WWW.PDF.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Разные материалы
 

Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |

«ОБОСНОВАНИЕ СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИКИ: СИСТЕМНО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЙ ПОДХОД ...»

-- [ Страница 3 ] --

Безусловно, тезис Брауэра «существовать значит быть построенным» произвел огромное впечатление на математиков, но из этого тезиса о доказательстве любого экзистенциального высказывания вытекают ограничения, налагаемые интуиционизмом на допустимые методы математического исследования.

Мотивы, которые побуждали профессиональных математиков принимать некоторые положения интуиционистской программы обоснования математики, носили как математический, так и чисто философский характер. Так, согласно программе интуиционизма, математическое высказывание должно быть также утверждением о выполнении некоторого построения, которое должно быть ясным само по себе, чтобы не нуждаться ни в каких обоснованиях. Поэтому в интуиционистской программе можно выделить негативный и позитивный аспекты: первый состоит в отрицании существования некоторых понятий теоретико-множественной математики, а второй – в разработке конструктивных аспектов математики. Даже финитизм программы формализма был не столь радикален, как расширение финитной установки в программе интуиционизма. В частности, Гильберт считал необходимым сохранить понятие актуальной бесконечности в классической математике, хотя бы в тех пределах, в которых оно допускает финитное обоснование. Современная математика в своих разных направлениях дает реальную возможность некоторого приближения к идеям интуиционизма и, по существу, выросшего из него конструктивизма, поскольку информационные технологии основаны на конструктивизме. Заметим также, что, с учетом возможности варьировать понятие реализуемости, в достаточно сложном конструктивном математическом доказательстве могут проявляться неконструктивные аспекты. Добавим к этому, что хотя значительная часть новых математических теорий строится иногда на неконструктивной основе, они при этом тоже порождают немало практически полезных результатов.



Следует отметить, что некоторые важные положения интуиционизма конкретизируются теоремами Гёделя о неполноте, хотя сам Брауэр, после появления логических результатов Гёделя, по сути практически не хотел ими пользоваться для обоснования своих конструкций, так как не относил их к пониманию классической математики. В определенном смысле он даже был прав, поскольку результаты Гёделя имеют отношение к «достаточно богатой»

формализации любой математической теории. С точки зрения сторонников интуиционистской доктрины, никакая формальная система не способна охватить все верные методы доказательства. Вторую теорему Гёделя о неполноте можно, например, интерпретировать в таком же смысле, что никакая формальная система не может «охватить» всех методов, использующих ее собственную методологическую корректность. У профессиональных математиков было приято считать, что для разных разделов математики можно указать свой набор аксиом, обеспечивающий вывод всех их истинных предложений. Но работы Гёделя указали на неосуществимость такого представления. Хотя, как заключает итальянский философ математики и логик Эвандро Агацци: «По мнению Гёделя, некоторые математические суждения, которые на сегодня не могут быть ни доказаны, ни опровергнуты, могут и даже должны стать доказуемыми или опровержимыми после того, как будут найдены новые аксиомы, полученные в результате более глубокого понимания нашим интеллектом соответствующих математических объектов» [1, с.41]. Даже, несмотря на методологически оправданное стремление пытаться искать конструктивное решение проблемы существования сложных математических объектов, направление интуиционизма в некоторых своих проявлениях было все же излишне радикально.

Автор считает, что принципиальный недостаток логики Брауэра, который неявно эксплицирован в философской литературе, состоит также в том, что получение результатов, построенных только по интуиционистским формальным правилам, имеет тот же порядок сложности, что и для классических подходов.

Хотя математическая правильность общего философско-методологического принципа интуиционистского обоснования современной математики, несмотря на определенную узость философско-методологических ограничений, не может быть поставлена в целом под сомнение, поскольку он стимулировал становление конструктивистского направления в математике, приведшего к возникновению и развитию современных информационных технологий. Представление о том, будто математическая теория строится на одних аксиомах, вообще говоря, неверно, так как она еще строится посредством логических рассуждений. Когда это было правильно философски осознано, то идеал аксиоматического метода в его теоретико-множественной реализации постепенно стал методологически размываться. Несмотря на ограничительные результаты Гёделя, программа обоснования Гильберта с некоторыми изменениями фактически остается одним из главных направлений в обосновании математики. Она оказалась наиболее продуктивной, во-первых, в самой современной математике, а во-вторых, в вопросах обоснования, поскольку эта программа содержит не только собственно формальные требования, но также и некоторые содержательные аспекты, так как формальная адекватность абстрактных математических понятий подкрепляется еще и соответствующим анализом их содержательной адекватности.

Как поясняет сам Давид Гильберт: «Наряду с собственно математикой, формализованной указанным выше образом, возникает в определенной мере новая математика, метаматематика, необходимая для обеспечения надежности собственно математики, в которой (в отличие от чисто формальных выводов собственно математики) используются содержательные выводы, но только для доказательства непротиворечивости аксиом. В этой метаматематике оперируют доказательствами собственно математики, и эти доказательства и составляют предмет содержательного исследования» [42, с.419]. Объектом метаматематики как философской теории является понятие «абстракции математики», в которой сложные математические теории по сути заменяются формальными системами.

В методологической программе обоснования Гильберта систематизирован весь накопившийся в теоретической математике большой опыт истории становления математики предыдущих поколений. Методологической целью формалистской программы обоснования, предложенной Давидом Гильбертом, стала не редукция математики к логике или арифметике, а редукция к метатеории как истинной части математики, благодаря непротиворечивости каждой математической теории в силу принятых принципов и в соответствии с критерием финитности, в котором понятию финитности Гильберт придает новый смысл.

Если принять это в качестве тезиса, то в качестве антитезиса можно рассмотреть, например, следующее рассуждение. Может создаться впечатление, что достижение единых норм доказательства в математике могло бы помочь в стремлении к углублению математического знания, однако же на деле часто происходит обратное. Философская суть стратегии Давида Гильберта, названной им «метаматематикой», сводилась к формализации методов рассуждения и установлению их непротиворечивости с помощью анализа математического рассуждения, то есть объектом исследования стали не сами математические объекты, а рассуждения об этих объектах. Как любое рассуждение, даже если оно обращено к бесконечному предмету, само все же остается конечным, то поэтому «спор состоял только в том, какие именно принципы и методы, используемые в математике, можно считать финитными (читай: надежными)»

[139, с.76]. Но из результатов Гёделя не следует, что программу Гильберта нельзя модифицировать для достижения своих целей при обращении к более мощным методам исследования, которые, не являясь «финитными», все же можно будет характеризовать как надежные. Гносеологический анализ математического знания показывает, что методологическое допущение для программы Гильберта о финитности оказалось не столь убедительным именно в той части положений, согласно которым достоверным обоснованием математической теории является только финитное обоснование. В частности, можно заключить, что, с точки зрения философско-методологического синтеза, на современном этапе теории познания сочетаются разные стороны математической деятельности.

Согласно главному тезису проводимого исследования, новая концепция обоснования современной математики эксплицируется с помощью философскометодологического синтеза направлений обоснования математических теорий, как взаимных дополнительных процедур обоснования. Поэтому, в качестве второго дополнительного аргумента, поддерживающего главный тезис этого исследования, кроме взаимной дополнительности направлений обоснования современной математики, можно, например, сослаться на методологически важное заключение, полученное в философии математики.





Его философская суть состоит в том, что исследования, вскрывающие специфику математического знания и гносеологические особенности развития математических теорий, а также выявляющие механизмы изменения уровня строгости математических теорий, позволяют подтвердить недостижимость абсолютного обоснования математики, где, в частности в программе формализма, в качестве основных критериев научности выделяются непротиворечивость и полнота. Кроме того, в современной литературе по философии математики указывается также на то, что эти критерии имеют отчасти релятивный характер, поэтому они не могут считаться абсолютными в математическом познании. Есть свои проблемы и в доказательствах согласно программе интуиционизма, поскольку пропуски в интуитивных доказательства, пусть даже указанные явно или неявно, могут стать источником не только неточностей, но и прямых ошибок, устраняемых либо формальными методами, выявляющими недопустимость применения некоторых правил рассуждения или возможность неправильного применения допустимых, либо другими содержательными методами, например, с помощью построения опровергающего контрпримера. Кроме того, само представление о требованиях к правильности математических знаний тоже менялось с течением времени.

Вера в абсолютное знание или в абсолютное обоснование, широко распространена, но ничем ни философски, ни методологически не оправдана.

Поэтому в философии науки появилось понятие «когнитивная наука», как реакция на господство позитивистских установок, например, формалистского направления в обосновании математики. Одно из основных ее направлений можно охарактеризовать как совокупность теоретических и эмпирических знаний, направленных на поиск ответов на давние эпистемологические вопросы о природе знания и его соответствия действительности. Признание современной когнитивной наукой невозможности исключительно фундаменталистского обоснования математического знания означает, что никакая математическая теория в эпистемологическом отношении не репрезентирует реальность.

Основанием для объединения определенных направлений обоснования в общую систему, точнее «когнитивную систему обоснования», является потенциальная возможность осуществления их философско-методологического синтеза. Но, говоря о когнитивной свободе, следует помнить о характерных для математики доказательствах невозможности осуществления чего-либо, ведь математика, это именно тот предмет, в котором полностью отдают отчет в его возможных ограничениях. Так, например, невозможность реализации программы Гильберта на основе финитной установки лишь подтверждает философский тезис о том, что по сути нет ничего «абсолютно абсолютного». А как заключает Н.Н.

Непейвода:

«Гениальность Брауэра проявилась еще и в том, что он с самого начала не ограничил конструктивизм финитными объектами. Он ввел в свою математику, в частности, последовательности, алгоритм для которых неизвестен, и поэтому они не могут считаться полностью описанными финитными объектами» [92, c.204–205]. Например, интуиционисты отрицали континуум как множество точек, связывая его с понятием «свободно становящейся последовательности», хотя в совокупности с логическими запретами эта идея, с точки зрения реального положения дел в теоретической математике, мало что тогда оставляла, например, от знаменитых теорем классической математики. Поиск абсолютной надежности математических теорий был мотивировкой для конкурирующих концепций Брауэра и Гильберта. Но можно задать и такой актуальный вопрос: нужна ли математике для оправдания правильности абсолютная надежность?

Например, поставленный философский вопрос можно рассматривать и в нефундаменталистском ключе, то есть когда строгость анализа доказательства в обычном смысле состоит в том, что каждый этап доказательства абсолютно ясен.

Современная математика имеет по сути очень сложное структурное строение. В математическом доказательстве принято использовать теоремы, полученные «ранее», в виде готовых формулировок без соответствующих доказательств, поскольку их проверка требует чрезвычайно много времени и терпения. Но, будет ли такое рассуждение убедительным доказательством для тех, кто не знаком с доказательствами используемых теорем? Большой авторитет в этой области математик и логик В.А. Успенский утверждает: «Мы не беремся дать однозначный ответ на этот вопрос. Заметим еще, что само слово "ранее" вносит дополнительный субъективный "релятивистский" момент (хронологическая последовательность двух почти одновременно доказанных теорем может поразному определяться разными наблюдателями)» [134, с.450]. Для дальнейшего философско-методологического анализа важно отметить, что системный подход в обосновании математики, как и любая другая развитая конкретно-научная методология, опирается на некоторую совокупность направлений обоснования и, кроме того, еще дополняется философско-методологическими идеями и средствами, что обусловливает также более широкое философское толкование дополнительности как реального следствия полиморфности и гетерогенности принимаемой онтологии с «атрибутивной» потенциальностью. В таком философском контексте при системном подходе к обоснованию современной математики должны отражаться гносеологические противостояния направлений обоснования на пути их сближения с целостной концепцией обоснования.

Известно также, что истинность математических суждений предполагает некоторый элемент идеализации, поэтому, хотя так называемая «реальная истина» одна, исследователи философии науки вынуждены принять некоторые ограничения, в которых релятивизм вызывает наибольшие затруднения для обоснования математики, в силу разных представления об реальном положении дел. По мнению философа Г.Б. Гутнера, возникает естественный вопрос: «Что может убедить нас, что идеальная конструкция не есть лишь творение нашего ума, не имеющее, возможно, отношения к реальности? Только завершенность и внутренняя согласованность теории» [47, с.55]. Поскольку, поясняет он, имея дело с целостной системой идеальных предметов, приходится подчиниться ее внутренней логике, что можно философски интерпретировать как «иметь дело с реальностью». Но конструктивное обоснование не признает также ряд важных идеальных математических конструкций, поэтому философская проблема релятивизма в обосновании научного знания сегодня по-прежнему актуальна, поскольку конструктивистская философия естественным образом влечет за собой концепцию практически эффективной компьютерной математики, не отождествляя при этом сами алгоритмические преобразования с эффективной вычислимостью, в которой есть и неалгоритмические аспекты эффективности.

Мы ограничены знанием отдельных фрагментов и, признавая относительность норм, правил и критериев познавательной деятельности, вынуждены говорить об относительности описания сложной системы обоснования математики.

Хотя релятивизм не является самостоятельной тенденцией развития современной науки, он сейчас настойчиво проявляет себя как неотъемлемое свойство математического познания. В гносеологических и методологических исследованиях релятивизм долго был препятствием для получения истинного знания, но в современной эпистемологии он уже концептуально переосмыслен.

В качестве примера математического релятивизма, подтверждающего такого рода тенденции в современной математике, рассмотрим реакцию на парадокс Сколема, проявившуюся в релятивизации концепции множества в зависимости от принятой аксиоматики. В работах, начатых шведским логиком Леопольдом Левенгеймом, а затем продолженных норвежским математиком Туральфом Сколемом в начале ХХ века, была выявлена новая проблема относительности понятия мощности множества. Суть их основного результата, получившего название теоремы Левенгейма–Сколема, сводится к тому, что любая теория, которая может быть формализована в исчислении предикатов первого порядка, которая имеет несчетную модель, имеет также счетную модель. Отсюда следует поразительный вывод, называемый парадоксом Сколема, согласно которому математическое понятие мощности множества, как и понятие бесконечного множества, не является абсолютным, а зависит от той аксиоматики, в которой рассматривается данное множество. Оригинальная и глубокая релятивистская интерпретация этой теоремы в философии математики принадлежит самому Сколему, который сделал нетривиальный вывод о том, что, вообще говоря, не существует «абсолютной» несчетности, а существует несчетность относительно некоторой системы, когда множество, которое несчетно в формальной теории, является уже счетным вне этой теории или в другом метаязыке.

При анализе такого рода философско-методологических рассуждений выясняется, что для континуума может существовать взаимно однозначное «соответствие» с натуральным рядом, которое находится не внутри модели теории множеств, а принадлежит метатеории, что по-видимому разрешает этот парадокс. Поэтому парадокс Сколема не следует философски интерпретировать как «дискредитирующий» аксиоматическое направление в математике, учитывая синтез интуиции и логики в математических построениях. Этот синтез фиксирует связь рационального и иррационального в научном исследовании.

Философам математики хорошо известно, что следует быть исключительно точным при выведении философских следствий из математических утверждений и теорем. Это необходимо в силу того, что, иначе может произойти смешение деталей, относящихся к разным областям математического знания и имеющих отличающиеся критерии их надежности и даже уровня обоснованности. Такое положение дел по сути наблюдается, например, в философско-математическом осмыслении физической реальности, связанном с теорией относительности, на примере которой можно объяснить специфику физического релятивизма. Так как самой большой возможной скоростью является скорость света, то, следовательно, обычное сложение для скоростей не годится. Используя теорему сложения скоростей в специальной теории относительности, известный украинский математик В.Л. Рвачев построил содержательную неклассическую модель исчисления с принципиально другим вычислительным наполнением. Он даже назвал его «релятивистским, чтобы подчеркнуть происхождение операции [сложения] из теории релятивизма (теории относительности)» [116, с.70].

Отметим, что на выполнимость групповых математических свойств новой операции сложения впервые обратил внимание Альберт Эйнштейн.

Именно математический релятивизм представляет собой определенную трудность в обосновании математики, поскольку если система математического знания содержит абсолютные истины, то как тогда человеческий мозг может воспринимать это знание, содержащее вечные истины об отношениях между абстрактными математическими объектами. Подобная проблема Сократа о «знаниевом незнании» обсуждалась в философской литературе под названием «парадокс Менона». Кроме того, как оказалось, аксиоматическая система математической теории является «некатегоричной», то есть в том смысле, что она связана с существованием дополнительных неопределяемых понятий, содержащихся в каждой непротиворечивой системе аксиом, и поэтому она поразному интерпретируется в контексте своеобразного философского «принципа математической относительности». С точки зрения философской рефлексии взаимосвязи природных феноменов и абстрактных построений можно задаться еще одним очень принципиальным вопросом: различие между физическим релятивизмом и математическим релятивизмом абсолютно или релятивно? Это различие тоже не абсолютно, а релятивно, так как нельзя интерпретировать конкретные проявления релятивизма лишь на абсолютистской основе. Чтобы обсуждать проблему релятивизма в обосновании современной математики, надо уточнить терминологию, принятую в современной философии науки. Так, «эпистемологический релятивизм» – это такая философская концепция, согласно широкому толкованию которой, среди множества разных точек зрения и теорий относительно какого-либо объекта не существует единственно верной.

В современной философии науки осознана необходимость различать «релятивность» как свойство научного знания и «релятивизм» как тенденцию абсолютизации релятивности знания. Например, релятивность превращается в релятивизм, когда констатируют, что среди различных математических концепций генезиса числа нет преимущественной концепции. В частности, концепция доказательств и опровержений Лакатоса не является достаточным основанием для заключения о «релятивности» математического доказательства, так как соответствующие контрпримеры возникают чаще всего на периферии математической теории. Анализ совместимости направлений обоснования формализма и интуиционизма показывает, что обоснование математической теории является относительным, но, по мнению Имре Лакатоса: «Гильбертова строгость превратила математику в паутину анализов доказательства и потребовала остановки их бесконечных спусков путем кристально ясной совместимости доказательств с интуиционистской метатеорией» [72, с.114].

Тезис об относительности научного знания приобретает особую актуальность при сравнении методов познания в чистой и прикладной математике, так как релятивизм на начальном этапе становления математической теории создает дополнительные трудности при выявлении содержательных аспектов теории.

Они проявляются в философских спорах между релятивистами и фундаменталистами, поскольку методологически очень трудно примирить две альтернативные позиции в философии математики: с одной стороны, это фундаментализм, ориентирующийся на структурные ценности математики, провозгласивший целью обоснования математики как структурной ценности установление ее непротиворечивости; а с другой стороны, антифундаментализм, который широко опирается на релятивистскую аргументацию и отстаивает приоритетность процесса развития перед структурным обоснованием. Чтобы понять, кто в этом споре прав, философ науки Е.А. Мамчур выделяет три типа эпистемологического релятивизма, назвав их условно «персоналистский», «когнитивный» и «культурный». С точки зрения проблемы обоснования современной математики, методологический интерес представляет второй тип эпистемологического релятивизма, имеющий свою собственную предысторию.

Немецкий математик, физик и философ Готфрид Лейбниц полагал, что каждый наблюдатель рассматривает всю вселенную с точки зрения, отличной от других, что можно трактовать как одну из ранних форм «когнитивного релятивизма», хотя западная философия науки того времени предъявляла более жесткие нерелятивистские когнитивные претензии к познанию. Согласно когнитивному релятивизму не существует критериев соответствия любой научной теорий действительности, но ошибка релятивистов состоит в убеждении, что нет абсолютно надежного интуитивного основания и недопонимании сути «зрелой»

математической теории. Есть понимание относительности противопоставления формалистского и интуиционистского направлений, так как формальная составляющая может проявляться через интуитивную, а интуитивная – через формальную. Поэтому, обоснование математики должно также основываться на объяснении реального успеха математических теорий, учитывающего наличие различных методологических средств познания в современной математике.

Философский анализ направлений обоснования математики позволяет выявить релятивистский подход, состоящий в том, что нет смысла постоянно говорить о специфических особенностях направлений обоснования современной математики, так как можно переинтерпретировать эти направления. В такой философской интерпретации даже процессуальная сторона концептуальной программы обоснования современной математики на основе работающих направлений обоснования очень хорошо соотносится с таким новым аспектом обосновательной деятельности, как синтез. Для дополнительной аргументации необходимости такого философско-методологического синтеза в обосновании математики заметим, что трудности обоснования математических теорий связаны с тем, что многообразие направлений современной математики никак не способствует их редукции лишь к одной теоретической схеме.

Подтверждая этот тезис, напомним о различных редукционистских подходах в тех программах обоснования математики, которые в итоге привели к скептицизму относительно решения проблемы обоснования. Так программа логицизма основывалась на допущении редукции математических теорий к логике, сопровождаемым при этом методологическим отказом от использования геометрических интуиций, программа интуиционизма ставила задачу редукции математики к ее исходным представлениям как необходимым интуициям сознания, стремясь, в частности, методологически использовать теорию множеств лишь в строго определенных ограничительных пределах, а программа формализма представляла собой редукцию математической очевидности к предметно-логической очевидности, связанной, например, со строгой аксиоматизацией геометрических теорий.

Отметим также, что и теории множеств для идейного и языкового фундамента современных математических теорий уже не хватает. Эта роль постепенно переходит к теории категорий, которая находится на следующем новом этапе интуитивной или формальной математической абстракции, играя в некоторых быстро расширяющихся областях математики, включая современный функциональный анализ, определенную унифицирующую роль, которая раньше принадлежала теории множеств. Речь идет о рождении «квантовой математики», в частности о «квантовом функциональном анализе», называемом еще «теорией операторных пространств», исследующей пространство операторов вместо пространства функций, то есть по существу новой математической идеологии, зародившейся в математическом аппарате квантовой механики, который прочно обосновался в теории операторных алгебр. Как подчеркивает специалист в этой области А.Я. Хелемский: «Та выдающаяся роль, которую в "классической" математике играют функции с их коммутативным – поточечным – умножением, в "квантовой" математике переходит к операторам с их некоммутативным – композиционным – умножением. Но главное, пожалуй, в том, каким образом происходит этот переход. Оказывается – и в это мы должны уверовать – фундаментальные понятия и результаты классической математики на самом деле обладают содержательными квантовыми аналогами и версиями» [141, с.146].

Релятивность проявляется в том, что квантовая математика представляет единую модель и единый метод исследования для определенного круга явлений.

Ошибка классических программ обоснования математики состояла в том, что они стремились абсолютизировать какую-то одну систему достоверных положений обоснования, не учитывая характер их взаимодействия, то есть в них по существу не выдерживался принцип «логического консенсуса», одинаково приемлемый и для формалиста, и для интуициониста. Определенный прогресс в обосновании связан с углублением философии математики, которая как часть философии все же отличается своей принципиальной незавершенностью С учетом реального сосуществования в современной математике гносеологически конкурирующих программ обоснования, как формализм и интуиционизм, не следует пытаться опровергать их. В действительности, как считает В.В.

Ильин:

«Говоря о позитивных возможностях формализации, следует подчеркнуть релевантность ограничительных результатов Геделя, а также ставшей традиционной после введения ее Гильбертом практики метаматематического анализа формализующей процедуры» [53, с.158]. Подводя итог давнему спору между интуиционистами и формалистами, можно предположить, что некоторые расхождения в философских взглядах, вызванные использованием понятий неограниченной общности, не таят в себе серьезную угрозу для направлений обоснования математики. Надо сосредоточиться на том, как отступить без значительных потерь и как интерпретировать эти направления в целостной системе обоснования математики на современном этапе ее развития.

При этом можно даже пожертвовать некоторыми второстепенными философскими положениями с целью сохранения наиболее перспективных философско-теоретических конструкций обоснования, рассматривая их уже как «вторичную концептуализацию» исходных философских идей обоснования современной математики. Ограниченность программ обоснования формализма и интуиционизма привела также к пониманию ограниченности редукционистского подхода в философии современной математики. Противоположный ему подход, используемый в этом исследовании, получил в философии науки название системного, связанного с разрабатываемым философско-методологическим синтезом направлений обоснования современной математики. Как поясняет философ науки А.И. Ракитов: «В отчетливой форме он сформулирован в новой методологической установке, что целое (система) не только не детерминируется однозначно совокупностью его элементов или их групп и не сводится к ним, но, напротив, последние детерминируются целым и лишь в его рамках получают свое функциональное объяснение и оправдание» [114, с.54]. По существу, системный подход в настоящем философско-математическом исследовании по проблеме обоснования современной математики выполняет такую же важную мировоззренческую роль, которую в классической науке раньше выполнял редукционистский подход. Он вполне естественно подводит к философскометодологическому синтезу разных направлений обоснования современной математики, хотя реальная практика и теория синтезирующей обосновательной деятельности в области математики еще далеки от своего завершения.

2.2. Теоремы Гёделя о неполноте и эволюция обоснования в постгёделевской философии математики В связи с появлением парадоксов теории множеств, возникающих при не слишком аккуратном обращении с бесконечными множествами, в конце XIX века появилось несколько гносеологически противоборствующих направлений, по-разному отвечающих на вопросы о сущности математических построений и соотношении математических объектов реальности. Наиболее плодотворным и развитым среди них оказался формализм Гильберта, который предложил свою теорию математических доказательств.

Но теоремы Гёделя о неполноте по существу показали логическую неконсистентность, а также ограниченность программы Гильберта. Кроме того, в связи с бурным развитием компьютерной математики, возникает естественный вопрос: чем работа математика отличается от работы компьютера? Этот вопрос был также предметом дискуссии в начале прошлого века между Гильбертом и Пуанкаре. Вот как описывает ее академик И.Р. Шафаревич: «Та же проблема ставилась тогда иначе: формализуема ли математика? Ответ Гильберта был: "да" – и на этом пути он надеялся получить доказательство непротиворечивости арифметики. Пуанкаре не соглашался с ним.

Позже теорема неполноты Гёделя, по-видимому, решила вопрос в пользу Пуанкаре» [153, с.82–83]. До логических результатов Гёделя было принято считать, что математическая теория должна быть полной и непротиворечивой, то есть она может быть уточнена таким образом, чтобы любое истинное математическое утверждение, хотя бы в принципе, могло быть математически доказано, и такое уточнение должно было быть непротиворечивым.

Из теоремы Гёделя о неполноте следует, что любая непротиворечивая формальная математическая система, содержащая арифметику, неполна, то есть в ней могут быть недоказуемые неопровержимые утверждения. В связи с этим ее часто интерпретируют так, что она имеет, в некотором роде, отрицательный методологический смысл, указывая по сути на принципиальные ограничения в возможности применения формальных математических рассуждений. Поэтому теоремы Гёделя, как препятствия на пути полной формализации математики, принимаются рассудком, но чисто эмоционально они иногда отвергаются, поскольку этому есть вполне аргументированные объяснения. Подчеркивая, что теоремы Гёделя о неполноте являются по сути ключевыми результатами в современной математической логике и имеют принципиальные философскометодологические следствия о пределах возможностей математического мышления, В.В. Целищев также отмечает: «Сопровождаемые большим числом искажений и упрощений, философские интерпретации теорем остаются одной из самых обсуждаемых тем не только собственно в философии математики, но также и в философии сознания и эпистемологии вообще» [146, с.12].

Методологические открытия Гёделя стали первыми, широко прозвучавшими рефлексивными результатами математической логики, которые можно анализировать не только с точки зрения математической логики, а как факт, который что-то важное говорит о мышлении математиков и роли интуиции в математическом творческом процессе. Необходимо учитывать также, что независимо от разных философских мнений об универсальности подходов к обоснованию математических теорий, всегда найдутся утверждения, которые не попадают в область их действия. Поэтому обоснование по-прежнему остается в основном внутренним, поскольку главным в обосновании математики является теоретический компонент, включенный в сам процесс развития математических теорий. Современный этап развития философии математики можно по сути назвать «постгёделевским», который поставил под сомнение традиционный образ математики как строгой и хорошо обоснованной науки. Каков смысл приставки «пост» в этом термине? Его следует рассматривать как фиксацию нового этапа в понимании проблемы обоснования математики. В сущности, разговор о «пост», это, прежде всего, философский разговор о том, от чего следует отказаться, и что можно сохранить. В самом названии постгёделевской философии математики еще по существу звучит ориентация на предыдущую эпоху развития математического знания, тем не менее, можно говорить о начале принципиально новых подходов к проблеме обоснования математики.

Суть постгёделевской философии характеризуется тем, что современные математические теории не могут быть с достоверностью обоснованы только лишь внутренними, то есть имеющимися логическими средствами. Однако следует отметить, что вторая теорема Гёделя о неполноте, несмотря на то, что она вроде ограничивает возможности известных философских направлений обоснования математики, все же не ставит под сомнение методологическую строгость математики, а также возможную дальнейшую перспективу рациональных путей ее обоснования. Размышляя над теоремой Гёделя, академик А.Н. Паршин сказал, что «рассматривая теорему Гёделя именно с такой точки зрения, не как вынужденное ограничение, а как фундаментальный философский факт, можно прийти к намного более глубокому развитию психологии, логики и многих других наук» [100, с.88]. Уточняя понятие постгёделевской философии математики, заметим, что математики смотрят на прошлое не только как на предпосылку, а как на составную часть, необходимую для формирования огромного здания современной математики. Важнейший результат Курта Гёделя, а именно, доказательство принципиальной неполноты богатых формальных аксиоматических систем означает, что они содержат неразрешимые суждения. Однако, хотя задача логического обоснования математики оказалась невыполнимой, стремление к такому обоснованию убедительно иллюстрируется преодолением кризисных моментов развития математики, когда все более осознается понимание того, что обобщение и расширение математической теории обеспечивается интуициями общей логики исследования. Поэтому постгёделевская философия математики сменила мировоззренческие акценты в концепции обоснования математических теорий, поскольку в них наиболее востребованным становится методология системного подхода в контексте критического рационализма, а последний в отличие от рационализма допускает существование неразрешимых математических проблем, на что конкретно указывает также богатая современная математическая практика.

Формальная система в конструкции Гёделя состоит из конечного множества символов и конечного числа правил, по которым эти символы можно объединять в формулы или предложения, и часть из них рассматривается как аксиомы.

Напомним, что в среде математиков бытовало убеждение, что для каждого раздела математики в итоге можно выбрать такой набор аксиом, которого будет достаточно для вывода всех истинных утверждений, однако теорема Гёделя о неполноте указала на несостоятельность такого широко укоренившегося убеждения, поскольку возможности аксиоматического метода оказались в итоге существенно ограничены. Кроме того, к недостаткам аксиоматического метода можно отнести еще и отсутствие обоснования самих математических аксиом, вызывающих философские споры об адекватности и правдивости некоторых из них. Как оказалось, мощности дедуктивных методов не хватило даже на то, чтобы из имеющихся аксиом вывести все истинные утверждения о целых числах, которые сформулированы на языке алгебры, то есть реально нужно постоянно использовать новые идеи. Резюмируя, можно сказать, что хотя открытия Гёделя и разрушили старые надежды, подкрепленные было исследованиями по основаниям математики, они, в то же время, обогатили эти исследования новыми методами рассуждений и способствовали переоценке перспектив философии математики.

Если бы программа Гильберта оказалась работоспособной в полном объеме, то это все же было бы «плохой новостью» для некоторых концепций реальности, поскольку при этом устранялась бы необходимость понимания при критическом анализе математических идей. С течением времени под влиянием компьютерной вычислительной технологии и математической идеологии в доказательстве теорем «нестрогие» математические доказательства стали встречаться в математической практике гораздо чаще, поэтому их надежность, вообще говоря, не зависит от гипотетически возможного «чистого», но строго аксиоматически не реализованного математического доказательства.

Современные исследования механизмов научного познания привели к изменению философских представлений о рациональности, для понимания которых используются некоторые факторы доконцептуального порядка. Каким бы ни было множество внешних факторов, используемых при определении критериев научной рациональности, это понятие само по себе тоже требует рационального анализа, как требуют философского анализа также связи между исходными факторами и определяемыми с их помощью новыми принципами рациональности. Само понятие «научная рациональность» – это такой вид рациональности, который реализуется в науке с точки зрения ее главной цели – формирования и применения нового научного знания. Поэтому сугубо с рациональной точки зрения особую роль в обосновании математики играют теоремы Гёделя о неполноте, которые называют ограничительными, исходя из «чисто технических характеристик» полученных в этих теоремах результатов.

Однако к такому утверждению надо относиться критически, так как термин «ограничительные» имеет довольно широкое толкование в контексте выявления способностей человеческого разума. Поскольку, с одной стороны, новый взгляд на объекты познания характеризует эвристический потенциал мышления, присущий человеку, а, с другой стороны, «онтологическая составляющая» не может зависеть целиком только от познающего субъекта. В аргументации мыслительных процессов теоремы Гёделя используются в том смысле, что «ограничительные» теоремы, с точки зрения противников механицизма, подтверждают тезис об ограниченности искусственного интеллекта в сравнении с естественным. Пониманию этого способствует также выявление особенностей типов научной рациональности, где математическое познание характеризуется с помощью отношений между исследуемым объектом, субъектом деятельности и используемыми средствами, которые образуют целостность, где изменение только одной указанной компоненты предполагает изменение других.

Основные функции деятельности имеют философские истоки в виде трех форм действий индивидуума, а именно, в математическом созерцании, в математической абстракции и в передаче знаний и желаний другим. Выделение именно этих трех типов философских оснований науки связано с тем, что естественнонаучный рационализм в конечном итоге оказался не вполне удовлетворительным. Он недостаточен не только в естественнонаучном знании, но и в обосновании математики в контексте его способности быть надежным основанием для философии математики. В исторических типах рациональности изменяется идеализация познающего субъекта. В частности, их отличие, следуя анализу академика В.С. Степина, состоит также в следующем: «Классическая, неклассическая, постнеклассическая наука предполагают различные типы рефлексии над деятельностью: от элиминации из процедур объяснения всего, что не относится к объекту (классика), к осмыслению соотнесенности объясняемых характеристик объекта с особенностями средств и операций деятельности (неклассика), до осмысления ценностно-целевых ориентаций субъекта научной деятельности в их соотнесении с социальными целями и ценностями (постнеклассика)» [127, с.15]. Выявленные уровни рефлексии коррелятивны системным характеристикам объектов: «простых систем» в классической науке;

«сложных саморегулирующихся, или самоорганизующихся, систем» уже в неклассической науке; и, наконец, «сложных саморазвивающихся, или самообосновывающихся, систем» в новой постнеклассической науке.

Эволюция представлений научной рациональности, то есть рациональности как целостной характеристики в научном познании, хорошо проанализирована в философской литературе. В традиционной классической парадигме человек задает вопрос природе, на который она отвечает; в неклассической парадигме, когда задается вопрос природе, но теперь ответ зависит от свойств объекта, от самого способа вопрошания и от сути вопроса; наконец, в постнеклассической парадигме, когда человек задает вопрос, то ответ зависит не только от свойств объекта и от способа вопрошания, но и от имеющегося знания и способности понимания вопрошающего субъекта. Однако, с точки зрения философскометодологического анализа системной организации объектов, каждый тип рациональности обеспечивает преимущественный подход к научному познанию, соответственно, малых систем, больших систем и саморазвивающихся систем.

Например, применение вероятности в наибольшей степени характеризует неклассическую науку в математике. Заметим также, что на классическом и неклассическом этапах развития науки характер методологии принципиально не менялся, так как по существу он оставался аристотелевским, хотя формулировки методологических принципов могли меняться в своей содержательной части, тем не менее они по духу оставались теми же самыми, что и в случае классической и неклассической науки, как, например, в случае компьютерного и математического моделирования. Но, тогда возникает естественный вопрос: в какой мере можно доверять полученным результатам, и насколько полученная математическая модель соответствует реальному объекту? Решению этой задачи, с точки зрения современной прикладной математики, служит так называемое «квазиреальное моделирование». Его общая методологическая суть заключается в том, что сначала выбирается гипотетическая математическая модель, затем для нее с заданной машинной точностью вычисляются выходные данные, а после этого вносятся естественные погрешности, соответствующие экспериментальным погрешностям. Наконец, соответствующие вводные данные подвергаются автоматизированной обработке для получения конечного результата моделирования. Но для уточнения решения приходится несколько раз повторять этот цикл, чтобы в результате такой деятельности субъекта познания набралась достаточно представительная статистика, которая практически убеждает в правильности построенной математической модели. Рационализация таких процессов уже реализована в разных работах по философии науки.

Следуя принятой классификации рациональности, можно рассмотреть три крупных этапа эволюции науки. В эпоху классической рациональности в фундаментальной науке господствовала идея «абсолютной суверенности разума», способного постигать истинную сущность природных явлений. Этап неклассической рациональности отличается осознанием того, что достижима лишь «относительно истинная» общая картина понимания мира. Наконец, постнеклассическая рациональность характеризуется тем, что исторически изменчивой становится не только онтология научного знания, но также идеалы и нормы научного познания. В контексте рассмотренных типов рациональности и в рамках различных процедур познания, познавательная деятельность субъекта должна удовлетворять нескольким дополняющим друг друга требованиям. Вопервых, субъект должен уметь выполнять несколько процедур одновременно, а во-вторых, в процессе познания он должен оперировать не только хорошо концептуализированными, но также и неконцептуализированными подходами.

«И тогда оба аспекта рациональности – классический, апеллирующий к автономности мышления, и неклассический, апеллирующий к представлению о его естественном происхождении, отнюдь не исключают друг друга.

Соответственно, постнеклассический синтез этих аспектов рациональности возможен и необходим» [149, с.72]. Этот синтез по сути осуществляется через демонстрацию становления способности к рассуждению и соответствующий интеллектуальный инструментарий. Неклассическая философия науки в отличие от классической философии в своих прогностических функциях обусловлена новыми, даже полностью еще не проанализированными смыслами философии математики. Но при условии отказа от реального построения окончательных познавательных систем, она не отказывается от системного мышления и синтеза различных философских направлений в проблеме обоснования математики.

Зададимся таким вопросом: за счет чего математическое утверждение становится более понятным? Можно сказать, что за счет выявления новых смысловых связей математической структуры и за счет убедительного объяснения соответствующей математической теории. А что собой представляет понимание или объяснение? Любое объяснение использует дополнительные слова, которые сами нуждаются в интерпретации. Поэтому, для философского анализа постнеклассического периода математического знания познающий субъект должен иметь не только математические навыки и не только понимать проблему обоснования математического знания, но еще и уметь осуществлять рефлексию над различными основаниями математической деятельности. В мировоззренческом контексте деятельностная теория познания рассматривает математические объекты не как отражение имеющегося опыта и не как исключительное изобретение интеллекта, а как возможную экспликацию конкретных предметных представлений, относящихся к универсальной форме математического мышления. С одной стороны, математическая деятельность ограничена, поскольку она должна подчиняться принятым математическим сообществом правилам. С другой стороны, при математическом исследовании неформализованных аспектов реальности исследователь становится частью познаваемой им системы, что уже является фундаментальной характеристикой постнеклассической науки. Анализируя генезис развития компьютерных наук, можно сказать, что во второй половине ХХ века современная математика начала формальное изучение мышления и языка, пытаясь выяснить законы собственных построений, а затем в математике стали еще анализировать и вопросы о математическом описании вычислительной формализованной деятельности.

Неустранимость субъекта познания в постнеклассической рациональности состоит в том, что если «логический субъект» не в состоянии разделить относительные элементы на составляющие, то для того, чтобы выделить неконцептуализированные фрагменты поля исследования, он должен выйти за пределы рационального знания как такового. Воплотить строго научно в теоретическом построении дискутируемую социокультурную составляющую постнеклассической рациональности, обосновав тем самым ограниченную применимость научного метода, – это, вообще говоря, очень непростая задача. В действительности, как поясняет философ науки В.И. Аршинов: «Здесь важно иметь в виду сугубую нелинейность, неоднозначность методологического проблематизирования междисциплинарной коммуникации, в частности тот факт, что проблемная ситуация и ее осмысление в форме методологической проблемы не соотносятся между собой однозначным образом» [7, с.106]. Можно предположить, что в проблеме обоснования математики наиболее значимым эвристическим образцом постнеклассической эпистемологии для современной математики стали компьютерные и вычислительные науки. Современные электронные вычислительные машины уже внесли свой посильный вклад в теоретическую математическую «нестрогость», например, из-за различия понятий «строгого нуля» и «машинного нуля». Здесь по существу проявляется определенная двойственность современной компьютерной практики, когда с необходимостью выявляется «недоопределенность модели», или, точнее говоря, «недоопределенность математики», которая не связана исключительно с императивным алгоритмическим стилем математического мышления.

Несмотря на глубину и общность философских и методологических вопросов прикладной математики, имеющих непосредственное отношение к обоснованию математики, предварительные ответы на эти актуальные вопросы были получены еще в первой половине ХХ века. Во второй половине ХХ века была не только осознана потребность, но также сформировалось общее представление о том, что можно сделать алгоритмически, как вычислительный процесс сделать более эффективным, почему исследование можно поручить компьютеру и какова роль исследователя в этом процессе. Если подойти к вопросу о роли субъекта в математическом познании с более общих позиций, то можно заключить, что попытки полностью вытеснить элемент человеческого понимания в компьютерной и вычислительной математике и заменить его исключительно одними вычислительными процедурами выглядят и вовсе неосуществимыми. Эффективная реализация математического моделирования в условиях многообразия вычислительных процессов составляет еще и предмет математической технологии. А с точки зрения деятельностного аспекта постнеклассической рациональности в обосновании компьютерной математики, необходимо отметить, что в вычислительную математику в связи с новыми запросами современной компьютерной практики потребовалось ввести «фактор реального времени» и понятие «виртуальная реальность», которые были полностью элиминированы в философско-методологическом обосновании разделов классической математики. Например, одна из самых знаменитых и до сих пор нерешенных математических проблем – это «проблема перебора», суть которой состоит в следующем вопросе: можно ли решить конкретные задачи, не перебирая все возможные варианты, а делая это существенно быстрее, с точки зрения времени работы современной компьютерной программы?

Парадоксальность сложившегося положения в прикладных математических технологиях состоит еще и в том, что модель встречается в работах в качестве виртуальной иллюстрации к объекту исследований. Обоснование математики подверглось пересмотру, поскольку «с точки зрения постнеклассической научной парадигмы, все математическое знание, с которым имеет дело субъект математической деятельности, представляет собой многомерную матрицу, элементами которой являются не только строгие формализованные утверждения, но и скрытые леммы, неявные предпосылки, а также утверждения эвристического характера» [133, с.202]. Для репрезентации закономерностей развития обоснования современной математики необходимо эксплицировать взаимодополнительные понятия и подходы, сущностные характеристики которых по существу развивают собственную логически непротиворечивую линию суждений. Например, в контексте философских проблем компьютерной математики, новая парадигма информационных технологий складывается из интеграции наиболее перспективных и взаимодополняющих направлений развития информатики. Известно, что математика не сводится к совокупности вычислительных приемов, и не алгоритмический вычислительный аппарат позволяет рассматривать ее как образец научности. В определенной степени, элементами идеала можно считать, например, доказательность математических утверждений и способы построения ее теорий, которые нельзя реконструировать без философского анализа проблемы бесконечного или феномена бесконечного.

Трудность такой реализации заключается в том, что исследователь рано или поздно сталкивается с проблемами, мешающими его успешной работе.

Понятие бесконечности до такой степени пронизывает всю математику, что такой известный математик и ученик Гильберта, как Герман Вейль, работы которого оказали большое влияние на развитие математики ХХ века, определяет ее сущность в нескольких словах, а именно, что «математика – это наука о бесконечном». Согласно такой трактовке математики как науки о бесконечном, она имеет дело лишь с потенциально бесконечным, которое только и доступно человеческому разуму. Для математиков бесконечное в методологическом контексте есть «метафора конечного», поскольку при изучении бесконечного оно заменяется множественным числом конечного. Под конечными здесь понимаются конечные множества или совокупность однородных элементов, число которых не только конечно, но еще достаточно велико. Так конечное и бесконечное традиционно даже рассматривались как две противоположности, исключающие что-либо третье, хотя вторая компонента этой диады естественно расщепляется на понятия актуальной и потенциальной бесконечности. Генезис современной математики показывает, что известную характеристику математики как науки о бесконечном целесообразно было бы заменить другим определением, которое более точно отражало бы ее сущность, как науки о «соотношениях конечного и бесконечного». Кроме того, наряду с идеальными бесконечными объектами теоретической математики вычислительная и компьютерная математика использует также такие конечные математические объекты, как машинное число, компьютерная программа и конечный автомат.

Однако, ссылаясь на конечность символической записи математического рассуждения, можно считать, что, постигая бесконечное, мы каждый раз имеем дело по существу лишь с конечным. Этот философский аргумент лежит в основе методологического отказа от использования понятия актуальной бесконечности в программе обоснования интуиционистов и конструктивистов.

Безусловно, такие подходы даже полезны, с точки зрения приложений дискретной математики и теории алгоритмов, но это только часть математики.

Было бы ошибочным считать, что «запрет бесконечного» и методы, развиваемые в отдельных областях математики, можно распространить на всю науку во благо конечного в математике. Даже Давид Гильберт, творчество которого охватывало по существу всю математику, считал, что бесконечное нигде не реализуется и его нет в природе. Поэтому выявление сущности понятия бесконечного можно отнести к важнейшей проблематике философского обоснования современной математики. В частности, философско-методологический анализ показывает, что благодаря теоретико-множественной переработке разнородных разделов современной математики, решение сложных проблем, связанных с понятием бесконечности, было в итоге сведено к философскому обоснованию и методологическому пониманию содержания понятия бесконечного множества.

Так хорошо известный способ «приручения бесконечности» обусловлен использованием специфического символьного языка, позволяющего вводить математические абстракции. Например, можно бесконечную конструкцию заменить на конечную, а теоретическое доказательство существования заменить на конструктивное в прикладном отношении, то есть использовать такую аргументацию, из которой вытекает точная или приближенная конструкция исследуемого математического объекта. Даже если не удается на данном этапе превратить математическое доказательство в эффективно реализуемое в прикладном аспекте, то такого рода попытки могут послужить дополнительным стимулом к конструктивному построению решения, поскольку уверенность в таком построении придает доказательство его существования, либо направить усилия на поиск другой конструкции решения, полученной без «чистого»

математического обоснования. Поэтому, с учетом уже указанных трудностей, достижение целей обоснования математики, которые ставили перед собой формалистски, интуиционистски или конструктивистски мыслящие философы математики начала прошлого века, оказалось не таким простым делом.

В связи с методологическими трудностями обоснования математический формализм может быть все же дополнен некоторыми «семантическими»

рассмотрениями платонистского характера. Но решение проблем такого рода всегда упирается в трудность изучения семантики рассматриваемых теорий, точнее, изучения способов понимания формул теории. Можно различать две математики: во-первых, науку, создаваемую самими математиками, и, вовторых, математику, опосредованно выражающую свойства реального мира, которая для платоников существует в особом мире математических идей.

Сходную позицию в концепции двух математик занимали и неоплатоники, для которых математические сущности обладали реальностью до всякого их рационального конструирования. Поскольку выход на метауровень за пределы известных математических конструкций уже вносит некий новый элемент иррациональности. Для соответствующей аргументации заметим, что вопрос о границах «обосновательного поля» математических конструкций состоит из двух взаимосвязанных путей их методологического оправдания. Во-первых, в качестве тезиса, необходимо еще учитывать существующую иррациональность интерпретаций к обоснованию математики, проявляющуюся в невозможности их определения в строгих теоретико-математических понятиях, что составляет отрицательную сторону дела. А, во-вторых, в качестве антитезиса, необходимо отметить, что для некоторых конкретных принципов математического познания можно все же провести содержательное и надежное рассуждение, отражающее их позитивную сторону применения. Это также говорит о необходимости специального синтеза в понимании проблемы обоснования математики.

Философско-методологический анализ эволюции математических теорий вскрывает важнейшие для научной рациональности характеристики – системность, целостность, структурность, способствующие пониманию нового концептуального подхода к обоснованию и актуализирующие проблему целостности в философии математики, расширяя тем самым рамки системного способа обоснования математики. При системно-методологическом подходе к философскому анализу математических теорий они исследуются не как готовые структуры, а как внутренне развивающиеся системы. В настоящее время философы математики осознали, наконец, то обстоятельство, что формальная теория все же вторична по отношению к содержательной, в том смысле, что она аккумулирует только те математические факты, которые уже были обоснованы как зависимости определенных следствий от посылок. Содержательные теории, как и формальные теории, могут строиться аксиоматически, только аксиомы в содержательной теории – это по сути истинные предложения, в которых важен смысл самих предложений, а не строчки формальных символов. Но даже непосредственное усмотрение математической истины, как некое интуитивное озарение, формулируется затем в виде утверждения, которое требует анализа правильности. К этому можно добавить, что для науки «догёделевского периода»

рефлексивные результаты математической логики в виде известных теорем Гёделя стали полной неожиданностью, но именно они придали новый импульс философским исследованиям по проблеме обоснования математики.

Доказательство вообще говоря не гарантировано от неявных допущений в языке, то есть соответствующий анализ опирается на понятие неявного знания.

Переносы техник рассуждения или навыков деятельности из других областей знания представляют собой неявное, или «дорефлексивное действие», которое осознается и анализируется уже после его совершения. С учетом неявной компоненты в обосновании математики, принципиальный вопрос обоснования состоит в том, существуют ли в математике неопровержимые доказательства? В среде философов математики бытует и такое мнение, что содержательные доказательства могут быть только гипотетичными. Но даже формальные доказательства, хотя они могут быть вполне надежными, тоже являются отчасти гипотетичными, так как они могут противоречить неформальным теориям, которые являются интуитивной основой формализованной математической теории.

Значение теоремы Гёделя о неполноте оказалось не простым вопросом для обоснования математической строгости в контексте выявления и разграничения явных и неявных предпосылок познавательной деятельности, хотя в процессе строгого формального доказательства математики нередко неосознанно опираются на положения, которые иногда явным образом не сформулированы и даже по-философски не отрефлексированы. Результат Гёделя было бы правильнее называть теоремой Гёделя о неполноте формальной арифметики Пеано натуральных чисел, поэтому «каждого, кто помнит теорему Гёделя, можно спросить: а читал ли он хоть одно ее доказательство? А если читал, то не создалось ли у него впечатление, что это доказательство можно "обойти"?» [62, c.71]. Например, используя «лобовой» способ – отказаться от натурального ряда и ограничиться очень большой, но конечной совокупностью.

По существу, Курт Гёдель доказал, что современная математика – это не некие несистемные поиски, определяемые интересами математиков, а что-то абсолютное, которое не изобретается, а открывается. А еще мировоззренческие теоремы Гёделя свидетельствует именно о том, что постижение сущностных характеристик натуральных чисел реализуется не при помощи каких-то правил, а в частности за счет взаимодействия с платоновским миром идей. Например, ряд натуральных чисел, интерпретируемый как актуально бесконечное множество в мире платоновских идей, присутствует где-то и в понимаемом мире, делая существующую вокруг действительность доступной для нас. Такая точка зрения была важна для Курта Гёделя, но не менее существенной она является в новом подходе к проблеме обоснования математики. «Теоремы Гёделя имеют место для языков и теорий в определенном смысле универсальных. Но для того, чтобы говорить об универсальности, нам необходимо иметь возможность сравнивать языки между собой, т.е. иметь дело с тем или иным понятием интерпретации. С этой точки зрения, достаточно общие формулировки теорем Гёделя естественным образом предполагают использование интерпретаций» [11, с.74].

В контексте общей теории математического познания, историческая эволюция математики, которая предстает как аксиоматизация математических теорий, включает в себя экспликацию оснований математики, на которые в силу необходимости математик опирается в своей научной работе. При этом он должен осознавать, что принятые основания не защищены от «гёделианского скептицизма». Вопреки усилиям некоторых философов представить результаты Гёделя как научную сенсацию, его теоремы все же не оказали «революционного влияния» как глубокого качественного изменения ни на мировоззренческое представление о своей науке работающих математиков, ни на их практическую деятельность, то есть, как принято сейчас говорить, смены научной парадигмы, в смысле Томаса Куна, в современной математике так и не произошло.

Непротиворечивость системы аксиом математической теории является важнейшим условием, при котором была доказана теорема Гёделя о неполноте.

В рамках самой системы, как показал Гёдель, доказать непротиворечивость системы аксиом нельзя, поэтому утверждение о непротиворечивости становится по существу неразрешимым. С одной стороны, речь идет о том, являются ли выбранные абстрактные понятия математики характеристиками мышления, а с другой стороны, в какой степени они определяются нормами математического мышления. Несмотря на то, что теоремы Гёделя изменяют понимание «полной теории» природы, у способности науки отвечать на вопросы, на которые она может ответить, потенциально нет границ. Можно обратить внимание и на то, что теорема Гёделя о неполноте, ограничивающая существование закрытых аксиоматических систем, методологически аналогична «принципу Берталанфи», запрещающему стабильное функционирование закрытых биологических структур, а также лежащему в основе самоорганизующихся систем. Практически философский интерес к теоремам Гёделя указывает на то, что они говорят чтото методологически важное о возможностях абстрактного мышления. Даже в вербальном плане значимость результатов Гёделя для формализма определяется еще тем, что при условии определенных превентивных мер осторожности можно известные парадоксы интерпретировать как неразрешимые предложения.

В частности, как считают сами математики и философы математики, исследования Гёделя стали лишь частью долгих методологических поисков, предпринятых в желании выяснить, что же такое доказательство. В чем же тогда состоит философский эффект открытия Гёделя? С одной стороны, он состоит в том, что модифицированное высказывание Эпименида создает парадокс, поскольку оно не является ни истинным, ни ложным, а с другой стороны, математическое высказывание Гёделя не доказуемо, хотя и является истинным.

По сути это означает, что система теории чисел неполна, поскольку существуют истинные суждения, которые не доказуемы с помощью методов, принятых в системе. Согласно чуть-чуть более аккуратной формулировки результата Гёделя авторитетного математика и логика В.А. Успенского, «какую бы формализацию понятия доказательства ни предъявить, всегда найдется истинное утверждение, которое не имеет формального доказательства в рамках этой формализации»

[136, с.37]. Формулировка Гёделя может создать философскую путаницу в ее понимании из-за того, что понятие доказательства для философов является весьма приблизительным понятием. Для математиков доказательства являются таковыми при выполнении определенных жестких правил. Для Гёделя жесткой системой, к которой можно с уверенностью отнести понятие доказательства, является фундаментальный трехтомный труд английских логиков и философов Бертрана Рассела и Альфреда Уайтхеда «Принципы математики». Но, согласно второй теореме Гёделя нельзя быть уверенным в том, что определенный выбор математических аксиом не приведет в дальнейшем к противоречию, поскольку непротиворечивость теории не может быть доказана внутри нее самой.

Во второй теореме Гёделя о неполноте, которую следовало бы называть «теоремой о непротиворечивости», формально утверждается, что если система, которая включает арифметику является непротиворечивой, то доказательство этой непротиворечивости все же нельзя реализовать в метаязыке, имеющем представление в арифметическом формализме. А что в математике означает понятие «непротиворечива»? Непротиворечивость системы аксиом по существу означает, что не существует утверждения, которое в рассматриваемой системе аксиом логическим путем по существу выводится также и с отрицанием этого утверждения. Нельзя не отметить, что противоречивые системы аксиом вредны для генезиса математики, и сами математики стараются их не вводить, но сложность проблемы в том, что противоречивость может выявиться не сразу.

Работающие математики, вообще говоря, желали бы знать заранее, что противоречащие математические утверждения не появятся. Хотя достаточно полное объяснение по этой важной проблеме по-видимому невозможно, некоторые косвенные и даже психологически убедительные признаки все же существуют. Какая реальная польза есть в математической непротиворечивости?

Во-первых, противоречивая система бессмысленна, так как в ней выводимо любое утверждение. Во-вторых, гёделевское понимание непротиворечивости является вполне методологически естественными, но гипотетически при другом определении непротиворечивость системы уже доказывается в ней самой.

Можно добавить, что Гёдель по существу изменил философскую проблему обоснования в том смысле, что он по-новому уточнил ее по сути в новой математической формулировке. Фундаменталистское направление философии математики не всегда опирается на этот философско-математический факт.

Потребовав, чтобы непротиворечивость теории доказывалась математическими средствами, Гёдель тем самым по сути способствовал формированию нового теоретического направления в философии математики, по отношению к которому предыдущая интерпретация непротиворечивости стала выглядеть наивной. Естественно возникает вопрос: почему, даже несмотря на то, что непротиворечивость системы аксиом теории множеств Цермело–Френкеля до сих пор не доказана, математики довольно спокойно реагируют на то неопределенное положение, которое сложилось в математической теории, претендующей на «фундамент» всей математики? Возможны разные ответы, которые отличаются философским пониманием этой проблемы. Как считает американский математик Ван Хао, «что касается современного состояния математики, то рассуждения о противоречивости систем являются довольно бесплодными ни одна из формальных систем, широко используемых сегодня, не находится под очень серьезным подозрением оказаться противоречивой» [26, с.334]. Поэтому можно философски заключить, что роль в познании теоретикомножественных противоречий в математике сильно преувеличена.

Во-первых, проблема обусловлена тем, что профессиональные занятия математиков наиболее актуальными разделами математического знания порождают естественную заинтересованность в нежелании рассматривать другие методологические альтернативы. Во-вторых, по-разному мотивируются современные поиски доказательств непротиворечивости, поскольку имеют другие цели, чем только избегание противоречий. Результаты Гёделя, может быть, долго игнорировались бы математическим сообществом, с точки зрения отношения к реальным проблемам математики, если бы Пол Коэн не поколебал эту уверенность своим результатом о неразрешимости знаменитой континуумгипотезы в стандартной системе аксиом теории множеств. Напомним, что доказать континуум-гипотезу – это по сути означает возможность вывести ее из общепризнанной системы аксиом Цермело–Френкеля, а опровергнуть ее – означает, что если эту гипотезу добавить к указанной системе аксиом, то тогда получится противоречивый набор утверждений. Следует также предостеречь от радикальной интерпретации результатов Гёделя, так как такая интенция исходит из ошибочного допущения, что теоремы Гёделя о неполноте истинны для всех формальных утверждений о непротиворечивости. Но достаточно убедительная концепция обоснования современной математики не может быть построена в рамках слишком упрощенной теории познания, точнее без постгёделевской философии математики и без учета реального развития математики.

2.3. Проблема непротиворечивости математических теорий в философском генезисе понятия математической истины Рациональное познание, характеризующееся логической обоснованностью понятий и суждений, в котором математическое знание является наиболее совершенным образцом, дает возможность понять не только математическую картину мира, но и прогностические возможности познания. В сравнении с математикой, физика говорит не о непротиворечивости, а об эффективности описания природы на определенных уровнях. Сомнения в гипотетической противоречивости доказательной и заведомо содержательной математической теории традиционно исходят от философов математики, хотя обоснование такой теории для математиков не является проблемой первостепенной важности.

Следует также отметить, что проблема непротиворечивости некоторых математических теорий рассматривалась и до работ Давида Гильберта. Так, например, в построенной немецким математиком Феликсом Клейном проективной модели неевклидовой геометрии Лобачевского важный вопрос о непротиворечивости неевклидовой геометрии, построенной ранее русским математиком Н.В. Лобачевским, сводился к непротиворечивости евклидовой геометрии. Но несомненная заслуга Гильберта состояла в том, что он указал философско-методологический путь для исследования этой проблемы. Чтобы понять поразительную устойчивость формальных построений математических теорий, рассмотрим наиболее востребованное сейчас направление обоснования современной математики – теорию доказательств Гильберта.

Попытаемся обосновать следующий тезис в контексте действующей формалистской программы обоснования математики. Вообще говоря, с системной точки зрения можно не настаивать на исключительно логическом обосновании непротиворечивости математики, но не потому, что оно в принципе невозможно, поскольку даже теоремы Гёделя не столь категоричны, а потому, что глубокие противоречия в хорошо развитой математической теории, вообще говоря, маловероятны даже по самой логике ее развития. В таком контексте непротиворечивость – это не только продукт логического доказательства, а, прежде всего, это результат внутреннего совершенствования математической теории, раскрываемого в саморазвитии, поскольку каждый творческий процесс как «акт мысли» неизменно содержит момент новизны. Достаточно рассмотреть, например, классическую работу французского математика Энри Дюлака «О предельных циклах» (1923). Долгое время считалось, что в ней получено строгое и аргументированное доказательство конечности числа предельных циклов для уравнений, рассмотренных Давидом Гильбертом во второй части его 16-й проблемы, но внимательный анализ показал, что в ней имеется ошибка. В начале 80-х годов прошлого века в работах российского математика Ю.С. Ильяшенко и французского математика Жана Экаля было получено доказательство результата Дюлака, то есть было показано, что работа Дюлака должна быть поправлена в духе процесса самоорганизации математической теории. «Доказательство в том и другом случае оказалось очень непростым (Ильяшенко при этом пользовался, в основном, геометрическими методами, а Экаль использовал, по преимуществу, алгебраический язык) и заняло целый том» [17, c.24]. Но основная часть, сформулированной Гильбертом проблемы до сих пор не решена. Известно, что до XIX века не возникал вопрос о непротиворечивости математических теорий, поскольку тогда считалось, что математические утверждения не могут быть противоречивыми, так как отражают свойства реального мира. В начале ХХ века гарантию непротиворечивости Гильберт видел в применении аксиоматического метода, надеясь выбрать такую систему аксиом, которая содержит полное описание соотношений между первичными понятиями математики.

Соглашаясь со своими оппонентами в том, что не все доказанные утверждения математики имеют непосредственный смысл, и даже предлагая более жесткие, чем у интуиционистов, критерии осмысленности математических высказываний, Давид Гильберт, тем не менее, не считал, что надо кардинально изменить некоторые устоявшиеся приемы доказательств. Гильберт выбрал свое направление обоснования с целью вернуть математике абсолютно достоверный характер. Предложенная Гильбертом программа обоснования состояла из двух дополняющих друг друга задач. В первой задаче предполагалось довести до конца процесс аксиоматизации математических теорий с целью представить существующие математические теории в виде формальных теорий на основе свободной от парадоксов теории множеств. По существу, впервые с учетом уточнения функций математического языка и понятия логического вывода была поставлена методологическая задача формализации классической математики.

Во-второй задаче была поставлена принципиально новая философская проблема доказательства непротиворечивости математических теорий. Важность этой философской проблемы состоит в том, что наличие противоречия в формальной математической теории может подвергнуть сомнению все ее дальнейшие формальные построения. Но почему доказательство непротиворечивости следует отнести к обоснованию математики? Так, говоря об обосновании логических систем, на это конкретно указывает Е.Д. Смирнова: «Обоснованием логических исчислений служит построение соответствующих семантик, доказательство их адекватности (т.е. доказательство непротиворечивости и полноты)» [122, с.59]. Хотя идеальные объекты Гильберта в математике выполняют конструктивную роль «строительных лесов», но, говоря о пользе непротиворечивости некоторой теории, это указывает по сути на абстрактную возможность существования при использовании идеальных элементов.

Следует отметить, что только решение первой задачи делает осмысленной постановку второй задачи, решением которых занимался Гильберт. Пересекаясь с направлением интуитивной математики, уже нельзя говорить об абсолютном доказательстве непротиворечивости всей математики. Даже, несмотря на сужение классов объектов и логики, интуиционизм не давал никаких гарантий непротиворечивости математики, так как не вносил принципиальных изменений в методы доказательства. А методология Гильберта для обоснования теорий строилась на том, чтобы, формализовав вначале основные методы рассуждения, установить затем их непротиворечивость с помощью философского анализа математического рассуждения. Подчеркнем еще раз, что объектом изучения становились не математические объекты, а рассуждения об этих объектах. При этом, как уже упоминалось об этом ранее, Гильберт считал, что доказательство непротиворечивости следует проводить в духе специального учения, подвергая сомнению правомерность использования некоторых классических методов, и предложил обосновывать математику на базе финитизма. Он ограничил тот круг методологических средств, которые считал допустимыми и надежными, хотя никогда не описывал это ограничение в достаточно четкой форме.

Подробных методологических комментариев о финитной установке нет в философско-математической литературе, хотя сам Давид Гильберт довольно точно и хорошо разъяснил ее, в частности, на примере обычной арифметики:

«Конечно, ее можно строить отдельно, конструируя числа с помощью содержательных наглядных соображений. Однако данная математическая наука никоим образом не исчерпывается числовыми равенствами и не сводится к ним одним. И, тем не менее, можно утверждать, что она является аппаратом, который в применении к целым числам должен всегда давать верные числовые равенства.

Но тогда возникает обязанность исследовать строение этого аппарата настолько, чтобы в этом можно было убедиться. При этом в качестве подсобного средства в нашем распоряжении должен находиться только тот же самый конкретносодержательный подход и тот же самый финитный способ мышления, которые в самом построении арифметики применялись для получения числовых равенств»

[42, с.440]. В действительности это требование выполнимо и его можно реализовать финитным способом, так же, как чисто наглядно выводятся сами арифметические истины, но такого рода рассуждения уже будут гарантировать надежность используемого математического аппарата. Однако, так как Гильберт все-таки не зафиксировал совокупность допустимых финитных рассуждений, то он все же надеялся на непосредственное умение математиков самим узнавать, финитно имеющееся математическое рассуждение или нет.

В частности, направление математического формализма исходит, прежде всего, из того, что непротиворечивость арифметики можно доказать финитными средствами, которые не содержат обращений к актуальной бесконечности.

Следует отметить, что важнейшее требование к дедуктивным средствам состоит в том, чтобы они были финитно описываемы, однако после результатов Гёделя наступило осознание ограниченности дедуктивных рассуждений. Процедура обоснования современной математики в духе гильбертовских идеализаций предполагает, в свою очередь, формализацию математической теории с помощью содержательной метатеории. Ее суть в том, что наряду с описанием структуры формализма она рассматривает принципы допустимой логики и соответствующие правила вывода, поскольку математические теории обладают не только формальным, но еще и содержательным знанием. Для философского понимания проблемы непротиворечивости, следует также заметить, что теоремы Гёделя о неполноте указывают на невозможность доказательства логической непротиворечивости сложной математической теории с помощью «финитной метатеории», но они не отвергают идею непротиворечивости как важной цели обоснования в современной математике, а также чисто логических внутренних средств, с помощью которых современная математика постоянно развивается.

Хотя классическая математика обосновывалась коллективным опытом, ее окончательное обоснование, по мнению Гильберта, должна была дать теория доказательств. Для того чтобы эта теория оставалась реально жизнеспособной в математическом познании, она должна допускать в качестве гносеологического инструмента также и первичные интуитивные доказательства, которые затем дорабатываются и уточняются в рамках аксиоматического метода.

Следует отметить, что Гильберт не дал исчерпывающего определения метатеории, которое снимало бы различные сомнения относительно вариантов ее философского толкования. Если философски интерпретировать метатеорию как сферу абсолютной надежности математики, то это уже влечет обращение к гносеологическим критериям, таким как априорность и самоочевидность. Чтобы гарантировать наиболее максимально возможную достоверность математики, философско-методологический замысел Гильберта состоял в соответствующем ограничении метатеоретических рассуждений. Однако метатеория должна иметь не только философское содержание, как считал сам Гильберт, но и собственное внутриматематическое содержание, хотя, например, финитизм Гильберта по сути представляет собой философскую программу. Но математическая практика не исчерпывается финитистскими рассмотрениями, а еще одно заблуждение финитизма состоит в том, что не всегда учитывается необходимость соединения конечного и бесконечного в математических идеализациях.

Иногда считают, что основной целью программы обоснования Гильберта было окончательное решение всех проблем в основаниях математики с помощью математических средств. В действительности из-за неявного предположения о том, что наиболее существенны лишь такие задачи в основаниях, которые непосредственно связаны с доказательствами финитистских теорем, ее цель была скромнее. Финитная установка – это, вообще говоря, весьма радикальное условие в становлении математики, считающее обоснованными и надежными рассуждения исключительно о конечных совокупностях. Поэтому с точки зрения системного подхода можно говорить о ненужности или избыточности попыток найти для математики какое-то особое основание. В философии математики Гильберта важно понимание финитного рассуждения как любого рассуждения, реализуемого за конечное число шагов. Так в работе немецкого математика Герхарда Генцена «Непротиворечивость чистой теории чисел» показано, что, расширяя финитизм методами, основанными на трансфинитной индукции, можно доказать непротиворечивость арифметики и анализа. Можно обратить внимание на то, что, «нет философски (эпистемологически) значимых причин не считать генценовскую реализацию модифицированной программы Гильберта одновременно реализацией и первоначальной программы Гильберта (применительно к арифметике)» [44, с.219]. Хотя вопрос о непротиворечивости самой трансфинитной индукции пока все еще остается открытым.

В предположении, что любая метатеория, достаточная для доказательства непротиворечивости математической теории, более богата, чем сама теория, тоже скрыта некоторая двусмысленность. Но, во-первых, в доказательстве непротиворечивости может быть использована только некоторая часть аксиом, а во-вторых, это доказательство, в соответствии с теоремой Гёделя, должно содержать дополнительные утверждения, выходящие за пределы теории, но это вовсе не означает, что они будут более сомнительны. «Нет никаких оснований a priori предполагать, резонно замечает, анализировавший этот вопрос философ математики Майкл Детлефсен, что если множество утверждений лежит "вне" теории и достаточно для доказательства ее непротиворечивости, то оно будет более сомнительным, чем всякое конечное множество суждений, принадлежащих теории» [175, р.310]. Если, в соответствии с теоремой Гёделя о неполноте, мышление человека явно богаче его дедуктивных форм, то язык математики должен обладать какими-то средствами, позволяющими передавать это богатство. Согласно интерпретации философии непротиворечивости и принципа полноты математической системы, требование непротиворечивости математической теории поддается не только философской, но и некоторой арифметической трактовке. Почему актуальный вопрос о непротиворечивости арифметики в обосновании математики имеет столь большое значение?

С одной стороны, если предположить, что концепция натуральных чисел противоречива, то тогда наше мышление вообще не приспособлено к строго рациональному научному мышлению. С другой стороны, есть немало таких мнений, что формальная система математики как раз не вырождается в бессмысленную игру именно по той причине, что она содержит противоречие.

Следует заметить, что математическая теория может, например, быть «локально непротиворечивой», даже если она, вообще говоря, не является «глобально непротиворечивой». Поэтому считаю, что в дальнейшем есть смысл говорить только о локальной непротиворечивости, когда глобальная непротиворечивость может оказаться достаточно избыточной. Вторая теорема Гёделя, говорящая о недостижимости непротиворечивости, по сравнению с первой теоремой Гёделя о неполноте, указывает на меньшую устойчивость математического результата, который зависит от изменения кодировки математических формул, поскольку эти кодировки, с помощью которых доказывается непротиворечивость теории, уже включают в себя предположение о непротиворечивости. Заметим также, что, когда математики еще не использовали теоретико-множественные методы, убеждение Гильберта хорошо согласовывалось с имеющимся математическим опытом, хотя это нельзя было признать за убедительное обоснование для формальных систем, стремящихся доказать свою непротиворечивость.

Можно также указать на «формообразующую» роль противоречий, которые не только влияют на поворотные моменты развития математических теорий, но и помогают понять их неявную суть. Но, следует помнить о том, что анализ логики генезиса математического знания показывает, что противоречия в нем будут систематически возникать до тех пор, пока не будут реально устранены порождающие их различные «неадекватные» определения. Аксиоматическое представление математических теорий является хорошим показателем их зрелости и стимулом к дальнейшему развитию в научных целях, а не только для образовательных требований. Внутреннюю согласованность математической теории, имеющей дело с системой идеальных образов, приходится подчинять внутренней логике развития, что можно интерпретировать как «иметь дело с реальностью». Даже в программе формализма Гильберта основной акцент делался на обоснование идеализаций, а не доказательство непротиворечивости.

В связи с этим заметим, что «конструктивное» обоснование не признает ряд важных идеальных математических конструкций и ставит дополнительную философско-методологическую задачу еще и объяснения существования математической конструкции. Так существование конструктивного объекта, например, в рамках концепции, предложенной известной советской школой конструктивной математики, предлагалось понимать как потенциальную осуществимость. Заметим, что иногда вместо верной импликации в качестве верного утверждения преподносится ее заключение, что приводит к курьезным утверждениям о рациональном решении в положительном смысле. Например, утверждают, что аксиома выбора не может быть ни доказана, ни опровергнута в аксиоматической теории Цермело–Френкеля, хотя при этом часто забывают добавить, что этот факт верен при важном предположении непротиворечивости данной теории, поскольку в случае противоречивости теории в ней было бы доказуемо любое возможное утверждение, в том числе и аксиома выбора.

В философии математики известен следующий парадокс, что если каким-то образом устранить все абстрактные математические понятия из доказательства, то все равно обнаруживается некий «философский дефект» такой процедуры, поскольку теряются дополнительные неявные знания, которые могут содержатся в исходных предложениях. Поэтому необходим еще и философско-исторический углубленный анализ математических теорий для экспликации их неявных предпосылок. Кроме того, согласованность математических теорий иногда важнее их логической непротиворечивости, так как не каждое высказывание, которое не противоречит обоснованным ранее, можно отнести к истинным.

Говоря о программе обоснования Гильберта, следует также помнить, что она осмысленна только в тех ситуациях, когда она может быть реализована. Тем не менее, для математиков Давид Гильберт логически последователен и ясен, а аксиоматика и формализм являются важнейшей частью их стиля мышления.

Профессиональные математики верят в надежность их доказательств не столько из-за отсутствия в них контрпримеров, а большей частью исходя из надежного «генетического обоснования», исходя из их убеждения в истинности исходных математических посылок и системного обоснования непротиворечивости аксиоматики. Следуя философской аргументации В.Я. Перминова: «Логика системного обоснования непротиворечивости аксиоматики, состоит в том, чтобы вывести ее из непротиворечивости центра теории, полагая непротиворечивость центра доказанной из логики его становления» [107, с.170]. Где к «центру теории» относятся положения, сформулированные на основе исходных понятий, служащих базой обоснования всей вытекающей их них системы математических понятий и утверждений. Хочу заметить, что если система непротиворечива, но все же не полна, то заключаю, что эта система недостаточно мощна.

Критерий непротиворечивости, несмотря на его существенную роль в аксиоматических системах как формального, так и содержательного характера, является таким же вспомогательным логическим критерием, как и доказуемость.

Например, непротиворечивость геометрии Евклида тоже неясна, но там аргументацией ее определенной надежности служит наличие реальной модели, а также интуиция и многовековой математический опыт. Чем более востребована математическая теория, тем больше оснований считать ее защищенной от противоречий. Если используют какую-то математическую структуру, то веру в ее непротиворечивость тоже обретают из ее практического употребления. Но для аксиоматического построения математических теорий, философскометодологическая проблема непротиворечивости этим только ставится, а не решается. Поэтому аксиоматический метод является по существу одной из гносеологических предпосылок, присущих математическим теориям на стадии возникновения нового математического знания. В контексте системного подхода к обоснованию математики сказанное можно уточнить еще в том смысле, что формирование математической теории начинается вовсе не с выявления непротиворечивости ее аксиоматики, которая появляется гораздо позже. Можно также заметить, что богатая история современной математики знает уже немало случаев, когда противоречивые понятия и теории, в частности, история становления теории обобщенных функций, были весьма полезными для развития фундаментальной науки. В качестве математического примера достаточно назвать генезис понятия дельта-функции и теорию лейбницева анализа бесконечно малых, первооткрыватели которых неадекватно обосновывали свои открытия, но затем уже на новом математическом фундаменте они были строго обоснованы, например, в рамках современных теорий обобщенных функций и нестандартного анализа. Но, говоря о важности эмпирических идей для развития математики, будет еще более ошибочным не признавать автономность развития математики. Определенный парадокс состоит в том, что, например, сложный путь формирования такого математического понятия как «обобщенное решение дифференциального уравнения» и связанного с ним понимания обобщенной функции отчасти противоречит установке Давида Гильберта, согласно которой предметом математики является только непротиворечивая система.

Даже непротиворечивость теории множеств Цермело–Френкеля до сих пор не доказана, хотя она уже избавлена от известных парадоксов. Анализируя философскую область проблем теории познания, Давид Гильберт упомянул о пяти наиболее важных, на его взгляд, проблемах философии математики: вопервых, принципиальной разрешимости каждого математического вопроса; вовторых, дополнительной проверке результатов математического исследования;

в-третьих, критериях простоты математических доказательств; в-четвертых, соотношении содержательного и формального в математике и логике; в-пятых, разрешимости математических задач с помощью конечного числа операций.

Пятое требование, которое ограничивает математические рассуждения только финитными средствами и затрагивает сущность математического мышления, оказалось наиболее сильным и часто обсуждаемым философами математики.

Даже программа интуиционизма, с точки зрения философско-методологической обоснованности разных математических теорий, не давала никаких гарантий непротиворечивости этих теорий, несмотря на методологическое сужение класса математических объектов и используемой логики, поскольку она не вносила принципиальных изменений в методы математического доказательства, хотя программа формализма, своим требованием математизации метаматематики способствовала повышению философского интереса к теории математического вывода. Реализации этой программы содействовало то, что Брауэр, подвергший критике всю теорию множеств в целом, предложил возводить математику на новой методологической базе конструктивных математических построений.

Поэтому теории доказательств Гильберта отводилась еще и роль противовеса этой программе обоснования в контексте методологии дополнительности.

С одной стороны, логический анализ интуиционизма позволил философски по-новому вскрыть глубинные корни недостатков формализма и выявить методологическую неадекватность «патентованных средств» обоснования математики. С другой стороны, можно, например, вспомнить о философскоматематических исследованиях А.Н. Колмогорова, в которых показано, что математические теории, использующие закон исключенного третьего, могут быть интерпретированы в системе рассуждений, не опирающихся на этот принцип. Даже метаматематические методы применяются теперь при изучении систематизаций математики, опираясь на формалистские и интуиционистские направления обоснования математики. Напомним, что даже обоснование математических доказательств с самого начала возникло на стыке двух гносеологически противостоящих концепций интуиционизма и формализма, каждая из которых пользовалась своей логикой, в связи с их методологическим подходом к проблеме выбора логических средств, допустимых в математических рассуждениях, поскольку высказывание, оказавшееся истинным в рамках логики одной концепции, могло оказаться ложным в рамках другой. В математической практике могло оказаться и так, что высказывание, истинное в рамках обеих логических систем, доказывается в них по-разному, в частности, доказательство, принятое в рамках одной из этих систем, будет отвергаться в рамках другой, а также наоборот. Так в частности, как утверждает Е.И. Арепьев, «теоретикомножественное обоснование математики оказалось противоречивым, и, хотя на теоретическом уровне были предложены версии избежания парадоксов, на уровне онтологических и гносеологических оснований была признана проблематичность рассмотрения понятия множества в качестве универсального сущностного базиса математики» [3, с.125]. Тем не менее, теория множеств попрежнему лежит в основе всех математических наук, и работающие математики верят в ее непротиворечивость. Эта стихийная вера основана на огромном опыте практической работы профессиональных математиков, и пока она не давала повода для радикальных сомнений в непротиворечивости математики, частью которой является теория бесконечных множеств Георга Кантора.

Современная математика как научное знание обладает сложной структурой

– это по существу метатеория по отношению к естественным наукам, хотя роль эмпирического компонента в математическом познания минимальна. Сама математика становится рефлексирующей наукой благодаря тому, что в метаматематике метатеория выступает как активное начало. Такое философское понимание математики способствует решению ее актуальных проблем, а также прогнозирует дальнейший путь направлений исследования в области философии математики. Не умаляет философской значимости программы формализма для развития математики неудача философской идеи Гильберта о доказательстве непротиворечивости теории средствами формального метаязыка, которая выявлена в теореме Гёделя о неполноте арифметики натуральных чисел. Ведь результаты Гёделя, с точки зрения методологии обоснования математики, тоже демонстрируют нечто большее. Сенсационный результат Гёделя указывал на относительную слабость избранных логических средств, чтобы с их помощью можно было решать наиболее кардинальные вопросы обоснования теорий. В содержательных расширениях теорема Гёделя не имеет силы, так как они не поддаются представлению в арифметизированной метатеории. Здесь есть еще один важный философско-методологический аспект, на который следует обратить внимание, а именно, тезис о существовании «единственной истинной арифметики» и «единственной истинной теории множеств», который является существенным моментом гёделевской концепции. Но, учитывая многообразие мнений о математических теориях, некоторые философы математики убеждены также в том, что невозможность реализации в полном объеме формалистской программы обоснования по отношению к современным математическим теориям доказана столь же строго, как и невозможность вывода аксиомы о параллельных прямых из других аксиом евклидовой геометрии.

Таким образом, вопреки догмам метаматематики даже хорошо развитая формальная математическая теория не может быть абсолютно непротиворечивой в силу изначально неустранимости возможной «латентной неопределенности», а также определенной логической неточности ее основных объектов. Не случайно, например, некоторые исследователи стремились реально возродить понятие «субъективной вероятности» и пользоваться им в условиях неопределенности.

Поэтому для достижения различных целей естественно воспользоваться поразному построенными теориями, то есть и формалистская, и интуиционистская математические теории могут философски продуктивно сосуществовать.

Особенности математического познания находят свое отражение и в понимании проблемы истины, которая независимо от ее исторических и философских коррелятов, является одной из основных ценностей математики. Поиск новых смыслов понятия истины зависит от различных предпосылок и философскометодологических допущений общего характера, которые связаны с пониманием процесса познания. Следует особо отметить, что в процессе математического познания истина выполняет некую двойственную функцию, философски характеризующую процесс познания, поскольку, во-первых, выступает по сути идеалом, к которому стремится научное знание, во-вторых, она является еще и критерием для оценки получаемого математического знания с точки зрения его убедительности. Математическая теория имеет свой набор фундаментальных постулатов, с помощью которых она аргументирует те положения, которые остались необъяснимыми. Чтобы иметь достаточные основания для веры в истинность математической теории, она должна еще включать в себя некоторые методологические преимущества, содержащие признаки истинности как доказанного знания. Хотя до конца XIX века мало кто сомневался в истинности математических теорий, но с возникновением неевклидовых геометрий, наряду с заботой о непротиворечивости выбираемых систем аксиом, снова пришлось возвращаться к проблеме истинности на более высоком уровне обоснования.

Напомним, «что XIX столетие еще имело перед собой огромную задачу, заключающуюся, главным образом, в обосновании уже построенных теорий»

[130, с.119]. Поэтому, в конце XIX века математика утратила свои претензии на истинность, а истина стала рассматриваться в виде некой системы, делающей возможным более глубокое философское осмысление истины в онтологическом, гносеологическом и ценностно-целевом аспектах разных способов познания.

Анализируя этапы развития представлений по проблеме обоснования математики, нельзя не связать ее с актуальной темой «истины в математике», поскольку особенности математического познания находят свое отражение в понимании возможности убедительного доказательства математических теорий и теорем в качестве эталона истины. Соответствующие высказывания о математической истине расположились в диапазоне от невозможности дать определенный ответ до безусловной истинности математических теорем.

Причина существующего разногласия состоит в том, что понятие «истинности»

математических теорем является по существу метаматематическим, а поскольку соответствующий раздел метаматематики не формализован, и таким образом не превращен в часть современной математики, то обсуждение этого важного вопроса пока носит неоднозначный философский характер. Так, например, вопрос об истинности неевклидовых геометрий перенесен в проблематику физического рассмотрения, поскольку в математике не решаются вопросы истинности разных геометрий, в отличие о возможности существования разных теорий множеств, например, с гипотезой континуума или ее отрицанием, которые не принадлежат физической реальности. Несмотря на различные подходы к обоснованию современной математики, все они имеют смысл лишь в предположении «объективной» истины содержательной арифметики, которая в определенном смысле является фундаментом всей математики. Внутренняя убежденность и платонистская вера в истинность математического знания и правильность действий необходимы любому человеку. Согласно этой вере, математика есть подлинное знание, хотя в вопросе об истине уже присутствует философское допущение в платонистском духе, по сути предполагающее что математические объекты существуют независимо от познающего субъекта.

Поэтому в философии математики постоянно предпринимаются попытки найти соответствующее направление внешнего обоснования математических теорий, которое сводится к ответу на философский вопрос: как можно охарактеризовать математическую истину? При ответе на данный вопрос следует соблюдать осторожность, так как понятие истины с необходимостью предполагает наличие некоторой оценки, происхождение которой пока не ясно.

В связи с таким положением, как правильно отмечает А.Л. Никифоров, «важно и нужно исследовать разнообразные факторы, релятивизирующие результаты познавательной деятельности, уточнять понятия субъекта, объекта и предмета познания, но, как мне представляется, все такого рода исследования сохраняют смысл лишь до тех пор, пока мы – явно или неявно – сохраняем классическую идею истины» [96, с. 52]. Отметим, что философское понимание Платоном математики как знания связано с его представлениями о месте арифметики и геометрии в способности души познавать истину. Так, что есть истина? Каковы ее критерии? Можно ли их как-то формализовать? Напомним хрестоматийное определение истины в его классическом смысле: истинна та мысль, которая соответствует своему предмету. Такая интерпретация понятия истины впервые в явном виде была дана Платоном. Платоновская трактовка истины была принята наукой Нового времени, благодаря чему истина и ложь стали гносеологическими характеристиками знания. Кроме того, еще одно из самых первых определений истины, которое стало столь же традиционным, восходит уже к Аристотелю. Он исходил из того, что познание истинно, когда оно соответствует вещам и связям, объективно существующим вне сознания. Заметим, что это аристотелевское определение истины как утверждение некого соответствия действительности по существу превратилось в общепризнанное философское положение.

Но нельзя не указать на известные в философии науки трудности, связанные с интерпретацией классического понятия истины. Во-первых, это неясность понятия «соответствие», с помощью которого определяется истина, во-вторых, отсутствие строгих критериев, позволяющих отделить истину от заблуждения, в-третьих, проблема гносеологической оценки генезиса истины. Философская сложность проблемы математической истины проявляется в случае анализа математических идей, относительно которых вообще сложно представить способы их соответствия реальности даже в рамках некоторых содержательных математических теорий. Поэтому необходима какая-то более убедительная философская интерпретация этого ключевого «соответствия» действительности.

С точки зрения обоснования математики, философское объяснение классической концепции истины, которое могло бы заменить аристотелевскую формулировку, с сохранением ее основной идеи, было предложено в теории истины Тарского, которую также рассматривают как попытку формализовать философскую концепцию истины. Польский философ и логик Альфред Тарский считал, что если в естественнонаучном языке истину понимают, как соответствие реальной действительности, то в логико-математических языках истину следует понимать, как реализацию в некоторой модели при подстановке такой модели на место истины. Заметим также, что помимо представления истины как соответствия, можно интерпретировать истину в математике как согласованность математических идей. Хотя в рамках данного исследования концепция истины в математике будет рассматриваться в существенно более ограниченном объеме, необходимо отметить, что проблема соответствия знания своему предмету содержит следующий недостаток: оно спутывает истину и истинность.

Заметим, что понятие «истина» в философии и даже в конкретных науках неоднозначно. Истина – это знание, соответствующее действительности, то есть находящееся в отношении соответствия своему предмету исследования, а истинность – это само отношение. Философская экспликация этих понятий состоит в том, что истину можно интерпретировать как содержательное понятие категориального типа, а истинность – как формальный признак содержания, который обозначается как истина. В результате многих методологических открытий концепция истины в математике оказалась вовлеченной в целый ряд проблемных ситуаций. Некоторые из них даже породили философские сомнения в приемлемости самой концепции истины в современной математике в целом.

Остановимся только на главных из них. Во-первых, Курт Гёдель показал, что в непротиворечивых формальных системах, содержащих арифметику, есть утверждения, истинность которых, как оказалось, невозможно ни подтвердить, ни опровергнуть. До сих пор в работах некоторых математиков, а также философов и методологов математики, несмотря на то, что они знают или слышали о неразрешимости гипотезы континуума, можно встретить вопрос, а на самом деле она истинна или нет? Следует заметить, что даже постановка вопроса об истинности некоторого утверждения в теории множеств может оказаться абсурдной. В этом проявляется специфика абстрактного характера объектов математики, что также наложило отпечаток на понимание проблемы истины в математике для различных направлений обоснования математики.

Во-вторых, есть математические теории, непротиворечивость которых, а, следовательно, и их противоречивость, невозможно доказать, поэтому неясно, как к ним можно применять концепцию истины. Если на поздней стадии становления математической теории появятся расхождения, то математики могут изменить ее основания. При таком понимании математики можно заключить, что она не имеет дела с истинностью или ложностью тех оснований, следствия которых она изучает. В-третьих, неясны критерии, с помощью которых можно выбирать конкурирующие теории. Например, система аксиом Цермело–Френкеля может быть дополнена аксиомой выбора или гипотезой континуума, не влияя на ее непротиворечивость, что в свою очередь тоже посвоему проблематизирует философские интерпретации концепции истины в современной математике. Поэтому в философии рассматривают разные теории истины как характеристики знаний. В «корреспондентной теории» истину упоминают как соответствие действительности, в «прагматической теории»

истину интерпретируют как практический успех, а в «когерентной теории»

истину понимают как согласованность знаний между собой. В действительности, наряду с наиболее популярной корреспондентной теорией истины в ХХ веке в философии науки оживился интерес и к другим теориям истины, в частности к упомянутой когерентной теории И. Канта, в которой истиной считается свойство самосогласованности научных знаний, и прагматической теории У. Джеймса, согласно которой истина интерпретируется как практическая полезность, а также к конвенциональной теории А. Пуанкаре как продукту соглашения между исследователями, и семантической теории А. Тарского, устраняющей некоторые языковые проблемы классического понятия истины. Сложность, однако, в том, что именно характеризуется как истинное или ложное. В методологическом контексте гёделевских результатов, это говорит о том, что помимо истинности и ложности, есть еще одна альтернатива – это неопределенность.

В связи с неоднозначностью понимания истины обратим внимание на очень важное философское замечание, состоящее по сути в том, что в математике не утверждается, что некоторое утверждение истинно, в ней утверждается, что если принять ряд предположений, то новое утверждение должно быть их логическим следствием. Разнообразные подходы к описанию познавательного процесса в науке зависят от философского понимания того, что есть вера, и что такое истина. Поэтому, все три перечисленных выше аргумента о концепции истины в современной математике могут оцениваться как оптимистически, так и пессимистически. Естественно, что в контексте обоснования нас интересуют, прежде всего, только оптимистические оценки. Во-первых, непротиворечивость формальной арифметики доказана, хотя и с помощью более общего метода трансфинитной индукции. В частности, теорема Гёделя не опровергла «концепт истины», а наоборот способствовала выяснению его подлинного содержания.

Во-вторых, хотя есть математические теории, в частности теория множеств, непротиворечивость которых пока невозможно доказать, математики научились эффективно обращаться с ними. Система Цермело–Френкеля состоятельна на протяжении почти уже целого века. В-третьих, невозможность выбора между конкурирующими теориями тоже не свидетельствует против концепции истины в математике, поскольку она всегда соотносится с отдельной конкретной теорией. В концепции истины можно также выявить платонистский мотив, обусловленный некоторой неизбежной неопределенностью понятия истинности, поскольку истинность есть еще и свойство веры, точнее свойство утверждений, неявно выражающих веру. Поэтому философское понятие истины проявляется через определенные отношения между верой и иными фактами, отличными от веры. Это, например, можно философски интерпретировать так, что в случае «истинной» веры существуют факты, к которым она имеет определенное отношение, а в случае «ложной» веры – таких фактов, вообще говоря, нет.

Даже в современной математике истинность тоже неоднозначна. Вспомним, например, о «вероятностном знании», где неопределенность компенсируется определением различных степеней достоверности. Еще вопрос об истинности зависит также и от философского взгляда на природу математики. Утверждение признается математически истинным, если оно, уже будучи включенным в определенный философско-методологический контекст математической теории, не приводит к новым противоречиям, а непротиворечивость конкретной математической теории отнюдь не идеальная цель, а фактически реализуемое состояние. Так, с одной стороны, истинность математической теории и ее непротиворечивость в строго математическом смысле – это равноправные характеристики, так как оба этих требования являются внешними к теории, и в общем случае имеют происхождение из практической направленности любого знания. С другой стороны, важно выяснить общесистемные корни и системные закономерности обоснования математических теорий. Даже, как утверждает В.Я. Перминов, полная логическая совместимость теорий вполне достижима, так как «элемент системы, созданной в конкретной ситуации и для определенной цели, оказывается затем более универсальным, пригодным для других целей, предвосхищая другие требования» [105, с.49]. Остается пока еще открытым вопрос о месте в иерархии математических истин теорем, доказанных с помощью компьютеров, с точки зрения степени их методологической обоснованности.

Иногда вопрос об истинности математических утверждений сводится к факту существования соответствующей теоретико-множественной модели, то есть системы объектов, взятой из другой теории, удовлетворяющей аксиомам данной теории. Однако такой подход ничуть не проще, так как по существу он в свою очередь приводит к вопросу о непротиворечивости той математической теории, из которой берется модель, поэтому доказательства непротиворечивости с помощью модели являются относительными. По поводу пессимистических оценок заметим, что научная истина не должна рассматриваться как нечто законченное и незыблемое, поэтому философская концепция истины не должна оценивать конкурирующие направления обоснования математики.

Можно также предположить, что центральное ядро любой признанной математической теории непротиворечиво, например, непротиворечивость таких теорий, как элементарная геометрия, арифметика, анализ, хорошо изучена и достаточно надежно обоснована. Но, благодаря подходу Давида Гильберта, доказательство непротиворечивости арифметических аксиом стало основным вопросом, что по сути существенно сместило акценты общепринятого взгляда на проблему обоснования всей математики. В частности, после доказательства непротиворечивости арифметики, хотя и более сильными средствами, чем финитные, практически снизился методологический интерес к доказательству непротиворечивости других формальных теорий. Однако по-прежнему остается проблематичной непротиворечивость такой мощной аксиоматической системы, как Цермело–Френкеля. История и генезис развития современной математики показывают, что в ней столь же трудно ожидать противоречий, как и в арифметике, понятия которой существенно использовались при построении интерпретаций для доказательства непротиворечивости других математических теорий. Несводимость проблемы обоснования математики к аксиоматическим основам подтверждает известный тезис о том, что математическая деятельность требует некоторой «невычислительной активности». При аксиоматическом построении математической теории вопрос об ее истинности нельзя свести только к вопросу об истинности аксиом, так как он не обсуждается в рамках дедуктивной теории. В частности, методологический замысел системного обоснования современной математики состоит в том, чтобы описать понимание непротиворечивости теории именно в рамках системных понятий и связать непротиворечивость аксиоматики с ее завершенностью и «фактологической»

истинностью. В результате такого переосмысления проблемы истинность отдельного математического положения не столь существенна, поскольку основной акцент делается на непротиворечивости математической теории.

Сам Давид Гильберт предполагал, что окончательное решение проблем обоснования с помощью аксиоматического метода никогда не будет завершено.

Но даже устанавливаемые теоремами Гёделя ограничения на программу формализма не поколебали общего убеждения современных математиков в ее целесообразности, а естественно возникающие трудности давали дальнейшие новые импульсы к развитию математики. В пользу программы формализма можно добавить еще следующее обстоятельство. Математики новые понятия, представляющиеся им полезными, пытаются сконструировать даже из старых понятий, доказавших уже свою инструментальную ценность. Преимущество такого конструирования новых математических понятий состоит в том, что их формальный смысл будет точно определен, даже если в «пограничных случаях»

он будет противоречить не только интуиции, но и здравому смыслу. Тот факт, что систематически развитые математические теории показывают удивительную степень совершенства, следует назвать «рационалистическим оптимизмом». Но насколько оправдан этот оптимизм? Даже, если предположить, что могут существовать математические утверждения, для которых не реально дать такое доказательство, которое постижимо для человеческого ума, то тогда придется различать человеческую и объективную математику. Заметим, что еще Брауэр предложил рассматривать логику, основанную не на понятии истинности, а на понятии реализуемости, считая, что на ее основе можно обосновать математику.

Хотя понятие реализуемости можно считать важнейшим в обосновании, с точки зрения логики и компьютерной математики, оно не вполне адекватно. Если оценивать концепцию истины в широкой философской перспективе, то ее все же не следует связывать исключительно с формалистским направлением в обосновании математики в силу отсутствия общепринятого представления о том, что такое истинное знание, и чем оно отличается от платонистской веры.

В обосновании математики отражаются все тенденции, свойственные философии и связанные с проблемой истины. В математике критерий истины выступает в довольно своеобразной форме, так как нельзя доказать истинность математического утверждения, основываясь на практике, как в других науках.

Сложность этой проблемы состоит в том, что понятие истины в математике зависит от абстрактных понятий и не всегда связано с фактами. То, что было сделано в философии математики последних десятилетий, можно суммировать в следующих двух представлениях. Одно из них как наиболее активное стремится увязать новые исследования с работающими в математике традиционными направлениями – формализмом, интуиционизмом и конструктивизмом, а другое непосредственно связано с эпистемологической тенденцией в философии математики, обусловленной современной теорией познания, а именно, дилеммой Пола Бенацеррафа, сформулированной в его работе «Математическая истина»

[170]. Суть дилеммы в философской литературе интерпретируется следующим образом: если, например, считать, что современные математические теории – это исследование «объективных идеальных сущностей», и еще предположить, что «когнитивные способности человека» позволяют познавать только чувственные объекты, то, как он тогда может познавать абстрактные математические объекты.

Заметим, что эта дилемма теряет смысл, если рассматривать исключительно причинную теорию познания, но, как известно, это не единственная теория в философии науки. Фактически она сводится к главному онтологическому вопросу о существовании математических объектов, и в таком контексте работа Пола Бенацеррафа была, прежде всего, направлена на эпистемологическое опровержение платонизма, но в ней были спутаны различные философские проблемы, в частности касающиеся понятия математической истины.

В связи с этим заметим, из практического применения математики часто делается вывод о том, что математическая теория с точки зрения истинности подтверждается или обосновывается практикой. Такой вывод получается при смешении таких понятий как истинность и содержательность. Безусловно, можно утверждать, что развитие содержательной математической теории стимулируется практикой, что она в этом случае отражает реальность, что она тогда содержательна, в смысле соответствия некоторой системе реальных связей. Но отсюда, вообще говоря, не следует, что она истинна, и подобно эмпирическим теориям обосновывается посредством ее использования, так как даже эмпирическая истина зависит не только от чувственного опыта, а также от того, как интерпретируется теоретическая часть теории. Поэтому, как уточняет Готлоб Фреге, «если речь идет о математической истине, вопрос переводится из области психологии в область математики… чтобы найти доказательство и свести математическую истину к первичным истинам» [137, с.27]. По существу, это аргумент в пользу платонизма. В контексте платонистской составляющей в обосновании математики заметим, что как совместное сосуществование противоречащих друг другу теорий вовсе не означает противоречивости всей математики, так и сосуществование «противоречащих» миров еще не означает противоречивости «мира идей». Философский вопрос о непротиворечивости математики в целом, вообще говоря, не имеет смысла, так как в хорошо развитых направлениях современной математики вовсе не исключено существование непротиворечивых теорий, объединение которых может быть противоречиво.

Евклидова и неевклидова геометрии, которые непротиворечивы в отдельности, противоречивы в совокупности, поэтому в обосновании математики исследуется непротиворечивость только отдельных математических теорий.

Можно подытожить, что, по существу, речь идет о существовании двух традиций в современной философии с различным пониманием истины. Или это традиция Платона–Канта–Гегеля, в рамках которой путь к истине понимается как движение к представлению о мире таким, как он есть «сам по себе».

Например, в качестве оснований математического знания можно рассматривать особую интуицию, позволяющую также постигать свойства математических сущностей и формулировать их затем в виде аксиом. Именно благодаря этой внутренней убежденности и умеренной платонистской вере в истинность математического знания, «математика перестала быть лишь средством описания, а выступала как способ обоснования и получения истины» [159, с.76]. Другую традицию в обосновании математики можно обозначить как «математический релятивизм», в которой вместо поиска математической истины математики и логики занялись поисками логической непротиворечивости с учетом специфики ее концептуальной зависимости от того, что именно положено в основу математических рассуждений. Но непротиворечивость математической теории остается пока главным критерием ее истинности, хотя трактовка критерия истинности в постнеклассической математике становится уже другой, поскольку вместо доказательства непротиворечивости математической теории выдвигается более умеренное требование наличия косвенных доводов, подтверждающих непротиворечивость содержательной теории. С одной стороны, онтологическая истинность математических понятий и принципов должна быть гарантией их непротиворечивости по отношению друг к другу, а, с другой стороны, трудности обоснования непротиворечивости аксиоматической системы, формируемой без ссылок на очевидность, приводят к тому, что она не может быть принята в качестве онтологически истинной. Но непротиворечивая теория никогда не была бы создана, если бы ее основной методологический замысел не был бы доступен интуиции, поскольку содержательная теория не репрезентируется сразу и целиком, а в виде уже построенного своего фрагмента, непротиворечивость которого, как правило, обеспечивается в самом процессе его построения.

Понятие соответствия математической мысли исследуемому объекту является чрезвычайно расплывчатым, его можно по-разному уточнять и философски конкретизировать. Но математики верят в то, что истинное знание дает им адекватную картину окружающего мира. В частности, для понимания других косвенных доводов, подтверждающих непротиворечивость теории, тоже необходимо понять, откуда у математиков возникает вера, или философская идея, в существование математической истины. В философии математики до сих пор нет общепризнанного четкого представления о том, что такое знание, и чем оно отличается от веры, например, непротиворечивость теории множеств по сути представляет собой предмет веры, подкрепляемой практическим опытом успешного использования этой теории. Такая убежденность возможна лишь при понимании истинности в качестве практической эффективности теории, точнее, в эффективном использовании теории в практических приложениях. Возможно поэтому, по мнению Б.Л. Яшина: «Критерий непротиворечивости нельзя считать единственным и определяющим для построения и проверки истинности той или иной теории, потому что истинность, а также степень точности аксиом можно установить лишь всей практикой математического познания и приложений его в других областях знания» [162, с.99]. Этот тезис следует интерпретировать как допустимость критерия практической эффективности в случае невозможности доказательства непротиворечивости математической теории. Поэтому трудный вопрос о непротиворечивости математических теорий можно рассматривать не только с точки зрения тенденции представления знания дедуктивными структурами, но и как эмпирический вопрос, поскольку основанием для такого предположения служит как раз то обстоятельство, что сложные теоретические направления математики получают «обосновательную» поддержку со стороны более элементарных разделов, принимаемых благодаря их приложениям.

Гносеологическими предпосылками вопроса об истинности математических теорем являются вопросы непротиворечивости математических теорий и правильности математических доказательств. Используя философский концепт истины и локальную непротиворечивость, можно на основе философского принципа рефлексии сделать доступными преимущества всех методологических подходов к обоснованию, позволяющие получить математические выражения, не выводимые непосредственно из исходной системы аксиом. Философское понимание истины в математике, как важнейшего системно-методологического нормативного регулятора, обусловливает возможности выразительных средств, так как трудности с понятием истины можно уподобить ситуации с понятием существования. Нормативный характер истины предполагает выявление критерия истинности математических знаний, хотя философ В.А. Светлов замечает: «В отличие от естественнонаучных теорий, в которых истинность посылок зависит от истинности их следствий, в математических теориях все наоборот – истинность теорем полностью обусловлена истинностью аксиом, из которых они следуют» [121, с.10]. Аксиомы обосновываются либо с помощью интуиции, либо рассматриваются как априорные конструкции, а философы математики размышляют над смыслом аксиом и правил вывода, способных приводить к математическим истинам, выводимым из заданных аксиом и правил вывода. Системная организация математических теорий требует трансформации идеалов и норм обоснования математики, когда в рамках системы формируется определенный образ познавательной деятельности, и выявляются обязательные процедуры, обеспечивающие постижение математической истины.

Но насколько нам необходимо знать все истины? Ведь истинность теоремы

– это лишь часть знания, раскрывающегося в ее математическом доказательстве.

Даже философское несоответствие естественной и формальной логик отражено в несоответствии между понятием «истинность» и понятием «доказуемость».

Тем не менее, следуя принятой математической практике, автор склоняется к точке зрения профессионального математика Ю.И. Янова, что «мы можем определить понятие истинности предложений в математике как формальную доказуемость в непротиворечивой теории» [158, с.26]. При этом следует особо подчеркнуть, что речь идет о формальных теориях, так как содержательные теории не столь уязвимы с точки зрения противоречивости, поскольку их можно рассматривать не целиком, а в виде фрагмента, локальная непротиворечивость которого обеспечивается в процессе его построения. Отметим также, что теоретический вопрос концепта математической истины оказался, в связи с развитием современных компьютерных технологий и вычислений, более философски приземленным, хотя практически не менее важным вопросом в контексте обоснования современных математических теорий. Например, что касается масштабных компьютерных вычислений, то эмпирически они могут быть даже очень убедительными, но при этом они не всегда избавляют от необходимости рефлексии теоретико-математических доказательств.

В философском контексте понимания истины в обосновании математики можно сослаться на Пола Эрнеста, который, рассуждая о философских течениях в математике, утверждает: «Математическая истина, в конечном итоге, зависит от набора не поддающихся исследованию предпосылок, которые принимаются без доказательств. Но, чтобы считаться истинным знанием, предпосылки должны иметь под собой основание» [178, р.14]. Даже если философскоматематическое мышление отчасти может характеризоваться незавершенностью и открытостью, высказываются, например, такие мнения, что «абсолютная научная истина» существует, поскольку она содержится в строгих дедуктивных выводах математики. Но если признать, что абсолютность истины нигде не достигается, математические истины ближе к абсолютным, чем истины других наук. Выявляя наиболее существенные специфические черты различных подходов к обоснованию современной математики, теперь нет необходимости сосредотачиваться только на каком-то одном направлении обоснования, например, интуиционизме или формализме, отказываясь тем самым от других направлений, ограничивая теоретическую математику, лишая ее практической силы. По этой же причине полезно различать логические и математические основания. Это связано с тем, что непротиворечивость необходима, но, вообще говоря, она недостаточна, так как логика редуцирует математическую теорию к аксиомам, хотя по сути ничего не говорит об истинности последних.

Краткие выводы по главе 2 Общеметодологическая значимость идеи взаимодополнительности для обоснования математики определяется тем, что философско-методологический синтез направлений обоснования методологически возможен еще и в форме дополнительности, который включает снятие трудности противоположных подходов в более высокой по уровню концепции обоснования. Такой подход приобретает особое значение в проблеме обоснования математики, так как следуя общематематической сущности взаимодополнительности направлений обоснования математических теорий, они не противоречат, а дополняют друг друга. Философская сущность такого рода подхода к обоснованию раскрывается как в рамках классической, так и рамках неклассической рациональности, когда альтернативные признаки могут одновременно естественно сосуществовать.

Гносеологические предпосылки классических программ формализма Гильберта и интуиционизма Брауэра, определяющие их понятийный базис, а также критерии их достоверности, по сути являются наименее рационализированным компонентом, поскольку отличия в направлениях обоснования современной математики имеют не только математический, но и философский характер.

Суть методологического подхода Гильберта состояла в том, чтобы формализовать математические теории, использующие абстракцию актуальной бесконечности, и сделать их объектом метаматематического исследования.

Важный аспект противостоящего интуиционистского подхода Брауэра состоял в отрицании основных понятий теоретико-множественной математики, с акцентом на выделение конструктивных направлений в математике. Формализм и интуиционизм как два основных подхода к обоснованию современной математики, с точки зрения содержательного и формального в математике, заново актуализировали философскую дилемму интуитивного и дискурсивного.

Методологические проблемы обоснования математики, сформулированные Гильбертом, оказались столь востребованными, что практически вся философия математики ХХ века развивалась под влиянием поставленных им задач.

Направление формализма может послужить философским источником для обогащения интуиции на новом методологическом уровне, способствуя более глубокому понимания смысла обоснования, так как различия между работающими направлениями обоснования математики, а именно, формализмом и интуиционизмом, были взаимодополнительными способами обоснования математики в соответствии с различными типами математического познания.

Чтобы смягчить определенную философскую жесткость распространенных крайних утверждений, в философии науки XX века были получены новые теоретические конструкции. Это, прежде всего, концепция дополнительности Бора и теоремы Гёделя о неполноте. Поскольку существование некоторых неразрешимых математических проблем само по себе еще ничего не говорит об их значимости в смысле частоты их появления в различных областях науки, то теоремы Гёделя, вообще говоря, не очень сужают обычную сферу использования аксиоматического метода и не ограничивают потенциально его эвристические и методологические функции. Суть постгёделевской философии характеризуется тем, что современные математические теории не могут быть с достоверностью обоснованы исключительно внутренними, то есть логическими средствами.

Кроме того, с точки зрения обоснования математики, проблема математической истины заключается в том, что даже при точном определении языка математики математические предложения, которые являются истинными либо ложными, или хорошо философски осмысленными в одном формальном языке, могут быть бессмысленными выражениями в другом, например, естественном языке.

Философская проблема обоснования современных математических теорий интерпретируется в неклассической и даже постнеклассической науке не как проблема абсолютного обоснования, а как систематизация всех достижений направлений развития математики, например, такого современного средства математического познания, каким является раздел компьютерной математики. В частности, философско-методологический синтез работающих направлений обоснования математики является наряду с анализом наиболее значимым средством в постижении математической истины. Используя методологию идеи системности, локальную непротиворечивость и концепцию истины, можно сделать доступными преимущества разных гносеологических установок к обоснованию математики. Например, в связи со сколемовским релятивизмом мощностей возникает еще и релятивистский аспект проблемы обоснования математики, согласно которому любая система аксиом, имеющая модель, не устанавливает пределов для других интерпретаций. В проблеме обоснования математический релятивизм следует понимать в контексте его совместимости с различными методологическими подходами, реализованными в различных областях математического знания. Поэтому исследователи в области философии математики начинают по-новому рассматривать важный методологический урок интуиционизма и конструктивизма, состоящий в том, что не надо перестраивать существующую математику под новые разновидности рациональности.

Смешение логических и математических оснований, проникших в современный математический здравый смысл через гильбертову метатеорию, привело к смещению философско-математических оценок, в которых, в частности, стали преувеличивать ценность формальной математической работы и еще преуменьшать методологические возможности неформальной работы. В постгёделевской философии математики были выделены альтернативные методологические программы, поскольку идея обоснования всей математики исключительно одной методологией оказалась нереализуемой. С философскометодологической точки зрения такой подход более привлекателен тем, что чрезмерное усиление, как и ослабление, каких-то обосновательных подходов может даже разрушить целостность концепции обоснования математики. Можно предположить, что «нерелятивизированное» понимание истины востребовано тогда, когда «соответствующим образом» истина представлена во всех математических структурах. Кроме того, проведенный анализ проблем истины и непротиворечивости в современной математике показывает, что с учетом объективного многообразия различных логико-математических возможностей в современных математических теориях по существу возникает необходимость рассмотрения также потенциально возможного философско-методологического синтеза действующих направлений обоснования современной математики.

ГЛАВА 3

СИСТЕМНО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ ЦЕЛОСТНОСТЬ

ОБОСНОВАНИЯ СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИКИ

В докладе «Аксиоматическое мышление» Давид Гильберт утверждал, что в некоторых математических теориях «проблема обоснования отдельной области знания обрела свое решение, но это решение носило лишь предварительный характер» [41, с.410]. Независимо от того, насколько продуктивно и корректно были сформулированы философско-методологические подходы к направлениям обоснования отдельных областей математического знания, в предлагаемой концепции обоснования математики используются только те направления, которые практически «работают» в современных разделах математики, что по существу подтверждается высказываниями многих выдающихся математиков.

Среди важнейших функций, выполняющихся фундаментальной математической теорией, следует выделить системную функцию, благодаря которой предметом обоснования в философии математики является современная математика как целостная наука. Формирование целостной концепции обоснования математики можно рассматривать как гипотетическую потребность в синтезе представлений о философских категориях части и целого, где под принципом целостности концепции понимается такое внутреннее единство сложного объекта, когда без его разрушения из него нельзя удалить ни одного составляющего элемента.

Системно-методологический подход, в частности, убеждает в том, что «существуют целостности, обладающие собственными свойствами, собственной индивидуальностью, которая подчиняет себе элементы, которые в нее входят.

Целостность не только реальна, но и первична по отношению к своим частям»

[56, с.330]. Чтобы возникла такая потребность в системной интеграции основных направлений обоснования накопленного аналитического материала будет явно недостаточно. Но такая потребность все определеннее возникает в наше время, поскольку она обусловлена целым комплексом причин. Во-первых, в философии математики сейчас хорошо различают такие необходимые компоненты, как аксиология, гносеология и онтология. Во-вторых, для придания структурной устойчивости существующим тенденциям становления современного этапа развития математики, можно воспользоваться специальной междисциплинарной методологией, используя принцип целостности подхода к объекту. В-третьих, принцип системности указывает на новые подходы в теоретико-познавательном контексте к философскому исследованию обоснования математики. В частности, в обосновательном аспекте он формирует реально прогнозируемые позитивные перспективы, которые хорошо согласуются с методологическими принципами философии и математики, одновременно наполняя их новым содержанием.

На методологическом уровне все современные математические теории отличаются от естественнонаучного знания, прежде всего, более надежным способом обоснования своих теоретических построений, что является основной трудностью направлений обоснования математики. В этом исследовании предлагается выход из различных философских затруднений, который состоит в переводе проблемы обоснования математики на системно-методологический уровень, делающий систему обоснования целостной совокупностью. Отметим, что к числу одной из особенностей современной науки А.Н. Кочергин относит выдвижение на передний план системного подхода, поскольку как оказалось целое не сводится к механической сумме частей, которые невозможно понять вне целого, поэтому совокупность разных уровней философско-методологического анализа обоснования математики образуют сложную систему для объединения усилий в русле синтеза знаний. «Сущность системного подхода и проявилась в дальнейшем упрощении способов изучения отношений, связей между объектами разной природы, т.е. в создании такого средства, которое объединяло ряд наук на основе понятия системы» [67, с.33]. Кроме того, необходимость системнометодологического уровня обоснования математики обусловлена еще и тем, что системный подход формирует новые задачи познания, в которых методология математики выявляет специфические особенности ее конкретных областей.

Среди характеристик системно-методологической целостности концепции обоснования можно выделить: сложность структуры в единстве составляющих элементов, интегрирующий характер их взаимодействий, а также определенную самоорганизованность, исключающую навязывание данной целостности законов развития извне. Понятие целостности связано с системным мышлением, в котором целое – исходная реальность, а синтезирующее знание выступает как общая модель системного подхода. Заметим, что в начале прошлого века французское философское общество, находящееся в Париже, называлось «Центр синтеза». С точки зрения философского анализа обоснования математики можно говорить, во-первых, о синтезе направлений обоснования математики; вовторых, об особом теоретическом синтезе в контексте целостного единства обосновательных подходов; в-третьих, об интеграции направлений обоснования, которая характеризует стремление к их объединению, поскольку обоснование состоит в нахождении условий его признания в математическом сообществе.

Для практически действующих направлений или программ обоснования математики естественный синтез является результатом реальных процессов, происходящих в контексте осознанного конструирования абстрактных систем философии и математики. Но, как отмечает философ науки Г.Б. Гутнер: «Такое обоснование обнаруживается, если мы учтем, что математика – это не просто формальные теории и их интерпретации. Важен также и прагматический аспект, описывающий существование математических теорий в математическом сообществе» [46, с.118]. Эта существенная прагматическая компонента развития математических теорий способствует методологическому пониманию того, что в контексте философско-математического анализа нельзя ставить надежность математического знания в жесткую зависимость исключительно от логических критериев обоснования, поскольку достижение максимальной надежности математики и одновременно с этим максимальной строгости математического знания – это трудно разрешимая задача. Поэтому можно считать оправданным «вытеснение» спорных вопросов обоснования в теорию познания. Становление системного подхода к обоснованию, принимающего вид «неформализуемой целостности», сопряжено с серьезными трудностями реализации синтеза. Они, прежде всего, связаны с преодолением устойчивого в философии науки «бинаризма» и традиционной методологической редукции, стремящейся свести все многообразие явлений к какой-либо одной теоретической схеме.

При таком подходе к обоснованию математики следует учитывать аргумент о неустранимости математики как успешности естественнонаучной теории, когда математика играет значимую роль в совершении успешных предсказаний при выявлении структуры реальности. Несмотря на проблемы, связанные с возможными интерпретациями понятия применимости математики, как считает А.В. Хлебалин: «Применение математики эффективно в силу того, что, помимо электронов, кварков, гравитационных полей и прочих сущностей, постулируемых успешной научной теорией, существуют функции, множества, трансфинитные числа и прочие математические сущности, референция к которым производится используемыми при формулировке научных теорий математическими терминами» [142, с.62]. Поэтому аргументацию концепции обоснования мы будем также иллюстрировать на специальных примерах из различных разделов современной математики. Философско-методологический синтез направлений обоснования математики, реализующий системный подход, будем для краткости называть «системный синтез». Он потенциально содержит в себе новые возможности, которые, раскрываясь в методологии математики, зависят от понимания логики и природы различных принципов, которым традиционная формально-логическая парадигма отказывала в надежности, не учитывая важного условия самоорганизации математических теорий.

В результате системного синтеза генезис математического знания может выйти, с точки зрения консолидации междисциплинарного научного знания, на новый общефилософский уровень. Его суть проявляется в том, что целостные свойства философских обосновательных процедур современной математики проявляют себя не только во внешних взаимодействиях различных направлений обоснования, потенциально имеющих интегральный характер, но и дополняются математическим анализом их внутренней дифференциации. В представленном системно-методологическом подходе к проблеме обоснования современных математических теорий мы существенно опираемся на авторитетное мнение выдающегося английского математика и физика Роджера Пенроуза, который по сути выделяет «три основных направления в современной математической философии: формализм, платонизм и интуиционизм» [101, с.104]. Заметим, что немногие профессионально работающие математики методологически строго придерживаются либо «чистого формализма», либо «чистого интуиционизма», однако философско-методологический синтез направлений обоснования, с точки зрения системной интеграции, сводит математические теории в системные целостности, сохраняя при этом математические различия исходных понятий.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |
Похожие работы:

«Решения заданий первого этапа Всесибирской открытой олимпиады школьников 2015-2016 г.г. по математике 7 класс Каждая задача оценивается в 7 баллов 7.1. Расставите в кружки на картинке числа от 2 до 9 (без повторений) так, чтобы никакое число не делило бы нацело ни одного из своих сосе...»

«Information and mathematical ISSN 2413 0133 technologies in science and management Scientific journal ИНФОРМАЦИОННЫЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕХНОЛОГИИ В НАУКЕ И УПРАВЛЕНИИ Научный журнал № 1 (27) © Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева Сибирского отделения Росси...»

«D:\MyThesis\03_Statistics_071109.doc Last printed 11/9/2007 3:44:00 PM Глава 3. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ Статистические выводы Точечное и интервальное оценивание Метод наименьших квадратов Метод максимального правдоподобия Проверка гипотез Численное моделирование Проверка гипотез методом Барнарда Критерии рандомиз...»

«Пояснительная записка Рабочая программа по алгебре для 9 класса разработаны в соответствии с Примерной программой основного общего образования по математике, с учетом требований федерального компонента государственного стандарта общего образования и на осно...»

«10 КЛАСС РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО ФИЗИКЕ Пояснительная записка Рабочая программа по физике для 10 класса составлена на основе образовательного стандарта основного общего образования по физике, Примерной программы среднего (полного) образования по физике (базовый уровень) и авторской программы Генденштейна Л.И. и...»

«Литвиненко Артем Николаевич СПИН-ВОЛНОВЫЕ И МАГНИТОАКУСТИЧЕСКИЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ В МНОГОСЛОЙНЫХ ФЕРРИТДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ Специальность 01.04.03. – радиофизика Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-ма...»

«Аннотация Рабочая программа кружка «Занимательная математика» в 3 «А» классе Рабочая программа внеурочной деятельности по русскому языку «Юный лингвист» основана на программе «Путь к грамотности» разработана в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта о...»

«Journal of Siberian Federal University. Chemistry 2 (2013 6) 158-169 ~~~ УДК 54.05 Сульфатирование механоактивированного арабиногалактана комплексом серный ангидрид – пиридин в среде пиридина Н.Ю. Васильеваа,б, А.В. Левданскийа, А.С. Казаченкоа, Л. Дьяковичв, К. Пинельв, Б.Н. Кузнецо...»

«Известия НАН Армении, Физика, т.44, №5, с.315-329 (2009) АРТЕМ ИСААКОВИЧ АЛИХАНЯН (Биографический очерк) Г.М. АСАТРЯН, Т.Г. АМБАРЦУМЯН Ереванский физический институт им. А.И. Алиханяна, Армения (Поступила в...»

«С И Б И Р С К О Е О ТД Е Л Е Н И Е РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ ГЕОЛОГИЯ И ГЕО ФИЗИКА http://www.izdatgeo.ru Геология и геофизика, 2009, т. 50, № 10, с. 1131—1143 ГИДРОГЕОЛОГИЯ УДК 550.41.553.3 (491.4) ГИДРОГЕОЛОГИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ПРЕДЪЕНИСЕЙСКОЙ...»

«КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ 2010 Т. 2 № 2 С. 121–141 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ УДК: 519.1+538.911 Введение в теорию сложных сетей И. А. Евин Учреждение Российской академии наук Институт машиновед...»

«УДК 621.396, 621.391 НЕАВТОНОМНЫЙ ГЕНЕРАТОР ХАОТИЧЕСКИХ РАДИОИМПУЛЬСОВ Н.В. Атанов, А.С. Дмитриев, Е.В. Ефремова, Л.В. Кузьмин Институт радиотехники и электроники РАН, 125009, Россия, г. Москва, ул. Моховая, 11/7. chaos@cplire.ru Экспериментального прод...»

«Е. Б. Кудашев, В. А. Серебряков, А. М. Федотов ‚·р „‰‡р‚ ‚р. р„‚‡, 2, ‚·р, 630090, — E-mail: fedotov@sbras.ru ТРЕТИЙ ВСЕРОССИЙСКИЙ СИМПОЗИУМ «ИНФРАСТРУКТУРА НАУЧНЫХ ИНФОРМАЦИОННЫХ РЕСУРСОВ И СИСТЕМ» Симпозиум проводится по Плану конференций РАН по отделению математических наук РАН. В 2013 г. в Абхазии, г...»

«МХО-2013 Подготовительные задания Подготовительные задания 45ая Международная химическая олимпиада (МХО-2013) Москва Российская Федерация Перевод на русский язык: В.Н.Хвалюк, Е.В.Павлечко, Ю.С.Головко, Д.Г.Шклярук, г. Минск, 2013 г. МХО-2013 Подготовительные задания Авторы задач Московский государственный университет, Химическ...»

«1 БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК 541.11:541.135.4 САМОХВАЛ Виктор Васильевич Высокотемпературный сопряженный перенос зарядов в твердых электролитах и смешанных ионно-электронных проводниках 02.00.04 – физическая химия АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание...»

«Альтернативная гипотеза светимости Солнца Ф. Г. Лепехин ВНС Петербургского Института Ядерной Физики им. Б. П. Константинова, Россия Аннотация Рассматривается альтернативная гипотеза, согласно которой светимость звезд и Солнца обеспечивается квантовыми флуктуациями...»

«XLI Всероссийская математическая олимпиада школьников 10 класс 10.1. Назовём натуральное число почти квадратом, если оно равно произведению двух последовательных натуральных чисел. Докажите, что каждый почти квадрат можно представить в виде частного двух почти квадратов. (В. Сендеров) Решение. Любой почти квадрат...»

«ЧУКИН Г.Д. Химия поверхности и строение дисперсного кремнезёма. Мо сква 2008 У Д К 541.128.35 :546.284 :542.91.541.18.02 Р е це н зе н т : д.х. н., профессор, з а с л уже н ны й д ея те л ь н а у к и и техники РФ Б. К. Н еф ё дов Чу ки н Г. Д. Х им ия по верх нос т и и стро е ние д ис п ер с но г...»

«М инистерство здравоохранения Российской Федерации государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ М ЕД Щ Щ Щ ^Ш Й УНИВЕРСИТЕТ деятельности, :ссор*Л.М. Мухарямова г. СБОРНИК АННОТАЦИЙ РАБОЧИХ УЧЕБНЫХ ПРОГРАММ ДИСЦИП...»

«Иляков Игорь Евгеньевич ИССЛЕДОВАНИЕ НОВЫХ СХЕМ ГЕНЕРАЦИИ И ДЕТЕКТИРОВАНИЯ ТЕРАГЕРЦОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ, ОСНОВАННЫХ НА ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ФЕМТОСЕКУНДНЫХ ЛАЗЕРНЫХ ИМПУЛЬСОВ С ТВЕРДОТЕЛЬНЫМИ И ГАЗОВЫМИ СРЕДАМИ 01.04.21 – лазерная физика Диссертация на соискание учен...»

«Лекция 5 Элементы математической статистики Статистика – процесс сбора и первичной обработки числовой структурированной информации о некоторых объектах или процессах.Также: Статистика или статистическая информация – числовая и структурированная информация о некоторых объектах или процессах...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет им. А.М. Горького» ИОНЦ «Нанотехнологии и перспективные материалы» химический факультет кафедра высокомолекулярных...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ СМК РГУТиС УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТУРИЗМА И СЕРВИСА» Лист 1 из 19 ...»

«Профессор И.Н.Бекман ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА Лекция 14. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ Проблемой взаимодействия ядерного излучением с веществом занимаются такие науки, как радиационная физика, радиационная химия, радиология и др. Радиационная физика – занимается исследованием процессов перено...»










 
2017 www.pdf.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - разные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.