WWW.PDF.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Разные материалы
 

«ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ВЫРОЖДЕНИЕМ ...»

На правах рукописи

Каримов Алишер Гашович

ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ

НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЙ С ВЫРОЖДЕНИЕМ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Душанбе 2009

Работа выполнена в Курган-Тюбинском Госуниверситете им. Н. Хусрава

Республики Таджикистан

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор Исхоков Сулаймон Абунасрович

Официальные оппоненты: академик АН Республики Таджикистан доктор физ.-мат. наук, профессор Раджабов Нусрат кандидат физико–математических наук, доцент Гадоев Махмадрахим Гафурович

Ведущая организация: Российско-Таджикский Славянский университет

Защита состоится декабря 2009 г. в часов мин. на заседании диссертационного совета ДМ 047. 007.01 при Институте математики Академии наук Республики Таджикистан по адресу: 734063, г.Душанбе, ул. Айни 299/4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АН Республики Таджикистан.

Автореферат разослан 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Халилов Ш.Б.

Общая характеристика работы



Актуальность темы. Работа посвящена исследованию разрешимости вариационной задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений и изучению дифференциальных свойств ее решений. Краевые задачи для вырождающихся дифференциальных уравнений часто и естественным образом возникают в процессе моделирования ряда прикладных задач в теории малых изгибаний поверхностей, в газовой динамике и других разделах механики. Как отмечено авторами многих обзорных работ, существуют разнообразные способы вырождения, которые требуют применения соответствующих разных методов, и в настоящее время не существует единой теории, которая охватывала бы все результаты этого направления.

Подход к исследованию граничных задач для вырождающихся эллиптических дифференциальных уравнений на базе теории вложения весовых функциональных пространств впервые был продемонстрирован в работе Л.Д.Кудрявцева1. Результаты этой работы позже обобщались и дополнялись в работах С.М. Никольского, П.И. Лизоркина, Х. Трибеля, Л.Д.

Кудрявцева, А. Куфнера, С.В. Успенского, Н.В. Мирошина, Б.Л. Байдельдинова, К.Х. Бойматова, С.А. Исхокова и др.

Исследования, проведенные в настоящей диссертационной работе, примыкают к работам указанных выше авторов и по сравнению с ними рассматриваются новые классы вырождающихся эллиптических уравнений.

Цель работы

1. Исследование зависимости гладкости решения вариационной задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений в ограниченной области, связанных с некоэрцитивными билинейными формами, от гладкости граничных функций.

2. Исследование разрешимости вариационной задачи Дирихле для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений в полупространстве Rn = {x = (x, xn ) : xn 0}.

3. Исследование разрешимости вариационной задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений в предельно-цилиндрической области и изучение гладкости ее решения в зависимости от гладкости коКудрявцев Л. Д. Прямые и обратные теоремы вложения. Приложения к решению вариационным методом эллиптических уравнений // Труды Математического института им. В.А. Стеклова АН СССР, 1959, т. 55, с. 1-182.

эффициентов дифференциального оператора, правой части уравнения и граничной функции.

Методы исследования. Применяемый в диссертации метод основан на элементах теории весовых функциональных пространств (теоремы вложения, эквивалентные нормировки, прямые и обратные теоремы о следах, теоремы о плотности гладких функций и т.д.)

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

1. Изучено влияние гладкости граничных функций на гладкость решения вариационной задачи Дирихле для вырождающихся в ограниченной области эллиптических уравнений, связанных с некоэрцитивными билинейными формами.

2. Доказаны теоремы об однозначной разрешимости вариационных задач Дирихле с однородными и неоднородными граничными условиями для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений в полупространстве Rn = {x = (x, xn ) : xn 0}.

3. Доказаны теоремы об однозначной разрешимости вариационных задач Дирихле с однородными и неоднородными граничными условиями для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений, связанных с некоэрцитивными билинейными формами, в предельно-цилиндрической области.

4. Доказаны теоремы о повышении гладкости решений вариационных задач Дирихле с однородными и неоднородными граничными условиями для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений, связанных с некоэрцитивными билинейными формами, в предельно-цилиндрической области.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический характер. Они могут послужить основой для дальнейших теоретических исследований в теории вложения весовых функциональных пространств, в теории краевых задач для вырождающихся дифференциальных уравнений.

Практическая ценность работы определяется прикладной значимостью вырождающихся дифференциальных уравнений в решении прикладных задач механики и других разделов физики.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации обсуждались на международной научной конференции "Математика и информационные технологии", посвященной 15-летию независимости Республики Таджикистан (г. Душанбе, 27 октября 2006 г.), на научноисследовательских семинарах отдела теории функций и функционального анализа ИМ АН Республики Таджикистан "Спектральная теория и разделимость дифференциальных операторов"(руководители: доктор физ.-мат.

наук, академик АН РТ, профессор Бойматов К.Х. и доктор физ.-мат. наук, профессор Исхоков С.А.) в 2003 – 2008 гг.; общеинститутском семинаре Института математики АН Республики Таджикистан (руководитель семинара: доктор физ.-мат. наук, член-корреспондент АН РТ, профессор Рахмонов З.Х.) в 2009 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в пяти научных работах, список которых приведен в конце автореферата.

Некоторые из них написаны в соавторстве с научным руководителем С.А.

Исхоковым, которому принадлежат постановка задач и выбор метода доказательств результатов.

Структура и объм работы. Диссертация состоит из введения, трех е глав и списка литературы. Работа изложена на 99 страницах компьютерного набора. Библиография насчитывает 65 наименований.

–  –  –

Во введении дается краткий исторический обзор результатов по рассматриваемой проблеме, обосновывается актуальность темы. Приводится также краткое содержание диссертации с указанием основных результатов.

В диссертации использована двойная нумерация параграфов, причем первая цифра означает номер главы, вторая – номер параграфа в главе.

Первая глава состоит из трех параграфов и посвящена исследованию гладкости решений вариационных задач Дирихле для эллиптических операторов со степенным вырождением на всей границе ограниченной области n – мерного евклидова пространства Rn.

В первой главе диссертации предполагается, что – ограниченная область в Rn с достаточно гладкой (n 1)– мерной границей =, r –

–  –  –

где q = p/(p 1).

r r Свойства пространств Wp, (), Vp, () достаточно хорошо изучены в работах В.И. Кондрашова, Л.Д. Кудрявцева, С.Л. Соболева, С.М. Никольского, С.В. Успенского, П.И. Лизоркина, В.В. Шанькова, Х. Трибеля и др.

Теоремы вложения, прямые и обратные теоремы о следах для проr странств Wp, () играют важную роль в теории краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений. Их приложения в исследовании разрешимости вариационной задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений рассматривались в работах Л.Д. Кудрявцева, С.М.

Никольского, П.И. Лизоркина, Н.В. Мирошина, Б.Л. Байдельдинова, где изучены однозначная разрешимость и дифференциальные свойства решений вариационной задачи Дирихле, связанной с билинейной формой

–  –  –





при некоторых 0 0, 0.

Вариационная задача Дирихле, связанная с билинейной формой (1), когда эта форма не является коэрцитивной, рассматривалась в работах К.Х. Бойматова и С.А. Исхокова, где исследовалась однозначная разрешимость этой задачи и изучались дифференциальные свойства ее решений в зависимости от гладкости коэффициентов оператора и правой части уравнения. Однако вопрос о зависимости гладкости решений от гладкости граничных функций в указанных работах не рассматривался. Этому вопросу посвящена первая глава диссертации.

С целью изучения вопроса зависимости класса решений вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями от гладкости r,m, граничных функций введем пространство Wp, (), где m, – некоторые r,m, целые неотрицательные числа. По определению пространство Wp, () состоит из всех функций u(x) (x ), допускающих представление

–  –  –

где inmum берется по всем представлениям функции u(x) вида (2).

В §1.2 рассматривается билинейная форма (1), первоначально определенная на функциях u, v C0 ().

Предполагается, что коэффициенты akl (x)–измеримые в комплекснозначные функции, удовлетворяющие условиям:

I) существуют положительное число M 0 и вещественное число такие, что () |akl (x)| M 2(r)+|k|+|l||| (x) для всех x и всех мультииндексов k, l, таких, что |k|, |l| r, || m0 (m0 – фиксированное целое неотрицательное число);

II) существует число (0, ) такое, что

–  –  –

(считается, что функция arg z принимает значения из интервала (, ]);

III) существует комплекснозначная непрерывная и отличная от нуля в функция (x) такая, что

–  –  –

Сформулированный в теореме 1.3.2. результат является обобщением соответствующих результатов работ Б.Л. Байдельдинова (ДАН СССР, 1984;

Труды МИАН, 1985) на случай некоэрцитивных билинейных форм.

Во второй главе диссертации исследуется разрешимость вариационной задачи Дирихле для одного класса вырождающихся эллиптических дифференциальных уравнений в полупространстве Rn = {x = (x, xn ), xn 0}. Коэффициенты дифференциального оператора могут обращаться в нуль или в бесконечность на гиперплоскости xn = 0 и при xn. Глава состоит из трех параграфов.

Первый параграф второй главы (§2.1) содержит формулировки основных результатов. Второй параграф (§2.2) посвящен доказательству теоремы об однозначной разрешимости вариационной задачи Дирихле с однородными граничными условиями. В третьем параграфе (§2.3) доказывается теорема об однозначной разрешимости вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями.

Исследования, проведенные во второй главе диссертации, примыкают к исследованиям С.А. Исхокова и по сравнению с ними ослаблены условия на коэффициенты рассматриваемого уравнения.

Пусть функция (t) C (R1 ) такая, что 0 (t) 1 для всех +

–  –  –

где число C 0 не зависит от F и от набора граничных функций (14).

Третья глава диссертации посвящена исследованию однозначной разрешимости вариационной задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений в предельно-цилиндрической области (определение см. ниже), ассоциированных с некоэрцитивными билинейными формами. Здесь также изучаются дифференциальные свойства решения этой задачи в зависимости от гладкости коэффициентов дифференциального оператора, правой части уравнения и граничных функций. Вариационная задача Дирихле для вырождающихся эллиптических операторов в предельно-цилиндрической области, билинейные формы которых удовлетворяют условию коэрцитивности, ранее изучалась С.А. Исхоковым (1999).

Пусть n 2 и G – ограниченная область в (n 1) – мерном евклидовом пространстве Rn1, граница которой удовлетворяет условию конуса и не является линией уровня многочлена степени r 1 по переменным x1, · · ·, xn1. Пусть (t) ( t ) ограниченная сверху, положительная, непрерывная функция. Обозначим через – следующую предельно-цилиндрическую область в n - меpном евклидовом пространстве Rn : = {x = (x, xn ) Rn ; x /(xn ) G}, где x = (x1,..., xn1 ) Rn1.

Далее предполагается, что

–  –  –

Пусть ak,l (x) (|k|, |l| r, x ) – измеримые в, комплекснозначные ограниченные функции и pk (x) = (x)r+|k| (x), где – некоторое вещественное число (на которое далее будут наложены дополнительные ограничения).

Рассмотрим билинейную форму

–  –  –

где число M 0 не зависит от, F и.

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору С.А. Исхокову за постановку задач и постоянное внимание при работе над диссертацией.

Публикации по теме диссертации

1. Исхоков С.А., Каримов А.Г. О гладкости решения вариационной задачи Дирихле для эллиптических операторов, ассоциированных с некоэрцитивными билинейными формами // Доклады Академии наук Республики Таджикистан, 2004, том XLVII, №4, c. 68-74.

2. Исхоков С.А., Каримов А.Г. О гладкости решения вариационной задачи Дирихле для эллиптических операторов, ассоциированных с некоэрцитивными билинейными формами // Математические заметки ЯГУ, 2005, том 12, выпуск 1, с.74-86.

3. Каримов А.Г. О разрешимости вариационной задачи Дирихле в полупространстве //Доклады Академии наук Республики Таджикистан, 2006, том 49, №4, c. 306-310.

4. Исхоков С.А., Каримов А.Г. Вариационная задача Дирихле в предельно-цилиндрической области, порожденная некоэрцитивной формой //Доклады Академии наук Республики Таджикистан, 2006, том 49, №8, c. 696-703.

5. Каримов А.Г. О вариационной задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений в полупространстве // Материалы международной конференции "Математика и информационные технологии", Душанбе, 27.10.2006, с.31-33.



Похожие работы:

«ФИЗИКА Л. Б. Анискина, Ю. А. Гороховатский, А. А. Гулякова, О. В. Чистякова ГЛУБОКИЕ ЛОВУШКИ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА В ПЛЕНОЧНЫХ ЭЛЕКТРЕТАХ НА ОСНОВЕ ПОЛИСТИРОЛА, ЧИСТОГО И КОМПОЗИТНОГО С ДИСПЕРСНЫМ НАПОЛНИТЕЛЕМ TIO2 (Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ (проект № 10-02-01065-а)) Приведены результаты ис...»

«УДК 615.322 СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СОСТАВА СВОБОДНЫХ АМИНОКИСЛОТ НЕКОТОРЫХ ВИДОВ РОДА STELLARIA L. Анчеева Е. Ю. ГБОУ ВПО «Санкт-Петербургская государственная химико-фармацевтическая академия», Санкт-Петербург, Россия (197376, Санкт-Петербург, ул. проф. Попова, 14), e-mail: elena.ancheeva@pharminnotech.ru 4 вида рода Stellaria (се...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Белгородский государственный национальный исследовательский ун...»

«ЛИТОСФЕРА, 2015, № 4, с. 93–98 КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ УДК 551.2:552.321(470.5) НОВЫЕ ДАННЫЕ О Rb-Sr ВОЗРАСТЕ ГРАНИТОВ НИКОЛЬСКОГО МАССИВА (УФАЛЕЙСКИЙ БЛОК) © 2015 г. Г. Ю. Шардакова Институт геологии и геохимии УрО РАН 620075, г. Екатеринбург, пер. Почтовый, 7 E-mail: shardako...»

«Урок по химии. (9 класс) Тема: Реакции ионного обмена.Цель: Сформировать понятия о реакциях ионного обмена и условиях их протекания, полном и сокращнном ионно-молекулярном уравнениях и ознакомить с алгоритмом составления ионно-молекулярных уравнений реакций.Предметные результаты: Сущность реакций ионного обмена и условия их проте...»

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. М.В. ЛОМОНОСОВА ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра аналитической химии ПРОГРАММА ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ХИМИИ (для поступающих в аспирантуру) Москва 2008 ВВЕДЕНИЕ Предмет аналитической химии...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации САРАТОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО УТВЕРЖДЕНО на Ученом совете Института химии протокол № 7 от 10 марта 2016 г. директор Института химии, профессор О.В. Ф...»

«Растениеводство 9. Morel, L. Meristem culture techniques for the long storage of cultivated plants / L. Morel // International biological program 2: Crop genetic resources for today and tomorrow. – New York, 1975. – P. 327–333. УДК 633.494:54 Т.И. Аникиенко ХИМИЧЕСКИЙ...»

«D:\MyThesis\03_Statistics_071109.doc Last printed 11/9/2007 3:44:00 PM Глава 3. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ Статистические выводы Точечное и интервальное оценивание Метод наименьших квадратов Метод максимального правдоподобия Проверка гипотез Численное моделирование Проверка гипотез методом Барнарда Критерии рандомизации Номенклатура...»










 
2017 www.pdf.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - разные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.