WWW.PDF.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Разные материалы
 

Pages:   || 2 |

«МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Допущено УМО по классическому университетскому образованию РФ в качестве учебного пособия для студентов высших ...»

-- [ Страница 1 ] --

1

Оглавление

Г.А. Миронова, Н.Н. Брандт, А.М. Салецкий

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

И ТЕРМОДИНАМИКА.

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Допущено УМО по классическому университетскому образованию РФ

в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений,

обучающихся по направлению 010700.62 «Физика»

и по специальности 010701.65 «Физика»

Москва Физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова

2 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТНРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

УДК 536 ББК 22.36 М 63 Г.А. М и р о н о в а, Н.Н. Б р а н д т, А.М. С а л е ц к и й. Молекулярная физика и термодинамика. Методика решения задач / Учебное пособие. М.: Физический факультет МГУ, 2011. 376 с.

ISBN 978-5-8279-0095-5 Учебное пособие по решению задач молекулярной физики написано на основании многолетнего опыта проведения занятий по физике на физическом факультете МГУ и является составной частью серии учебнометодических разработок кафедры общей физики физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. В пособии рассматриваются в первую очередь наиболее характерные и типичные задачи. С этой целью наряду с оригинальными задачами были использованы формулировки условий задач из существующих учебников, задачников и учебных пособий, которые подвергались существенному исправлению и доработке.

Содержание пособия разделено на главы, с максимальной привязкой к действующему тематическому плану семинаров по молекулярной физике и термодинамике. Каждая глава включает в себя теоретический материал, примеры решения задач, а также задачи для самостоятельного решения.



Настоящее пособие предназначено для студентов высших учебных заведений и имеет целью помочь им овладеть основными методами и приобрести навыки решения задач молекулярной физики и термодинамики.

Рецензенты: д.ф.-м.н., профессор В.А. Макаров д.ф.-м.н., профессор А.В. Уваров ISBN 978-5-8279-0095-5 © Физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова, 2011 г.

© Коллектив авторов, 2011 г.

Оглавление К читателям серии пособий

«УНИВЕРСИТЕТСКИЙ КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ»

На кафедре общей физики физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова создан и готовится к изданию «Университетский курс общей физики», предназначенный для студентов физических специальностей вузов.

Курс охватывает четыре раздела: «Механика», «Молекулярная физика и термодинамика», «Электромагнетизм» и «Оптика». Отличительной особенностью данного курса является то, что в нем в методическом отношении осуществлено единство основных форм обучения физике: лекции, лабораторные работы и семинары. В системе университетского образования теоретический материал излагается в основном в лекционных курсах, а умение решать задачи отрабатывается на семинарских занятиях. Развитие навыков эксперимента и анализа его результатов происходит в процессе занятий в общем физическом практикуме. В связи с этим, каждый раздел курса состоит из четырех пособий: «Лекции», «Лекционный эксперимент», «Лабораторный практикум» и «Методика решения задач».

Каждая глава пособия «Лекции» содержит материал базового уровня, соответствующего программе курса, и отражает современные тенденции и технологии физического образования. Лекции по каждой теме сопровождаются демонстрацией основных физических экспериментов, описание которых представлено в пособии «Лекционный эксперимент».

Пособием, позволяющим развивать умение решать физические задачи, является «Методика решения задач», которое составлено с таким расчетом, чтобы им можно было пользоваться для самостоятельной работы. Весь материал разбит на главы. Разбор задач всех глав проводится по единой схеме, причем каждую главу можно прорабатывать независимо от других.

Неотъемлемой частью курса общей физики служит лабораторный практикум. Материалы пособия «Лабораторный практикум» достаточны для самостоятельной подготовки к выполнению работ. В связи с этим в пособии имеется как общее теоретическое введение, так и более подробное изложение теории к каждой лабораторной работе. Кроме того, в каждой работе сформулированы цель и идея эксперимента, дано описание установки и подробное изложение последовательности проведения эксперимента и обработки результатов.

Все пожелания и замечания по пособиям курса будут с благодарностью приняты и рассмотрены на кафедре общей физики физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

4 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТНРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие

Глава 1. Основные понятия теории вероятностей.

Биномиальное распределение. Распределения Пуассона и Гаусса

1.1. Теоретический материал

1.2. Задачи с решениями

1.3. Задачи для самостоятельного решения

1.4. Литература

Глава 2. Распределения Максвелла

2.1. Теоретический материал

2.2. Задачи с решениями

2.3. Задачи для самостоятельного решения

2.4. Литература

Глава 3. Распределение Больцмана

3.1. Теоретический материал

3.2. Задачи с решениями

3.3. Задачи для самостоятельного решения

3.4. Литература

Глава 4. Теорема о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы.

Броуновское движение……….95

4.1. Теоретический материал

4.2. Задачи с решениями

4.3. Задачи для самостоятельного решения

4.4. Литература

Глава 5. Первое начало термодинамики.

Теплоемкость

5.1. Теоретический материал

5.2. Задачи с решениями

5.3. Задачи для самостоятельного решения

5.4. Литература

Глава 6. Энтропия.

Второе и третье начала термодинамики................. 145

6.1. Теоретическое введение

6.2. Задачи с решениями

6.3. Задачи для самостоятельного решения

6.4. Литература

Оглавление Глава 7. Циклические процессы. Обратимые циклы. КПД циклов...... 181

7.1. Теоретический материал

7.2. Задачи с решениями

7.3. Задачи для самостоятельного решения

7.4. Литература

Глава 8. Термодинамические потенциалы.

8.1. Теоретический материал

8.2. Задачи с решениями

8.3. Задачи для самостоятельного решения

8.4. Литература

Глава 9. Реальные газы.

Жидкости

10.1. Теоретический материал

10.2. Задачи с решениями

10.3. Задачи для самостоятельного решения

10.4. Литература

Глава 10. Поверхностные явления

11.1. Теоретический материал

11.2. Задачи с решениями

11.3. Задачи для самостоятельного решения

11.4. Литература

Глава 11. Эффект Джоуля – Томсона.

8.1. Теоретический материал

8.2. Задачи с решениями

8.3. Задачи для самостоятельного решения

8.4. Литература

Глава 12. Фазовые переходы

9.1. Теоретический материал

9.2. Задачи с решениями

9.3. Задачи для самостоятельного решения

9.4. Литература

Глава 13. Явления переноса

8.1. Теоретический материал

8.2. Задачи с решениями

8.3. Задачи для самостоятельного решения

8.4. Литература

6 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТНРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемое пособие является составной частью серии учебно-методических разработок кафедры общей физики физического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова «Университетский курс общей физики».

В основе учебного пособия лежит методика решения традиционных задач по молекулярной физике и термодинамике, разработанная для курса общей физики на физическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова. Содержание пособия разделено на тринадцать глав с максимально возможной привязкой к действующему тематическому плану семинаров по молекулярной физике и термодинамике в курсе общей физики для студентов 1-го курса.





Каждая глава в пособии начинается с краткого изложения соответствующего теме теоретического материала, которое сопровождается необходимыми с методической точки зрения комментариями и пояснениями. В раздел «Задачи с решениями» в первую очередь были отобраны те задачи, ознакомление с предлагаемыми решениями которых (как и в случае с типовыми задачами) будет способствовать по мнению авторов лучшему пониманию и усвоению учебного материала. В конце каждой главы приведены формулировки задач для самостоятельного решения, а также список рекомендуемой учебной литературы.

Представленное учебное пособие прошло апробацию в течение двух лет на семинарах во всех учебных группах первого курса физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова и широко обсуждалось на кафедре общей физики. Авторы выражают благодарность сотрудникам кафедры А.В. Быкову, О.Н. Васильевой, В.А. Караваеву, Ю.А. Кокшарову, Е.А. Никаноровой, А.С. Нифанову, С.Б. Рыжикову, М.В. Семенову, Н.Е. Сырьеву за полезные обсуждения и ценные замечания. Особую признательность авторский коллектив выражает рецензентам пособия В.А. Макарову и А.В. Уварову Авторы заранее признательны также всем, кто поспособствует улучшению в дальнейшем этого учебно-методического пособия.

Гл. 1. Биномиальное распределение. Распределения Пуассона и Гаусса

–  –  –

Появление события А при условии, что произошло событие В (ранее или одновременно), будем обозначать как A/B, т.е.

( A / B ) ( A при условии, что произошло B ). (1.8)

–  –  –

Основные теоремы для вероятностей сложных событий.

Формулы сложения.

1. Вероятность суммы несовместных событий А1 и А2 (то есть вероятность появления или события А1, или А2) равна сумме их вероятностей:

P ( A1 + A2 ) = P ( A1 ) + P ( A2 ). (1.11)

2. В общем случае, для любых двух событий А и В вероятность суммы этих событий (то есть вероятность появления или события А, или В) равна P ( A + B) = P ( A) + P( B ) P ( AB ). (1.12) Первое слагаемое учитывает возможность появления события А без события В и события А, совместного с событием В (событие АВ). Второе слагаемое также учитывает эту возможность (событие ВА). Чтобы в вероятности Р(А или В) дважды не учитывать события (АВ), в формуле (1.14) вероятность Р(АВ) вычитается.

Формулы умножения.

1. В общем случае вероятность появления событий (А и В) равна P ( AB ) = P( B) P ( A / B ) = P ( A) P( B / A). (1.13)

2. Для независимых событий P ( A / B) = P ( A) и P ( AB ) = P( A) P ( B ). (1.14) Статистическая система. Микро- и макросостояния. Статистическая система – это совокупность большого числа частиц (атомов, молекул и т.д.), изучаемых методами статистической физики.

Простейшей статистической системой является идеальный одноатомный газ. Но и эта система достаточно сложна, так как каждая частица из n ~ 1019 см 3 (n – число молекул идеального газа, находящихся в одном кубическом сантиметре, при нормальных условиях: давлении р = 1 атм и температуре T = 273 К ) имеет шесть независимых параметров: три координаты и три компоненты импульса, например: x, y, z, px, p y, pz. Значения импульсов и координат любой частицы в произвольный момент времени невозможно предсказать точно. Поэтому все шесть параметров, опредеМОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ ляющих состояние молекулы, являются случайными величинами, а молекулярная система – статистической системой.

Целью анализа статистических систем является определение их макроскопических характеристик (макропараметров), таких например, как полная энергия системы, суммарное действие всех молекул на стенки сосуда, т.е. давление и др. Суммарную характериn стику запишем в виде: A(t ) = ai (t ), где A(t ) – значение суммарi =1 ной характеристики в момент времени t, ai (t ) – значение этой характеристики для i-й частицы. Принципиально, что каждое слагаемое ai (t ) можно было бы рассчитать на основании законов механики (при известных начальных условиях). Однако практически это сделать невозможно. Поскольку значения ai (t ) зависят от большого числа факторов, то характеристики A(t) и ai (t ) рассматриваются как случайные величины и описываются статистически.

Статистический метод описания базируется на знании «микроскопического строения» системы. Поэтому статистическая теория является микроскопической.

Микропараметры – характеристики одной частицы статистической системы, определяющие ее состояние в этой системе.

Микросостояние статистической системы – это состояние, задаваемое значениями всех случайных величин для всех частиц системы, что соответствует наиболее подробному описанию системы.

Макропараметр – величина, которая может быть определена с помощью макроскопических измерений, ее значение зависит от суммарного действия всех частиц системы.

Макросостояние – состояние системы, описанное с помощью макроскопически измеряемых параметров – макропараметров.

Функция (закон) распределения случайной величины – это функция, определяющая вероятность каждого состояния из числа доступных состояний или плотность вероятности (см. определение ниже) случайной величины.

Цель описания случайной величины – получение функции распределения случайной величины, используемой для вычисления средних значений макроскопических параметров и стандартных отклонений от средних значений:

Гл. 1. Биномиальное распределение. Распределения Пуассона и Гаусса Описание Определение случайной Статистический средних значений закон величины макропараметров Рассмотрим сначала такие системы, значения случайных величин в которых не связаны с энергией системы. В частности, для идеального газа к такой системе случайных величин относятся координаты частиц при условии, что газ не находится в каком-либо потенциальном поле.

Статистическое описание микроскопической случайной величины включает в себя определение всех возможных (доступных) состояний этой величины и вероятностей, с которыми она их принимает, т. е определение закона распределения случайной величины.

Основной постулат статистической физики – постулат равной априорной вероятности: если изолированная система находится в равновесии, то ее можно обнаружить с равной вероятностью

Ps в любом из доступных микросостояний:

Ps =, (1.15) где 0 полное число доступных микросостояний.

Термодинамическая вероятность (n, m) макросостояния системы, состоящей из n частиц и имеющей значение макропараметра m, – число микросостояний, которыми осуществляется данное макросостояние.

Математическая вероятность макросостояния P(n, m) равна отношению термодинамической вероятности (n, m) к полному числу 0 доступных микросостояний системы:

–  –  –

p 1 ;

3) Np = const. (1.31) Как и для биномиального распределения, для распределения Пуассона среднее значение случайной величины m = Np и дисперсия 2 = Npq = m, т.к. q = 1.

m Характерной особенностью распределения Пуассона (1.30) является его зависимость только от среднего значения m макропараметра m = Np. Оно не зависит ни от числа опытов N, ни от вероятности появления искомой случайной величины р в каждом отдельном опыте, как в случае биномиального распределения.

Это распределение часто используется в тех случаях, когда нужно найти вероятность обнаружения небольшого числа объектов ( m N ) в N 1 произведенных опытах (случайных выборках) при условии, что вероятность появления этих объектов в каждом опыте мала ( p 1).

Другим важным предельным случаем биномиального распределения является распределение Гаусса (нормальное распределение), функция плотности вероятности которого имеет вид:

( m m )2 PG ( m) = e, (1.32) где m = Np – среднее значение параметра m, = m = Npq – стандартное отклонение от среднего значения. Распределение Гаусса используется Гл. 1. Биномиальное распределение. Распределения Пуассона и Гаусса

1) для систем с большим числом частиц N 1 (как и в случае распределения Пуассона): N ;

2) для значений m, близких к m ;

3) при малом «шаге» изменения макропараметра m.

Высокий и острый при N 1 максимум биномиального распределения P (m) заменяется непрерывной (так как m ) экспоненциальной функцией Гаусса PG (m), а вероятность:

dP(m) = PG ( m)dm.

При этом несколько отличаются «крылья» распределения, соответствующие значениям m, для которых PG (m) PG ( m ).

–  –  –

Задача 1.2.

2. Сколькими способами можно n = 10 одинаковых подарков распределить между m = 6 детьми так, чтобы каждый ребенок получил хотя бы один подарок?

Решение Выделим каждому ребенку по одному подарку, распределение оставшихся k = n m = 4 подарков между детьми подчиняется

18 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

–  –  –

Задача 1.2.

4. Одинаковые шары, число которых равно n, случайным образом раскладывают по k ящикам. С какой вероятностью все шары окажутся в одном из ящиков (событие i)?

Решение Поскольку номер ящика может быть любым, то событие у может осуществиться k способами, и число благоприятных исходов

Ni = k. Число доступных состояний равно числу способов, которыми n шаров можно разложить по k ящикам, а оно определяется числом сочетаний:

Гл. 1. Биномиальное распределение. Распределения Пуассона и Гаусса

–  –  –

Задача 1.2.

6. Какова вероятность вытащить из колоды, содержащей n = 36 карт, либо карту пиковой масти (событие А), либо туза (событие Т)?

Решение Схематическое изображение колоды из 36 карт представлено на рис.1.1.

События А и Т являются совместимыми, поэтому вероятность вытащить либо пики (событие А), либо туза (событие Т) определяется в соответствии с формулой (1.12):

P ( A + T ) = P ( A) + P(T ) P( AT ), где P ( A) = 9 / 36 = 1/ 4, P (T ) = 4 / 36 = 1/ 9.

Рис. 1.1. В левом верхнем углу пики (9 карт), в правом верхнем – бубны (9 карт), в нижнем левом –трефы (9 карт), в правом нижнем – черви (9 карт). Тузы (Т) каждой масти изображены в центре.

20 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

–  –  –

Задача 1.2.

8. Четыре ( n = 4 ) одинаковые монеты одновременно подбрасываются и падают либо «орлом» (о) либо «решкой» (r) вверх. Какова вероятность P (n, m) выпадения m решек при одном броске? Число выпадающих «решек» при одном опыте в данной задаче является макропараметром. Каково среднее значение m числа выпадающих «решек», если опыты продолжаются достаточно долго (в пределе бесконечно долго)? Найти стандартное отклонение m числа m выпадающих «решек» от среднего значения m.

Гл. 1. Биномиальное распределение. Распределения Пуассона и Гаусса Решение Выпадение «орла» (о) или «решки» (r) для одной монеты является случайной величиной. Суммарное число m решек в системе (макропараметр системы), состоящей из четырех случайных величин, также является случайной величиной. При описании макроскопической случайной величины (числа решек в системе) используем два подхода: эмпирический и статистический.

Эмпирическое описание макроскопической случайной величины. Вычисление вероятности выпадения m решек эмпирическим путем основано на определении частоты появления случайного события.

Частота появления случайного события – отношение числа благоприятных исходов опытов N (m) к полному числу N произведенных опытов: N (m) / N.

Таблица 1.1 Данные опытов, проведенных 20 студентами № опыта Число решек, m Число орлов

22 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА.

ЗАДАЧИ

Проделаем следующий эксперимент. Каждому из студентов предлагается сделать один опыт: бросить монету 4 раза и подсчитать число выпавших решек и орлов. Результаты всех опытов записываются на доске. В табл. 1.1 представлены данные опытов N exp = 20 студентов. В таблице 1.2 обобщены опыты N exp = 10 первых студентов, в табл. 1.3 – опыты всех N exp = 20 студентов.

–  –  –

На рис. 1.2 представлены зависимости частот (m) = N (m) / N exp появления m решек в Nexp опытах (у Nеxp студентов) в зависимости от m. Видим, что частота появления зависит от Nexp.

Однако, если увеличивать число экспериментов, то разброс точек на графике будет уменьшаться, и гистограмма будет приближаться к некоторой окончательной форме, определяющей статистический закон:

Гл. 1. Биномиальное распределение. Распределения Пуассона и Гаусса

–  –  –

В механике, например, зная силы, действующие на материальную точку известной массы, можно "предсказать" движение точки, основываясь на законах динамики.

Аналогично, основываясь на полученной зависимости P (n, m) – законе статистики, можно "предсказать", например, у какого числа студентов N(3) выпадет 3 «решки», если в эксперименте принимают участие N студентов, каждый из которых подбрасывает монету четыре раза:

N (3) = N P(n = 4, m = 3) = N P (4,3).

"Предсказание" это будет не точным (в отличие от механики), а наиболее вероятным.

Можно предсказать (и это главное!) наиболее вероятное значение макропараметра m. Не точное состояние системы (в отличие от механики), а наиболее вероятное ее состояние. Статистический закон распределения макропараметра числа «решек» P (n, m) (вероятность из общего числа n опытов иметь m благоприятных) в данной задаче описывается биномиальным законом. Напомним, что P (n, m) – это вероятность, с которой в системе из n частиц m частиц находятся в благоприятном состоянии. Вывод аналитической формулы биномиального закона P (n, m) наиболее нагляден при статистическом описании системы.

24 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

Статистическое описание случайной величины. Описание одной микроскопической случайной величины (одной частицы системы) - это определение всех возможных (доступных) состояний этой величины и вероятности, с которыми она их принимает, т. е нахождение закона распределения случайной величины.

В нашем случае случайная величина может принимать только два значения: «орел» или «решка», выпадение которых предполагается равновероятным. Обозначим значения случайной величины ui.

Поскольку благоприятным, т.е. интересующим нас, исходом является выпадение «решки», то определим случайную величину следующим образом u = 1 при выпадении " решки ";

ui = 1 u2 = 0 при выпадении " орла ".

Учитывая условие нормировки вероятности

–  –  –

Воспользуемся схемой статистического описания макроскопической случайной величины.

1. Анализ доступных микросостояний системы.

2. Подсчет полного числа доступных микросостояний 0.

3. Использование основного постулата статистической физики Гл. 1. Биномиальное распределение. Распределения Пуассона и Гаусса

–  –  –

5. Вычисление среднего значения и дисперсии макроскопической случайной величины.

26 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

В данной задаче система случайных величин состоит из n = 4 монет.

Рассмотрим n=4 одинаковых статистических систем – ансамбль статистических систем (одинаковых c рассматриваемой системой). Запишем весь спектр доступных микросостояний ансамбля систем (два левых столбца табл.1.5).

Так как случайная величина может принимать только два значения – или 0 («орел»), или 1 (r – «решка»), то полное число доступных состояний 0 системы равно 0 = 2n = 24 = 16.

Действительно, 0 = (0 + r ) = 2, для n = 1 для n = 2 0 = (0 + r ) (0 + r ) = (00) + (0r ) + ( r 0) + (rr ) = = 22 = 4, 0 = (0 + r ) (0 + r ) (0 + r ) = 23 = 8, для n = 3 ………………………………………………………………… для любого n 0 = (0 + r ) n = 2n

Вероятность каждого записанного в табл.1.5 s-го микросостояния определяется на основании постулата (1.15), удовлетворяющего условию нормировки:

–  –  –

Закон распределения числа «решек» является биномиальным законом, принимающим конкретный вид (1.34) для данной задачи.

Рассмотрим два способа (I и II) вычислений среднего значения числа «решек» m и стандартного отклонения m, основанных на использовании функции распределения для макропараметра P (m) (в данной задаче числа «решек» m) или функции распределения для отдельной случайной величины P (ui ).

I способ. Использование расчетных значений для функции распределения макропараметра P (n, m) (табл.1.5) и гистограммы.

Из гистограммы зависимости P (4, m) наиболее вероятное значение равно mmp = 2.

Используя (1.21), для среднего числа «решек» m при бросании четырех монет получаем:

m = m P (m) = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 2. (1.35) m =0

28 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

–  –  –

Задача 1.2.

9. При бросании кубика выпадение любой цифры от 1 до 6 равновероятно. Пусть благоприятным исходом является выпадение цифры 5, а неблагоприятным – выпадение любой другой цифры, тогда p = 1/ 6, q = 5 / 6. Какова вероятность P ( ppq ) при бросании трех таких кубиков получить результат ppq : первые два кубика в благоприятном состоянии, а третий – не в благоприятном?

И какова вероятность P ( n = 3, m = 2) при бросании трех кубиков получить два (любых) кубика с цифрой 5 наверху?

Решение Состояние ppq осуществляется в следующих пяти микросостояниях: 5,5,1; 5,5, 2; 5, 5,3; 5,5, 4; 5,5,6, т.е. термодинамическая вероятность ( ppq ) = 5. Полное число доступных микросостояний для системы из трех кубиков: 0 = 63, вероятность любого из них P = 1/ 0 = 1/ 63. Таким образом, вероятность состояния

ppq :

P( ppq) = ( ppq ) / 0 = 5 / 63.

Используя биномиальное распределение, для P (3, 2) находим:

P (n = 3, m = 2) = C3 p 2 q1 = 15 / 63.

–  –  –

m 2 Cn = C3 = 3, – число различных микросостояний из числа благоприятных состояний: (ppq), (pqp), (qpp).

Ответ: P ( ppq) = 5 / 63, P (n = 3, m = 2) = 15 / 63.

Задача 1.2.

10. С помощью деревянного бруска длиной один метр измеряется расстояние в 50 м. При этом брусок последовательно укладывается 50 раз, причем каждый раз ставится метка, соответствующая концу бруска. Эта операция сопряжена с погрешностями измерения, поэтому расстояние между двумя соседними метками на земле в точности не равно метру. Известно, что расстояния между двумя последовательными метками с равной вероятностью находятся в интервале от 99,8 см до 100,2 см и не выходят за эти пределы. Среднее значение измеренного расстояния после 50-кратной укладки бруска равно 50 м. Найти погрешность измерения, вычислив стандартное отклонение измеренного расстояния.

Гл. 1. Биномиальное распределение. Распределения Пуассона и Гаусса Решение

1. Выбор статистической системы случайных величин. В данной задаче статистическая система будет состоять из n = 50 случайных величин. За случайную величину можно взять xi – отклонение расстояния между соседними (i + 1) и i метками от 1 м.

2. Описание случайной величины. В задаче случайная величина xi принимает непрерывный ряд значений в интервале 0, 2 x +0, 2 см.

По условию задачи плотность вероятности f ( x) = f 0 = const при 0, 2 x 0, 2 (рис. 1.4).

Величина f 0 может быть определена из условия нормировки функции плотности вероятности:

0,2

–  –  –

Таким образом, две случайные величины x и, связанные друг с другом функционально x = A cos(t + ), имеют разные плотности вероятности (рис. 1.6 а,б).

2-й способ. Рассмотрим один осциллятор в течение длительного времени t. Начальная фаза этого осциллятора = const, но значение ее неизвестно (и может быть равновероятно любым из интервала 0 2 ).

34 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

–  –  –

Рис. 1.6. Зависимости плотностей вероятности f(), с которой осциллятор имеет заданную начальную фазу (а) и (х), с которой осциллятор имеет заданное смещение в некоторый момент времени (б).

–  –  –

Задача 1.2.

13. Радиоактивный источник испускает -частицы, которые регистрируются со средней частотой = 0, 4 частиц в секунду. Какова вероятность зарегистрировать точно m частиц за время = 10c ?

Решение Покажем сначала, что вероятность P (m) того, что за время будет зарегистрировано m частиц, может быть описано распределением Пуассона. Для этого разделим мысленно интервал времени эксперимента = 10 c на большое число малых интервалов t. Так как -частицы испускаются случайным образом, то вероятность испускания в течение любого из интервалов t не зависит от того, испускались ли частицы в другие интервалы t. Интервал t Гл. 1. Биномиальное распределение. Распределения Пуассона и Гаусса

–  –  –

Распределение Пуассона описывает вероятность появления относительно редких событий. Учитывая это, рекомендуется обратить внимания на содержание ответов на дополнительные вопросы к этой задачи.

1) Одинаковы ли вероятности P ( m 1) и P ( m + 1) одного и того же единичного отклонения от среднего значения в разные стороны?

Ответ: P ( m 1) P( m + 1), т.е. наблюдается несимметричность относительно среднего значения.

2) Одинаковы ли вероятности P – за 1 = 5c зарегистрировать одну частицу и P2 – за 2 = 10c зарегистрировать две частицы?

Ответ: P P2, так как P = P (1, m = 1 = 2) = 2e 2 = 0, 2707, а P2 = P (2, m = 2 = 4) = 4e 4 / 2 = 0,1465.

Гл. 1. Биномиальное распределение. Распределения Пуассона и Гаусса

–  –  –

Задача 1.2.

14. В закрытом сосуде, объемом V = 1м3 при нормальных условиях (давление p A = 1 атм 105 Па, температура T = 273,15K ) находится идеальный газ (молекулярная статистическая система), изолированный от каких-либо внешних силовых полей. Состояние каждого элемента статистической системы (молекулы газа) полностью характеризуется шестью независимыми параметрами: x, y, z, v x, v y, v z. Последние три параметра связаны с энергетическим состоянием системы, которое не зависит от x, y, z, так как система изолирована. В объеме V выделен малый объем

40 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

–  –  –

Рис. 1.10. График функции плотности вероятности fG ( y ) для случайной величины у, являющейся суммарной ошибкой при 50-кратной укладке метровой линейки (см. задачу 1.2.10). Среднее значение ошибки y = 0, дисперсия 2 = 2 / 3 cм2.

Затемненная площадь равна вероятности попадания ошибки в интервал y y + y.

–  –  –

Задача 1.3.

1. Доказать, что число способов появления 10 очков при трехкратном бросании игральной кости равно коэффициенту при х10 в многочлене ( x + x 2 + x3 + x 4 + x5 + x 6 )3 и равно 27.

Задача 1.3.

2. В ящике n = 5 разноцветных шаров. Определить вероятность изъятия шаров в определенной, наперед заданной последовательности без возвращений шаров.

Ответ: P ( A) = 1/ Pn = 1/ 5! = 1/120.

Задача 1.3.

3. В колоде n = 36 карт. Карты вынимаются и в колоду не возвращаются. Найти вероятность изъятия подряд m = 3 карт одной масти, например червей (событие А).

Ответ: P ( AAA) = P ( A) P ( A / A) P( A / AA) = = =.

Задача 1.3.

4. Сосуд, содержащий N молекул идеального газа, разделен мысленно на две равные по объему части А и В.

Какова термодинамическая вероятность наиболее вероятного распределения N молекул по объемам А и В сосуда?

Определите полное число доступных состояний всей системы и вероятность наиболее вероятного распределения N молекул по объемам А и В в случае N = 6.

С какой вероятностью N1 молекул окажутся в объеме А? Найдите ее численные значения для N = 6 и N1 = 0, 1, 2.

46 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

–  –  –

Задача 1.3.

7. На горизонтальную нить нанизана бусинка, которая при каждом случайном внешнем воздействии может перемещаться на расстояние а вправо с вероятностью р и влево с вероятностью (1 – р). Какова вероятность того, что при N перемещениях бусинка удалится вправо на расстояние аn?

Гл. 1. Биномиальное распределение. Распределения Пуассона и Гаусса

–  –  –

Задача 1.3.

9. Предположим, что при наборе книги в типографии опечатки совершаются случайным образом. Книга из 500 страниц содержит 500 опечаток. Вычислите вероятность того, что 1) страница не содержит опечаток и 2) страница содержит не менее трех опечаток.

Ответ: 1) 0,37; 2) 0,08.

Литература

1. Матвеев А.Н. Молекулярная физика. М: Высшая школа, 1981, §§2-7.

2. Миронова Г.А., Михеева Л.Ф., Попов В.В. Разработка семинаров по молекулярной физике. М: Изд-во Московского университета, 1988, с.6-27.

3. Миронова Г.А., Брандт Н.Н., Салецкий А.М. Молекулярная физика и термодинамика в вопросах и задачах. М: Физический факультет МГУ, 2010, гл.1.

48 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

–  –  –

Рис. 2.1. Кривые распределения Максвелла f ( v x ) по компоненте скорости vx от безразмерного параметра v x v (а) и распределения f ( v ) по абсолютной величине скорости от безразмерного параметра v v (б). На вставке (рис.б) показаны характерные скорости молекул: наивероятнейшая, средняя и среднеквадратичная.

Распределение Максвелла по абсолютному значению скорости определяет вероятность dP ( v ), с которой молекула идеального газа имеет значение скорости в интервале (v, v + dv), незаГл 2. Распределение Максвелла висимо от направления скорости v. Объем, который занимают интересующие нас скорости в пространстве скоростей, представляет собой сферический слой, радиус которого равен v, а толщина dv, объем 4v 2 dv.

Число квантовых состояний dg (v) в этом объеме пропорционально объему сферического слоя::

–  –  –

Задача 3.2.

1. Считая водород идеальным газом, найти наиболее вероятное, среднее и среднеквадратичное значения скоростей, дисперсию скорости, а также среднюю энергию молекулы водорода при условиях: температура 25°С, давление атмосферное.

52 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

–  –  –

Этот результат является частным случаем, подтверждающим теорему о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы: в состоянии термодинамического равновесия средняя кинетическая энергия в расчете на каждую степень свободы равна k BT 2.

Гл 2. Распределение Максвелла

–  –  –

Рис.2.2. Кривые распределения молекул кислорода по скорости при двух температурах Т1 = 0°С (сплошная кривая) и Т2 = 100°С (пунктирная кривая). Отмечены наивероятнейшие скорости vнв молекул кислорода при этих температурах.

–  –  –

Характерные температуры, при которых возбуждаются вращательная и колебательная степени свободы, находятся из условия k BT E, где E – энергия, приходящаяся на данную степень свободы. Для водорода Tвр = 85,5K, Tкол = 6410 K. При комнатной температуре возбуждаются степени свободы, соответствующие поступательному и вращательному движению молекул водорода. При этом колебательная степень свободы еще "заморожена", не возбуждается (рис. 2.3).

С учетом этого, энергия молекулы водорода может быть записана в виде суммы кинетических энергий поступательного движения центра масс и вращательного движения относительно центра масс, причем момент инерции молекулы относительно оси 3, соединяющей атомы водорода, можно считать пренебрежимо малым ( J 3 0 ):

mvx mv y mvz J11 J 2 2 = + + + +, где m – масса молекулы водорода, vx, v y, vz – компоненты скорости центра масс, J1, J 2, 1, 2 – моменты инерции и угловые скорости вращения молекулы водорода относительно ее главных центральных осей 1 и 2, перпендикулярных оси 3 (рис. 2.3).

–  –  –

Задача 2.2.

3. Определить частоту ударов w молекул азота о стенку сосуда при температуре T, если концентрация молекул равна n0. Азот считать идеальным газом.

Решение Распределение Максвелла определяет отношение среднего числа молекул, обладающих определенными значениями скоростей, к полному числу молекул. Поэтому при заданной концентрации n0 молекул идеального газа, используя различные записи расМОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

–  –  –

Задача 2.2.

4. Используя зависимость (2.19), найти давление p (T, n0 ) идеального газа при температуре Т и концентрации молекул n0.

Решение Давление – это отношение нормальной составляющей силы Fn, действующей на площадку, к величине ее площади. Импульс силы возникает из-за передачи молекулами газа импульса площадке при упругих ударах молекул о площадку (см. pиc. 2.5).

Направим ось x перпендикулярно площадке и рассмотрим только те молекулы, которые имеют х- компоненту скорости в интервале (vx, vx + dvx ). Одна молекула, имеющая х- компоненту скорости из диапазона (vx, vx + dvx ) при абсолютно упругом ударе о площадку изменяет свой импульс на величину 2mvx. Поскольку частота таких ударов dw(vx ) = vx n0 f (vx )dvx, то давление, оказываемое на стенку молекулами со скоростями (vx, vx + dvx ), и равное передаваемому площадке = 1 м 2 импульсу за время t = 1 c, записывается в виде dp (vx ) = 2mvx dw(vx ) = 2mvx n0 vx f (vx ) dvx = 2mvx n0 f (vx )dvx.

–  –  –

Задача 2.3.

6. Во сколько раз должна изменится температура, чтобы максимум функции плотности распределения молекул идеального газа по скоростям уменьшился в раз?

Ответ: увеличиться в 2 раз.

–  –  –

Задача 2.3.

9. Два сосуда имеют одну общую стенку. В обоих сосудах находится идеальный газ при температуре Т. Давления в сосудах р1 и p2 p1 поддерживаются постоянными. В стенке – перегородке имеется малое отверстие, площадь которого. На какое число молекул N за одну секунду возрастает количество молекул газа в сосуде с меньшим давлением? Какая энергия W переносится за секунду?

N12 1 1/2 = n1 v1 = p1 ( 2mk BT ) ;

Ответ:

Гл 2. Распределение Максвелла

–  –  –

Литература

1. Матвеев А.Н. Молекулярная физика. М: Высшая школа, 1981, §8.

2. Кикоин А.К.. Кикоин И.К. Молекулярная физика. 3-е изд.

СПб: Лань, 2007, §§11-18.

3. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.II. Термодинамика и молекулярная физика. М: Наука. 1990, §§70-76.

4. Миронова Г.А., Михеева Л.Ф., Попов В.В. Разработка семинаров по молекулярной физике. М: Изд-во Московского университета, 1988, с.53-66.

5. Миронова Г.А., Брандт Н.Н., Салецкий А.М. Молекулярная физика и термодинамика в вопросах и задачах. М: Физический факультет МГУ, 2010, гл.3.

6. Касандрова О.Н., Матвеев А.Н., Попов В.В. Пособие по решению задач молекулярной физики. М: Изд-во Московского университета, 1974, раздел I.

7. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. 9-е изд. СПб: Лань, 2005, 2.3.

70 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

–  –  –

Задача 3.2.

1. N0 молекул идеального газа находятся при температуре Т в закрытом вертикальном цилиндрическом сосуде в поле силы тяжести (рис. 3.1). Высота цилиндра Н, площадь основания S, масса одной молекулы m. Определить: 1) зависимость концентрации молекул газа от высоты; 2) изменение этой зависимости от температуры; 3) положение центра масс газа в зависимости от Т; 4) среднее значение потенциальной энергии (в расчете на одну молекулу).

Решение В декартовой системе координат, ось z которой направлена вертикально вверх вдоль оси цилиндра (рис. 3.1), потенциальная энергия молекулы зависит только от координаты z.

В этом случае элемент объема, в котором молекулы газа обладают одинаковой потенциальной энергией, можно записать в виде:

dV = Sdz.

Пусть потенциальная энергия молекулы на дне цилиндра (в точке z = 0) равна нулю, тогда потенциальная энергия молекулы, имеющей координату z, U ( z ) = mgz, (3.2) Гл 3. Распределение Больцмана

–  –  –

Задача 3.2.

2. Идеальный газ, имеющий температуру Т, находится в цилиндрическом сосуде, который вращается вокруг своей оси с угловой скоростью (рис. 3.5). Радиус цилиндра R, высота H. Найти распределение давления газа вдоль радиуса цилиндрического сосуда, а также давление газа на боковую стенку цилиндра. Число молекул газа в Рис. 3.5. Закрытый цилиндрический сосуде N0. Масса одной молекулы сосуд, заполненный N0 молекулами m. Силой тяжести пренебречь. идеального газа, вращается вокруг своей оси с угловой скоростью при температуре Т.

Решение В неинерциальной системе отсчета, связанной с вращающимся цилиндром, на молекулу идеального газа действует центробежная

78 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

–  –  –

Рис. 3.6. Зависимость давления газа p в сосуде от расстояния r (нормированного на R) от оси вращения при условии, что температура Т постоянна и определяется из условия n0 k BT = 1 атм, где n0 = N 0 ( H R 2 ). Кривые рассчитаны для различных а, соответствующих разным скоростям вращения: a1 = 1,5 102, a2 = 1,5, a3 = 75.

–  –  –

3адача 3.2.4. Два цилиндрических сосуда находятся на разных высотах в поле силы тяжести и соединены друг с другом тонкой трубкой, объемом которой можно пренебречь по сравнению с объемами сосудов V1 и V2 (рис.3.8). Оси цилиндров вертикальны.

Высота цилиндров H h, где h – длина трубки, соединяющей сосуды. Полное число молекул идеального одноатомного газа, заполняющего сосуды, равно N0. Температура Т.

1) Не производя точных вычислений, нарисуйте примерный график зависимости средней энергии E системы от температуры Т.

E

2) Определите среднее значение полной энергии газа в пределах очень низкой и очень высокой температур?

3) Вблизи какой температуры Тк происходит переход энергии от низкотемпературной до высокотемпературной предельной

82 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

зависимостей?

4) Получите точное выражение для средней энергии E системы.

5) Определите отношение числа молекул N 2 / N1 в сосудах и отношение давлений газа в них p2 / p1.

Рис. 3.8. Два вертикальных цилиндрических сосуда расположены в поле силы тяжести один над другим на расстоянии h и соединены тонкой трубкой, объемом которой можно пренебречь. Сосуды заполнены идеальным газом и имеют объемы V1 и V2. Высота цилиндров Hh.

–  –  –

3адача 3.2.5. Будем считать, что температура воздуха не изменяется с высотой (изотермическая модель атмосферы), а воздух представляет собой смесь идеальных газов.

1. Определить изменение состава воздуха с высотой при постоянной температуре Т.

2. Найти среднюю потенциальную энергию пот молекулы газа в изотермической земной атмосфере при условии однородности поля силы тяжести.

3. Оценить полное число молекул в изотермической атмосфере.

4. Оценить высоту изотермической атмосферы, т.е. толщину изотермического слоя атмосферы при постоянной плотности воздуха, равной плотности воздуха n(0) у поверхности Земли.

Решение Направим ось z перпендикулярно поверхности Земли вверх, начало отсчета z = 0 выберем на поверхности Земли (рис. 3.12).

Рис. 3.12. Ось координат z направлена перпендикулярно поверхности Земли (RЗ – радиус Земли). Темной полоской толщиной dz выделен слой атмосферы.

–  –  –

Задача 3.3.

4. Дисперсная система представляет собой коллоидные частицы, находящиеся в растворителе. Коллоидные частицы обособлены и участвуют в тепловом броуновском движении. Дисперсная коллоидная система находится в вертикальном цилиндрическом сосуде, вращающемся относительно своей оси с угловой скоростью. Радиус сосуда а.

Плотность растворителя 0, плотность коллоидных частиц.

Температура системы Т. Отношение концентрации коллоидных частиц у стенок сосуда r1 = a и на расстоянии r2 = a/2 равно.

Вычислите молярную массу коллоидных частиц.

Примечание. Коллоидными частицами называются частицы, имеющие размер от 1 нм до 1 мкм.

8RT ln Ответ: M =.

3() 2 ( 0 ) Задача 3.3.

5. Дисперсная коллоидная система находится в поле силы тяжести при температуре Т. При подъеме на высоту h

94 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

–  –  –

Задача 3.3.

7. В однородном поле при температуре Т находятся частицы, не взаимодействующие друг с другом (за исключением абсолютно упругих ударов). Вдоль направления поля на расстоянии h концентрации молекул отличаются в раз.

Определить силу, действующую на частицы со стороны поля.

kT Ответ: F = B ln.

h Литература

1. Матвеев А.Н. Молекулярная физика. М: Высшая школа, 1981, §9.

2. Кикоин А.К.. Кикоин И.К. Молекулярная физика. 3-е изд.

СПб: Лань, 2007, §§8,9.

3. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.II. Термодинамика и молекулярная физика. М: Наука. 1990, §77.

4. Миронова Г.А., Михеева Л.Ф., Попов В.В. Разработка семинаров по молекулярной физике. М: Изд-во Московского университета, 1988, с.67-79.

5. Миронова Г.А., Брандт Н.Н., Салецкий А.М. Молекулярная физика и термодинамика в вопросах и задачах. М: Физический факультет МГУ, 2010, гл.4.

6. Касандрова О.Н., Матвеев А.Н., Попов В.В. Пособие по решению задач молекулярной физики. М: Изд-во Московского университета, 1974, раздел I.

7. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. 9-е изд. СПб: Лань, 2005, 2.3.

Гл. 4. Теорема о равномерном распределении

–  –  –

Число степеней свободы – число независимых переменных, которыми определяется состояние системы.

Теорема о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы: в состоянии термодинамического равновесия средняя кинетическая энергия в расчете на каждую степень свободы статистической системы равна k BT 2.

Броуновское движение – это хаотическое (беспорядочное) тепловое движение взвешенной в жидкости или газе броуновской частицы под действием ударов молекул окружающей среды. Броуновская частица имеет размеры, значительно превосходящие размеры молекул среды (жидкости или газа), в которой она находится.

Причина броуновского движения – флуктуации силы, действующей на броуновскую частицу со стороны молекул среды, возникающие в результате флуктуаций суммарного импульса, передаваемого молекулами среды, ударяющимися о броуновскую частицу. Вместе с молекулами среды броуновская частица образует единую термодинамическую систему.

Броуновская частица движется как поступательно, так и совершает вращательное движения. Рассмотрим только поступательное движение, фиксируя положение центра масс частицы через равные малые промежутки времени t. Интервал t выберем таким, чтобы движение частицы в каждом интервале ti не зависело бы от ее движения в предыдущем интервале ti 1.

Смещение частицы за i-й отрезок времени t характеризуется вектором ri (см. рис. 4.1). Через N измерений, то есть через время t = N t, броуновская частица удалится от своего первоначальноN го положения на расстояние, равное длине вектора rN = ri.

i=1

96 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

Рис.4.1. «Траектория» броуновской частицы изображена в виде ломаной линии, образованной векторами смещений ri частицы за равные промежутки времени t (сплошная линия) и t 2 (пунктирная линия).

Векторы ri образуют ломаную линию, но эта линия не является траекторией броуновской частицы. Если бы фиксация центра масс частицы проводилась через интервалы времени t 2, то «траектория» получилась бы иной (см. пунктирную линию на рис. 4.1).

Общая картина броуновского движения описывается законом Эйнштейна для среднего квадрата смещения частицы x 2 вдоль любого направления x.

Если за время между двумя измерениями происходит достаточно большое число столкновений частицы с молекулами, то x 2 пропорционально этому времени t:

–  –  –

где D — коэффициент диффузии, который определяется сопротивлением, оказываемым вязкой средой движущейся в ней частице.

Для сферических частиц радиуса r он находится по формуле Стокса:

Гл. 4. Теорема о равномерном распределении

–  –  –

Заметим, что формулы (4.5) и (4.7) справедливы для описания хаотического (случайного) движения любой частицы при условии независимости ее движения на каком-либо интервале ti от движения на предыдущем интервале ti–1. Например, она применима для описания движения одной из молекул жидкости.

Ответ: rN = 6 Dt.

Задача 4.2.

2. Броуновская частица находится в среде с коэффициентом сил вязкого трения b. Температура системы Т. Определите коэффициент диффузии D, входящий в формулу (4.6). Хаотические силы, действующие на броуновскую частицу со стороны молекул среды, можно представить как сумму сил: вязкого трения и случайной силы f.

Гл. 4. Теорема о равномерном распределении

–  –  –

где m – масса броуновской частицы, bx – сила вязкого трения, fx – компонента случайной силы вдоль оси x.

Для нахождения x 2 = xt2 умножим уравнение (4.8) на х и усредним по ансамблю броуновских частиц. При этом учтем, что

–  –  –

Из (4.12) следует, что перемещение шарообразной броуновской частицы в жидкости за время t зависит от вязких свойств и температуры жидкости, а также от радиуса частицы, и не зависит от ее массы.

2. Формулы (4.11) и (4.12) соответствуют наиболее вероятному смещению для ансамбля частиц. Число частиц в ансамбле, имеющих заданное среднеквадратичное смещение, описывается распределением Гаусса.

kT Ответ: D = B.

b

–  –  –

Задача 4.2.

5. Найти среднеквадратичную круговую частоту вращения молекулы кислорода при температуре 50 °С, если ее момент инерции относительно осей x и y, перпендикулярных оси z, соединяющей атомы, равен J = 1,9 1046 кг м2.

–  –  –

Задача 4.3.

3. В молекуле воды существует три типа колебательного движения атомов со следующими частотами 1 = 3, 0 1014 рад / с, 2 = 6, 9 1014 рад / с и 3 = 7,1 1014 рад / с.

Приравнивая среднюю энергию тепловых колебаний и энергию кванта колебательного движения, оцените температуру, при которой возбуждаются колебания всех трех типов. Какой тепловой колебательной энергией обладал бы один моль воды при этой температуре?

Ответ: T = / k B 5 103 K, W = 3RT 120 кДж.

Задача 4.3.

4. Предел чувствительности пружинных весов ограничивается тепловым движением пружины. Вычислить ту малую массу m, которая может быть определена при однократном взвешивании на пружинных весах при температуре Т, если жесткость пружины равна.

k BT Ответ: m =.

g Литература

1. Матвеев А.Н. Молекулярная физика. М: Высшая школа, 1981, §§12,13.

2. Кикоин А.К.. Кикоин И.К. Молекулярная физика. 3-е изд.

СПб: Лань, 2007, §7.

3. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.II. Термодинамика и молекулярная физика. М: Наука. 1990, §§62,63.

4. Миронова Г.А., Брандт Н.Н., Салецкий А.М. Молекулярная физика и термодинамика в вопросах и задачах. М: Физический факультет МГУ, 2010, гл.3.

5. Касандрова О.Н., Матвеев А.Н., Попов В.В. Пособие по решению задач молекулярной физики. М: Изд-во Московского университета, 1974, раздел I.

Гл. 5. Первое начало термодинамики. Теплоемкость

–  –  –

Термодинамическая система – система, состоящая из столь большого числа частиц (структурных элементов), что ее равновесное состояние можно описывать усредненными макроскопическими параметрами (такими как давление, концентрация и др.). Существуют два основных подхода к изучению термодинамических систем. Первый – это феноменологический подход, основанный на началах общей термодинамики, подход, при котором система рассматривается как сплошная среда и описывается экспериментально определяемыми параметрами. Второй – это статистический подход, рассмотренный в предыдущих главах.

Термодинамическое (тепловое) равновесие – состояние системы, не изменяющееся во времени и не сопровождающееся переносом через систему (или между отдельными частями (подсистемами) системы) энергии, вещества, заряда, импульса и т.п., то есть состояние, при котором отсутствуют любые градиенты и связанные с ними макроскопические потоки, и система не может совершать работу.

Локальное термодинамическое равновесие – это равновесие в каждом физически бесконечно малом объеме (малом, но макроскопическом объеме, то есть содержащем большое число частиц), когда температура, плотность и другие термодинамические параметры являются локальными и зависят от времени и пространственной координаты.

Параметры состояния (функции состояния) – это параметры системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия. Например, для жидкости и газа с фиксированным числом частиц N к параметрам состояния относятся р (давление), Т (температура), V (объем).

Замечания.

1) Изменение функций состояния в результате каких-либо процессов определяется только параметрами начального и конечного состояний и не зависит от пути, по которому проходил процесс.

106 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

2) Параметры состояния в равновесии не являются постоянными, их значения флуктуируют около статистических средних значений.

Экстенсивным (аддитивным) параметром называется параметр, пропорциональный числу частиц системы, то есть параметр, значение которого для всей системы равно сумме значений этого параметра для подсистем данной системы. Например, объем системы V, число частиц N, энтропия S,… Интенсивным параметром однофазной системы называется такая величина, значение которой в состоянии термодинамического равновесия одинаково для системы и ее подсистем. Интенсивный параметр не зависит от числа частиц в системе. Например, температура Т, давление р,… Уравнение состояния (термическое) для жидкостей и газов с фиксированным числом частиц – это функциональная зависимость p = p(V, T ) (в более общей записи: f ( p, V, T, N ) = 0 ) для системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия. Например, для идеального газа pV = RT. Уравнение состояния в аналитическом виде не может быть получено из законов термодинамики. Оно или находится опытным путем, или выводится методами статистической физики.

Уравнение состояния (калорическое) определяет внутреннюю энергию системы.

В общем случае внутренняя энергия является функцией температуры T, объема V, давления p и количества частиц N, образующих систему. Поскольку эти четыре параметра связаны уравнением состояния (например, для идеального газа: pV = RT ), то независимыми являются только три из них. А если в системе остается неизменным и число частиц, то независимых переменных только две.

В этом случае внутренняя энергия является однозначной и непрерывной функцией: U = U (T,V ), U = U (T, p ), или U = U (V, p ).

Стационарное состояние – состояние системы, не изменяющееся во времени, но при этом через систему может осуществляться перенос энергии или вещества (заряда, импульса и т.п.).

Изолированная система – система, не обменивающаяся с окружающей средой ни веществом, ни энергией (в форме теплоты ( Q = 0 ) и работы ( A = 0 )).

Гл. 5. Первое начало термодинамики. Теплоемкость Адиабатная (теплоизолированная, или адиабатически изолированная) система – система, не обменивающаяся теплотой с другими системами.

Закрытая система – система, не обменивающаяся веществом с другими системами.

Открытая система – система, имеющая возможность обмениваться частицами с окружающей средой, система с переменным числом частиц.

Идеальный газ – абстрактная модель, описывающая газ как совокупность материальных точек, не взаимодействующих друг с другом (за исключением абсолютно упругих соударений молекул, необходимых для установления равновесия в системе). Возможно и другое определение: идеальным называется газ, уравнение состояния которого описывается соотношением pV = RT. Реальный газ можно считать идеальным газом (и описывать его состояние уравнением pV = RT ), если среднее расстояние между молекулами значительно больше размеров молекул.

Термодинамический процесс – изменение состояния системы (хотя бы одного ее параметра состояния) со временем.

Равновесный процесс – непрерывная последовательность равновесных состояний системы, которая может быть представлена на любой диаграмме (например, р-V, V-T, T-p и др.) в виде некоторой кривой процесса. Обратимые процессы – абстрактная модель, так как реальные процессы необратимы. Однако реальные процессы можно считать обратимыми, если они происходят достаточно медленно, так что в каждый данный момент времени система находится в состоянии, близком к состоянию термодинамического равновесия.

Обратимый процесс – процесс перехода термодинамической системы из одного состояния в другое, который может протекать как в прямом, так и обратном направлении через те же промежуточные состояния. Равновесный процесс описывается уравнением процесса и некоторыми производными вдоль кривой процесса (дифференциальными характеристиками).

Уравнение процесса – функциональная зависимость какоголибо параметра системы при изменении другого параметра в ходе равновесного процесса. Например, p = a + bV 2, где а и b – константы.

108 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

Примером изопроцессов, в которых один из термодинамических параметров остается неизменным, являются:

изобарический процесс – p = const ;

изохорический процесс – V = const ;

изотермический процесс – T = const.

Для проведения изотермического процесса вещество помещается в термостат. Термостат – большая термодинамическая система, параметры которой не изменяются при взаимодействии с исследуемым телом.

В основе общей термодинамики лежат три фундаментальных принципа, установленные в результате обобщения экспериментальных данных и называемые началами (или законами) термодинамики.

Прежде всего, дадим определения некоторых энергетических характеристик термодинамической системы.

Внутренняя энергия – функция состояния системы, экстенсивная (аддитивная) величина. Если в системе не происходит химических превращений, то внутренняя энергия – это энергия хаотического теплового движения: кинетическая энергия движения молекул, потенциальная энергия их взаимодействия, кинетическая энергия движения атомов в молекулах и потенциальная энергия их взаимодействия.

Для системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия, внутренняя энергия имеет определенное значение, не зависящее от того, каким путем система пришла в это состояние.

Изменение внутренней энергии при бесконечно малых изменениях параметров состояния системы есть полный дифференциал dU, а при переходе из состояния 1 в состояние 2 U12 не зависит от пути процесса, а определяется только значениями внутренней энергии в конечном и начальном состояниях:

U12 = dU = U 2 U1.

Элементарная механическая работа сил давления A = pdV (5.1)

– это работа, совершаемая системой при бесконечно малом изменении объема dV (например, при расширении) против сил внешнего давления.

Гл. 5. Первое начало термодинамики. Теплоемкость

Полная работа сил давления при переходе системы из состояния 1 с объемом V1 в состояние 2 с объемом V2 равна сумме элементарных работ:

V2 A12 = A = pdV. (5.2) V1 Обратим внимание на следующие особенности определения работы.

1) Символом в (5.1)обозначен неполный дифференциал (бесконечно малую величину, например, А – бесконечно малая, элементарная работа). Он ставится перед такими физическими характеристиками, которые не могут быть представлены как полные дифференциалы. Такие физические характеристики являются функциями процесса, то есть их величина при переводе системы из одного равновесного состояния в другое зависит от пути перехода.

2) Работа A12 в (5.2) зависит от формы пути процесса, то есть от уравнения процесса p(V).

3) Формула (5.2) используется для вычисления работы, совершаемой системой, и р – это давление в системе (например, давление газа), которое является функцией внешних параметров и температуры. Но поскольку совершается равновесный процесс, то сила давления в системе уравновешена внешней силой. Если происходит процесс расширения газа при отсутствии внешнего давления (например, неравновесный процесс при расширении в вакуум), то A12 = 0.

4) В некоторых процессах работа A в (5.2) может быть выражена через полный дифференциал определенного термодинамического потенциала.

Первое начало термодинамики – закон изменения внутренней энергии dU (уравнение энергетического баланса):

в закрытой системе (с постоянным числом частиц) существуют два способа изменения внутренней энергии системы – теплообмен Q (тепловое взаимодействие) и совершение системой работы A (механическое взаимодействие):

dU = A + Q.

(5.3) В дальнейшем будем придерживаться следующего правила знаков:

110 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

работа считается положительной ( A 0 ), если она совершается системой, и отрицательной ( A 0 ), если работа производится над системой;

количество теплоты считается положительной ( Q 0 ), если система получает теплоту, и отрицательной ( Q 0 ), если система отдает теплоту.

В адиабатически изолированной системе теплообмен отсутствует ( Q = 0 ).

В соответствии с первым началом термодинамики внутренняя энергия изолированной системы (не обменивающейся с окружающей средой ни веществом, ни энергией в форме теплоты или работы) не изменяется:

dU = 0, U = const.

Теплота (количество теплоты) Q – это энергия в форме молекулярного движения, равная изменению внутренней энергии, происходящему без совершения работы, то есть при фиксированных внешних параметрах.

Замечания

1) Теплота и работа являются формами, способами перехода энергии из одного вида в другой и имеют физический смысл только во время протекания процессов. Запаса теплоты и работы, то есть их значений в состоянии равновесия, не существует.

2) Символ у теплоты, так же как и у работы, означает неполный дифференциал: Q – бесконечно малое количество теплоты.

Теплота – функция процесса, и значение теплоты при переводе системы из одного равновесного состояния в другое зависит от пути перехода.

Обратим внимание на то, что элементарная работа A и элементарная теплота Q не являются полными дифференциалами, а их сумма – изменение внутренней энергии dU является полным дифференциалом. Это означает, что изменение внутренней энергии dU нельзя однозначно разделить на механический A и тепловой Q вклады. Соотношение этих вкладов зависит от пути перехода, то есть зависит от функции процесса.

Гл. 5. Первое начало термодинамики. Теплоемкость

–  –  –

Составляющие энергетического баланса и теплоемкость идеального газа.

Внутренняя энергия. В самом общем случае энергия сложной молекулы включает в себя кинетическую энергию поступательного движения молекулы как целого (число степеней свободы iп = 3 ), кинетическую энергию вращательного движения (полное число вращательных степеней свободы iвр ) и энергию: кинетическую и потенциальную, приходящуюся на каждую колебательную степень свободы (полное число колебательных степеней свободы iкол ). При гармонических колебаниях для каждой колебательной степени свободы средняя потенциальная энергия пот равна средней кинетической энергии кин. Поэтому, на основании теоремы о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы, можно считать, что на каждую колебательную степень свободы в среднем приходится энергия, равная кол = 2( k BT / 2) = k BT.

Если полное число степеней свободы молекулы равно

i = iп + iвр + 2iкол, то средняя энергия, приходящаяся на одну молекулу идеального газа, равна (если «возбуждены» все степени свободы):

i = k BT.

(5.11) Так как в модели идеального газа взаимодействие между молекулами отсутствует, то внутренняя энергия U (T ) равна сумме средних энергий всех молекул:

i U = N = U (T ) = Nk BT. (5.12) Из (5.12) следует, что внутренняя энергия U (T ) идеального газа зависит только от температуры, так как не зависит от взаимодействия молекул друг с другом, то есть от расстояния между молекулами и как следствие – не зависит от занимаемого газом объема и не зависит от давления.

Независимость внутренней энергии от объема и уравнение состояния в форме уравнения Клапейрона–Менделеева служат основными признаками идеальности газов. Во-вторых, знак изменения внутренней энергии U идеального газа в каком-либо процессе однозначно определяется знаком изменения температуры T :

114 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

–  –  –

Поскольку для веществ, находящихся в конденсированном состоянии (твердых и жидких), коэффициент термического расширеV ния = 1, то для них при небольших давлениях можно V T p считать C p CV.

Теплоемкость реального вещества. Внутренняя энергия реального газа, в отличие от внутренней энергии идеального газа, зависит также от среднего значения потенциальной энергии взаимодействия молекул друг с другом, которое зависит от расстояния между молекулами и, как следствие, зависит от занимаемого газом объема: U = U (T,V ).

Таким образом, теплоемкость равновесного процесса, в котором участвует реальный газ, выражается соотношением:

U dV Q U C= = + + p. (5.19) dT T V V T dT Частные производные ( U / T )V и ( U / V )T зависят от структуры молекул и сил взаимодействия между ними, а с процессом непосредственно связаны давление р и производная dV / dT, которая является дифференциальной характеристикой процесса. В квадратных скобках (5.19) стоит сумма внешнего давления р и «дополнительного» ( U / V )T, величина которого определяется взаимодействием молекул.

Теплоемкость для изохорического (dV = 0) процесса равна CV = ( U / T )V, (5.20)

116 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

–  –  –

средней кинетической, которая по теореме о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы равна k BT / 2.

Поэтому средняя энергия колебаний вдоль одного направления равна k BT. Осциллятор, находящийся в узле решетки, имеет три колебательные степени свободы и, соответственно, энергию 3k BT.

Для металлов (в узлах решетки – атомы металлов) энергия моля вещества:

U (T ) = N A 3k BT = 3RT, а молярная теплоемкость dU (T ) C= = 3R. (5.22) dT Согласно (5.22) при комнатной температуре молярная теплоемкость всех металлов одинакова и равна 3R (закон Дюлонга и Пти).

При низких температурах взаимодействием атомов в узлах решетки пренебречь нельзя.

Модель Дебая. В рамках этой модели твердое тело рассматривается как сплошная среда. Тепловые возбуждения в сплошной среде представляют собой стоячие волны, которые могут иметь только определенный набор длин волн i.

Условие на длины волн тепловых колебаний в физике твердого тела: на длине кристалла L должно укладываться целое число длин волн:

L = i i. (5.23) Сокращение в два раза числа стоячих волн в физике твердого тела (по сравнению с сплошными средами) компенсируется (для сохранения числа степеней свободы) введением вместо одной стоячей волны двух бегущих навстречу друг другу волн, при наложении которых данная стоячая волна образуется. Каждая бегущая волна имеет свою длину волны i, а, следовательно, волновое число ki = 2 / i (5.24) и энергию Ei.

Длина волны связана с частотой. Зависимость частоты от волнового вектора = (k) называется законом дисперсии. Для упругих длинноволновых колебаний закон дисперсии линейный:

118 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

= ck, где с – скорость распространения волн в среде.

В соответствии с уравнениями де-Бройля каждой бегущей волне ставится в соответствие частица, называемая фононом, обладающая энергией Е и импульсом р:

E =, p k, = 1,07 1037 Дж с — постоянная Планка.

где Фонон является квантом теплового возбуждения тела.

Импульс фононов принимает дискретные значения:

2 2 pi = ki = = i.

i L Для кубического кристалла шаг изменения импульса p вдоль осей x, y, z одинаков и равен p = 2 L (L — длина грани куба, в котором рассматривается изменение импульса).

Это означает, что в импульсном пространстве объем одного состояния для фононов равен ( 2 / L ) (совпадает с объемом состояния для молекул идеального газа и электронов в металлах).

В отличие от электронов, заполнение таких же квантовых состояний фононами происходит иначе. В каждом квантовом состоянии число фононов не ограничено. Причем оно растет с ростом температуры.

Рассмотрим какое-либо одно квантовое состояние с частотой. При температурах k BT среднее число возбужденных фононов n в этом состоянии экспоненциально мало и можно считать, что фононы на данной частоте не возбуждаются. При температурах k BT среднее число фононов в рассматриваемом квантовом состоянии с заданной частотой растет пропорционально температуре: n k BT ( ), а средняя энергия всех фононов в данном квантовом состоянии равна E = n k BT.

При нулевой температуре тепловые возбуждения отсутствуют:

число фононов равно нулю во всех квантовых состояниях. При температуре Т 0 К возбуждаются фононы в состояниях, энергия Гл. 5. Первое начало термодинамики. Теплоемкость

–  –  –

Рис.5.2. Качественная зависимость теплоемкости твердых тел от температуры (нормированной на температуру Дебая).

120 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

–  –  –

Задача 5.2.

5. Сжатие идеального газа (гелия Не) происходит по закону V = ap 1/ 2, где а =3 м3Па1/2 = const, от объема V1=10 л до объема V2 = V1 2. Нагревается или охлаждается газ? Определить теплоемкость и все составляющие энергетического баланса ( U12, A12, Q12 ) в этом процессе.

Решение Изобразим на р–V диаграмме кривую заданного процесса p = a 2 / V 2 и изотермы, проходящие через начальное и конечное состояния (рис. 5.4). Как видно из рисунка, в данном процессе при сжатии газ нагревается. Найдем зависимость T(V) в процессе.

Рис. 5.4. Процесс сжатия V = ap 1/ 2 гелия от объема V1 до объема V2 и изотермы Т1 и Т2 для начального и конечного состояний.

126 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

–  –  –

Задача 5.2.

6. Кислород массой m = 24 г участвует в процессе p = p0 + aV 2, где p0 = 0, 2 атм и а – положительная постоянная. В начальном состоянии газ занимает объем V1 = 5 л и при температуре T1 = 290 K, в конечном состоянии V2 = 2V1. В рамках модели идеального газа определите теплоемкость С(V).

–  –  –

Задача 5.2.

7. Идеальный газ в количестве молей расширяется политропически от объема V1 до объема V2 с показателем политропы n. Температура газа в начальном состоянии Т1. Известна теплоемкость CV = const. Определите составляющие энергетического баланса U12, A12, Q12 в этом процессе.

Решение

Используя уравнение состояния, находим параметры начального состояния:

{ p1 = RT1 / V1, V1, T1}.

Константу в уравнении процесса TV n1 = const в переменных

V, T выразим через параметры начального состояния. Тогда уравнение процесса принимает вид:

TV n1 = T1V1n 1.

Параметры конечного состояния удовлетворяют уравнению состояния и уравнению процесса:

–  –  –

Рис. 5.7. Работа газа при расширении от объема V1 до объема V2 численно равна площади, отмеченной вертикальной штриховкой – для изобарического процесса, горизонтальной штриховкой – для изотермического процесса и косой штриховкой – для адиабатического процесса.

132 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

–  –  –

Задача 5.2.

8. Идеальный газ с известной изохорической теплоемкостью CV = const находится в цилиндре под поршнем. Поршень вдвигается в цилиндр настолько медленно, что вследствие потери теплоты сквозь стенки изменение температуры газа при продвижении поршня в течение всего процесса вдвое меньше, чем было бы при адиабатическом перемещении поршня на такие же расстояния (рис.5.8 а). Найти уравнение исследуемого процесса и выяснить, является ли он политропическим. Определить молярную теплоемкость газа в этом процессе. Параметры начального состояния V0, Т0 известны.

Решение Обозначим параметры для адиабатического процесса индексом 1, медленного – индексом 2, начальные состояния в обоих процессах – индексом 0 (рис. 5.8).

Проведем качественный анализ. Изобразим оба процесса на T– V (a) и р–V диаграммах (б) и сравним характеристики энергетического баланса для обоих процессов.

Для процесса 1 имеем Q1 = U1 + A1 = 0, U1 = CV T1 0, A1 = U1 0 (вертикально заштрихованная площадь на рис.5.7б).

Для медленного процесса 2:

U 2 = U1 / 2 0, Гл. 5. Первое начало термодинамики. Теплоемкость

–  –  –

Таким образом, в медленном процессе газ нагревается, отдавая теплоту. Это означает, что теплоемкость в процессе 2 отрицательна.

Уравнение медленного процесса 2 легко получить, используя известное уравнение адиабатического процесса 1 и условие задачи для отношения температур газа в этих процессах:

–  –  –

Задача 5.2.

9. Для смеси идеальных газов (неон в количестве Ne = 1 = 0, 2 кмоль и водород в количестве H 2 = 2 = 0,5кмоль ) определить удельную теплоемкость и отношение = C p CV. Численный расчет провести для изохорического и изобарического процессов.

Решение Теплоемкость C0 смеси в любом произвольном процессе может быть выражена через молярные теплоемкости С1, С2 отдельных компонентов (расчет которых был дан в предыдущих задачах).

В силу аддитивности теплоты, входящей в общее определение теплоемкости, имеем Q + Q2 C0 = 1 = 1C1 + 2C2, dT поэтому удельная теплоемкость смеси для произвольного процесса:

Гл. 5. Первое начало термодинамики. Теплоемкость

–  –  –

Задача 5.2.

10. Оценить температуру Дебая для свинца и вольфрама (см. табл. 5.2) и сравнить для них температурный ход теплоемкости.

136 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

–  –  –

Рис. 5.9. Температурные зависимости теплоемкости для свинца (сплошная кривая) и вольфрама (штриховая кривая). Температуры Дебая отмечены пунктирными прямыми.

–  –  –

Задача 5.2.

11. Для солей KCl и NaCl температуры Дебая равны соответственно TD (KCl) 227 K и TD (NaCl) 281 K. Рассчитайте удельные теплоемкости солей при T = 300 K.

Решение Поскольку температура, при которой вычисляются теплоемкости, выше температуры Дебая для обоих веществ, то для вычислений можно использовать закон Дюлонга и Пти. Энергия одного атома (как трехмерного осциллятора в узле решетки) равна 3k BT, а энергия двухатомной молекулы соли – 6k BT, следовательно, энергия моля соли равна 6RT. Таким образом, удельная теплоемкость двухатомной соли C = 6R / M. (5.56)

Используя значения молярных масс:

M (KCl) = M (K) + M (Cl) = 74, 5 г/моль, M (NaCl) = M (Na) + M (Cl) = 58, 4 г/моль, для удельных теплоемкостей получаем:

138 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

–  –  –

Задача 5.3.

1. Оцените внутреннюю энергию воздуха в комнате, имеющей размеры ( 5 4 2, 5 ) м3. Давление атмосферное. Воздух считать смесью идеальных газов с показателем адиабаты =1,4.

pV Ответ: U = = 12, 5 МДж.

–  –  –

Задача 5.3.

3. Цилиндрический сосуд расположен горизонтально и разделен поршнем на два равных объема. Длина цилиндра 2, площадь сечения (рис.5.11). Стенки сосуда теплопроводящие.

Температура окружающего воздуха постоянна и равна Т0. В обеих частях цилиндра находится по молей идеального газа. Поршень начинают медленно перемещать. Найдите зависимость работы внешней силы Аex как функцию координаты поршня х. Трением поршня о стенки цилиндра пренебречь.

Гл. 5. Первое начало термодинамики. Теплоемкость Рис. 5.11. Цилиндрический сосуд, разделенный поршнем на два равных объема.

–  –  –

Рис. 5.12. Зависимость работы внешней силы Аex от координаты поршня х.

Задача 5.3.

4.Теплоизолированный цилиндрический сосуд расположен горизонтально и разделен теплопроводящим поршнем на два равных объема. Длина цилиндра 2, площадь сечения (рис.5.13). В обеих частях цилиндра при температуре Т0 находится по молей идеального газа, показатель адиабаты которого. Поршень начинают медленно перемещать. Найдите зависимость Т(х) температуры газа Т от координаты поршня х. Трением поршня о стенки цилиндра можно пренебречь.

Рис. 5.13. Цилиндрический сосуд, разделенный поршнем на два равных объема.

140 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

–  –  –

Задача 5.3.

7. Покажите, что работа А идеального газа в политропическом процессе пропорциональна изменению его внутренней энергии U. Найдите отношение A/U, считая известными показатели политропы n и адиабаты.

Гл. 5. Первое начало термодинамики. Теплоемкость

–  –  –

Задача 5.3.

10. При изобарическом расширении m = 280 г азота ему сообщили Q = 11,24 кДж теплоты. При этом температура азота увеличилась от T1 = 100 К до T2 = 140 К. Найти величину = Cp/CV азота, характерную для данного интервала температур.

142 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

–  –  –

Задача 5.3.

13. При каких значениях в процессе p ~ T теплоемкость идеального газа отрицательна С 0? Показатель адиабаты газа.

Гл. 5. Первое начало термодинамики. Теплоемкость

–  –  –

Задача 5.3.

17. Покажите, что отношение коэффициентов изотермической и адиабатической сжимаемостей равно показателю адиабаты: T / S =.

144 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

Литература

1. Матвеев А.Н. Молекулярная физика. М: Высшая школа, 1981, §§14-18.

2. Кикоин А.К.. Кикоин И.К. Молекулярная физика. 3-е изд.

СПб: Лань, 2007, §§73-78.

3. Сивухин Д.В. Общий курс физики. ТII. Термодинамика и молекулярная физика. М: Наука. 1990, §§10-15, §§18-22.

4. Миронова Г.А., Михеева Л.Ф., Попов В.В. Разработка семинаров по молекулярной физике. М: Изд-во Московского университета, 1988, с.80-90.

5. Миронова Г.А., Брандт Н.Н., Салецкий А.М. Молекулярная физика и термодинамика в вопросах и задачах. М: Физический факультет МГУ, 2010, гл.5.

6. Касандрова О.Н., Матвеев А.Н., Попов В.В. Пособие по решению задач молекулярной физики. М: Изд-во Московского университета, 1974, раздел III.

7. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. 9-е изд. СПб: Лань, 2005, 2.2.

Гл. 6. Энтропия. Второе и третье начала термодинамики

–  –  –

Термодинамическая вероятность является одной из важнейших характеристик состояния системы. Равновесное состояние

– наиболее вероятное состояние, соответствующее максимуму термодинамической вероятности. С термодинамической вероятностью связана еще одна характеристика системы – энтропия.

Энтропией S системы в состоянии с термодинамической вероятностью называется величина:

S = k B ln, (6.1) где kB – постоянная Больцмана.

Связь энтропии с термодинамической вероятностью обуславливает основные свойства энтропии.

1. Энтропия – функция состояния (равновесного), то есть ее значение для данного состояния не зависит от пути, по которому система пришла в это состояние. Каждому равновесному макросостоянию, которое характеризуется внутренними (p, V, T, N) и внешними (индукция магнитного и напряженность электрического полей) параметрами, соответствует свое значение термодинамической вероятности Г, а, следовательно, и энтропии (6.1).

2. Энтропия – мера упорядоченности системы. Энтропия тем больше, чем больше. Другими словами, чем больше число доступных микросостояний, тем больше разупорядоченность системы.

3. В состоянии полного порядка = 1 и энтропия S = 0. Таким образом, состояние с = 1 может служить естественным началом отсчета энтропии.

4. Если система состоит из двух подсистем, то с каждым из микросостояний 1 первой подсистемы могут реализовываться 2 состояний второй подсистемы. Следовательно, термодинамическая вероятность всей системы = 1 2, а энтропия S (см. (6.1)) равна S = S1 + S 2, (6.2) т.е. энтропия – экстенсивная (аддитивная) величина.

146 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

5. Изолированная система, будучи предоставлена самой себе, стремится к равновесному состоянию, соответствующему максимуму термодинамической вероятности. Это означает, что в такой системе все происходящие внутри нее самопроизвольные процессы могут приводить только к возрастанию энтропии: система переходит к состоянию с максимальным значением энтропии при заданных внешних условиях (второе начало термодинамики).

Энтропия изолированной системы не убывает со временем – такова краткая формулировка второго начала термодинамики. Таким образом, второе начало термодинамики определяет направление самопроизвольных необратимых процессов, для которых dS 0, (6.3) а величина dS – степень необратимости процесса в изолированной системе.

Существует также формулировка второго начала термодинамики в виде утверждения, называемого принципом Кельвина: невозможно создание циклического устройства (вечного двигателя второго рода), способного всю получаемую от нагревателя тепловую энергию преобразовать в работу. При этом обязательно часть теплоты должна быть передана холодильнику. Передача теплоты холодильнику часто называется компенсацией.

Третьей эквивалентной формулировкой второго начала служит формулировка Клаузиуса: невозможен циклический процесс, единственным результатом которого была бы передача теплоты от менее нагретого тела к более нагретому.

6. Второй закон термодинамики указывает направление процессов (но не дает информации о скорости процессов) и в то же время имеет статистический характер, то есть не является абсолютным законом. В изолированных макроскопических системах самопроизвольные процессы с уменьшением энтропии могут идти, но они маловероятны. К таким процессам можно отнести флуктуации плотности вещества, возникающие в результате хаотического движения молекул, которые становятся особенно значительными около критической точки.

7. В обратимых процессах, квазистатических, т.е. проходящих через ряд равновесных состояний, энтропия (как и термодинамическая вероятность Г) может возрастать, убывать или оставаться неизменной.

Гл. 6. Энтропия. Второе и третье начала термодинамики

8. При необратимых процессах к равновесным состояниям можно отнести только начальное 1 и конечное 2 состояния. Поэтому только для этих состояний можно указать определенные значения энтропии (S1 и S2). Конечное изменение энтропии в любом процессе (как обратимом, так и необратимом) определяется только параметрами начального и конечного состояний и не зависит от «хода» процесса:

S = S2 S1. (6.4)

9. В циклических процессах dS = 0. (6.5)

10. Энтропия любой равновесной системы стремится к нулю при стремлении к нулю температуры: S 0. Равенство нулю при T 0 энтропии следует из постулата Планка: энтропия индивидуального кристаллического вещества при абсолютном нуле температуры равна нулю, так как при этом = 1 (третье начало термодинамики).

Строго говоря, постулат справедлив только для идеальных кристаллических тел, не имеющих дефектов, примесей и т.п.

11. Единицей измерения энтропии является [ S ] = Дж/K. Используется также энтропийная единица 1эе=кал/K=4,1868 Дж/K. (8.6)

12. Для каждого макросостояния энтропия определяет количество информации, недостающее для полного описания системы, то есть детального описания микросостояний системы. Количество информации в битах определяется как I = log 2, а поэтому связано с энтропией, выраженной в энтропийных единицах, формулой

S (эе) = 2, 3 1024 I (бит). (6.7)

Один бит информации содержится в сообщении о событии, которое имело только 2 возможных исхода. Например, сообщение о выпадении монеты решкой вверх содержит один бит информации.

13. Первое и второе начала термодинамики имеют границы применимости. Нижняя граница связана с неприменимостью термодинамики к микросистемам. Сверху область применимости термодинамики ограничена системами галактических размеров, поМОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

–  –  –

Соотношение (6.21) можно получить и на основании термодинамического определения энтропии dS = Q / T с учетом первого начала термодинамики ( Q = CV dT + pdV ) и уравнения состояния ( p = RT / V ):

<

–  –  –

Энтропия смешения. Теорема Гиббса для энтропии газовой смеси: энтропия смеси идеальных газов равна сумме энтропий каждого газа в отдельности, как если бы каждый газ один при данной температуре занимал весь объем.

–  –  –

Задача 6.2.

3. В теплоизолированном сосуде при атмосферном давлении смешиваются m1 = 200 г холодной воды, имеющей температуру T1 = 10C, и m2 = 100 г горячей воды, имеющей температуру T2 = 90C. Определите изменение энтропии. Считать, что теплоемкость воды Ср = 75,5 Дж/(моль·К) не зависит от температуры.

Решение Так как сосуд теплоизолированный, то уравнение теплового баланса имеет вид:

Q1 + Q2 = 0, (6.37) Гл. 6. Энтропия. Второе и третье начала термодинамики где Q1 = 1C p (T0 T1 ) – теплота, получаемая холодной водой, а Q2 = 2 C p (T2 T0 ) – теплота, отдаваемая горячей водой при смешивании.

Установившуюся температуру Т0 находим из уравнения (6.37) 1C p (T0 T1 ) + 2C p (T0 T2 ) = 0 :

–  –  –

* По твердости соединения бора занимают второе место после алмаза, поэтому бор служит компонентом коррозионно-стойких и жаропрочных сплавов, в природе в свободном виде не встречается.

156 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

По этим данным постройте температурные зависимости теплоемкости C p (T ) и y (T ) = C p (T ) / T. С помощью численного интегрирования функций у(Т) найдите температурную зависимость молярной энтропии бора в рассматриваемом температурном интервале и определите изменение энтропии бора при нагревании от 100 К до 1000 К.

Решение График зависимости Ср(Т), построенный по данным из таблицы, приведен на рис. 6.1.

Рис. 6.1. Зависимость изобарической теплоемкости Ср аморфного бора от температуры Значения yi = 102 C p / T записаны в нижней строчке табл. 6.3.

На рис. 6.2 представлена зависимость yi = 102 C p T от T. Область температур от 100 К до 1000 К разбиваем на интервалы, например, Ti = 50 K. Определяем значение yi, соответствующие серединам интервалов. Например, для затемненного на рис. 6.2 интервала T5 = 325K средней температуре соответствует значение y5 = 102 C p (T5 )/T5 = 3, 66 Дж/(моль K 2 ).

Пусть при T0 = 100 K значение энтропии равно S0. Тогда значение энтропии при T1 = 150 K будет отличаться от S0 на величину, численно равную площади под кривой в интервале температур

T1 = (150 100)K :

150 K

–  –  –

Суммируя последовательно площади прилегающих «прямоугольников», получаем зависимость S (T ) (рис. 6.3). Как видно из графика, при нагревании от 100 К до 1000 К молярная энтропия бора возрастает на 26,6Дж/(мольК).

–  –  –

Задача 6.2.

6. Определить изменение энтропии одного моля идеального газа при его расширения от объема V1 до объема V2 = 2V1 по закону V = aT 3, где а – постоянная величина. Молекулы газа обладают i = 5 степенями свободы. Сравните изменение энтропии в данном процессе с изменениями в процессах изобарического, изотермического и обратимого адиабатического расширения.

Решение

Уравнение процесса V = aT 3 позволяет определить температуры газа в начальном и конечном состояниях:

T1 = V11/ 3 / a и T2 = V2 3 / a.

1/

–  –  –

Рис. 6.4. Изменение энтропии одного моля идеального газа в процессе его расширения от объема V1 до объема V2 = 2V1 при изобарическом (1), изотермическом (2), обратимом адиабатическом (3) процессах и по закону V = aT (4).

160 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

–  –  –

3адача 6.2.7. Один моль идеального одноатомного газа равновесным (обратимым) процессом переводят из состояния 1 ( p1,V1 ) в состояние 3 с объемом V2V1: первый раз - изобарически (процесс 1–3), а второй раз – сначала по изотерме 1–2, а затем по изохоре 2– 3 (рис. 6.5). Определить изменение энтропии на всех этапах в обоих процессах. Изобразить эти процессы на диаграммах S T, S V и S p.

Рис. 6.5. Два равновесных процесса 13 и 123 (сплошные линии) перевода идеального газа из состояния 1 в состояние 3. Изотермы – пунктирные линии, адиабаты - штрихпунктирные линии.

Решение Параметры состояний 1, 2, 3 можно определить, используя уравнения процессов и уравнение состояний идеального газа:

Гл. 6. Энтропия. Второе и третье начала термодинамики

–  –  –

Рис. 6.6. Зависимость энтропии от температуры (а), объема (б) и давления (в) в процессах, изображенных на р - V диаграмме рис. 6.5.

3адача 6.2.8. Недеформируемый, теплоизолированный от окружающей среды цилиндрический сосуд состоит из двух одинаковых секций объемом V0 каждая. Секции отделены друг от друга невесомым поршнем-перегородкой, который может перемещаться без трения. Первая секция заполнена одним молем идеального газа, во Рис.6.7. Невесомый поршень разделяет второй секции – вакуум цилиндрический, теплоизолированный от (рис. 6.7). окружающей среды сосуд на две одинакоРассмотреть два воз- вые по объему секции, в одной из которых находится один моль идеального газа, можных процесса:

а в другой – вакуум.

A) поршень получает возможность свободно перемещаться, и происходит самопроизвольное расширение газа – процесс Гей-Люссака.

B) проводится квазистатическое (обратимое) расширение газа.

Какие условия необходимо создать для этого?

Определить изменения температуры и энтропии в обоих процессах.

Решение Процесс А является необратимым, поэтому для описания такого процесса нельзя использовать равновесные термодинамические параметры, такие как p, V, T, S. Следовательно, для необратиМОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

–  –  –

Рис. 6.9. Процессы расширения идеального газа в пустоту от объема V1 до объема V2 на р-V и Т-S диаграммах: обратимый адиабатический процесс 13 (сплошная линия) и необратимый адиабатический 12 (волнистая линия).

–  –  –

Задача 6.2.

9. Недеформируемый цилиндрический сосуд состоит из двух одинаковых секций объемом V0 каждая. Секции отделены друг от друга невесомым поршнем, который может перемещаться без трения. Первая секция заполнена одним молем идеального газа (термодинамическая система А), во второй секции - вакуум. Сосуд помещен в термостат (термодинамическая система АТ) с температурой Т0, температура и объем которого не изменяются при обмене теплотой с выделенной системой (рис. 6.10).

166 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

Рис.6.10. Невесомый поршень разделяет цилиндрический сосуд, находящийся в контакте с термостатом при температуре Т0, на две одинаковые по объему секции, в одной из которых - один моль идеального газа, в другой – вакуум.

Рассмотреть два возможных процесса:

(I) квазистатическое (обратимое) расширение газа;

(II) поршень свободно перемещается, и происходит самопроизвольное расширение газа.

Как изменяется энтропия систем А и АТ в обоих процессах?

Решение Процесс I для системы А является обратимым изотермическим (Т = const) процессом. Для идеального газа это означает, что dU = 0.

Изменение энтропии в процессе можно найти, используя известные параметры начального и конечного состояний (6.22):

S I = R ln ( 2V0 / V0 ) = R ln 2.

Для обратимого процесса Q = TdS, поэтому:

–  –  –

Количество теплоты, передаваемое термостатом, не зависит от вида процесса (обратимый или необратимый), так как связано только с изменением внутренней энергии термостата.

Изменение энтропии термостата ST = QT / T0 = QI / T0 = S I.

Изменение энтропии системы А*=А+АТ:

S I + ST = 0.

Процесс II для системы А происходит без совершения работы, так как внешнее давление равно нулю ( AII = 0 ). Тогда, согласно первому началу термодинамики: QII = U II. Поскольку в начальном и конечном равновесных состояниях Т1 = Т2 = Т0, то U II = 0, и следовательно QII = 0.

Однако, поскольку процесс неравновесный, то S II QII / T0.

Как и в процессе I, S II определяется также по параметрам и начального и конечного состояний:

S II = R ln ( 2V0 / V0 ) = R ln 2.

–  –  –

Задача 6.2.

10. Один моль идеального одноатомного газа находится в объеме V1 цилиндрического сосуда, описанного в предыдущей задаче 6.2.9. В исходном состоянии (1) теплоизоляция сосуда отсутствует, сосуд находится в термостате с температурой T1 = const. Газ изотермически расширяется (1–2) от начального объема V1 до объема V2 = 2V1. Затем сосуд теплоизолируется и проМОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ водится равновесное сжатие газа (2–3) до первоначального объема V1. После этого теплоизоляция снимается, и сосуд вновь обретает тепловой контакт с термостатом с температурой Т1 (процесс 3–1).

Система возвращается в исходное состояние. Определить изменение энтропии Sik и температуры Tik, а также составляющие энергетического баланса ( U ik, Aik, Qik ) и приведенную теплоk Q ту на каждом из участков циклического процесса и за весь T i цикл.

–  –  –

S23 = S3 S2 = 0, S31 = S1 S3 = S1 S2 = S12 = R ln 2 0 – энтропия уменьшается при необратимом процессе 3–1.

Если использовать также результаты решения задач 6.2.8 и 6.2.9, то можно сделать вывод: в открытых неизолированных системах энтропия может возрастать и может уменьшаться (как в обратимых, так и в необратимых процессах) в зависимости от направления процесса, Поскольку энтропия является функцией состояния, то для циклического процесса всегда

–  –  –

Задача 6.2.

11. Теплоизолированные сосуды заполнены разными газами в количестве соответственно 1 и 2 молей при одинаковых температурах и давлениях. Сосуды соединены друг с другом тонкой трубкой с краном (рис.6.12). Кран открывают, и газы перемешиваются. Определить изменение энтропии системы. Газы считать идеальными.

Гл. 6. Энтропия. Второе и третье начала термодинамики Рис.6.12. Теплоизолированные сосуды, имеющие объемы V1 и V2, соединены друг с другом тонкой трубкой с краном и заполнены разными газами.

–  –  –

Задача 6.3.

2. Один моль идеального одноатомного газа изотермически расширяется от объема V1 до V2. Определить во скольМОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ ко раз изменится термодинамическая вероятность состояния 2 / 1 и чему равно изменение энтропии S. Убедитесь, что при вычислении изменения энтропии использование статистического и термодинамического определений энтропии приводит к одинаковым результатам.

Ответ: 2 / 1 = (V2 / V1 ), S = k B ln ( 2 / 1 ) = R ln (V2 / V1 ).

NA Задача 6.3.

3. Какое количество теплоты следует сообщить макроскопической системе в изотермическом процессе при температуре Т0, чтобы увеличить термодинамическую вероятность состояния в раз?

Ответ: Q = T0 S = k BT0 ln ( 2 / 1 ) = k BT0 ln.

–  –  –

Задача 6.3.

6. Во сколько раз следует изменить объем m =280 г азота в изотермическом процессе, чтобы его энтропия возросла на S = 28 Дж/К? Газ считать идеальным.

Гл. 6. Энтропия. Второе и третье начала термодинамики

–  –  –

Задача 6.3.

7. Как изменится энтропия идеального газа при одновременном уменьшении объема в n раз и увеличении давления во столько же раз?

Ответ: S = C p ln n + CV ln n = R ln n 0.

–  –  –

Задача 6.3.

11. Идеальный газ в исходном состоянии при температуре Т1, имевший энтропию S1, переходит в состояние с энтропией S2 S1 при (1) изотермическом, (2) изобарическом и (3) изохорическом обратимых процессах. Изобразите на S–Т диаграмме зависимость энтропии от температуры в этих процессах.

176 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

Ответ: при р = const S p ( p, T ) S1 = C p ln T / T1, при V = const SV (V, T ) S1 = CV ln T / T1.

На рис. 6.13 представлены рассматриваемые в задаче процессы в (p,V) и (S,T) координатах.

–  –  –

Задача 6.3.

12. Идеальный газ находившийся в исходном состоянии с энтропией S1 при температуре Т1, переходит в состояние с температурой T2 T1 при 1) изобарическом, 2) изохорическом и

3) изоэнтропическом обратимых процессах. Изобразите процессы на (p–V) диаграмме и определите графически, в каком процессе S больше. Сравните графики S(T) указанных процессов при CV = 5R / 2.

Ответ: см. рис. 6.14.

Рис. 6.14. Графики процессов, рассматриваемых в задаче 6.3.12 в (p,V) и (S,T) координатах.

Гл. 6. Энтропия. Второе и третье начала термодинамики Задача 6.3.

13. На некотором участке процесса энтропия одного моля идеального газа изменяется по закону S = S0 + / T. Какое количество теплоты получает газ и какую работу он совершает при изменении его температуры от Т1 до Т2? Молярная теплоемкость CV известна.

Ответ: Q = ln (T1 / T2 ), A = CV (T1 T2 ) + ln (T1 / T2 ).

Задача 6.3.

14. При низких температурах решеточная теплоемкость твердых тел изменяется по закону Дебая: C = T 3. Какова зависимость энтропии от температуры в этой области температур?

Ответ: S = aT 3 / 3.

–  –  –

Задача 6.3.

16. Теплоемкость вещества в некотором политропическом процессе равна С. Найдите зависимость температуры от энтропии в этом процессе, если при температуре Т1 энтропия равна S1.

Ответ: T = T1 exp [ ( S S1 ) / C ].

Задача 6.3.

17. Два одинаковых теплоизолированных сосуда содержат по одному молю идеального газа. Температура газа в первом сосуде Т1, во втором Т2. Между сосудами устанавливается тепловой контакт (без изменения объемов). Покажите, что энтропия системы возрастает.

(T + T ) Ответ: S = CV ln 1 2 0.

4T2T1 3адача 6.3.18. Недеформируемый и теплоизолированный цилиндрический сосуд разделен невесомым, способным перемещаться без трения поршнем на две равные секции. Первая секция заполнена одним молем идеального газа при температуре Т0, во втоМОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ рой секции вакуум (рис.6.15). Поршень получает возможность свободно перемещаться, и происходит самопроизвольное расширение газа. После этого поршень медленно перемещают в исходное положение. Определить изменения внутренней энергии и энтропии.

Молярная теплоемкость СV задана.

Рис. 6.15. Недеформируемый и теплоизолированный от окружающей среды цилиндрический сосуд с невесомым стержнем.

–  –  –

Задача 6.3.

19. Два сосуда объемами V0 и nV0 соединены трубкой с краном и теплоизолированы от окружающей среды (рис.6.16).

В меньшем сосуде находится гелий под давлением р1, в большем – азот под давлением р2. Температуры газов одинаковы и равны Т0.

Найти изменение энтропии системы после открытия крана. Газы считать идеальными.

Рис. 6.16. Теплоизолированные сосуды объемом V0 и nV0 соединены друг другом тонкой трубкой с краном и заполнены различными газами.

–  –  –

Задача 6.3.

20. Покажите, что из второго начала термодинамики следует равенство давлений в двух системах, составляющих вместе изолированную систему, если тепловое равновесие уже усГл. 6. Энтропия. Второе и третье начала термодинамики тановилось ( T1 = T2 = T ) и обмена частицами между системами не происходит. Объем изолированной системы V1+V2 = V = const.

–  –  –

Задача 6.3.

22. Идеальный газ участвует в обратимом циклическом процессе 1231 (рис.6.18).

1). На каких участках процесса газ а) отдает и

б) получает тепло?

2). На каких участках газ а) нагревается и

б) охлаждается?

3). Сравните по величине Q12 и Q23, S12 и S23.

Ответ: см. рис. 6.18.

180 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

Рис. 6.18. Обратимый циклический процесс 11а231 идеального газа (сплошные линии); изотермы – пунктирные линии, изоэнтропические процессы – штрихпунктирные линии.

Литература

1. Матвеев А.Н. Молекулярная физика. М: Высшая школа, 1981, §§19,22.

2. Кикоин А.К.. Кикоин И.К. Молекулярная физика. 3-е изд.

СПб: Лань, 2007, §§40-44.

3. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.II. Термодинамика и молекулярная физика. М: Наука. 1990, §§27,28,40,41.

4. Миронова Г.А., Михеева Л.Ф., Попов В.В. Разработка семинаров по молекулярной физике. М: Изд-во Московского университета, 1988, с.110-122.

5. Миронова Г.А., Брандт Н.Н., Салецкий А.М. Молекулярная физика и термодинамика в вопросах и задачах. М: Физический факультет МГУ, 2010, гл.3.

6. Касандрова О.Н., Матвеев А.Н., Попов В.В. Пособие по решению задач молекулярной физики. М: Изд-во Московского университета, 1974, раздел VII.

7. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. 9-е изд. СПб: Лань, 2005, 2.4.

Гл. 7. Циклические процессы. Обратимые циклы. КПД циклов

–  –  –

одними и теми же источниками теплоты, имеющими постоянные, но разные температуры.

Третья теорема Карно. Обратимый цикл Карно имеет наибольший КПД по сравнению с любыми обратимыми или необратимыми циклами, в которых наибольшая и наименьшая температуры равны соответственно температуре горячего источника и температуре холодного источника цикла Карно.

Теоретически максимальный КПД достигается если тепловой двигатель работает по циклу Карно (рис. 7.1 а). Однако, из-за малой разницы в наклонах изотерм и адиабат цикл Карно трудно реализован на практике. В поршневых двигателях внутреннего сгорания (рис. 7.1 б, в) изотермы заменяются на изохоры и/или изобары.

При этом циклы различаются по типу процесса, в котором теплота подводится:

1) цикл Отто с подводом теплоты по изохоре (в карбюраторных двигателях, рис. 7.1б);

2) цикл Дизеля с подводом теплоты по изобаре (в двигателях с внутренним процессом смесеобразования, или дизелях, рис.7.1в);

3) циклы смешаного типа.

Рис. 7.1. Графическое сравнение цикла Карно (а) с циклами Отто (б) и Дизеля (в), заданными на р-V и Т-S диаграммах. Максимальная и минимальная температуры во всех циклах приняты одинаковыми.

Гл. 7. Циклические процессы. Обратимые циклы. КПД циклов Отдача теплоты во всех типах циклических процессов в двигателях внутреннего сгорания происходит в изохорическом процессе.

Следует заметить, что в реальных двигателях рабочее вещество участвует, строго говоря, в незамкнутом процессе. Однако теоретические расчеты для замкнутых позволяют исследовать влияние различных факторов на эффективность работы тепловых машин.

С помощью p-V диаграмм удобно вычислять работу за цикл, которая численно равна площади, ограниченной циклическим процессом, и по направлению обхода цикла определять знак работы и тип теплового механизма.

С помощью T-S диаграмм удобно проводить расчеты Рис. 7.2. Площадь под кривой теплоты, которая численно процесса на Т-S диаграмме равна равна площади цикла (рис. 7.2). модулю количества теплоты, Элементарное количество получаемой или отдаваемой системой.

теплоты, вводимое в систему на бесконечно малом участке процесса ( Q = TdS ), численно равно площади прямоугольника со сторонами Т и dS на T–S диаграмме. Поэтому количество теплоты, Q12 = TdS, равно получаемое системой в процессе 12 площади под кривой процесса в координатах T–S.

Поскольку для циклического процесса A = Q (см. (7.2)), то площадь цикла TS на T–S диаграмме равна как количеству теплоты TS = Q, так и работе за цикл: TS = Q = A.

–  –  –

Задача 7.2.

1. Тепловой двигатель работает по обратимому циклу Карно, состоящему из двух адиабат и двух изотерм с

186 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

температурами Т1 и Т2, причем Т1 Т2 (рис. 7.3а) Рабочее тело – идеальный газ. Определите эффективность такого механизма.

Решение I способ. Использование p-V диаграммы.

Вначале определим тип теплового механизма. Изображение цикла на р–V диаграмме и фиксирование последовательности состояний позволяет сразу сказать, с каким видом механизма мы имеем дело. Площадь цикла на p–V диаграмме численно равна работе газа, совершенной за один цикл. Поскольку в данном случае обход контура происходит по часовой стрелке, а положительная

pdV + pdV 0 больше модуля отрицательной работыработа

pdV + pdV 0, то pdV 0, т. е. в процессе передачи теплоты от нагревателя к холодильнику рабочее тело совершает полезную работу (рис. 7.3а). Следовательно, система работает как тепловой двигатель. Вычислим составляющие энергетического баланса на каждом участке цикла.

Рис. 7.3. Цикл Карно на р-V (а) и Т-S (б) диаграммах. (12) изотермический процесс при тепловом контакте рабочего тела с нагревателем с температурой Т1;

(23) адиабатическое расширение; (34) изотермическое сжатие при тепловом контакте рабочего тела с холодильником с температурой Т2; (41) адиабатическое сжатие, производимое внешними силами.

Определим знаки теплоты на каждом участке циклического процесса. Циклический процесс, как правило, состоит из Гл. 7. Циклические процессы. Обратимые циклы. КПД циклов отдельных процессов (участков), каждый из которых может быть описан аналитически. Через каждую точку начала (или конца) такого участка циклического процесса проведем кривые изоэнтропических процессов. В данном случае эти кривые уже имеются – это изоэнтропические процессы с энтропией S1 и S2, причем кривая S2 расположена выше кривой для S1 при одном и том же объеме (или правее при одной и той же температуре или давлении). Если в процессе ik происходит переход с нижней изоэнтропы на верхнюю, то рабочее вещество получает теплоту Qik = Q + 0. Если наоборот – с верхней на нижнюю, то рабочее вещество отдает теплоту Qik = Q 0. Приток (отток) теплоты Qik на соответствующем участке цикла в (из) систему показан на рис. 7.3 широкой стрелкой.

Если на p–V диаграмме циклический процесс изображается простой геометрической фигурой, то это значительно упрощает A =, где площадь расчет КПД по формуле (7.6), в которой цикла. В данной задаче цикл изображается сложной геометрической фигурой. Учитывая также, что рабочее тело обменивается теплотой с окружающей средой только на двух участках цикла из четырех, для расчета КПД воспользуемся формулой (7.9), где Q + = Q12, а Q = Q34.

Процессы 1–2 и 3–4 изотермические, поэтому U = 0, а V

Qik = Aik = RT ln k. Таким образом:

Vi V Q12 = RT1 ln 2, V1 V Q34 = RT2 ln 4.

V3 По условию задачи температуры заданы, а объемы не известны.

Если какой-либо параметр (в данном случае Vi, где i = 1,2,3,4 ) не известен, то можно воспользоваться следующей процедурой.

Выберем из p, V, T два параметра, один из которых необходимо определить, а другой задан. В данном случае такими параметрами являются Т и V.

Теперь, для этой пары переменных, запишем уравнения всех процессов цикла последовательно:

188 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

–  –  –

pdV 0, то pdV 0, т.е. рабочее тело отрицательной работы совершает полезную работу в процессе передачи теплоты от нагревателя к холодильнику (рис. 7.4а). Следовательно, система работает как тепловой двигатель.

Рис. 7.4. Циклический процесс на р-V диаграмме (а) и графическое определение знаков теплоты на отдельных участках цикла (б).

Через каждую точку 1, 2, 3, 4 проводим кривые изоэнтропических процессов. Они будут идти немного круче, чем по графику изотермических процессов, проведенные на рис. 7.4 б.

В процессах 12 и 41 происходит переход с нижней изоэнтропы на верхнюю, рабочее вещество получает теплоту: Q12 0 и

190 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

–  –  –

Теплота Qik может быть определена из первого начала термодинамики.

Однако, поскольку рассматриваемый цикл состоит из политропических процессов, теплоемкости у которых известны, то наиболее короткий путь вычисление Qik по определению теплоемкости:

Гл. 7. Циклические процессы. Обратимые циклы. КПД циклов

–  –  –

Задача 7.2.

3. Тепловой двигатель Карно (см., рис. 7.2 а), имеющий КПД К = 40%, начинают использовать как холодильную машину. Найти холодильный коэффициент (эффективность холодильника) и количество теплоты, которое эта машина за один цикл может забрать у холодильника, если совершаемая за каждый цикл внешняя механическая работа равна Аех = 200 Дж.

Решение Для того чтобы от холодильника забиралась теплота, то есть рабочее тело получало теплоту на нижней ветви цикла (рис. 7.5),

192 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

цикл следует проводить против часовой стрелки. Таким образом, если тепловой двигатель Карно за счет теплоты, полученной от нагревателя, совершает работу, то в холодильной машине теплота от холодильника поступает в нагреватель (обычно окружающую среду) за счет совершения внешней работы.

Рис. 7.5. Циклический процесс на р-V (а) и Т-S (б) диаграммах для холодильной машины, работающей по циклу Карно.

–  –  –

Решение Теплота, получаемая газом на каком-либо участке процесса равна площади под этим процессом с учетом знака: если энтропия возрастает, то газ получает теплоту и Q 0, если энтропия уменьшается, то Q 0, а если S = const, то Q = 0 (рис.7.6):

–  –  –

Площадь цикла (площадь треугольника) равна сумме всех Qik (с учетом знаков): Q = (T1 T2 ) S12. Определяя знак работы за цикл A = Q 0, убеждаемся, что работающий по данному циклу механизм является тепловым двигателем, совершающим за цикл работу A = Q = 2 (T1 T2 )S12. (7.26)

Используя (7.25) и (7.26), для КПД цикла получаем:

–  –  –

Значение КПД составляет половину от КПД цикла Карно, работающего в том же температурном интервале. Однако этот результат не вытекает из того факта, что площадь данного цикла равна половине площади цикла Карно.

1 T Ответ: = 1 2.

2 T1 Задача 7.2.

5. Вычислите и сравните КПД карбюраторного двигателя V и дизеля p, если они имеют одинаковую максимальную температуру Т3 (рис. 7.7). Считать известными также V1, Т1 и T4.

Решение Обозначим окончание адиабатического процесса (S = const) цифрой 2 для карбюраторного двигателя (подвод теплоты по изохоре) и 2 – для дизельного (подвод теплоты по изобаре).

Используя T–S диаграмму (рис. 7.7б), на которой площади i j под кривыми процессов i j (с учетом знака) равны подводимой на этих процессах теплоте, можно провести предварительное сравнение КПД этих типов двигателей.

41 КПД карбюраторного двигателя: V = 23 = 1 41, Гл. 7. Циклические процессы. Обратимые циклы. КПД циклов

–  –  –

Задача 7.2.

6. Сравните КПД карбюраторного двигателя и дизеля, если они работают с одинаковой степенью сжатия = V1 V2 и при одинаковом отношении температур = T4 T1 (рис. 7.8).

Решение Обозначим состояние с максимальной температурой цифрой 3 для карбюраторного двигателя (подвод теплоты по изохоре) и 3 – для дизельного (подвод теплоты по изобаре).

Используя T-S диаграмму, на которой площади i j под кривыми процессов i j (с учетом знака) равны подводимой в Гл. 7. Циклические процессы. Обратимые циклы. КПД циклов

–  –  –

Задача 7.2.

7. В некотором механизме осуществляется замкнутый цикл Стирлинга (рис. 7.9 а) над 8 г кислорода (О2 считать идеальным газом). Известно, что T1 = 350 K, Т2 = 280 К и V2 = 3V1. Определить работу за цикл и эффективность механизма.

–  –  –

Задача 7.3.

1. Два тепловых двигателя работают по циклу Карно. Цикл первого двигателя 12341 (рис. 7.11), второго 12`3`41. Площадь второго цикла (с вертикальной штриховкой) приблизительно в два раза больше площади первого цикла (с горизонтальной штриховкой). Сравните совершаемые двигателями работы за цикл и КПД циклов.

–  –  –

Задача 7.3.

3. Холодильная установка работает по циклу Карно в интервале температур T1 = +10С и T2 = –5С. Мощность

204 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

–  –  –

Задача 7.3.

6. Точка 1 на диаграмме работы дизеля (см. рис. 7.1 в) соответствует исходному состоянию, при котором цилиндр заполнен воздухом при атмосферном давлении. После адиабатического сжатия (процесс 1–2), открывается вентиль, и в цилиндр под давлением подается жидкое топливо, которое воспламеняется (точка 2) при высокой температуре. Во время горения топлива (процесс 2–3) газ изобарически расширяется. В точке 3 подача топлива прекращается, и происходит Гл. 7. Циклические процессы. Обратимые циклы. КПД циклов адиабатическое расширение (3-4). В точке 4 открывается выхлопной клапан, и давление в цилиндре быстро падает.

Определите КПД цикла Дизеля (Д) и цикла Карно (K)в одинаковых температурных пределах: T1 = 2 000 K, T2 = 350 K, если максимальное и минимальное давление р2 = р3 = 34 атм, р1 = 0,56 атм.

Ответ: Д = 0,56, K = 0,82.

Задача 7.3.

7. Задан циклический процесс смешанного типа* (рис. 7.13), причем V1 / V2 =, V4 / V2 =, p3 / p2 =. Определите КПД цикла.

Рис. 7.13. Циклический процесс смешанного типа на P-V (а) и T-S(б) диаграммах.

–  –  –

Задача 7.3.

8. Двигатель дизеля имеет мощность N = 200 кВт при расходе топлива m = 50 кг/час. Теплота сгорания Нсгор = 40 000 кДж/кг. Определить КПД двигателя.

Ответ: =0,36.

Задача 7.3.

9. В двигателе внутреннего сгорания в качестве топлива используется октан (М = 114,2 г/моль). Энтальпия сгорания октана Нсгор = –5474,4 кДж/моль. Рабочая температура цилиндра двигателя Т1 = 2000С, температура на выходе Т2 = 800С.

* Цикл смешанного типа это когда часть тепла к газу подводится изохорически, а часть передается при р = const (для дизелей) или V = const (для карбюраторных двигателей).

206 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

–  –  –

Задача 7.3.

11. Рабочим веществом двигателя, работающего по циклу Ленуара (1–2 – изохорический, 2–3 – адиабатический, 3–1 – изобарический процессы (рис. 7.14а)), является идеальный газ с показателем адиабаты. Вычислить КПД двигателя, если известна степень повышения давления = p2 / p1.

Рис. 7.14. Цикл Ленуара в Т-S (а) и P-V (б) диаграммах.

Гл. 7. Циклические процессы. Обратимые циклы. КПД циклов

–  –  –

Литература

1. Матвеев А.Н. Молекулярная физика. М: Высшая школа, 1981, §20.

2. Кикоин А.К. Кикоин И.К. Молекулярная физика. 3-е изд.

СПб: Лань, 2007, §§79-81.

3. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т.II. Термодинамика и молекулярная физика. М: Изд-во Наука. 1990, §§30,31.

4. Миронова Г.А., Михеева Л.Ф., Попов В.В. Разработка семинаров по молекулярной физике. М: Изд-во Московского университета, 1988, с.99-109.

5. Миронова Г.А., Брандт Н.Н., Салецкий А.М. Молекулярная физика и термодинамика в вопросах и задачах. М: Физический факультет МГУ, 2010, гл.7.

6. Касандрова О.Н., Матвеев А.Н., Попов В.В. Пособие по решению задач молекулярной физики. М: Изд-во Московского университета, 1974, раздел IV.

7. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. 9-е изд. СПб: Лань, 2005, 2.4.

208 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

–  –  –

Термодинамика имеет многочисленные применения практически во всех областях науки и техники.

Исторически сложились два термодинамических пути исследования макроскопических систем:

метод циклов и метод термодинамических функций, разработанный Дж. У. Гиббсом (J. W. Gibbs). Метод циклов, требующий искусственных построений при решении практических задач, со временем уступил место методу термодинамических потенциалов, широко распространенному в настоящее время.

Выше термодинамическими параметрами равновесного состояния считались давление p, объем V и температура T, а внутренняя энергия U и энтропия S – некоторыми функциями этих переменных. Однако и U, и S также можно использовать в роли переменных, так как они являются функциями состояния. При этом число независимых параметров остается равным трем (включая N).

Термодинамические потенциалы – это функции с размерностью энергии, зависящие от определенного набора термодинамических параметров, позволяющие найти все термодинамические характеристики системы в виде функций этих параметров. Существует много термодинамических потенциалов. Все они связаны между собой. Термодинамические потенциалы являются функциями состояния, то есть их изменение в любом замкнутом процессе (цикле) равно нулю.

Вспомним, например, механическую потенциальную энергию материальной точки в стационарном поле силы тяжести. Это функция только координат материальной точки, и при выбранном условии нормировки она имеет определенное значение в каждой точке пространства. В термодинамике число независимых параметров, определяющих состояние системы, равно двум при условии неизменности числа частиц в системе (N = const) или трем (при возможности изменения состава системы). Поэтому потенциальные функции в термодинамике, называемые термодинамическими потенциалами, являются функциями соответственно или двух, или трех переменных.

Гл. 8. Термодинамические потенциалы Рассмотрим некоторые термодинамические потенциалы (для ряда пар переменных) при условии, что число частиц в системе не изменяется. Термодинамические потенциалы, так же как и механическая потенциальная энергия, при определенном выборе начала отсчета энергии (нормировке) имеют определенное значение при задании соответствующей пары переменных. При переходе в другое состояние, с другими значениями этой пары переменных, изменение потенциала записывается через полный дифференциал.

Являясь функциями состояния, термодинамические потенциалы используются для описания как равновесных (обратимых), так и неравновесных процессов (при этом начальное и конечное состояния считаются равновесными). Параметры состояния для данного термодинамического потенциала, называются естественными переменными.

Термодинамические потенциалы для систем с постоянным числом частиц

1. Внутренняя энергия. Из первого и второго начал термодинамики следует, что внутренняя энергия является функцией естественных переменных S и V:

dU ( S,V ) = TdS pdV.

(8.1) Если процесс изохорический (V = const), то A = pdV = 0 и теплоту можно рассматривать как функцию состояния, поскольку в этом случае элементарное количество теплоты равно полному дифференциалу внутренней энергии:

QV = dU. (8.2)

2. Энтальпия. Если в изобарическом процессе (p = const) совершается работа по изменению только объема, то первое начало термодинамики можно записать в виде:

Q = d (U + pV ). (8.3) Функция H = U + pV (8.4) называется энтальпией, или теплосодержанием, или тепловой функцией системы.

Чтобы определить функцией каких переменных является энтальпия, найдем ее полный дифференциал:

210 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ЗАДАЧИ

–  –  –

Таким образом, энтальпия H является функцией энтропии S и давления p :

dH ( S, p) = TdS + Vdp. (8.5)

При изобарическом процессе и неизменном числе частиц элементарное количество теплоты Q, поглощенная системой, является полным дифференциалом (см.(8.5)):

dH ( S, p) = (TdS ) p = Q p

–  –  –

Для химических реакций, происходящих при постоянном давлении, величина H ( S, p ) = Q p называется тепловым эффектом реакции.

Химическая реакция называется экзотермической, если в процессе реакции теплота выделяется, и эндотермической, если теплота поглощается.

Правило знаков для энтальпии при образовании химического соединения:

если теплота выделяется (экзотермическая реакция), то H 0 ;

если теплота поглощается (эндотермическая реакция), то H 0.



Pages:   || 2 |
Похожие работы:

«57 УДК 553.98:550.831(470.53) КОМПЛЕКСНЫЕ ГЕОЛОГО-ГЕОФИЗИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ПАТРАКОВСКОЙ ПЛОЩАДИ (СЕВЕР ПЕРМСКОГО КРАЯ) НА СТАДИИ ЗОНАЛЬНО-РЕГИОНАЛЬНЫХ РАБОТ НА НЕФТЬ И ГАЗ COMPLEX GEOLOGICAL-GEOPHYSICAL RESEARCHES OF PATRAKOVSKAYA AREA (NORTH OF THE PERM REGION) AT THE STAGE OF ZONAL-REGIONAL...»

«'i l. NfulG]i/IC TEP C TB O OEPA3 OB AHI{.fl I'I HAYKN P O CCIfrICKOIZ OE reP AITryT H.f. rlepnstureBcKoro) ofEoy Bo (cl-y LrMeHLr I4ncruryr xr4Mvrkr YTBEPXAAIO E.f. Ewtua 2016 r. Pa6o.rafl...»

«ДИК Павел Петрович NiMo КАТАЛИЗАТОРЫ ГИДРОКРЕКИНГА ВАКУУМНОГО ГАЗОЙЛЯ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩИЕ ВЫСОКИЙ ВЫХОД ДИЗЕЛЬНОЙ ФРАКЦИИ 02.00.15. – Кинетика и катализ АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата химических наук Новосибирск – 2017 Работа вы...»

«3 семестр Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, 3 семестр. Направление 280100 «Природообустройство и водопользование». Дисциплина «Математика-1». Календарный план: 1 час лекций, 3 часа практики в неделю. Лекции. Лекция 1. Случайные события. Достоверное, невозможное, совместные и несовместные событи...»

«Химия растительного сырья. 2005. №3. С. 31–59. УДК 541.64 ИССЛЕДОВАНИЯ СТРУКТУРЫ ЦЕЛЛЮЛОЗ И ЛИГНИНОВ РАЗЛИЧНОГО ПРОИСХОЖДЕНИЯ Л.А. Алешина*, Н.В. Мелех, А.Д. Фофанов © Петрозаводский государственный университет, пр. Ленина, 33, Петрозаводск, 185910 (Россия) E-mail: aleshina@psu.karelia.ru В работе пред...»

«У 2 -7 А.Н. Вертипорох, ИАЭ-3286/7 Ю.С Максимов, Л.Н. Химченко ПИРОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ДЕТЕКТОР ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ РАДИАЦИОННЫХ ПОТЕРЬ НА ТОКАМАКЕ Т-12 Москва 1980 РУБРИКАТОР ПРЕПРИНТОВ ИАЭ 1. Общая теоретиче...»

«Учебные трудности: Дисграфия, дислексия, дискалькулия Дисграфия (это словарно правильное написание; дизграфия – неверно) означает проблемы с выражением своих мыслей на письме. Другими словами, это просто значит «трудности с письмом». Часто этим словом пользуются для обозначения чрезвычайно плохого по...»

«Секция 3 Практическое применение имитационного и комплексного моделирования и средств автоматизации моделирования ОПЫТ ПРЕПОДАВАНИЯ ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ ДЛЯ СТУДЕНТОВ-МАТЕМАТИКОВ В БЕЛОРУССКОМ ГОСУДАРСТВЕННОМ УНИВЕРСИТЕТЕ В. И. Малюгин, Ю. С. Харин (Минск) Имитацио...»

«СТРАТИГРАФИЯ И ПАЛЕОНТОЛОГИЯ МЕЗОЗОЙСКИХ ОТЛОЖЕНИЙ СЕВЕРА СИБИРИ А К А Д Е М И Я Н А У К ССС Р СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ Институт геологии и геофизики IVi ' t СТРАТИГРАФИЯ И ПАЛЕОНТОЛОГИЯ МЕЗОЗОЙСКИХ ОТЛОЖЕНИЙ СЕВЕРА СИБИРИ ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА» Москва 1965 Ответстве...»

«Иляков Игорь Евгеньевич ИССЛЕДОВАНИЕ НОВЫХ СХЕМ ГЕНЕРАЦИИ И ДЕТЕКТИРОВАНИЯ ТЕРАГЕРЦОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ, ОСНОВАННЫХ НА ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ФЕМТОСЕКУНДНЫХ ЛАЗЕРНЫХ ИМПУЛЬСОВ С ТВЕРДОТЕЛЬНЫМИ И ГАЗОВЫМИ СРЕДАМИ 01.04.21 – лазерная физика Диссертация на соискание учено...»

«© В.И.Моисеев, 2011 Лекция 10 общего курса. «Гипотеза космо-координации» План 1. Основные представления современной космологии 2. Субъект-объектные космологические аналогии 3. Необратимая и обратимая эпителесность 4. Постулат необратимой обратимости 5. Необратим...»

«Бурдина Елена Игоревна КИНЕТИКА ЭЛЕКТРООСАЖДЕНИЯ, СТРУКТУРА И СВОЙСТВА МЕТАЛЛОРГАНИЧЕСКИХ ПОКРЫТИЙ НА ОСНОВЕ МЕДИ, КАДМИЯ И НИКЕЛЯ 02.00.05 – электрохимия Диссертация на соискание ученой степени кандидата химических наук Научный руководитель: кандидат химических наук, доцент Скибина Лилия Михайловна...»

«Когда была сформулирована первая клеточная теория: 1665 г.; 1838 г.;Кем была сформулирована первая клеточная теория: Р. Гук; Шлейден и Шванн; Р. Вирхов;Основные положения современной клеточной теории: клетка основная структу...»

«Санкт-Петербургский государственный университет Математика Теория вероятностей и математическая статистика Мушенко Святослав Васильевич Асимптотическое поведение приращений сумм в схеме серий независимых случай...»

«ВЕСТНИК БУРЯТСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Спецвыпуск С/2012 УДК 615.322:074 © С.В. Жигжитжапова, Т.Э. Соктоева, Л.Д. Раднаева, В.В. Тараскин, Б.-Ц.Б. Намзалов ФИТОХИМИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ПОЛЫНИ ОБЫКНОВЕННОЙ ARTEMISIA VULGARIS L., ПРОИЗРАСТАЮЩЕЙ НА ТЕРРИТОР...»

«И. В. ГРЕБЕННИКОВА МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ Учебно-методическое пособие fc2(x) 0,20 0,15 0,10 0,05 5 10 15 x Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина И. В. Гребенникова МЕТ...»

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ имени Д.В. СКОБЕЛЬЦЫНА О.М. Вохник, А.М. Зотов, П.В. Короленко, Ю.В. Рыжикова Моделирование и об...»

«РАДИОФИЗИКА УДК 621.396.96 ББК 32.8 ОБРАБОТКА СИГНАЛА ЧМ-ДАЛЬНОМЕРА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ НЕЙРОННЫХ СЕТЕЙ С.А. Долгачева, Ю.А. Цапков Рассматривается задача повышения точности частотного дальномера путем применения искусственных нейронных сетей в обработке сигнала разностной частот...»

«Геология и геофизика, 2011, т. 52, № 10, с. 1349—1366 УДК 551.7.03.061.3 ПРОБЛЕМЫ РЕФОРМИРОВАНИЯ МЕЖДУНАРОДНОЙ СТРАТИГРАФИЧЕСКОЙ ШКАЛЫ С ПОЗИЦИИ ЭВОЛЮЦИИ ЭКОСИСТЕМ (на примере нижнего палеозоя) А.В. Каныгин Институт нефтегазовой геологии и геофизики им. А.А. Трофимука СО РАН, 630090, Новосибирск, просп. Академ...»

«Мазурова Ирина Сергеевна ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ В СИСТЕМАХ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ Специальность 01.01.09 Дискретная математика и математическая кибернетика АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук ТВЕРЬ – 2014 Работа выполнена на кафедре компьютерной безопасности и мате...»

«Mathematical justification of hypotheses about the nature of mass, inertia and gravity Maksyutin A.1, Kudakin Ja.2 Математическое обоснование гипотезы о природе массы, сил инерции и тяжести Максютин А. П.1, Кудакин Я. В.2 Максютин Александр Павлович / Maksyut...»

«РАЗРАБОТКА КОЛИЧЕСТВЕННОЙ МЕТОДИКИ ОЦЕНКИ ТРУДНОСТИ ВОСПРИЯТИЯ УЧЕБНЫХ ТЕКСТОВ ДЛЯ ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ Ю.Ф. Шпаковский (Белорусский государственный технологический университет) Научный руководитель – к.филол.н., доцент Л.И....»

«Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Национальный исследовательский университет Учебно-научный и инновационный комплекс «Физические основы информационно-телекоммуникационных систем» Основная образователь...»










 
2017 www.pdf.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - разные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.