИСТИННОСТЬ СУЖДЕНИЙ. Алексеева О.В., Новоселова А.С. Сургутский Государственный Педагогический Университет. Сургут...»

«УДК 378 А.В. Паклина, г. Шадринск Технологическая деятельность педагога профессиональной школы В статье рассмотрены взгляды отечественных и зарубежных ученых на проблему технологической деятельности педагога профессиональной школы; выделены компоненты, уровни, целевые ориентации педагогической технологии. Педагогическая...»

«Особенности социально-педагогической реабилитации дезадаптированных подростков. Мугаджирова А.М., Магомедова Г. Р. Дагестанский государственный педагогический университет Махачкала, Россия Features of social and educational rehabilitation maladjusted adolescents. Mugadzhirova A.M., Magomedov G.R. Dagestan...»

«ГОСУДАРСТВЕННОЕ КАЗЕННОЕ СПЕЦИАЛЬНОЕ (КОРРЕКЦИОННОЕ) ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ, ВОСПИТАННИКОВ С ОГРАНИЧЕННЫМИ ВОЗМОЖНОСТЯМИ ЗДОРОВЬЯ « ВОЛГОГРАДСКАЯ СПЕЦИАЛЬНАЯ (КОРРЕКЦИОННАЯ) ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА-ИНТЕРНАТ VIII ВИДА № 5» Доклад: «Индивидуальный и дифференциро...»

«РАЗРАБОТАНА УТВЕРЖДЕНА Кафедрой агрономии Ученым советом аграрного факультета 06.02.2014, протокол № 7 13.03.2014, протокол № 6 ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ для поступающих на обучение по программе подготовки научно-педагогических кадров в 2014 году Направление подготовки 35.06.01 Сельское хозяйство...»

«Вестник ПСТГУ Гальцова Евгения Сергеевна, IV: Педагогика. Психология соискатель кафедры педагогики и менеджмента 2014. Вып. 1 (32). С. 25–32 в образовании Рязанского государственного университета им. С. А. Есенина e.galtsova@rsu.edu.ru ПРОБЛЕМЫ ДУХОВНО-НРАВСТВЕННОГО ВОСПИТАНИЯ ЛИЧНОСТИ В СОВРЕМЕННОЙ РОССИИ Е. С. ГАЛЬЦОВА В ста...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова Кафедра педагогики и педагогической психологии М. В. Башкин Конфликтная компетентность Методические указания Рекомендовано Научно-методическим советом университета для студентов, обучающихся по нап...»

««Вестник Челябинского государственного педагогического университета» включен в «Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на со...»

«Ольга Витальевна Дыбина Занятия по ознакомлению с окружающим миром в средней группе детского сада. Конспекты занятий Серия «Библиотека программы воспитания и обучения в детском саду» Дыбина О.В. Занятия по ознакомлению с окружающим миром в средней группе детского сада. Конспекты занятий: МОЗАИКА-СИНТЕЗ; Москва; 2011 ISBN 978-5-86775-765-6...»

«Научно-исследовательская работа Тема работы: Микротопонимия аала Катанов Выполнила: Яковлева Дарья Александровна учащаяся 6 класса МБОУ Катановская СОШ МБУ ДО Аскизский РЦДО Руководитель: Чебодаев Андрей Михайлович, педагог дополнительного образо...»

«Муниципальное автономное образовательное учреждение дополнительного образования «Психолого-педагогический центр содействия развитию личности» Рассмотрена и принята «Утверждено» Педагогическим советом Приказом № от 2015г. Протокол № от.2015 г. Директор МАОУ ПП Центр _Е.А. Туренко ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ОБЩЕРАЗВИВАЮЩАЯ ПРОГРАММА СО...»





















 
2017 www.pdf.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - разные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.