WWW.PDF.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Разные материалы
 

«§ 1. Специфика математических абстракций Стержневым вопросом философских проблем математики является отношение ее понятий к реальности, другими словами - вопрос об объективном ...»

Глава I

ОБЪЕКТЫ, МЕТОД И ПРЕДМЕТ МАТЕМАТИКИ

Для более или менее подробного обсуждения предмета

математики необходимо предварительно выяснить генезис и

особенности ее важнейших исходных понятий. Такой путь

является единственно правильным, поскольку она отличается исключительным своеобразием по сравнению с другими

областями знаний, прежде всего используемыми ею абстракциями. По мнению некоторых, в том числе и крупных, специалистов (например, Рассела), это отличие настолько значительно, что лишь „из любезности" математику можно называть наукой. Несмотря на излишнюю категоричность такого рода суждений, в них имеется свой резон. Этот вопрос мы более подробно обсудим в конце главы (§ 3), после выяснения основополагающих принципов математики, особенностей ее абстракций и описания действительности.

§ 1. Специфика математических абстракций Стержневым вопросом философских проблем математики является отношение ее понятий к реальности, другими словами - вопрос об объективном содержании такого знания.

От того, как решает этот фундаментальный вопрос тот или иной ученый, во многом зависит характер освещения им многих других основополагающих проблем математики. Впрочем, общая мировоззренческая позиция в значительной мере определяет характер и результаты философско-методологического анализа всех важнейших исходных понятий, принципов и метода математики, составляющих ее теоретический фундамент.



Уже древние мыслители по-разному решали этот основной вопрос. Аристотель, например, справедливо полагал, что категории математики своим источником имеют материальную действительность, тогда как его учитель Платон утверждал нечто противоположное — то, что мир вещей есть слабая „тень" сверхчувственного мира идей, равно как и математических понятий 1. В общем случае идеалист рассматривает их как чисто произвольные конструкции ума либо полагает, что эти понятия существуют до и вне мыслящего субъекта („реализм"), имеют доопытное происхождение (априоризм), являются результатом условного соглашения (конвенционализм).

Чтобы лучше понять характер этих взаимоотношений, необходимо рассмотреть ключевой вопрос - процесс образования математических абстракций. В целях соблюдения определенной логической последовательности напомним сначала, как он происходит вообще и каковы его особенности.

Процесс абстрагирования есть существенный и необходимый прием познания окружающей нас действительности. Если на чувственной ступени познания человек с помощью ощущений отображает явления природы, то путем мышления (в обобщенной форме и опосредованно) он проникает в сущность этих явлений. Однако было бы ошибкой полагать, что здесь происходит просто логическая переработка чувственных данных, что в мышлении нет ничего, чего не было бы в ощущениях.

Такая упрощенная картина процесса познания» развивавшаяся еще английским материалистом XVII в.Дж. Локком 2, конечно же, несостоятельна, ибо в лучшем случае сводит научное знание к его эмпирическому уровню и является теоретическим оправданием „гносеологической робинзонады", когда сознание рассматривается как свойство лишь индивида и фактически игнорируется его социальная сущность. Не случайно в рамках таких эмпирических концепций (хотя бы и в ее модернизированных вариантах 3 ) невозможно объяснить отсутствие чувственной наглядности у многих теоретических, особенно математических, абстракций.

Если говорить более точно, то, по мнению Платона, математическое знание непосредственно связано с чувственностью и потому должно считаться знанием второго сорта. Необходимо вместе с тем заметить, что именно в Академии Платона выросли ведущие математики древнего мира — Архит из Тарента, Теэтет, Евдокс и др. Они были не только учениками Платона в философии, но и его учителями в области математики. Именно под их влиянием Платон в своем "Государстве" в качестве философской пропедевтики рекомендовал четыре науки — арифметику, геометрию, теорию гармонии и астрономию. Под влиянием пифагорейцев, которые тетрактису (четверице) придавали особое значение, найдя, что звуки струн с отношениями длин 1: 2 и 2 : 3 отличаются соответственно на октаву и квинту, сводя все в природе к четырем геометрическим элементам (точка, линия, поверхность и тело), полагая даже, что количество небесных тел равно 10 (сумма чисел 1, 2, 3, 4), Платон поддерживал идею четырех начал, стихий в природе - земля, воздух, вода и огонь.

По мнению Дж. Локка, любое абстрагируемое свойство должно иметь чувственно-наглядный характер. Например, понятие „животное" образуется в результате фиксации общего в идеях „человек" и „лошадь" (Локк Дж. Избр.

философские произведения. М., I960. Т. 1. С. 411).

Денотационный подход, логическая атомистика, расселовская номиналистическая теория языка и тому подобные концепции (см. об этом: Козлова М. С. Философия и язык. М., 1974).

На самом деле, понятийное мышление исследователя — это не только и не столько результат переработки чувственных данных, сколько процесс, обладающий относительной самостоятельностью и обусловленный наличием достаточно развитого категориального аппарата, который используется субъектом.

Выступая против идеалистического априоризма в его многообразных исторических формах, необходимо вместе с тем учитывать роль знаний самого познающего субъекта, которые являются итогом его обучения и воспитания и, стало быть, в значительной степени отражают духовную историю всего человечества.

Не соглашаясь с категоричностью высказанной И.Кантом в "Критике чистого разума" мысли об априорности того, что человек в процессе познания добавляет „от себя самого" 4, мы вместе с тем должны противопоставить упрощенным представлениям эмпириков и сенсуалистов диалектико-материалистическое истолкование сложного процесса отражения действительности. Необходимо, в частности, учитывать то принципиально важное обстоятельство, что теоретический уровень знаний, находясь в органическом единстве с эмпирическим, обладает относительной самостоятельностью. К тому же в познании наличествует ценностный аспект и используются соответствующие научные идеалы и нормы, хотя это и не всегда происходит в явном в и д е 5.

Известно, что в процессе мыслительной деятельности человек неизбежно отвлекается от каких-то несущественных сторон изучаемого объекта, выделяя в нем лишь некоторые, существенные, свойства. Это и есть прием абстрагирования, в основе которого лежит анализ.

Своей ближайшей целью он имеет получение более глубокого и „чистого" знания об объекте, чем на чувственной ступени познания. В. И. Ленин по этому поводу писал: „Мышление, восходя от конкретного к абстрактному, не отходит если оно правильное... от истины, а подходит к ней... все научные... абстракции отражают природу глубже, вернее, полнее".

Этот процесс завершается образованием исходных абстракций, однако они есть нечто „одностороннее", „неразвитое", „неконкретное" (К. Маркс). Поэтому необходимо учитывать и вторую, только мысленно отделяемую от первой стадию познания - движение теперь уже от абстрактного к конкретному. Такое восхождение путем синтеза и дает более глубокие и правильные представления об изучаемом объекте.

„Конкретное, - указывал К. Маркс, - потому конкретно, что оно есть синтез многих определений, следовательно, единство многообразного. В мышлении оно поэтому выступает как процесс синтеза, как результат, а не как исходный пункт, хотя оно представляет собой действительный исходный пункт и, вследствие этого, также исходный пункт созерцания и представления. На первом пути полное представление испаряется до степени абстрактного определения, на втором пути абстрактные определения ведут к воспроизведению конкретного посредством мышления" 7. Происходит синтез абстракций, дальнейшее Кант И. Соч.: В 6 т. М., 1964. Т. 3. С. 105.

Сокулер 3. А.

Проблемы обоснования знания. М., 1988. С. 51.

Ленин В. И. Поли. собр. соч. Т. 29. С. 152.

Маркс К., Энгельс Ф. Соч. Т. 12. С. 727.

развитие теории путем включения в нее добытых знаний. Впрочем, это обогащение науки не следует понимать как чисто кумулятивный процесс, в духе плоской постепеновщины. Как и в любых других явлениях природы и общества, здесь налицо единство эволюционных и революционных, количественных и качественных изменений 8.

С завершением второй стадии познания человек проникает в сущность изучаемых объектов, так что его знание оказывается более глубоким и в этом смысле более конкретным, чем их чувственный образ. Это и понятно. Ведь в результате живого созерцания отображается лишь внешняя сторона явлений в широком смысле этого слова (в узком смысле они проявление сущности), тогда как в результате абстрактного мышления постигается их внутренняя сторона, сущность.





Не было бы никакой необходимости в науке, если бы путем непосредственного живого созерцания мы получали столь же глубокое представление об изучаемом явлении, как и посредством абстрактного мышления. Кстати, это значительно проясняет то, почему современная математика зачастую способна глубже и адекватнее описывать сложные процессы действительности, хотя по мере своего развития ее понятия имеют все меньше сходства с реальными явлениями окружающего нас мира, утрачивают свою наглядность9.

Итак, чувственный образ содержит, как правило, более богатую информацию об объекте, но в результате логического мышления наши знания оказываются более глубокими и достоверными (явление, отмечает В. И. Ленин, богаче, но сущность - глубже).

Таковы характерные черты и возможности приема абстрагирования в его органическом единстве с методами восхождения от абстрактного к конкретному, анализа и синтеза.

Все сказанное - азбучные истины марксистско-ленинской теории познания, и мы не напоминали бы их, если бы они не имели решающего значения для освещения нашего вопроса, не проливали свет на проблему образования и использования математических абстракций. В чем же заключается их своеобразие? Здесь мы подходим к кульминационному пункту рассмотрения проблемы.

Как уже отмечалось, процесс абстрагирования в обычных (или, как не совсем верно иногда говорят, „описательных", Кедров Б. М. Ленин и научные революции в естествознании. М., 1980.

С. б; Социальные и методологические проблемы современной науки. М., 1987.

С. 191.

Ойзерман Т. И. Эмпирическое и теоретическое // Вопр. философии. 1986.

№ 1. С. 81.

„опытных", „эмпирических", „неточных", „фактуальных") науках заключается в мысленном отвлечении от несущественных сторон изучаемого объекта.

Однако в математике все оказывается более сложным.

В самом деле, имеются ли такие ее исходные понятия, которые отображали бы реально существующие свойства и стороны предмета, явления, процесса?

Подавляющее большинство специалистов совершенно справедливо дают на такой вопрос отрицательный ответ. И вот почему. В материальной действительности мы, строго говоря, не найдем квадрата, треугольника, прямой линии и тому подобных объектов, с необходимостью используемых в геометрии 10. Иначе говоря, формирование этих объектов нельзя понимать как результат выделения человеком каких-то математических свойств в явлениях внешнего мира. Они в значительной мере - результат творческого воображения, логического конструирования, приема идеализации.

Еще большая опасность таится в противоположных взглядах, в утверждении, будто математические свойства и фигуры есть не что иное, как плод чистой фантазии, который ничего общего не имеет с объективной действительностью. „Для математической мысли, - утверждал, например, голландский ученый А. Рейтинг, — характерно, что она не выражает истину о внешнем мире, а связана исключительно с умственными построениями" 1 1. При такой постановке вопроса исследователь оказывается на еще более ошибочных позициях, чем классический эмпиризм (в этом смысле „наивный реализм"), - на позициях идеализма, априоризма или конвенционализма 12. Это положение было четко сформулировано еще Ф.Энгельсом, который писал: „...совершенно неверно, будто в чистой математике разум имеет дело только с продуктами своего собственного творчества и воображения. Понятия числа и фигуры взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира. Десять пальцев, на которых люди учились считать, т. е. производить первую арифметическую операцию, представляют собой все, что угодно, только не продукт свободного творчества разума" 1 3.

И лишь значительно позже, продолжает эту мысль Ф. Энгельс, „мы доходим до продуктов свободного творчества и воображения самого разума" 1 4, т. е. до таВ обычных науках термин „объект" в зависимости от контекста употребляется в двух различных значениях - в онтологическом и гносеологическом смыслах. В первом случае под объектом понимается то, что существует объективно, независимо от познающего субъекта, а во втором - то, что вовлекается в деятельность познающего субъекта, т. е. „вещь для нас" как сторона „вещи в себе" (Ленин В. И. Поли. собр. соч. Т. 18. С. 119). Математические объекты являются к тому же еще и результатом идеализации (математическая точка, прямая и т. п.), так что приходится отличать их от материальных объектов, от „предмета математики в объективной действительности" (Философские проблемы естествознания. М., 1985. С. 52-57).

Гейтинг А. Интуиционизм. М., 1965. С. 17.

Рузавин Г. И. Философские проблемы оснований математики. М., 1983.

Гл. II.

Маркс К., Энгельс Ф. Соч. Т. 20. С. 37.

Там же.

ких понятий, связь которых с окружающим миром непосредственно не просматривается 15.

Как же исторически и логически происходил процесс образования исходных понятий натурального числа в арифметике и фигуры в геометрии?

Современный человек легко и просто пользуется десятичной системой счисления, как правило, не задумываясь над ее происхождением. Многие, видимо, считают, что понятие числа не имеет никакой специфики по сравнению с абстракциями других наук и использовалось человеком всегда. На самом деле это не так. Чтобы показать длительность периода и сложность образования понятия натурального числа, достаточно напомнить, что даже в недавние времена у некоторых племен оно еще отсутствовало.

По свидетельству Ф. Нансена, прожившего больше года среди эскимосов, у них не было названий чисел больше пяти, хотя они по-своему справлялись со счетом предметов, количество которых значительно превышало пять.

То же самое говорит о жителях Гвинеи замечательный русский путешественник II. Н. Миклухо-Маклай: „Папуас загибает один за другим пальцы рук, причем издает определенный звук, например, „бе, бе, бе...". Досчитав до пяти, он говорит „ибо-бе" (рука). Затем он загибает пальцы другой руки, снова говорит „бе, бе", пока не доходит до „ибон-али" (две руки). Затем он идет дальше, приговаривая „бе, бе...", пока не доходит до „самба-бе" и „самба-али" (одна нога, две ноги). Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого-либо другого" 16.

Как показывают исследования древней культуры, в ранний период развития общества люди действительно не имели понятия числа, хотя своеобразный счет ими, естественно, осуществлялся: скажем, величину стада овец они выражали с помощью пальцев рук. Со временем количество объектов стали определять путем отождествления их совокупности с равночисленным множеством других предметов (ракушек, камешков и т. п.). Например, при изготовлении гигантских статуй на о. Пасхи туловища из серого камня и „парики" из красного вытесывались в разных каньонах, так что туземцы, не умея считать, были вынуждены употреблять камешки, сопоставляя их сначала с телами, а затем с головами.

Как видим, первоначально человек не отделял количество вещей от них самих, используя так называемые „именоДж. Ст. Милль все теоремы геометрии рассматривал в качестве „законов внешней природы", устанавливаемых „путем обобщения наблюдений и опытов" (Милль Дж. Ст. Система логики силлогистической и индуктивной. М.,

1914. С. 561), т.е. с позиций „наивного реализма", классического эмпиризма.

Миклухо-Маклай Н. Н. Путешествия. М.; Л., 1940. Т. 1. С. 280.

ванные числа" - две руки, три пальца и т. п. И только значительно позже он стал абстрагировать понятие числа от вещи, пользоваться рядом натуральных, порядковых и количественных чисел. Их люди научились произносить в виде членораздельных звуков определенной упорядоченности, а с появлением письменности записывать с помощью знаков. „Чтобы считать, - замечает Ф. Энгельс, - надо иметь не только предметы, подлежащие счету, но обладать уже и способностью отвлекаться при рассматривании этих предметов от всех прочих их свойств кроме числа, а эта способность есть результат долгого, опирающегося на опыт, исторического развития" 1 7.

Это был гигантский качественный скачок в совершенствовании представлений человека о мире (Д. Гильберт), подготовленный всем ходом развития духовной культуры человечества. При этом в сложном и трудном процессе становления понятия натурального числа первостепенное значение имела фундаментальная для науки абстракция отождествления, использование которой, справедливо замечает С. А. Яновская, далеко не исчерпывается областью математики18.

К. Маркс, излагая научную теорию стоимости, тоже использовал эту абстракцию. Он отмечал, в частности, что случайная форма обмена осуществляется в результате простого сравнивания одного товара с другим (1 сюртук, например, приравнивался к 20 аршинам холста). Позднее в качестве некоторого общего эквивалента выступает какой-то достаточно ходовой товар - крупный и мелкий рогатый скот, разного рода ткани, пшеница и пр., когда различные товары приравниваются в определенных отношениях к одному какому-то товару, который выступает в качестве общего эквивалента (развернутая форма стоимости). Со временем возникает всеобщая форма стоимости, предполагающая в качестве всеобщего эквивалента один и тот же товар, а еще позднее таким всеобщим эквивалентом становятся денежные знаки и золото 1 9. Как и натуральное число, стоимость проявляется в результате сравнения различных товаров путем соотнесенности, репрезентации, представленности одного в другом (в этом суть абстракции отождествления).

Существенно, что выявление тождества не только не исключает, но, наоборот, предполагает различия между сопоставляемыми объектами 2 0. Без единства этих противоположностей сравнение как таковое теряет всякий смысл.

Итак, практические потребности в счете и измерениях, связанные с развитием общественного производства, раздеМаркс К., Энгельс Ф. Соч. Т. 20. С. 37.

Сборник статей по философии математики. М., 1936. С. 134-135; Рузавин Г. И. Философские проблемы оснований математики. С. 21-23.

Маркс К., Энгельс Ф. Соч. Т. 23. С. 79.

Об опытном происхождении первоначальных математических понятий см.: Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. М., 1969; Клайн М.

Математика: утрата определенности. М., 1984.

пением труда и совершенствованием экономических связей и форм обмена, явились причиной такого революционного акта, как возникновение понятия натурального числа, что, в свою очередь, послужило исторически исходным пунктом дальнейшего развития математики21. А поскольку решающую роль здесь сыграла абстракция отождествления, то логическое определение понятия числа осуществляется с обязательным ее использованием.

По мнению известного ученого Г. Фрёге, число есть не что иное, как общее свойство класса эквивалентных множеств совокупностей предметов независимо от их качественной определенности и природы. При этом никакого значения не имеет, о чем идет речь - о предметах домашнего обихода, головах скота или орудиях труда. Важно, чтобы сравниваемые множества обладали изоморфизмом, когда каждому члену одного соответствует единственный член другого 22.

В том же духе высказываются Б. Рассел, Дж. фон Нейман и другие видные ученые.

Итак, в логическом определении натурального числа как бы сокращенно воспроизводится исторический процесс становления и развития техники счета и понятия числа. Главное, повторяем, учитывать, что при этом фиксировалось не отношение „вещь-свойство", как может показаться на первый взгляд (число не присуще отдельному предмету так, как его масса, цвет и пр.), а отношение „вещь — вещь" (С. А. Яновская). Только впоследствии с помощью чисел стали характеризовать свойства различных тел, предметов, объектов.

Наряду с использованием абстракции отождествления в период зарождения математического знания применялась операция сравнения, которая допускает оценку в суждениях типа „больше", „меньше", „равно". В дальнейшем большую роль сыграли также операции косвенного измерения, когда фокус человеческого внимания смещался в сторону отношений между числами, в которых отражались реальные взаимосвязи между объектами, что свидетельствовало о возрастании активности познающего субъекта. Благодаря косвенному измерению возникли три другие простейшие арифметические операции - вычитание, умножение и деление. В. Вундт писал, что без косвенного измерения величин „никогда бы не развилось математическое мышление".

Метод соотнесенности, который выявляет схожие черты в сравниваемых предметах, лежит в основе формирования и Подробнее об этом см. в кн.: Горский Д. Я. Определение. М., 1974.

Строгое определение изоморфизма предлагает Н. Бурбаки (Бурбаки Н.

Элементы математики, м., 1958).

понятия фигуры, поскольку при этом используется принцип подобия, выражающий важнейшее общее свойство различных геометрических тел. Однако здесь все обстояло значительно сложнее, хотя восприятие числа менее доступно, чем геометрического объекта. Категория числа отразила реальные, четко локализованные в пространстве и времени тела и предметы макромира. Понятие же фигуры складывалось без его точного прообраза в действительности, поэтому человек вынужден был пользоваться не только абстракцией отождествления, но и приемом идеализации в явном виде.

Сущность этого приема заключается в образовании таких абстракций, которые отражают не реально существующие свойства объекта, а „значительно отклоняющиеся или даже воображаемые" (Н.А.Шанин). В природе, как уже отмечалось, не бывает линий, точек, правильных треугольников, квадратов и других геометрических фигур. Между тем без этих исходных, первоначальных понятий в математике не обойтись. И ученые вынуждены были логически конструировать такие объекты, имея лишь в какой-то мере сходную внешнюю форму предметов в окружающей нас действительности.

У кристаллов зачастую довольно правильная форма, тем не менее и в данном случае говорить о наличии математических свойств было бы неправомерно. Другой пример. Солнце, а также Земля и другие планеты человеку давно представлялись в виде шара, но мы сегодня хорошо знаем, что это не совсем верные, точнее, совершенно неверные, представления. Так, наша планета как бы сплюснута (в районе полюсов) и потому является эллипсоидом вращения и даже геоидом. Кроме того, на ней имеются, как известно, различные неровности. Словом, шаром ее никак считать нельзя, как, впрочем, и все остальные небесные тела и иные подобные им предметы окружающего нас мира.

„Геометрия, — писал Рассел, — имеет дело с такими окружностями, но ни один чувственный объект не является точно круглым, и как бы мы тщательно ни применяли наш циркуль, окружность всегда будет в некоторой степени неправильной" 2 3.

Исходные первоначальные понятия арифметики и геометрии не могут быть определены классическим способом (т. е.

подведены под более широкое родовое понятие с указанием на видовое отличие), потому что не существует более широких фундаментальных категорий математического характера.

По этой причине определения точки, прямой и других исходных понятий даны Евклидом, например, на интуитивном уровне и при дальнейшем доказательстве теорем фактически не использовались. (Геометрическая точка, по Евклиду, это то, что не имеет частей; у линии нет толщины, она является следом движущейся точки; плоскость - результат движения пряРассел Б. История западной философии. М., 1959. С. 56.

мой линии и т. д.) Впрочем, и значительно позже многие ученые вынуждены были давать определение исходных математических понятий на интуитивном уровне.

Итак, объекты действительности представляют собой единство дискретного и непрерывного (недизъюнктивность), что касается, естественно, и их количественной определенности.

Если в натуральном числе фиксируется дискретность и в связи с этим устойчивость внешней стороны явлений действительности, то в понятии фигуры - непрерывность и тоже устойчивость. Примечательно, что здесь допускаются значительно большие огрубления, чем в первом случае, поскольку человек постоянно находится в окружении макротел, довольно четко фиксированных в пространстве.

В этих двух исходных понятиях нашла своеобразное отражение количественная сторона явлений, тел материальной действительности, характеризующая их величину и внешнюю форму. Это и дало Ф. Энгельсу основание сделать вывод, что математика изучает пространственные формы и количественные отношения объектов действительности24.

Примечательно, что натуральные числа и фигуры оказываются сходными с чувственными образами в том отношении, что в данных понятиях отображается внешняя сторона предметов действительности. Именно это имел в виду Платон, когда сближал математические абстракции с чувственностью.

Но он не учитывал, что отмеченный феномен касается лишь исходных понятий математики. Это впоследствии подчеркивал Кант.

Абстракции математики многоступенчаты, имеют разную степень общности. На первых этапах ее развития в понятии числа отвлекались от качественных особенностей реальных объектов, позже - от конкретных чисел и величин в результате создания алгебры и введения буквенной символики. Наконец, на современном этапе отвлекаются даже от конкретного содержания зависимостей, так что, например, обычные арифметические действия (сложение, вычитание, умножение и деление), осуществляемые с абстрактными объектами математических структур, предстают уже в виде абстрактных операций.

Различный уровень этих абстракций, образующих возвышающуюся над первоначальными понятиями числа и фигуры расширяющуюся вверх пирамиду, обусловливает сложную иерархию структур, игнорирование которой, справедливо замечают И. А. Акчурин, В. В. Ильин, К. Е. Морозов, Н. Н. Моисеев, И. Г.Федоров и д р., приводит к абсолютизации количественной концепции.

Маркс К., Энгельс Ф. Соч. Т. 20. С. 37.

Герц Г. Марксистская философия и естествознание. М., 1982. С. 174.

Абстракции современной математики в значительной степени отличаются от исходных понятий. Они выражают не только количественную сторону реальных процессов объективной действительности [здесь важно учитывать „принцип иерархии структур" (по Бурбаки)]. В противном случае трудно объяснить удивительную, „непостижимую эффективность математики в естествознании" (Ю. Вигнер), тот факт, что ее нынешние модели зачастую описывают довольно неплохо сложные процессы материальной действительности.

Кстати сказать, позиция сторонников количественной концепции выглядит искусственной, неправомерной. Понятие количества (и качества) в математике и всех остальных науках не должно отличаться от философского26: попытки в прошлом различать, например, два понятия материи (философское и естественнонаучное) были, как известно, признаны ошибочными.

Количество27 - это и внешнее, и внутреннее, и различное в сходных по качеству объектах, и вместе с тем сходное в различных по своему качеству вещах. Это такая определенность предметов, явлений, которая характеризует их величину, форму, интенсивность свойств, темпы развития и т. п.

Очевидно, что философия изучает не только качество, но и количество. Точно так же ошибочно полагать, будто математика исследует лишь количественную сторону процессов действительности. Нет, она описывает в какой-то мере и качественную сторону явлений материальной действительности (правда, частично, косвенно, опосредованно и своеобразно, с помощью особого искусственного языка), тем более, что существует неразрывная связь количества и качества.

Уже исходные категории математики количественную сторону явлений действительности отображают дизъюнктивно и в этом смысле неадекватно, огрубленно. В дальнейшем используются понятия все более высоких уровней общности (абстракции от абстракций), зачастую не имеющие никакого референта в окружающем мире (например, любой тройке действительных чисел соответствует точка в реальном пространстве трех измерений, а для четверки, пятерки и f. п. чисел адекватны уже так называемые многомерные, параметрические, пространства). Тем не менее современная математика точнее, полнее описывает реальные явления, чем раньше. Это происходит, очевидно, благодаря потенциальным возможностям аксиоматического метода и способностям развитой математики выражать в какой-то мере и качественную сторону процессов действительности. При этом количество не сводится к величинам или выражающим их числам, как это было до второй половины XIX в.

Рассматриваемые абстракции обладают спецификой. Их характерной особенностью является следующее: отвлечение Нысанбаев А. Диалектика и современная математика. Алма-Ата, 1982.

С. 45.

К сожалению, в многотомной „Математической энциклопедии" отсутствует статья с таким названием.

исходных категорий от качественной стороны объектов действительности, наличие элементов идеализации, значительная относительная самостоятельность этих понятий, ведущая к необходимости создания „идеальных элементов", не имеющих никакого прообраза в объективном мире (, например), иерархия математических абстракций, о которой речь шла выше (в физической науке идеализированные объекты создаются для того, чтобы можно было применить математический аппарат).

Следует обратить внимание еще на одно важное в методологическом отношении обстоятельство. Речь идет о том, что в любом случае исходные понятия фиксируют момент устойчивости явлений окружающего мира, которые на самом деле представляют собой, как известно, единство устойчивости и изменяемости, так что каждый объект есть и результат, 'и процесс, и то и не то, движущееся тело и находится в данном месте, и вместе с тем его там нет. Если натуральное число можно рассматривать как инвариант класса эквивалентных множеству то фигуру - как инвариант внешней формы подобных тел. Как указывает Ф. Энгельс, прообраз числа и фигуры можно легко обнаружить в материальной действительности28.

Итак, в исходных понятиях элементарной математики отображаются либо дискретность и устойчивость внешней количественной стороны явлений действительности, либо (как это имеет место в случае понятия фигуры) непрерывность и опять-таки устойчивость внешней формы предметов материального мира. Этот вывод имеет исключительное методологическое значение для последующего анализа философских оснований данной отрасли знаний.

Маркс К., Энгельс Ф. Соч. Т. 20. С. 37.

"...В геометрии, - замечает С. А. Яновская, - мы имеем дело с непрерывными величинами" (Яновская С. А. Методологические проблемы науки. М.,

1972. С. 154). См. также: Аристотель. Метафизика. М.; Л., 1934. С. 185-186; Розенфельд Б. А. К истории проблемы непрерывного и дискретного в математике // Учен. зап. Коломенского пед. ин-та. Сер. физ.-мат. наук. 1958. Вып. 1. Т. 2.

С. 62.

–  –  –



Похожие работы:

«ПОЛЕЗНА ЛИ БАНЯ? Особенности физиологии нагретого организма. Ляхов В. Н. к.т.н. инженер-физик. Баня моет, баня парит, баня всё на место ставит! ПРЕДСЛОВИЕ Всем желаю здравия и лёгкого пара! Когда-то Творец создал Вселенную и в ней...»

«Мальцева Елизавета Владимировна ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГУМИНОВЫХ КИСЛОТ, МОДИФИЦИРОВАННЫХ МЕТОДОМ МЕХАНОАКТИВАЦИИ КАУСТОБИОЛИТОВ, И ИХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С БИОЦИДАМИ 02.00.04 – физическая химия Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата химических наук Томск 20...»

«Васильева Светлана Юрьевна РАВНОВЕСНАЯ СОРБЦИЯ -ТОКОФЕРОЛА НА МОДИФИЦИРОВАННОМ КЛИНОПТИЛОЛИТЕ Специальность 02.00.04 физическая химия Диссертация на соискание ученой степени кандидата химических наук Научный руководитель: доктор химических наук, профессор Котова Д. Л. Воронеж 2014 СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ ВВЕДЕН...»

«VII Всероссийское литологическое совещание 28-31 октября 2013 ОПЫТ КОМПЛЕКСНОГО ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ДАННЫХ ИССЛЕДОВАНИЯ КЕРНА И МАТЕРИАЛОВ ГИС ПРИ ПАЛЕОГЕОГРАФИЧЕСКИХ РЕКОНСТРУКЦИЯХ БАТ-ПОЗДНЕЮРСКОГО ОСАДОЧНОГО БАССЕЙНА НА ЮГЕ ЗАПАДНОЙ СИБИРИ П.А.Ян, Е.М.Хабаров Институт нефтегазовой...»

«Виталий Протов Жизненный путь Эмили Браун «Институт соитологии (ИС)» Протов В. Жизненный путь Эмили Браун / В. Протов — «Институт соитологии (ИС)», ISBN 978-5-457-10932-2 «Карьера Эмили Браун в качестве надзирательницы женской тюрьмы в пригороде Нью-Йорка началась в тот год, когда президентом стал старина Айк. Тепе...»

«ISSN 1991-346X АЗАСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ ЛТТЫ ЫЛЫМ АКАДЕМИЯСЫНЫ ХАБАРЛАРЫ ИЗВЕСТИЯ NEWS НАЦИОНАЛЬНОЙ АКАДЕМИИ НАУК OF THE NATIONAL ACADEMY OF SCIENCES РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН OF THE REPUBLIC OF KAZAKHSTAN ФИЗИКА-МАТЕМАТИКА СЕРИЯСЫ СЕРИЯ ФИЗИКО-...»

«Лобанов Михаил Викторович СТРУКТУРА И СВОЙСТВА ТОНКОПЛЕНОЧНОГО ДИОКСИДА ТИТАНА МОДИФИЦИРОВАННОГО НИОБИЕМ, ИНДИЕМ И ОЛОВОМ 02.00.21 – химия твердого тела АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кан...»

«Булавина Екатерина Владимировна ЭЛЕКТРОВОССТАНОВЛЕНИЕ НИТРАТ-ИОНОВ НА МЕДЬСОДЕРЖАЩИХ КОМПОЗИТНЫХ ЭЛЕКТРОДАХ С ИОНООБМЕННОЙ/УГЛЕРОДНОЙ ОСНОВОЙ Специальность 02.00.05 – электрохимия Диссертация на соискание ученой степ...»










 
2017 www.pdf.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - разные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.