WWW.PDF.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Разные материалы
 

«В. Ф. Кузнецов Решение задач теплопроводности методом Монте-Карло Москва i973f ОРДЕНА ЛЕНИНА ИНСТИТУТ АТОМНОЙ ЭНЕШИ и м. И. В. КУРЧАТОВА В.Ф. Кузнецов ...»

Ордена Ленина ЙАЭ-2278

Институт атомной энергии

им. И. В. Курчатова

В. Ф. Кузнецов

Решение задач теплопроводности

методом Монте-Карло

Москва i973f

ОРДЕНА ЛЕНИНА

ИНСТИТУТ АТОМНОЙ ЭНЕШИ и м. И. В. КУРЧАТОВА

В.Ф. Кузнецов

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО

Москва

Ключевые слова:

математическая физика, обзор, статистические методы, уравнение теплопроводности, граничные условия, температура А В Н 0 Т А Ц 'А Я Представлен обзор работ в основном зарубежных авторов относительно применимости статистических методАв к решению задач теплопроводности. Описаны три схемы реализации метода Монте-Карло для задачи случайного блуждания: фиксированное случайное блувдание, плавающее случайное блуждание и модифицированный метод Монте-Карло, не использующий случайных чисел, - метод EXOOU.0 (метод миграции). Рассматриваются вопросы представления границ и граничных условий при использовании вероятностного подхода. Приводятся результаты расчетов температур в двумерных плоских областях методом EXODU.S- Делается вывод о перспективности использования метода Монте-Карло и его модификации для решения задач теплопроводности в многомерных областях при самых различных граничных уоловиях.

I. ВВЕДЕНИЕ Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло) состоит в решении различных задач вычислительной математики путем построения случайного процесса с параметрами, равными искомым величинам. При этом определение этих величин происходит путем наблюдения за случайным процессом и вычисления его статистических характеристик, приближенно равных искомым параметрам.



Наибольшие успехи метод Монте-Карло принес в тех областях, где основная математическая задача состоит в исследовании того или иного случайного процесса (напримере задачи нейтронной физики, выделения сигнала на фоне случайных шумов и т, д. ).

Однако существуют вычислительные задачи, которые в СЕоей постановке не связаны с теорией вероятности, но к которым хорошо применим метод Монте-Карло. Наиболее типичный пример - это краевые задачи для эллиптических уравнений (например, для уравнения Лапласа) и родственные им задачи для уравнений параболического типа (основной пример уравнение теплопроводности). Решения этих уравнений тесно связаны с характеристиками некоторых случайных процессов диффузионного типа. Поэтому решение подобных уравнений удобно сводится к моделированию таких процессов. Способ такого сведения показан в [ l ].

Иногда исходной является аналитическая постановка задачи (например, краевая задача для уравнения Лапласа), затем находится случайный процесс (например, процесс блужданий) и вычисляются его статистические характеристики. В других случаях исходным является задание некоторого случайного процесса, аналитическое описание которого весьма затруднительно или вообще никогда не рассматривается.

Е действительности чаще приходится некоторому изучаемому процессу ставить в соответствие упрощенный искусственный процесс, моделируемый на Э М и в некотором смысВ ле приближающий исходный процесс. Так, при решении методом Монте-Карло краевой задачи в некоторой области G для уравнения Лапласа соответствующий случайный процесс есть ороуновское движение в области G с непрерывным временем и оседанием на границе.

Моделируется же обычно процесс блужданий по узлам решетки, вписанной в область G с дискретным временем, так что в каждый момент времени происходит "перескок" ороуновской частицы из узла решетки в соседний. Необходимость такого упрощения обычно диктуется как неполными сведениями о реальном процессе, так и ограниченными возможностями ЭВМ, не позволявшей в приемлемое время воспроизвести слишком сложный процесс.





Интересно отметить, что когда связь между краевыми задачами и случайными процессами была впервые отмечена, то основной интерес к этому факту состоял в том, что оказалось возможным применить методы теории дифференциальных уравнений к исследованию широкого класса случайных процессов. В методе Монте-Карло эта классическая ситуация оказалась обращенной в противоположную сторону. Именно здесь моделирование случайных процессов оказывается очень удобным методом для фактического нахождения решения дифференциального уравнения. Метод Монте-Карло особенно ш.-рсьективен для многомерных задач, так как время на определение значения не/..;ь/:;тиого |«тения я одной точке зависит только от диаметра области.

Из всего вышеизложенного можно, следовательно, выделить две характерные особенно сти метода Монте-Карло. Во-первых, метод Мойте-Ка|ло позволяет моделировать любой процесс, на протекание которого влияют глуччш-ши фмкто]}:. bo-вторых, для многих математических задач, не связанных с какими-либо глучайними процессами, можно искусственно построить вероятностную модель, позволяющую решать эта иадячи.

Таким образом, можно говорить о методе ь.сатНнфЛо кик о некотором универсальном методе решения математических задач. Прич»ч.: область применения метода непрерывно расширяется. Так,с появлением быстродействующих чичл литель::ых машин метод Монте-Карло оказался полезен при решении некоторых ин^'.неьнкл :-!.-дач рялооомена.

Данная работа касается развития и и о с л е д у ш ' w применения вероятностных, методов ( т. е. метода Монте-Карло и его модификаций!• к оч -'i:-. задач теплопроводности. Привлекательность такого подхода выявляется в наиос'"^ 'vpy.'iui.-. задачах теплопроводности, например, при произвольной форме границ и щчтзволыю гонящихся граничны4* условиях, которые могут содержать производные от тоа/ц^оатун. v. направлении нормали к поверхности.

Метод Монте-Карло обычно считается щли^нжил к реиеаию задач, описываемых ляьейными дифференциальными уравнениями с линейными г; эпичными условиями. Тем не менее г о казано, что метод Монте-Карло может быть использ ?ж в задачах теплопроводности при нелинейных граничных условиях - в так называемых илдачах с внешней нелинейностью.

Заслуживающие внимания исследования были проведены Хнуоллом и Перлмуттером [ 5, б] по изучению и Хаджи-Шейком и Спэрроу [ 4, 8] по теплопроводности. Эмери и Карсон э] t рассматривая специфическую и эффективную модификацию метода Монте-Карло, названную методом EXODU.S (метод миграции), указали на применимость этих методов также в случае конвекции.

Настоящая работа касается в основном задач теплопроводности. Об использовании метода Монте-Карло в задачах конвективного теплообмена при ламинарном течении будет лишь вкратце упомянуто. Задачи излучения, которые яо своей природе являются вероятностными и непрерывными, идеально подходят для ЙСПОЛЬЗОР.^ШМ статистических методов з] и в данной работе рассматриваться не будут.

В случае теплопроводности связь между процессами диффузионного типа и статистическими характеристиками некоторого моделируемог-о случайного процесса не столь очевидна, в силу чего задачи теплопроводности в вероятностной не. тшювке требуют, по-видимому, более пристального внимания.

Цель настоящей работы состоит в проведении анализа применимости1 и перспективности использования метода Монте-Карло для тушения задач теплопроводности.

П. СЛУЧАЙНОЕ БЛУДШИЕ

Понятие о решении краевых задач методом ионт^-Карло [_!, 2J Основной составляющей частью решения дифференциальных уравнений методом МонтеКарло является случайное блувдание. Обычно процесс случайного блуждания моделируется на решетке, вписанной в некоторую область G так что в кандый момент времени происходит "перескок" броуновской частицы из одного узла Е соседний.

Идею случайного блуждания удобно расопоттт-.•:. на примере решения задачи.Сирнхле.

Пусть на плоскости ОХУ дана осла.-• G с границей Г = Покроем область О квадратной сеткой Sh с шагом h '. ДХ - лУ - h ( h 0 ), Граничные узлы сетки $н образуют границу области Гь. Причем граница П, представляет собой линейный ряд точек Mpq-CXp^}, аппроксимирующий криволинейную границу Г области G с точностью г,о h. Предположим, что частица М совершает равномерное случайное блуждание по узлам сетки S h. Находясь во внутреннем узле сетки Sh,OHa может за один переход с одной и той же вероятностью, равMij(X,y/) ной 1/4, *пе}реместиться в любой из 4 соседних узлов: Mi+*,j(X*h, у,-), ^.. (.(х -/» цЛ Mt,/*i(X 4 -,i^+fi) или Mi,j-L(*L,yj-h), причем каждый такой переход не зависит o V ' положения частицы и ее прошлой истории. Блуждание частицы М заканчивается как только она выходит на границу П,. В этом случае граница Гн представляет собой поглощающий экран. Очевидно, что с вероятностью, равной I, блуждание частицы М через конечное число шагов заканчивается на границе.

Равномерное случайное блуждание на плоскости можно организовать с помощью генератора случайных чисел.

Пусть на границе Г области G определена некоторая функция 'PCX,у). Перенесем эти значения на границу f\ сетки $ь, При этом каждому граничному узлу gPf, соответствует ближайшая (по горизонтали или вертикали) точка Ы€Г, Для краткости обозначим Пусть Р (, / ; р ^ ) - вероятность того в что траектория частицы, вышедшей из узла Mi г сетки Sht закоглится в граничном узле Мр^ € Д. Так как блуждание частицы неизбежно заканчиваемся на границе Гь в первой же точке выхода ее на границу, то

–  –  –

где суммирование распространяется на все точки lipf границы Гь, причем (2) где Мр'а' — такне граничный узел.

Если Ф ( Х У) рассматривать как случайную величину, принимащую на границе 1 (, значения UpJ • т*° математическое ожидание (среднее значение) Функции 1р(х,У)на границе f j для траекторий, начинащихся в точке iitj(X,y."X выражается следующей формулой'.

Так как частица, начавшая случайное блуждание в точке JtiiJ-, после первого шага имеет равную вероятность попасть в любой из 4 соседних узлов, то случайные блуждания в зависимости от вида траектории распадаются на 4 категории новых случайных блужданий:

–  –  –

Сравнивая (7) с (5) и ( 6 ), мы видим, что они совпадают с точностью до обозначений.

Следовательно, искомые неизвестные tii/ молено рассматривать как математические ожидания if--.

Величины Uii могут быть определены экспериментально. Для достаточно большого числа N равномерных случайных блуаданий частицы по узлам сетки $/, исходящих из фиксированного узла Mil и заканчивающихся на границе fj, заменяя математическое ожидание Щ; эмпирическим математическим ожиданлем, будем иметь 4ifP где (Хр) У^) - соответствующие точки выхода частицы на границу Гн (K = i,2,,..,N).

Формула (8) дает статистическую оценку величины LLij и может быть использована для приближенного решения задачи Дирихле.

Заметим, что с помощью формулы (8) можно определить приближенное значение Ulj решения задачи Дирихле в одкой-единственной точке Mil сетки,5/,, не зная решения эадачи для остальных точек сетки. Благодаря этому свойству метод Монте-Карло вш-одно отличается от обычных стандартных слособов решения подобных задач.

Ш. ФИКСИРОВАННОЕ СЛУЧАЙНОЕ БЛУЩАНИЕ

В классическом случайном блуждании величина шага и траектории фиксируется з а ранее. Такой процесс мы будем называть фиксированным случайным блужданием. Процесс фиксированного случайного блуждания обычно реализуется на узловой решетке с постоянным шагом.

Стационарная теплопроводность, й а о д модели метода из уравнения тешюпроводности. Общие принципы построения модели метода Монте-Карло удобно рассмотреть на примере конечно-разностного представления уравнения Лапласа, которое описывает стационарное распределение температуры в произвольном однородном твердом теле с постоянными свойствами и без внутреннего тепловыделения з ], |_4j.

Рассмотрим задачу о наховдении решения уравнения

–  –  –

Уравнениям (10) и ( I I ) можно дать следующее вероятносчлое толкование: если в данный момент случайно блуждающая частица находится Б ' очке ( X, 'J ), то она имеет равную вероятность перейти в любую из 4 соседних течек в СООТЕРТСТВВИ О Бероятнор„+, стями Р х +, Р х _, р„ р^_. Выбор направлений, в которых будет двигаться + ВМ частица, производится с помощью случайных чисел, вырабатываемых на О М После того как случайно блуждащая частица сделает свой первый шаг, операция "розыгрыша" по направлениям ее движения повторяется. Таким же образом осуществляется 3-й шаг и т. д.

Теперь можно описать процесс расчета температуры в любой внутренней узловой точке ( Xi % У? ). Чтобы начать вычисление температуры в точке ( X;, у; ), в этой точке приводится в движение случайно блуждащая частица. После этого частица начинает блуждать от одной узловой точки к другой. Когда частица достигает уьловой точки на границе, блущдание прекращается и записывается известная в этой граничной точке температура.

Обозначим температуру в конце первого блуждания Tw(i) • Затем из точки ( xt-, // ) выпускается вторая, третья,,,.,N -я частицы и записывают ;я соответствующие температуры в конечных точках блуждания 7*(2) » Tw(3). •-• 7wC-V).

Температура внутренней точки определяется осреднением N температур граничных точек, достигнутых беспорядочно блуждающими частицами.

Следовательно, решение для температуры ТСХ,у) по методу Монте-Карло выражается в виде:

–  –  –

Q - мощность тепловыделения на единицу объема;

где К - коэффициент теплопроводности.

В дальнейшем будет показано, что реализация метода Монте-Карло применительно к данному классу задач возможна и без случайных чиоел.

Наличие в уравнении (13) члена Qh/Нк означает, что эта величина должна учитываться для каждого шага случайного Ллуждания. Например, если J -й случайно блуздавдей частице для достижения границы из точки ( Xt- ?У/ ) требуется М; шагов и в конечной точке блуждания температура равна Tw(J) • ю записывается выражение Тогда решение уравнения V*T= - Q, имеет вид ' (14) ' Таким образом, с помощью простого процесса случайных блужданий легко определить температуру в любой внутренней точке области G.

Интересно отметить, что методом Монте-Карло можно определить температуру в любой отдельно взятой точке тела без расчета вое го поля температур, что пришлось бы делать при использовании обычных матричных методов.

Заметим также, что так как каждая точка ( Х ;, ^ ' ) является просто местом, где произошло некоторое событие в цепи Маркова, то каждую частицу, проходящую через промежуточную узловую точку ( Xi7t/j ), можно рассматривать как частицу, история которой началась в этой точке* Поэтому можно построить распределение температур во всей области, используя информацию, содержащуюся в таких " предысториях", без расчета температуры для каждой внутренней точки в отдельности.

Кроме того, температура во внутренней точке области зависит только от конечных граничных точек Д/ частиц. В таком случае для расчета Т ИШГФТ1 можно использовать уравнение (12) для любого распределения температуры на границе поля вычисления конечных величин ( ХСр\ у ^ ) всего один раз.

Выше было отмечено, что когда случайно блуждающая частица достигает границы с заданной температурой, то блуждание прекращается. Такая граница называется поглощающим экраном, что соответствует первой краевой задаче. Вообще говоря, реализация статистических методов применительно к задачам теплопроводности возможна для любых граничных условий, включая задачи и с нелинейными граничными условиями (например, совместное действие на границе излучения и конвекции). Однако при этом возникают трудности, связанные с представлением границ и граничных условий, а также с их вероятностной интерпретацией.

Особенности различных представлений границ и граничных условий будут подробно рассматриваться при описании схемы плавающего случайного блуждания, которое является в некотором смысле наиболее общим механизмом случайного блуждания.

Задачи нестационарной теплопроводности. Фиксированное случайное блуждание применительно к задачам нестационарной теплопроводности можно рассмотреть на примере соответствующего конечно-разностного представления [ з ], [ 4 ].

Для двумерной задачи при отсутствии тепловыделения его можно записать T(x,y,t) = &

–  –  –

Теперь можно описать применение способа фиксированного случайного блуждания к решениям задач нестационарной теплопроводности.

Пусть, например, требуется определить температуру в точке ( X „ у ) в момент ш времени *П лЬ на двумерной пластине конечных размеров с известным начальным распределением температуры.

Чтобы определить температуру в точке ( X, / ) в момент времени i - п-лЬ, проследим историю А/ частиц. Сначала в точке ( X, у ) в момент времени t =П-лЬ приводится в движение часмца, которая начинает блуждать по узловым точкам в соответствии с вероятностями ( 1 6 ), пока не будет сделано П шагов.

Обозначим через IYI число шагов, накопленное число шагов в процессе блужданий.

Если частица достигла граничной точки, когда П-Ш Q, то записывается температура этой точки в момент времени (п-т)'дЬ • Если же частица при П-m-Q все еще находится внутри области, то записывается температура той точки, в которой справедливо n-m-Q. Множество величин, которое записано для Л/ частиц, начавших блуждание в точке ( X, у ) в момент времени П-дЬ, суммируется. После деления суммы на N получается решение для температуры, которое отвечает методу Монте-Карло.

Все особенности (йиксированного случайного блуждания, которые обсуждались в связи со стационарным случаем, распространяются и на задачи нестационарной теплопроводности. Дополнительно в нестационарном случае возникает важное ограничение, состоящее в том, что 0 A t / b z - I / 2, 1/4 и 1/6 соответственно для одно-, двух- и трехмерных задач.

Это ограничение снимается при использовании плавающего случайного блуждания [8].

1У. ПЛАВАЩЕЕ СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ

Для сетки с очень малыми пространственным шагами в интересующей нас области непосредственное использование фиксированного случайного блуждания может привести к увеличению затрат времени вычисления. Существуют различные схемы ускорения случайных блужданий в методе Монте-Карло, например„ "существенная выборка". В такой схеме известное приближенное решение используется для смещения вероятностей Р%+, Р х _, гу+ » НуОднако вне связи с любыми вопросами о скорости вычислений метод Монте-Карло с фиксированными случайными блужданиями,так же как и конечно-разностный метод,сталкивается с трудностью, связанной с нерегулярностью границ и представления граничных условий, содержащих производные в направлении нормали.

Вышеупомянутые трудности устраняются пун использовании идеи плавающего случайного блуждания JJ4], Задача стационарной теплопроводности. Известно, что существует равная вероятиооть достижения частицей любой точки периметра круга с центром в точке, откуда частица начала свой путь, целиком лежащего внутри области, определяемой границей [т ] (см., например, рис. 2 ). Если круг столь велик, насколько это возможно внутри данной области, то все случайные блуждания внутри крута можно исключить, поместив вместо этого частицу на периметре круга в некоторой произвольно выбранной точке. Процесс иоБторяется до тех пор, пока частица не окажется совсем близко к грашце.

Рассмотрим распределение температуры в однородной двумерной области, изображенной на рис. 2, с радиусом и центром в точке ( х i У )• %

–  –  –

со и f - соответственно полярная угловая координата и угол конуса в сферической системе координат.

функции F ш G являются вероятностными распределениями, соответствующие координатам со и (р. Заметим, что df/Qcj постоянно, но dG/dw = —j^'nu). т. е.

все углы СО равновероятны, а по отношению к углу и это несправедливо.

Соответствующим образом выражаются координаты ( X, у, Z ) после ( I +1)-го шага В случае наличия источников внутреннего тепловыделения уравнения (17) и (19) щрямут вид:

- для двумерного случая

–  –  –

При использовании спосооа плавают..\\ случайного олуждания неооходимо знать продолжительность движения частицы волизи т^имщ. Когда случайно олуадащая частица приближается к границе, то радиус %с окружное.га (или сферы), определящий геометрическое место точек для следущего шага, может стать весьма малым. Соответственно становится малой величина шага, что приводит к увеличению времени на выполнение вычислений. Для устранения этого нежелательного явления можно использовать приближенное представление границы. Подробно этот вопрос обсуждается в работе [ 4 ].

В данном разделе рассматривается лишь вероятностное представление граничных условий.

1. Первая краевая задача. Вше было отмечено, что когда случайно блуждающая частица достигает границы с заданной температурой, тс блуждание прекращается. Такая граница называется поглощающим экраном»

2. Вторая краевая задача. На границе задан теплиьой поток, т. е.

где f] - направление внутренней нормали-, О. - удельный тепловой поток.

Разлагая производную в ряд Тейлора и удерживая члены до второго порядка, имеем Т„ = тлп •*- (f/кнп где Т2п °* температура в тощее, расположенной на расстоянии д П (интервал отражения) от границы.

В уравнение (27) для общности включен член, учитыващик наличие источников тепла, С вероятностной точки зрения уравнение (С?) означает, что если частица находится на границе с заданным тепловым потоком, то она отражается внутрь тела на расстояние и при этом фиксируется значение Такая граница называется отражающим экраном.

3. Смешанная краевая задача (конвективное граничное условие)

-Г*,), ) (28

–  –  –

В работе [ 9 ] показано, что реализация метода Монте-Карло применительно к задачам теплопроводности возможна и без случайных чисел. Описываемая модификация метода Монте-Карло, так называемый метод EXDDUS, состоит в испускании большого числа частиц (обычно Ю 6 ) одновременно в направлениях, определяемых вероятностями перехода из одного узла в соседние. Причем эти вероятности определяются видом дифференциального уравнения, описывающего физический процесс. Когда частицы прибывают в новые узлы, они продолжают двигаться, согласно вероятностям, до тех пор, пока определенное их число не достигнет границы (обычно 99,999$).

Так как при оезграничном увеличении числа частиц в методе Монте-Карло доля тех.

которые идут в любом данном направлении, есть вероятность данного пути,метод Монте-Карло плавно переходит в иетод ШШЗ. Поэтому все математические доказательства справедливые для метода Монте-Карло, могут быть применены для доказательства метода Ш Ш.

Преимущество метода EXODUS, очевидно, состоит в независимости от генератора случайных чисел.

Построение модели метода. Рассмотрим уравнение

–  –  –

В уравнениях (33) все вероятности должны быть положительными. Это ограничение снижает ценность метода для решения задач о конвекции; в безразмерном виде имеем и, следовательно, таким образом, максимальный размер ячейки будет /,. 1__ " и-ЙъРъ • в то время как большой размер ячеГжи возможен вблизи границы с твердым телом, где. В областях, где U близко F. единице, требуются ячейки очень малых размеLL-0 ров. Решение подобных задач рассматривается в [7].

В нашем случае из точки ( X t У ) посылается большое число частиц в соседние точки согласно указанным вероятностям (33)„ Затем лх вновь посылают в соседние узлы и т. д. Этот процесс продолжается до тех пор, пока че.;тицы не достигнут граничной точки и их положение не будет меняться.

Рассмотрим для простоты решение уравнения Пуассона Так же как и раньше, конечно-разностная форма уравнения (34) имеет вид

–  –  –

Z.P;ni-H ** (38) где П относится к соседним с С* точкам (в нашем случае Л =1,2,3),и все вероятности Pin заменяются на Pin/ЩPin + H (см. для сравнения формулу (29).

В данном случае точка d взята так, что в ней нет источников. Если Н ~оо г то любая частица, попадапцая в точку С,, будет немедленно двигаться в С±.

При этом записывается значение Д ; это соответствует задаче Дирихле.

Если же Н - 0, то частица никогда не сможет достичь С[, что соответствует условию полного отражения от границы ЭТ/уп = О- Во всех промежуточных случаях, т. е. при Q*-Ноо,имеет место третья краевая задача.

Численные эксперименты и результаты. В данном разделе описываются несколько численных экспериментов, относящихся к стационарной теплопроводности, и приводятся результаты расчетов. Все расчеты проводились для двумерных плоских областей х. Для расчетов по методу EXODUS была составлена программа на языке ФОРТРАН, основанная на алгоритме, приведенном в работе jVJ.

Расчетные значения температур сравнивались с решением по методу Монте-Карло и с известным точным (или конечно-разностным) решением. Просчитаны примеры, взятые из различных литературных источников [2], [э], [ п ].

Вычисления, представленные в [9], проделаны на машине IBM-7094. Для проверки результатов те же расчеты проделаны автором на БЭСМ-6.

Пример I. Рассматривается область, показанная на рис.4 [9].

–  –  –

Т(О,у) Шаг конечяо-разноств точке X = у = В таблице 4 представлены значения ной сетки п ~Ъ Результаты проделанных расчетов показывают, что методы М о н т е " К а р л ° и у п п и _ м адекватны, хотя последний более быстрый. Устойчивая сходимость метода ьхииир к конечному результату является типичной для этого метода. В противоположность этому общий метод Монте-Карло подвержен колебаниям при большом числе частиц (см..например, табл. I ).

Кроме того, из таблицы 2 видно, что в данном примере метод Монте-Карло сходился к неправильной величине. Этот пример показателен для задач, связанных с зависимостью метода Монте-Карло от генератора случайных чисел.

Таким образом, описанный здесь вычислительный метод E X O D U S типа Монте-Карло является более быстрым по сравнению с обычным методом. Однако этот метод удобен для физических систем, которые можно представить при помощи сетки узлов и для которых вероятности г заранее известны. Хотя излучение газов можно рассматривать подобным образом, число необходимых узлов делает метод ГХОЛШ)непомерно дорогим.

У1. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

11а основании проведенного исследования можно ^делать некоторые выводы:

1. Практические преимущества статистических методов (метода Монте-Карло и его модификаций) применительно к задачам теплопроводности заключаются в большом удобстве и в большей точности, чем для сравнимого в некоторых случаях метода конечных разностей.

Сюда входят, например, многомерные геометрические области, имеющие неэлементарную границу с граничными условиями, содержащими производные в направлении нормали.

Для вышеупомянутого случая трудно предложить конечно-разностный метод, который обеспечил бы точность представления границ и граничных условий, в то время как использование схемы плавающего случайного блуэда-чия позволяет решать задачи данного класса с высокой степенью точности.

2. Следует отметить, что не все описанные модификации метода Монте-Карло (включая и прямой метод) в равной степени конкурентоспособны с конечно-разностной схемой. Наиболее серьезными недостатками обладает схема фиксированного случайного блуждания. Они заключаются в больщж затратах машинного времени, низкой точности и сильной зависимости от генератора случайных чисел.

В схеме плавающего случайного блуждания имеет место лишь зависимость от генератора случайных чисел, А метод EXQBU.S. H s использующий случайных чисел, вообще лишен указанных недостатков. Заметим, однако, что метод EXODUS удобен для геометрических областей, которые можно представить с помощью узловой сетки (прямоугольной или треугольной).

3. Независимо от преимуществ метода EXQDU.S и прямого метода Монте-Карло по схеме фиксированного либо плавающего случайного блуждания важно уяснить пределы их применимости и потребности в них. Если существует аналитическое решение, то его, конечно, надо использовать. Если задача должна быть решена численно, то в качестве возможных следует использовать метод Монте-Карло и модифицированные методы. Большинство приложений метода Монте-Карло реализуется в задачах со сложными граничными условиями, не элементарной геометрией или необычной формулировкой самих условий.

Эти методы лучше всего подходят для расчета переменных в единственной точке, в противном случае время вычислений становится слишком большим.

4. В заключение еще раз отметим основные достоинства метода Монте-Карло. Первая особенность метода - простая структура вычислительного алгоритма. Как правило, составляется программа для осуществления одного случайного испытания. Затем это испытание повторяется N раз, причем каждый опыт не зависит от всех остальных, и результаты всех опытов осредняются.

Кроме того, достоинство метода заключается в возможности вычисления одновременно нескольких эффектов и в возможности применения его к многомерным задачам без большого увеличения стоимости и сложности по сравнению с упрощенными задачами, что является очень ценным качеством. По-видимому, такие задачи станут ооычной ооластью применения метода Монте-Карло.

Особо следует подчеркнуть две характерные особенности метода Монте-Карло, отличающие его от других численных методов. Во-первых, он позволяем моделировать пррятически любой процесс, на протекание которого влияют случайнее Дикторы. Во-вторых, для многих математических задач, не связанных с какими-либо случайными процессами, можно искусственно построить вероятностную модель, позволяющую ремг-ь эти задачи (например, задачи теплопроводности).

Эти две особенности позволяют говорить о методе Монти-Качло как о некотором универсальном методе решения математических задач. Причем обш?о\\ применения метода Монте-Карло непрерывно расширяется. По мере совершенствования бшл-родействущих ЭВМ, приводящего к снижению стоимости и времени счета, круг задач, ког-срыс решаются рассмотренными здесь методами, будет непрерывно расширяться.

ЛИТЕРАТУРА

Н.П.Бусленко, Д.И.Голенко, И.М.Соболь, В.Г.Срагович, Ю.А.трейдер. Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло), Фиамаягиа, СМБ, 1962.

Б.ПДемидович, И.А.Марон, Э.З.Шувалова. Численные методы анализа."Наука1; 1967.

2.

3. Т.Ирвайн, Дж.Хартнерт. Успехи теплопередачи, "Мир", 1970.

, Хаджи-Шейк, Спэрроу. Решение задач теплопроводности вероятностными методами, в журнале "теплопередача", "Мир", № 2, стр. I, I967.

, Хауэлл, Перлмуттер, Применение метода Монте-Карло для расчета лучистого теплообмена в излучавдей среде, заключенной между серыми стенками, в журнале'Теплопередача", "Мир", * I, стр. 148, 1964.

6. Хауэлл, Перлмуттер, Метод Монте-Карло в задаче о лучистой теплопередаче в сером газе между двумя концентрическими цилиндрами, в журнале Теплопередача" "Мир", № 2, отр. 46, 1964.

7. Чандлер, Паная, Стивене, Цинсиейстер. Решение задач установившегося конвективного теплообмена метола фиксированного случайного блуждания, в иурнале "Теплопередача", "Мир", It 3, стр. 87, 1968.

. Haji-Sheikh A., Sparrow E.M.S The floating random walk and i t s application t o Monte Carlo solutions or heat equations, J. SIAM, 14, 5/0, 1966.

i. iflnory A.P., Carson W.W., A modification to the Monte Carlo Method - The Exodus Method, A M paper 66-WA/HT-61, 19Ь6.

SE О. Brown G.w., i n Modern Mathematics for the Engineer, Bechenbach E.j?., ed., Ch. '12 McGraw-Hill, N.Y., 1956.

11. Ehrlioh L.W., Monte uarlo solutions or boundary value problems involving the difference analogue of UM + $?U +. (&) Ш — П, J. Assoc. Comput.

х и Mach., 6, 20Ч-, 1959. дХ* ду* У' ду

–  –  –



Похожие работы:

«Л А Б О Р А Т О Р Н А Я Р А Б О Т А №7 ПАКЕТ CORSIKA – ИНСТРУМЕНТ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ШАЛ Введение Физика космических лучей давно использует атмосферу Земли как гигантский детектор частиц высо...»

«I XJ9800116 ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ Дубна Р2-97-309 А. М. Балдин, А. А. Балдин РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА: ПРОСТРАНСТВО ОТНОСИТЕЛЬНЫХ 4-СКОРОСТЕЙ, СИММЕТРИИ РЕШЕНИЙ, ПРИНЦИП ОСЛАБЛЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИЙ, ПОДОБИЕ, ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ АСИМПТОТИКИ Направлено в журнал «ЭЧАЯ» 29...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение Высшего профессионального образования «Уральский государственный университет им. А.М. Горького» Физический факультет Кафедра общей и молекулярной физики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС Д...»

«УТВЕРЖДАЮ Директор А.В. Вахрин «01» сентября 2016г. Рабочая программа по математике Пермь 2016-2017 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА (скорректированная) по математике для 5 – 6 классов Современное образование Рабочая программа по математике для 5-6 классов составлена на основе Фундаменталь...»

«НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ АРМЕНИЯ Химический журнал Армении 58, 14, 2005 ХИМИЧЕСКАЯ ТЕХНОЛОГИЯ УДК 661.183.9+547.477.1 ЛИМОННОЙ ВЫДЕЛЕНИЕ И ОЧИСТКА СОЛЕЙ ЛИМОННОЙ И ИЗОЛИМОННОЙ КИСЛОТ ИЗ...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Ивановский государственный химико-технологический университет С.Е. Сахаров, М.Ю. Колобов ВЫПОЛНЕНИЕ ЧЕРТЕЖЕЙ НА ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ ТЕЛ Учебно-методическое пособие Иваново 2016 УДК 514.182 Сахаров С.Е. Выполнение чертежей на взаимное перес...»

«Алхимия духа Великая Книга управления миром УДК 133.4 Все права защищены. Никакая часть данной книги не может быть ББК 86.41 воспроизведена в какой бы то ни было форме П17 без письменного разрешения владельцев авторских прав. Папюс. П17 Практическая магия. Великая Книга управления миром / Папюс. — Москва : АСТ, 2015. —...»








 
2017 www.pdf.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - разные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.