WWW.PDF.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Разные материалы
 

«Мушенко Святослав Васильевич Асимптотическое поведение приращений сумм в схеме серий независимых случайных величин. Дипломная работа Научный руководитель: ...»

Санкт-Петербургский государственный университет

Математика

Теория вероятностей и математическая статистика

Мушенко Святослав Васильевич

Асимптотическое поведение приращений сумм в схеме серий независимых

случайных величин.

Дипломная работа

Научный руководитель:

профессор, доктор физ.-мат.наук, Фролов А.Н.

Рецензент:

профессор, доктор физ.-мат.наук, Розовский Л.В

Санкт-Петербург

SAINT-PETERSBURG STATE UNIVERSITY

Mathematics Probability Theory and Mathematical Statistic Mushenko Svjatoslav Vasil'evich The asymptotic behavior of increments of sums for arrays of independent random variables.

Graduation Thesis

Scientific supervisor:

Professor, Doctor of Sciences, Andrei Frolov

Reviewer:

Professor, Doctor of Sciences, Leonid Rozovsky Saint-Petersburg Оглавление.

1. Введение 2

2. Результаты 12

3. Список используемой литературы 16

1. Введение.

В этой работе мы исследовали асимптотическое поведение приращений сумм в схеме серий независимых случайных величин, в том числе изложили полученные ранее результаты, а также получили аналог законов повторного логарифма для приращений сумм независимых одинаково распределенных случайных величин.

Для начала рассмотрим следующую теорему, которая была получена А.Н.Фроловым [1, стр. 122]. Пусть a(x), x 0 - неубывающая x непрерывная функция, такая, что 1 a(x) x и a(x) не убывает.

Положим an = [a(n)] для всех натуральных n.

Теорема 1. Пусть {Xk } – последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, EX1 = 0, EX1 = 1 a и h0 0.

Предположим, что lnnn. Обозначим Sn = X1 + X2 +... + Xn, Un = max (Sk+an Sk ), Wn = max max (Sk+j Sk ).

0knan 1jan 0knan Тогда Un Wn lim sup = lim sup = 1 п.н. (1) bn bn n где bn = 2an (ln an + ln ln n).

n Если дополнительно выполнено условие ln ln n = o(ln an ), то в соотношении (1) можно заменить lim sup на lim.

В начале Теорема 1 была доказана М.Чёргё и Ревесом [9] для случая, в котором выполняется условие Крамера (существует h1 0 такая, что EehX при |h| h1 ) с использованием сильного принципа инвариантности Комлоша-Майора-Тушнади.

Принцип Комлоша-Майора-Тушнади формулируется следующим образом. Пусть X –случайная величина с EX = 0, удовлетворяющему условию Крамера. Тогда можно построить вероятностное пространство и задать на нем последовательность независимых случайных величин {Xk }, имеющих одинаковое с X распределение, и стандартный винеровский процесс w(t) так, что Sn w(n) = O(ln n) п.н.

Теорема 1 имела разнообразные следствия. Ее результаты были названы законами сильной аппроксимации. В последствии А.Н.Фроловым теорема была доказана и для случая выполнения одностороннего условия Крамера (h0 = sup{h : EehX } 0 ). Для доказательства теоремы была использована техника анализа вероятностей больших уклонений. Важным фактом является то, что упомянутая теорема обладает рядом интересных закономерностей которые не встречались ранее.

Очевидно то, что заключение теоремы Хартмана-Винтнера [1, стр.111] о законе повторного логарифма мы можем получить из соn отношения (1) при an = n. При ln an ln ln n выражение (1) представляет собой закон повторного логарифма для приращений, но в отличие от теоремы Хармана–Винтера в которой верхний предел равен 1, в нашем случае он равен некоторой другой постоянной С. Если последовательность an возрастает достаточно медленно, то и последовательность Un становится более устойчивой и имеет предел. Из n b вышеописанного можно заключить, что промежуточным между законами Эрдёша-Реньи [1,стр.117] и законом повторного логарифма является закон Чёргё-Ревеса.

В исследовании поведения последовательности Un долгое время можно было обнаружить некоторую дихотомию: ее поведение исслеa довали отдельно для малых (an = O(ln n)) и больших ( lnnn ) приращений. Это было обусловлено тем, что в случае малых приращений нормирующая последовательность bn зависит от распределения X1, подчас даже однозначно определяет данное распределение.

Результаты теоремы для малых приращений называются законами Эрдёша-Реньи [1, стр.117] и Шеппа. В случае больших приращений нормирующая последовательность зависит лишь от лишь от некоторых численных характеристик. Эти результаты именуются законами Чёргё-Ревеса [1, стр.122]. А.Н.Фроловым был предложен универсальный подход [4-6] к сильным предельным теоремам для сумм независимых одинаково распределённых случайных величин. Полученная там теория смогла объединить в себе законы Эрдёша-Реньи и Шеппа, законы Чёргё-Ревеса, закон повторного логарифма и усиленный закон больших чисел. Одним из важнейших моментов было то, что она содержала формулу универсальной нормирующей последовательности сильных предельных теорем для приращений сумм независимых одинаково распределенных случайных величин. В случае разнораспределенных слагаемых возможны две различные постановки задачи об отыскании асимптотики приращений сумм. Первая постановка совпадает с постановкой случая одинаков распределенных слагаемых. Задача состоит в том, чтобы отыскать последовательность положительных постоянных bn такую, что либо выполнено Un lim sup = 1 п.н., (2) bn либо выполнено (2) с заменой lim sup на lim в тех случаях, когда это возможно. Альтернативная постановка состоит в том, чтобы найти последовательность положительных постоянных {bn,k } такую, что либо Sk+an Sk lim sup max = 1 п.н., (3) bn,k 0knan либо последнее соотношение выполнено с заменой lim sup на lim.

Обе задачи представляют существенный интерес, но так как обе близки, можно ограничится первым вариантом.

В работе А.Н.Фролова [2] был предложен единый подход к сильным предельным теоремам для приращений сумм неодинаково распределенных случайных величин и доказаны теоремы 2—6. Вместе с Un мы будем рассматривать Wn и Rn = Sn Snan.

Пусть {i } последовательность положительных чисел такая, что Bn = n i. Положим B0 = 0. Обозначим i=1 Bn = max (Bk+an Bk ).

0knan

–  –  –

при n,

b)E|X11 |.

Кроме того, если (b) выполнено, то при 1 (5) верно для любого действительного, а при 1 1 (5) верно для = E(X11 ).

Теорема 10. ([3, стр.2]) Для выполнения (4) необходимо и достаточно E|X11 |4 (log+ |X11 |)2, E|X11 |2 = 1, EX11 = 0, (27) где log+ (x) = log(max(e, x)).

2. Результаты.

В качестве результата данной работы получена теорема 11, которая является аналогом теоремы 2[3] для приращений сумм в схеме серий независимых одинаково распределенных случайных величин.

–  –  –

n=1 Pn Ряд будет расходиться. Применяя лемму Бореля-Кантелли получим Sn Snan lim sup 1 п.н.

bn Отсюда будет следовать утверждение теоремы.

Список литературы [1] Фролов А.Н. Предельные теоремы теории вероятностей: учеб.

пособие.— СПБ.: Из-дво С.-Петерб.Ун-та, 2014. — 152 с.

[2] Фролов А.Н. Сильные предельные теоремы для приращений сумм независимых случайных величин. Записки научнных семинаров ПОМИ, 2004, т. 311, стр. 260-285 [3] Qi Y.C. On strong convergence of arrays. Bull. Austral. Math. Soc., 1994, v.50, pp.219-223 [4] Фролов А.Н. Об асимптотическом поведении приращений сумм независимых случайных величин. ДАН 372, No.5(200), стр. 596Frolov A. N. On one-sided strong laws for increments of sums of i.i.d. random variables.–Studia Sci. Math. Hungar., 39 (2002)., pp.

333-359.

[6] Фролов А. Н. Предельные теоремы для приращений сумм независимых случайных величин.Теор. вероятн. и ее примен. 48, вып.

1 (2003), стр. 104-121.

[7] Hu T.C., Moricz F. and Taylor R.L. Strong laws of large numbers for arrays of rowwise independent random variables, Acta Math.

Hungar. 54 (1989), pp. 153-162.

[8] Hu T.C., and Weber N.C. On the rate of convergence in the strong law of large numbers for arrays, Bull. Austral. Math. Soc. 45 (1992), pp. 479-482.

[9] Csrg М., Rvsz P. Strong approximations in probability and oo ee statistics. Budapest: Akadmiai. Kiad, (1981).

e o



Похожие работы:

«ХИМИЯ РАСТИТЕЛЬНОГО СЫРЬЯ. 2007. №2. С. 79–83. УДК 577.175.6:547.999.3 АНТИОКСИДАНТНЫЕ СВОЙСТВА ПРОДУКТОВ РАСТИТЕЛЬНОГО ПРОИСХОЖДЕНИЯ А.А. Лапин1, М.Ф. Борисенков2, А.П. Карманов3, И.В. Бердник1, Л.С. Кочева3*, Р.З. Мусин1, © И.М. Магдеев1 Институт органической и физической химии им. А.Е. Арбузова, Казань, а/я 429, 420111, Республика Татарстан (Россия)...»

«Сахаров В.Л., Андреенко А.С.МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ЭЛЕКТРОЭНЦЕФАЛОГРАММ Таганрог Антон С 22 34.9 УДК 615.471:616-073.97:616.831 Рецензент: к.т.н., доцент каф. МПС ТРТУ Максимов А.В. Сахаров В.Л., Андреенко...»

«Геология и геофизика, 2012, т. 53, № 10, с. 1445—1452 УДК 550.8.053:550.83.015 ПЛОЩАДНАЯ ЛОКАЛИЗАЦИЯ ИСТОЧНИКОВ ГЕОПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ НА ОСНОВЕ МЕТОДА ОСОБЫХ ТОЧЕК Ю.В. Утюп...»

«ВОЕННО-МОРСКАЯ АКАДЕМИЯ имени Адмирала Флота Советского Союза Н. Г. КУЗНЕЦОВА Н. С. ВОЛГИН ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ Часть 2 Утвержден Главнокомандующим ВМФ в качестве учебника для слушателей Академии САН...»

«АНАЛИЗ МОЧИ В СОВРЕМЕННОЙ ЛАБОРАТОРИИ. ТЕХНОЛОГИИ И ОСНОВНЫЕ ОШИБКИ МЕТОДЫ ИХ ПРЕДУПРЕЖДЕНИЯ Ведущий специалист по продукции Елькина Ирина Михайловна Анализ мочи в ЛПУ Исследование в течение 2 часов Химический Физические Исследование состав мочи: х...»

«Глава 9 ВНЕШНИЕ ЭФФЕКТЫ Неизбежный побочный продукт производственного процесса целлюлозно-бумажных комбинатов — химическое соединение диоксин. Ученые полагают, что, попадая в окружающую...»

«УДК 620.193 ИНГИБИРОВАНИЕ КОРРОЗИИ СТАЛИ В СЛАБОКИСЛЫХ СЕРОВОДОРОДНЫХ И УГЛЕКИСЛОТНЫХ СРЕДАХ Я.Р. Нащёкина, Л.Е. Цыганкова Кафедра неорганической и физической химии, ТГУ им. Г.Р. Державина Представлена членом редк...»

««Шестимесячные очные подготовительные курсы по математике» Раздел 1. Характеристики учебных занятий Цели и задачи учебных занятий 1.1. Подготовка слушателей к успешной сдаче ЕГЭ (единого государственного экзамена), к поступл...»

«ПОКАЗАТЕЛИ ТЕКУЧЕСТИ И КОНСИСТЕНЦИИ ОСНОВНЫЕ ФИЗИКОХИМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СОСТОЯНИЯ ГРУНТОВ ЗДОБИН Д.Ю. Старший научный сотрудник лаборатории географии почв биолого-почвенного факультета СанктПетербургского государс...»

«Волгоградский государственный университет Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Адрес: 400062, г. Волгоград, пр-т Университетский, 100 Телефон: (8442) 460-27. Факс: E-mail: rector@volsu.ru. Сайт: www. volsu.ru Ректор: Тараканов Василий Валер...»









 
2017 www.pdf.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - разные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.