WWW.PDF.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Разные материалы
 

Pages:   || 2 |

«Е. В. Кайгородов ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебное пособие Горно-Алтайск РИО Горно-Алтайского госуниверситета ...»

-- [ Страница 1 ] --

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОРНО-АЛТАЙСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Е. В. Кайгородов

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебное пособие

Горно-Алтайск

РИО Горно-Алтайского госуниверситета

УДК 519.2

ББК 22.17я73 К15 Печатается по решению редакционно-издательского совета Горно-Алтайского государственного университета

Рецензенты:

кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры математики Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники Ельцова Т. А.

кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры экономики предприятия и прикладной информатики ГорноАлтайского государственного университета Губкина Е. В.

Кайгородов Е. В. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие / Е. В. Кайгородов; Горно-Алтайский гос. ун-т. — Горно-Алтайск: РИО ГАГУ, 2016. — 244 с.

Учебное пособие содержит систематическое изложение основных разделов элементарного курса теории вероятностей и математической статистики.

Краткий теоретический материал сопровождается большим количеством разобранных примеров и задач. Приведены упражнения для самостоятельной работы.



Пособие адресовано студентам, обучающимся по направлениям бакалавриата 09.03.03 «Прикладная информатика», 38.03.01 «Экономика», 38.03.02 «Менеджмент», 04.03.01 «Химия», 06.03.01 «Биология», а также широкому кругу лиц, использующих вероятностные и статистические методы при решении практических задач.

© Кайгородов Е. В., 2016 © Горно-Алтайский госуниверситет, 2016 Глава 1 Теория вероятностей Теория вероятностей, как и другие науки, возникла из потребностей практики. Ее элементы были «знакомы» еще первобытным людям: шансы убить зверя у двух охотников, конечно, больше, чем у одного.

Возникновение «математики случайного» относится к середине XVII века и связано с попыткой создания теории азартных игр, особенно в кости.

Пример одной из ситуаций: два игрока договорились играть в кости до момента, когда одному из них удастся выиграть три партии; игра была прервана, когда первый игрок выиграл две партии, а второй — одну; как справедливо разделить ставку?

3:1 — как показали французские математики Б. Паскаль (1623–

1662) и П. Ферма (1601–1665). И в настоящее время примеры из области азартных игр широко применяются в теории вероятностей, так как для них легко строить математические модели.

Первую книгу по теории вероятностей «О расчетах в азартной игре» опубликовал голландский математик X. Гюйгенс (1629–1695).

Становление теории вероятностей как математической науки связано с именем Я. Бернулли (1654–1705), который ввел классическое определение события и доказал простейший случай закона больших чисел.

В XVIII–XIX веках центральное место в развитии теории вероятностей занимали предельные теоремы. К этому периоду относятся работы А. Муавра (1667–1754), П. Лапласа (1749– 1827), К. Гаусса (1777–1855), С. Пуассона (1781–1840).

В конце XIX — начале XX века благодаря усилиям П. Л. Чебышева (1821–1894), А. А. Маркова (1856–1922), А. М. Ляпунова (1857–1918) созданы методы доказательства предельных теорем для сумм независимых произвольно распределенных случайных величин.

Дальнейшее развитие теории вероятностей связано с именами русских математиков Е. Е. Слуцкого (1880–1948), А. Я. Хинчина (1894–1959), А. Н. Колмогорова (1903–1987), Б. В. Гнеденко (1912–1995), а также зарубежных ученых Н. Винера (1894–1964), Э. Бореля (1871–1956), В. Феллера (1906–1970), Р. Фишера (1890–1962) и др. Теория вероятностей получила строгое формально-логическое основание на базе теории множеств. Следует особо отметить академика А. Н. Колмогорова, установившего аксиоматику теории вероятностей. Огромное развитие получили «отпочковавшиеся» от теории вероятностей такие отрасли науки, как математическая статистика, теория случайных процессов, теория массового обслуживания, теория информации и др.

Современная теория вероятностей — строго обоснованная математическая наука. Она широко использует достижения других математических наук (по этому поводу современный вероятностник Дж. Дуб в шутку как-то сказал: «Всем специалистам по теории вероятностей хорошо известно, что математика представляет собой часть теории вероятностей»); имеет, в свою очередь, многочисленные приложения в естественных и гуманитарных науках.

§1.1. Основные понятия теории вероятностей.

Элементы комбинаторики Всякое осуществление определенного комплекса условий или действий, при которых наблюдается соответствующее явление, называют опытом или испытанием (например, опытом являются стрельба по мишени, бросание монеты, бросание игральной кости, т. е. кубика с нанесенным на каждую грань числом очков – от одного до шести).

Возможный результат, исход опыта называется событием.

Например, при стрельбе по мишени событием будет попадание или промах, при бросании монеты – герб или цифра на ее стороне и т. д.

Для обозначения событий используются большие буквы латинского алфавита: A, B, C, D и т. д.

Событие называется достоверным в данном опыте, если оно обязательно произойдет в этом опыте. Достоверное событие обозначают.

Событие называется невозможным, если в данном опыте оно не может произойти. Невозможное событие обозначают.

Событие называется случайным по отношению к данному опыту, если при осуществлении этого опыта оно может наступить, а может и не наступить.

З а м е ч а н и е 1. Одно и то же событие в некотором опыте может быть достоверным, в другом – невозможным, в третьем – случайным.

Суммой событий A и B называется третье событие A + B, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: A или B.

Если наступление события обозначать знаком «1», а ненаступление – знаком «0», то полную характеристику будет давать следующая таблица:

A+B A B

Аналогично определяется сумма трех, четырех и т. д. событий. Вообще, сумма любого множества событий есть событие, которое наступает в тех и только тех случаях, когда наступает хотя бы одно из событий данного множества.

Произведением событий A и B называется третье событие AB, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: A и B.

Полную характеристику события AB дает следующая таблица:

–  –  –

Аналогично определяется произведение любого множества событий.

Событием, противоположным событию A, называется событие A, которое наступает тогда и только тогда, когда не наступает событие А.

Противоположное событие можно определить следующей таблицей:

–  –  –

События A и B называются равными, если каждый раз, когда наступает одно из них, наступает и другое.

Равенство событий A и B записывают A = B.

Для наглядного истолкования соотношений между событиями удобно использовать так называемые диаграммы Эйлера– Венна. Каждое событие в этом случае рассматривается как попадание случайно брошенной точки в некоторую область на плоскости, т. е. каждое событие задается некоторой фигурой на плоскости.

При таком толковании, событие A + B будет не что иное, как попадание точки в объединение фигур A и B (рис. 1.1), событие AB – попадание в область, являющуюся пересечением фигур A и B, а событие A – попадание в область, дополнительную к фигуре A.

В А А+В АВ

Рис. 1.1 Рис. 1 Пусть А – случайное событие по отношению к некоторому опыту. Если произведено N опытов и при этом событие А настуN пило в NA случаях, то отношение W ( A) A называется отноN сительной частотой события А в данной серии опытов.

Длительные наблюдения показывают, что если в одинаковых условиях производятся опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа.





Вероятностью случайного события А называется число P(A), около которого колеблется относительная частота этого события в длинных сериях опытов.

Приведенное выше определение часто называют «статистическим определением» вероятности.

Так как частота W удовлетворяет условиям 0 W 1, то в тех же пределах заключена и вероятность любого события:

0 P( A) 1.

При этом, если событие А достоверное (т. е. наступает при каждом осуществлении опыта), то NA = N и, значит, W = 1; тем самым вероятность достоверного события равна единице.

В другом крайнем случае, когда событие A невозможно: NA = 0 и, значит, W = 0. Значит, вероятность невозможного события равна нулю.

События А, В, С называются несовместными, если два из них не могут произойти в данном опыте вместе.

События А, В, С называются совместными, если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появление другого при этом же испытании.

Если сумма событий A1, A2,..., An – достоверное событие, т. е. A1 A2... An, то говорят, что события A1, A2,..., An образуют полную группу событий для данного опыта.

Если события A1, A2,..., An обладают свойствами:

1) A1 A2... An ;

2) Ai Ak при i k, то говорят, что они образуют полную группу попарно несовместных событий.

Если A1, A2,..., An – полная группа попарно несовместных событий, связанных с некоторым испытанием, то события A1, A2,..., An называют элементарными событиями.

Событие А называется благоприятствующим событию В, если наступление события А влечет за собой наступление события В.

Исторически первым было классическое определение вероятности.

Вероятностью события А называется отношение числа элементарных событий, благоприятствующих событию А, к числу всех равновозможных элементарных событий опыта, в котором может появиться событие А.

В соответствии с классическим определением вероятности m P ( A), (1.1) n где m – число элементарных событий, благоприятствующих событию A;

n – число элементарных событий, образующих полную группу равновозможных и попарно несовместных событий.

Классическое определение вероятности предполагает, что число всех элементарных событий конечно. Но на практике часто встречаются опыты, для которых множество таких событий бесконечно.

Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область.

Пусть на плоскости задана квадрируемая область G, т. е. область, имеющая площадь. Площадь этой области обозначим через SG. В области G содержится область g площади Sg (рис. 1.2).

–  –  –

Число сочетаний с повторениями из n элементов по k элементов равно числу сочетаний без повторений из n + k –1 элементов по k элементов, т. е.

(Cn )с повт. Cnk 1.

k k Пример 1. С помощью таблиц, определяющих A + B, AB и А, доказать равенство А В АВ.

Решение. Составим таблицы, дающие все случаи наступления и ненаступления левой и правой частей доказываемого равенства:

–  –  –

Последние столбцы этих таблиц одинаковы, это и означает справедливость равенства А В АВ.

Пример 2. Английский математик Карл Пирсон (1857–1936) бросал монету 24 000 раз, причем герб выпал 12 012 раз.

Найти относительную частоту выпадения герба в данной серии опытов.

Решение.

Относительная частота выпадения герба в данной серии опытов равна:

W 0,5005.

Пример 3. Найти вероятность появления верхней грани с числом очков, делящимся на 3, при бросании игральной кости.

Решение. Благоприятствующими данному событию A будут элементарные события A3 и A6 (выпадение 3 и 6), а всего элементарных исходов будет шесть. Поэтому P ( A).

Пример 4. В круг радиуса R наудачу брошена точка.

Найти вероятность того, что эта точка окажется внутри правильного треугольника, вписанного в данный круг (рис. 1.3).

–  –  –

Пример 6. Определить, сколькими различными способами могут разместиться на скамейке 6 человек.

Решение. Согласно формуле (1.2) при n = 6, находим P6 6! 1 2 3 4 5 6 720.

–  –  –

Пример 10. Сколько разных пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 2, если одна и та же цифра может повторяться несколько раз?

Решение. Из цифр 0, 2 можем получить ( A2 )с повт. 25 пятизначных чисел. Но числа, записанные пятью цифрами, первая из которых нуль, не являются пятизначными.

Их столько, сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 2 при повторении цифр, т. е. ( A2 )с повт. 24. По

–  –  –

Пример 11. На пяти одинаковых по форме и размеру карточках написаны буквы слова КАТУНЬ – по одной на каждой карточке.

Карточки тщательно перемешаны. Их вынимают наудачу и раскладывают одна за другой на столе. Определить, какова вероятность того, что снова получится слово КАТУНЬ.

Решение. Из шести различных элементов можно составить P6 перестановок: P6 1 2 3 4 5 6 720. Значит, всего равновозможных элементарных событий будет 720, а благоприятствующих данному событию – только одно. Следовательно, P.

Пример 12. В играх на первенство страны по баскетболу участвуют 16 команд, которые будут распределены по жребию на две группы по 8 команд.

Какова вероятность того, что две команды-победительницы в промежуточных состязаниях войдут в одну группу?

Решение. Число всех способов распределения 16 команд на две группы по 8 команд равно C16. Пусть обе командыпобедительницы вошли в одну группу. К ним следует присоединить еще 6 любых команд из оставшихся 14. Это можно сделать C14 способами.

Отобранные 8 команд можно объявить группой 1, оставшиеся – группой 2, и наоборот. Следовательно, требованию задачи удовлетворяют 2 C14 комбинаций.

Искомая вероятность равна:

–  –  –

1. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одинакового размера. Полученные кубики тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу вытащенный кубик будет иметь: 1) одну окрашенную грань; 2) не более двух окрашенных граней; 3) не менее одной окрашенной грани.

2. Из чисел 3, -5, 2, 1, -2, -4 наугад выбираются три числа.

Какова вероятность того, что их сумма положительна?

3. Три математических и семь художественных книг расставлены на полке в случайном порядке. Какова вероятность того, что все книги по математике будут стоять рядом?

4. Вытаскиваются две карты из колоды в 36 карт. Какова вероятность того, что одна из них туз, а другая - пиковой масти?

5. В урне 10 белых и 5 черных шаров. Вытаскиваются два шара. Какова вероятность, что хотя бы один из них белый?

6. В книге 300 страниц. Какова вероятность того, что номер наудачу открытой страницы будет кратен 7?

7. В урне содержится 3 белых, 2 черных и 5 красных шаров. Из урны наудачу извлекается один шар. Какова вероятность того, что а) выбранный шар окажется красным? б) не будет черным?

8. В лифт восьмиэтажного дома на первом этаже вошли пять человек. Каждый из них с равной вероятностью может выйти на любом этаже, начиная со второго. Найти вероятность того, что: 1) все выйдут на разных этажах; 2) все выйдут на 5 этаже; 3) все выйдут одновременно.

9. В карточке «Спортлото» 49 номеров. Какова вероятность угадать 4 номера из 6? Не менее четырех?

10. Ящик содержит 90 годных и 10 бракованных деталей.

Найти вероятность того, что среди 10 вынутых из ящика деталей нет бракованных.

11. В магазине есть 7 видов тортов. Сколькими способами можно составить набор, содержащий три торта?

12. Пять человек вошли в лифт на 1-м этаже девятиэтажного дома. Сколькими способами пассажиры могут выйти из лифта на нужных этажах?

13. В отборочных соревнованиях принимают участие 10 человек, из которых в финал выходят трое. Сколько может быть различных троек финалистов?

14. Стадо из 20 голов (10 овец и 10 коз) делится пополам случайным образом. Какова вероятность того, что в каждой половине будет одинаковое число овец?

15. Из колоды в 52 карты извлекаются одна за другой две карты. Чему равна вероятность того, что первая карта туз, а вторая – валет? Что одна из этих карт туз, а другая

– валет?

16. Из урны, содержащей 19 белых и 1 черный шар, вытаскивается 5 шаров. Какова вероятность того, что в урне остались только белые шары?

17. Из 10 урн, содержащих по 19 белых и 1 черному шару каждая, извлекается по одному шару. Какова вероятность, что хотя бы один шар черный?

18. В окружность вписан правильный треугольник. Какова вероятность того, что точка, случайно брошенная в круг, попадет в треугольник?

19. В квадрат вписан круг. Найти вероятность того, что точка, случайно брошенная в квадрат, попадет в круг.

20. Две трети отрезка окрашены в зеленый цвет, а оставшаяся треть — в красный. Какова вероятность того, что при случайном разломе зеленая часть сохранится полностью?

21. Кусок проволоки длиною 20 см. согнули в случайно выбранной точке под прямым углом. Затем на большей части куска сделали еще два изгиба так, что в итоге получился прямоугольник. Какова вероятность того, что его площадь не превосходит 21 см2?

22. Мячик диаметром 10 см. бросают в садовую решетку, сделанную из вертикальных прутьев толщиной в 4 см.

Найти вероятность того, что мячик пролетит сквозь решетку, если расстояние между осями прутьев 40 см.

–  –  –

Пример 1. На клумбе растут 20 красных, 30 синих и 40 белых астр.

Найти вероятность того, что в темноте сорвут окрашенную астру, если будут рвать только одну.

Решение. Обозначим события: А – сорвана окрашенная астра; А1 – сорвана красная астра; А2 – сорвана синяя астра. Имеем:

A A1 A2 ;

P( A) P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 ).

Пример 2. Бросаются две игральные кости.

Найти вероятность выпадения хотя бы одной шестерки.

Решение. Обозначим события: А – выпадение шестерки при бросании первой кости; В – выпадение шестерки при бросании второй кости. Для решения задачи надо найти вероятность события C A B. Используем формулу (1.6).

P(C) P( A B) P( A) P(B) P( AB).

Из условия следует, что P( A), P( B), P( AB ), тогда P (C ).

Пример 3. Среди партии из 100 изделий имеется 10 бракованных.

С целью контроля из этой партии отбираются наугад 7 изделий. Если среди них окажется более двух бракованных, то бракуется вся партия изделий. Найти вероятность того, что партия изделий будет забракована.

Решение. Партия бракуется, если среди 7 изделий бракованных будет не менее трех; партия не бракуется, если среди 7 изделий бракованных нуль, одно или два.

Обозначим события: А0 – среди 7 изделий нет бракованных;

А1 – среди 7 изделий есть одно бракованное; А2 – среди 7 изделий два бракованных, А – партия изделий принимается. Тогда A A0 A1 A2.

Поскольку события А0, А1, А2 несовместны, то используем формулу (1.4) для трех слагаемых P( A) P( A0 A1 A2 ) P( A0 ) P( A1 ) P( A2 ).

Найдем вероятность P( A0 ), используя классическое определение вероятности. Отобрать 7 изделий из 100 можно n C100 способами. Событию А0 благоприятствуют m C90 C10 C90

–  –  –

Пример 4. Все грани игральной кости покрыты краской:

грани 1, 2, 3 – красной, грани 4, 5, 6 – черной. При бросании кости выпала черная грань. Определить вероятность того, что на этой грани стоит четное число очков.

Решение. Мы должны найти условную вероятность P( A / B), где событие А есть выпадение четного числа очков, а событие В – выпадение числа очков, большего 3. Используя формулу (1.7), получаем P( AB) 6 2 P( A / B).

P( B) Пример 5. Слово ПАПАХА составлено из букв разрезной азбуки. Карточки с буквами тщательно перемешиваются. Четыре карточки извлекаются по очереди и раскладываются в ряд.

Найти вероятность получить таким путем слово ПАПА.

Решение. Введем обозначения для событий: А1 – первой извлечена буква П; А2 – второй извлечена буква А; А3 – третьей извлечена буква П; А4 – четвертой извлечена буква А; А – получилось слово ПАПА. Очевидно, A A1 A2 A3 A4. Имеем:

P( A1 ) ; P( A1 A2 ) P( A2 / A1 ) P( A1 ) ;

P( A3 A2 A1 ) P( A3 / A2 A1 ) P( A2 A1 ) ;

P( A4 A3 A2 A1 ) P( A4 / A3 A2 A1 ) P( A3 A2 A1 ).

Получаем ответ: P ( A).

Пример 6. Три стрелка попадают в мишень соответственно с вероятностями 0,9; 0,8; 0,7.

Найти вероятность того, что при одном выстреле хотя бы один из них попадет в мишень (событие D).

Решение. Пусть события A, B, C – соответственно попадание в мишень 1-го, 2-го и 3-го стрелков. Тогда D A B C.

Однако, лучше представить D как событие, противоположное для ABC (ни одного попадания): D ABC. По формуле (1.5) получим ответ P(D) 1 P( A)P(B)P(C) 1 0,1 0,2 0,3 0,994.

–  –  –

1. Студент пришел на экзамен, зная 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что он ответит на три последовательно заданных ему вопроса.

2. В общежитии проживает 10% студентов университета.

75% студентов, проживающих в общежитии, увлекается спортом, среди них 46% юношей. Какова вероятность встретить в студенческом городке юношу, увлекающегося спортом и живущего в общежитии?

3. У человека имеется N ключей, из которых только один подходит к двери. Он последовательно испытывает их.

Процесс испытания может закончиться при 1, 2, …., N испытаниях. Показать, что каждый из этих исходов имеет вероятность 1/N.

4. В отделе работают семь мужчин и три женщины. По табельным номерам отобраны три человека. Какова вероятность того, что отобранные лица окажутся мужчинами?

5. На обувной фабрике в отдельных цехах производятся подметки, каблуки и верхи ботинок. Дефектными оказываются 1% каблуков, 4% подметок и 5% верхов. Каблуки, верхи и подметки случайно комбинируются в цехе, где шьют ботинки. Какой процент ботинок будет испорчен?

6. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0.8, вторым стрелком – 0.7, третьим стрелком – 0.6.

Найти вероятность поражения цели: а) двумя пулями; б) не менее чем двумя пулями.

7. В урнах находятся шары, отличающиеся только цветом, причем в первой урне 5 белых шаров, 11 черных и 8 красных, а во второй соответственно 10, 8, 6. Из обеих урн наудачу извлекается по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара одинакового цвета?

8. Два охотника пошли на охоту, увидели медведя и одновременно выстрелили. Медведь убит, но в шкуре одна дыра, то есть попал только один из охотников. У первого вероятность попадания 0.8, у второго – 0.4. Шкуру продали за 70 рублей. Как поделить деньги между охотниками?

9. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятности попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0.7, а для второго — 0.8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет только один из стрелков.

10. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при трех выстрелах равна 0.973. Какова вероятность попадания при одном выстреле?

11. Два из трех независимо работающих элементов вычислительного устройства отказали. Найти вероятность того, что отказали 1-й и 2-й элементы, если вероятности отказов соответственно равны p1=0.2, p2=0.4, p3=0.3.

§1.3. Формула полной вероятности.

Формула Байеса Пусть событие A может наступить совместно только с одним из событий H1, H 2,..., H n, образующих полную группу несовместных событий (гипотез).

Тогда вероятность P( A) появления события определяется по формуле полной вероятности:

P( A) P( A / H1 ) P( H1 )... P( A / H n ) P( H n ), (1.8) где P( H k ) – вероятность гипотезы H k ; P( A / H k ) – условная вероятность события A при этой гипотезе.

Формула читается так: вероятность события A равна сумме произведений условных вероятностей этого события по каждой из гипотез на вероятности самих гипотез.

Так как гипотезы H1, H 2,..., H n образуют полную группу несовместных событий, то n

–  –  –

Пример 1. Имеются пять винтовок, три из которых с оптическим прицелом.

Вероятность попадания в цель при одном выстреле из винтовки с оптическим прицелом равна 0,95; без оптического прицела – 0,8. Найти вероятность попадания в цель, если стрелок сделает один выстрел из наудачу взятой винтовки.

Решение. Введем обозначения:

A – стрелок попал в цель из наудачу взятой винтовки;

H1 – стрелок сделал выстрел из винтовки с оптическим прицелом;

H2 – стрелок сделал выстрел из винтовки без оптического прицела.

Формула полной вероятности (1.8) в данном случае имеет вид:

P( A) P( A / H1 ) P( H1 ) P( A / H 2 ) P( H 2 ).

Учитывая то, что P( A / H1 ) 0,95; P( A / H 2 ) 0,8; P( H1 ) ; P ( H 2 ), получаем:

P( A) 0,95 0,8 0,89.

Пример 2. Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит два выстрела.

Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго – 0,5, для третьего – 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.

Решение. Возможны три случая: H1 – на линию огня вызван первый стрелок, H2 – на линию огня вызван второй стрелок, H3 – на линию огня вызван третий стрелок.

Очевидно, что P ( H1 ) P ( H 2 ) P( H 3 ).

В результате опыта наблюдалось событие A – после двух выстрелов мишень не поражена.

Условные вероятности этого события при гипотезах H1, H2,

H3 равны соответственно:

P( A / H1 ) 0,7 0,7 0,49; P( A / H 2 ) 0,5 0,5 0,25;

P( A / H 3 ) 0,2 0,2 0,04.

По формуле Байеса (1.9) находим вероятность гипотезы H1 после опыта:

0,49 0,49 P( H1 / A) 0,628.

0,49 0,25 0,04 0,78

Задачи для самостоятельного решения

1. В тире имеются пять ружей, вероятности попадания из которых равны соответственно 0.5, 0.6, 0.7, 0.8 и 0.9. а) Определить вероятность попадания при одном выстреле, если стреляющий берет одно из ружей наудачу. б) Произведенный выстрел оказался успешным. Найти вероятность того, что выстрел был сделан из четвертого ружья.

2. В трех урнах находится по 8 черных и 2 белых шара в каждой, а в двух других – по 6 черных и 4 белых в каждой. Наугад выбирается одна из этих пяти урн, а из нее берутся два шара. Какова вероятность, что оба шара белого цвета.

3. Три оператора радиолокационной установки проводят соответственно 25%, 35% и 40% всех измерений, допуская при этом 5%, 4% и 2% ошибок соответственно. Случайно выбранное измерение оказалось ошибочным.

Найти вероятность того, что оно было выполнено третьим оператором.

4. Имеются две партии изделий по 12 и 10 штук, причем в каждой партии одно изделие бракованное. Изделие, взятое наудачу из первой партии, переложено во вторую, после чего выбирается наудачу изделие из второй партии. Определить вероятность извлечения бракованного изделия из второй партии.

5. Имеется три партии деталей по 20 деталей в каждой.

Число стандартных деталей в первой партии, второй и третьей партиях соответственно равны 20, 15, 10. Из наудачу взятой партии извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Деталь возвращается в эту же партию и вторично из нее извлекается деталь, которая снова оказалась стандартной. Найти вероятность того, что детали извлекались из третьей партии.

6. Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трех касс. Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их местоположения и равны соответственно 0.3, 0.5 и 0.2. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира имеющиеся в кассе билеты будут распроданы, равна для первой кассы – 0,5, для второй – 0.8, для третьей – 0.4. Пассажир направился в одну из касс и приобрел билет. Какова вероятность того, что это была вторая касса?

7. В сосуд, содержащий N шаров, опущен белый шар. Какова вероятность извлечь из этого сосуда белый шар, если все предположения о первоначальном количестве белых шаров в сосуде равновозможны?

8. Предположим, что 5 мужчин из 100 и 25 женщин из 10000 являются дальтониками. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина? (считать, что мужчин и женщин одинаковое количество).

9. Прибор может работать в двух режимах: нормальном и ненормальном. Нормальный режим наблюдается в 80% всех случаев работы прибора, ненормальный – в 20%.

Вероятность выхода прибора из строя за время t в нормальном режиме равно 0.1; в ненормальном – 0.7. Найти вероятность выхода прибора из строя за время t.

10. На трех дочерей – Юлю, Марину и Лену – в семье возложена обязанность мыть посуду. Поскольку Юля старшая, ей приходиться выполнять 40% всей работы.

Остальные 60% работы приходятся поровну на Марину и Лену. Вероятность разбить что–нибудь из посуды (в течение одного мытья) для Юли, Марины и Лены равны соответственно: 0.02, 0.03, 0.05. Родители не знают, кто дежурил вечером, но они слышали звон разбитой посуды. Какова вероятность того, что посуду мыла: Юля;

Марина; Лена?

11. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых, во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух наудачу взяли один шар. Найти вероятность того, что из двух шаров будет выбран белый.

12. Известно, что 96% выпускаемых заводом изделий отвечает стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0.98 и нестандартную с вероятностью 0.05. Определить вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, отвечает стандарту.

13. В урне имеется N шаров, причем цвет каждого из них с равной вероятностью может быть белым или черным.

Извлекаются последовательно K шаров, причем каждый раз после извлечения шар возвращается в урну. Какова вероятность того, что в урне содержатся только белые шары, если черные шары не извлекались?

14. Имеются три партии по 20 деталей каждая. В одной находятся две бракованных детали, в другой – четыре, в третьей – шесть. Извлеченные случайным образом из какой-то партии две детали оказались бракованными. Какова вероятность, что это была первая, вторая, третья партии?

15. Пусть некоторое насекомое с вероятностью ( k k !)e, 0 кладёт k яиц, а вероятность развития насекомого из яйца равна p. Найти вероятность того, что у насекомого будет: а) потомство; б) будет только один потомок.

–  –  –

Пример 1. Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину равна 0,6.

Произведено 8 бросков. Найти вероятность того, что при этом будут ровно два попадания.

Решение.

Вероятность ровно двух попаданий найдем по формуле Бернулли (1.11) при n = 8; p = 0,6; q = 0,4; k = 2:

P8 2 C82 0,6 0, 4 0,36 0,0041 0,041.

–  –  –

Пример 5. Среди 100 человек приблизительно 8 левшей.

Найти вероятность того, что среди сотни наугад выбранных человек не окажется ни одного левши.

Решение. Так как значение р = 0,008 мало и n = 100 велико, то воспользовавшись формулой Пуассона (1.14) при

np 100 0,008 = 0,8, получим:

(0,8)0 0,8 P (0) e 0,4493.

0!

–  –  –

1. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть две партии из четырех или три партии из шести (ничьи во внимание не принимаются)?

2. Вероятность некоторого изделия быть бракованным равна 0.005. Чему равна вероятность того, что среди 10000 наугад взятых изделий 40 бракованных?

3. Среди семян пшеницы 0.6% семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 1000 обнаружить: а) не менее 3 семян сорняков; б) не более 16 семян сорняков;

в) ровно 6 семян сорняков?

4. Имеется 100 станков одинаковой мощности, работающих независимо друг от друга в одинаковом режиме, при котором их привод оказывается включенным в течение 0.8 рабочего времени. Какова вероятность того, что в произвольный момент времени окажутся включенными от 70 до 86 станков?

5. Вероятность появления некоторого события при одном опыте равна 0.3. С какой вероятностью можно утверждать, что частота этого события при 100 опытах будет лежать в пределах от 0.2 до 0.4.

6. При бросании монеты 4040 раз (опыт Бюффона), герб выпал 2048 раз. Найти вероятность того, что при повторении опыта Бюффона частота появления герба отклонится по абсолютной величине от вероятности появления герба при одном испытании не более чем в опыте Бюффона.

7. Среди семян пшеницы 0.9% семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе тысячи семян обнаружить а) ровно 6 сорняков; б) не менее 6 и не более 15 сорняков?

8. Какова вероятность того, что при ста подбрасываниях монеты «орел» выпадет: а) 45 раз; б) не менее 45 и более 60 раз?

9. Пусть вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 1/5. Производится 10 независимых выстрелов. а) Какова вероятность попадания в цель по меньшей мере дважды? б) Какова условная вероятность попадания в цель по меньшей мере дважды, если известно, что по крайней мере одно попадание произошло?

10. Среди коконов некоторых партии 20% цветных. Какова вероятность того, что среди 100 случайно отобранных из партии коконов 15 цветных? Не более 30 и не менее 15 цветных?

11. Учебник набран тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0.0001. Найти вероятность того, что тираж содержит:

1) ровно 5 бракованных книг; 2) менее 3-х бракованных книг; 3) хотя бы одну бракованную книгу; 4) более 2-х бракованных книг.

12. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0.8. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы с вероятностью 0.9 можно было ожидать, что мишень будет поражена не менее 75 раз?

13. Игральную кость бросают 80 раз. Найти с вероятностью 0,99 границы, в которых будет заключено число выпадений «шестерки».

14. Отдел технического контроля проверяет 475 изделий на брак. Вероятность того, что изделие бракованное, равна 0,05. найти с вероятностью 0,95 границы, в которых будет заключено количество бракованных изделий среди проверенных.

15. В первые классы должны быть принято 200 детей. Определить вероятность того, что среди них окажется 100 девочек, если вероятность рождения мальчика равна 0,515.

16. Имеется общество из 500 человек. Найти вероятность того, что у двух человек день рождения придется на Новый год. Считать, что вероятность рождения в фиксированный день равна 1/365.

17. Радиоаппаратура состоит из 2000 элементов. Вероятность отказа одного элемента в течение года равна 0,001.

Какова вероятность отказа двух элементов за год? Какова вероятность отказа не менее двух элементов за год?

18. Среди семян пшеницы 0,6% семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 1000 семян обнаружить

а) не менее 3 семян сорняков; б) не более 16 семян сорняков; в) ровно 6 семян сорняков?

19. Вероятность изготовления стандартной детали на автомате равна 0,95. Изготовлена партия в 200 деталей.

Найти наиболее вероятное число нестандартных деталей в этой партии. Найти вероятность этого количества нестандартных деталей.

20. В банк поступило 1000 стодолларовых купюр. Какова вероятность того, что среди них окажется 5 фальшивых купюр, если известно, что на рынке 0,1% купюр фальшивых?

§1.5. Дискретные случайные величины.

Функция распределения. Числовые характеристики случайных величин Случайной величиной (СВ), связанной с данным опытом, называется величина, которая при каждом осуществлении этого опыта принимает то или иное значение, причем заранее неизвестно, какое именно.

Случайные величины обозначают прописными буквами латинского алфавита X, Y, Z, U, …, а значения, принимаемые ими, – соответствующими строчными буквами x, y, z, u, … Каждой случайной величине X соответствует некоторое множество чисел, называемое множеством значений, которые может принимать величина X.

Любое правило, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, называется законом распределения случайной величины.

Случайные величины X и Y называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая. В противном случае величины X и Y называются зависимыми.

Наиболее удобными для изучения являются так называемые дискретные случайные величины. Они характеризуются тем, что могут принимать лишь конечное или счетное множество значений.

Будем говорить, что задана дискретная случайная величина X, если указано конечное или счетное множество чисел x1, x2, x3, x4, x5, … и каждому из этих чисел xi поставлено в соответствие некоторое положительное число pi (i N), причем сумма всех pi равна 1.

Числа x1, x2, … называются возможными значениями случайной величины X, а числа p1, p2, … – вероятностями этих значений: pi P X xi.

Итак, дискретная случайная величина задается таблицей вида:

–  –  –

p 1.

с условием, что числа p1, p2, … положительны и i i 1 Эту таблицу обычно называют законом (рядом) распределения дискретной случайной величины X.

Если множество возможных значений случайной величины X бесконечно (счетно), то ряд p1 + p2 + … сходится и его сумма равна единице.

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины изображают графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки (xi, pi) и соединяют их последовательно отрезками прямых. Получающаяся при этом ломаная линия называется многоугольником распределения случайной величины X.

Каждой случайной величине X можно сопоставить функцию F, определенную на всей числовой оси. При любом x0 значение F(x0) задается равенством F ( x0 ) P( X x0 ), т. е. F(x0) есть вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее, чем x0.

Функция F называется функцией распределения случайной величины X.

Все значения функции распределения F(x) принадлежат отрезку [0; 1], т. е. 0 F ( x) 1.

Функция F(x) неубывающая, т. е. F ( x2 ) F ( x1 ), если x2 x1.

Функция F(x) в точке x0 непрерывна слева, т. е.

lim F ( x) F ( x0 ) (F ( x0 0) F ( x0 )).

x x0 0 Если функция распределения F(x) задана, то вероятность события x1 X x2 вычисляется по формуле P( x1 X x2 ) F ( x2 ) F ( x1 ).

Вероятность того, что случайная величина X примет определенное значение x0, выражается через функцию распределения по формуле P( X x0 ) F ( x0 0) F ( x0 ).

Характеристикой среднего значения случайной величины служит математическое ожидание.

Пусть случайная величина X принимает значения x1, x2, …, xn с вероятностями p1, p2, …, pn соответственно.

Математическим ожиданием M(X) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех возможных значений величины X на соответствующие вероятности:

n M ( X ) x1 p1 x2 p2... xn pn xi pi.

i 1 В случае, когда n, предполагается, что полученный числовой ряд абсолютно сходится.

Основные свойства математического ожидания

1. M (C) C, где C const.

2. M (CX ) CM ( X ), где C const.

3. M ( X Y ) M ( X ) M (Y ).

4. M ( XY ) M ( X ) M (Y ) (для независимых случайных величин).

5. M ( X Y ) M ( X ) M (Y ).

Математическое ожидание не дает полной характеристики закона распределения случайной величины. Характеристиками рассеивания возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсией D(X) дискретной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины X от ее математического ожидания:

D( X ) M ( X M ( X )) 2.

Дисперсию удобно вычислять по формуле D( X ) M ( X 2 ) M ( X ).

Основные свойства дисперсии Пусть X, Y – независимые случайные величины.

1. D(C) 0, где C const.

2. D(CX ) C 2 D( X ), где C const.

3. D( X Y ) D( X ) D(Y ).

4. D( X Y ) D( X ) D(Y ).

Средним квадратическим отклонением ( Х ) случайной величины X называется корень квадратный из дисперсии:

( Х ) D( Х ).

Для более подробного описания свойств случайной величины X рассмотрим и некоторые другие ее характеристики.

Модой M0 дискретной случайной величины X называется ее наиболее вероятное значение.

Медианой случайной величины X называется такое ее значение Me, для которого P X Me P X Me.

Начальным моментом порядка k случайной величины X называется математическое ожидание случайной величины X k, где k – натуральное число:

k M ( X k ).

Математическое ожидание и дисперсию случайной величины X можно выразить через начальные моменты порядка 1 и 2:

M ( X ) 1;

D( X ) 2 12.

Центральным моментом порядка k случайной величины X называется математическое ожидание величины ( X M ( X ))k:

k M (( X M ( X )) k ).

Пример 1. По мишени стреляют один раз с вероятностью попадания 0,6.

Случайная величина X – число попаданий. Найти закон распределения этой случайной величины.

Решение. Очевидно, X может принимать только два значения: 1 и 0, причем их вероятности равны соответственно 0,6 и 0,4. Действительно, при выстреле возможны два исхода: попадание (тогда X = 1) и промах (тогда X = 0); вероятности этих событий суть 0,6 и 1 – 0,6 = 0,4.

В итоге получим следующую таблицу:

X 0,6 0,4 P

Пример 2. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

X 0,2 0,1 0,5 0,2 P Построить многоугольник распределения.

Решение. Построим прямоугольную систему координат, причем по оси абсцисс будем откладывать возможные значения xi, а по оси ординат – соответствующие вероятности pi, i 1, 4. Построим точки M1(1; 0,2), M2(2; 0,1), M3(4; 0,5), M4(6; 0,2). Соединив эти точки отрезками прямых, получим искомый многоугольник распределения (рис. 1.4).

y

–  –  –

Пример 4. В денежной лотерее разыгрывается 1 выигрыш в 1000 денежных единиц, 10 выигрышей по 100 денежных единиц и 100 выигрышей по 1 денежной единице при общем числе билетов 10 000.

Найти закон распределения случайного выигрыша X для владельца одного лотерейного билета и математическое ожидание выигрыша X.

Решение. Возможные значения для X: x1 0, x2 1, x3 100, x4 1000. Вероятности их будут: p2 0,01, p3 0,001, p4 0,0001, p1 1 0,01 0,001 0,0001 0,9889.

Следовательно, закон распределения выигрыша X может быть задан таблицей:

X 0,9889 0,01 0,001 0,0001 P Найдем математическое ожидание выигрыша X.

Используя полученную таблицу, имеем:

M ( X ) 0 0,9889 1 0,01 100 0,001 1000 0,0001 0,21

–  –  –

Задачи для самостоятельного решения

1. Опыт состоит из трех независимых бросаний монеты, при каждом из которых герб совпадает с вероятностью 0.5 ( p 0.5). Для случайного числа появления герба построить: а) ряд распределения; б) функцию распределения; в) вычислить числовые характеристики.

2. В партии из шести деталей имеется четыре стандартных.

Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения случайной величины – числа стандартных деталей среди отобранных. Построить функцию распределения вероятностей и ее график. Вычислить числовые характеристики.

3. В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны четыре детали. Написать ряд распределения числа нестандартных деталей среди отобранных четырех.

–  –  –

7. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных. Построить функцию распределения вероятностей и ее график.

Вычислить числовые характеристики.

8. Баскетболист бросает мяч в корзину. Построить ряд распределения и функцию распределения числа попаданий мячом в корзину при двух бросках, если вероятность попадания равна 0.4. Построить функцию распределения вероятностей и ее график. Вычислить числовые характеристики.

9. После ответа студента по вопросам экзаменационного билета экзаменатор задаёт студенту дополнительные вопросы. Преподаватель прекращает задавать дополнительные вопросы, как только студент не ответит на очередной вопрос. Вероятность того, что студент ответит на любой дополнительный вопрос, равна 0.9. Требуется:

а) составить закон распределения случайной величины — числа дополнительных вопросов; б) найти наивероятнейшее число заданных студенту дополнительных вопросов.

10. Дан ряд распределения дискретной случайной величины :

–  –  –

Требуется: 1) записать функцию распределения вероятности величины и построить ее график; 2) построить ряд распределения случайной величины 2 ; 3) найти P(0 2.5), P(1 2 5) ; 4) определить числовые характеристики случайной величины.

11. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины равны соответственно 2 и 5. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины :

а) 2 ; б) 2 7 ; в) 3 1 ; г) 3 2.

12. Задана функция распределения дискретной случайной величины :

–  –  –

14. Два стрелка поочередно стреляют по мишени до тех пор, пока один из них не промахнётся. Вероятность попадания для первого стрелка равна p1, а для второго — p2.

Найти законы распределения количества выстрелов, произведенных каждым стрелком.

§1.6. Непрерывные случайные величины Если множество значений случайной величины X заполняет (непрерывно) конечный или бесконечный промежуток на числовой оси, то такая случайная величина называется непрерывной.

Можно дать другое, более строгое, определение, используя понятие функции распределения.

Случайная величина X называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) непрерывна на всей числовой оси.

Для непрерывной случайной величины X при любом x0 R имеет место равенство P( X x0 ) 0, а также P( x1 X x2 ) P( x1 X x2 ) P( x1 X x2 ) P( x1 X x2 ) F ( x2 ) F ( x1 ), где F(x) – функция распределения величины X.

Помимо функции распределения для непрерывных случайных величин существует еще один удобный способ задания закона распределения – плотность распределения вероятностей.

Пусть функция распределения F(x) данной непрерывной случайной величины X непрерывна и дифференцируема всюду, кроме, может быть, отдельных точек.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют первую производную от функции распределения:

f ( x) F ( x).

Часто вместо термина плотность распределения используют термины плотность вероятностей, или дифференциальная функция, или просто плотность.

Основные свойства плотности вероятностей Пусть f(x) – плотность вероятностей.

1. f ( x) 0.

–  –  –

a Все свойства дисперсии, указанные для дискретных случайных величин, сохраняются и для непрерывных величин.

Среднее квадратичное отклонение непрерывной случайной величины определяется аналогичным образом, как и для дискретной величины:

X D X.

На практике применяются и другие числовые характеристики непрерывных случайных величин.

Модой М0(Х) непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение, при котором плотность вероятностей имеет максимум.

Медианой Ме(Х) непрерывной случайной величины Х называется то ее возможное значение, которое определяется равенством P X M e X P X M e X.

Геометрически медиану можно истолковать как точку, в которой ордината f(x) делит пополам площадь, ограниченную кривой распределения.

–  –  –

6. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале 1; 3, задана функцией распределения F x x.

Найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал 0; 2. Построить график функции F(х).

7. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале 2; 6, задана функцией распределения

–  –  –

20. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, плотность вероятности которой имеет вид p x e x (распределение Лапласа).

–  –  –

e x, если x 0, f x 0, если x 0, где 0 – параметр данного распределения.

Функцию распределения случайной величины Х, распределенную по показательному закону, находят по формуле 1 e x, если x 0, F x 0, если x 0.

Математическое ожидание и дисперсия показательно распределенной случайной величины Х определяются равенствами:

M X, D X 2.

Часто длительность времени безотказной работы определенного механизма имеет показательное распределение, функция распределения которого F t P T t 1 et 0 определяет вероятность отказа механизма за время длительностью t, где t0 = 0 – начальный момент времени, t – момент времени, когда происходит отказ, T – непрерывная случайная величина – длительность времени безотказной работы механизма, – интенсивность отказов (среднее число отказов в единицу времени).

Функцией надежности R(t) называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы механизма за время длительностью t:

R t e t.

Нормальное распределение. Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение (говорят также, что она распределена по нормальному закону или по закону Гаусса), если ее плотность распределения вероятностей имеет вид ( x a )2 f ( x) e 2.

Параметры a и представляют собой соответственно математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение случайной величины Х, т. е.

a M ( X ), ( X ).

Отсюда D( X ) 2.

–  –  –

Пример 2. Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение F (t ) 1 e0,01t (t 0).

Найти вероятность того, что за время длительностью t = 50 ч:

1) элемент откажет; 2) элемент не откажет.

Решение.

Поскольку функция распределения 1) F (t ) 1 e0,01t определяет вероятность отказа элемента за время длительностью t, то, подставив t = 50 в формулу функции распределения, получим вероятность отказа:

F (50) 1 e0,0150 1 e0,5 0,394.

2) Так как события «элемент откажет» и «элемент не откажет» являются противоположными, то вероятность того, что элемент не откажет равна P 1 0,394 0,606.

Заметим, что этот результат можно получить непосредственно, пользуясь функцией надежности R(t ) e t, которая определяет вероятность безотказной работы элемента за время длительностью t:

R(50) e0,0150 e0,5 0,606.

Пример 3. Определить вид закона распределения случайной величины X, если ее плотность вероятностей имеет вид f ( x) Ae x 2 x 1.

Найти: 1) M(X); 2) (X); 3) значение коэф

–  –  –

1. Найти среднее число лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов, а вероятность выигрыша одного билета равна 0,1. Найти дисперсию числа успехов в данном опыте.

2. В партии однотипных деталей стандартные составляют 97%. Наугад из партии берут 400 деталей. Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение М(Х), D(X), (Х) для дискретной случайной величины Х — появления числа стандартных деталей среди 400 наугад взятых.

3. Среднее число машин, прибывающих в автопарк за 1 минуту, равно двум. Найти вероятность того, что за 5 минут прибудет не менее двух машин.

4. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,01.

Найти вероятность того, что среди 200 деталей окажется ровно четыре бракованных.

5. Магазин получил 1000 бутылок лимонада. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит разбитых бутылок: а) ровно две; б) менее двух; в) более двух; г) хотя бы одну.

6. Игральная кость подбрасывается до первого появления цифры 1. Определить числовые характеристики М(Х), D(X), (Х) для случайной величины Х числа осуществляемых подбрасываний.

7. Охотник-любитель стреляет из ружья по неподвижной мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле является величиной постоянной и равна 0,65.

Стрельба по мишени ведется до первого попадания.

Определить числовые характеристики М(Х), D(X), (Х) числа израсходованных охотником патронов.

8. В сетке 8 баскетбольных мячей, из которых 6 уже были использованы для игр. Для очередной игры отобрали 2 мяча, а после игры положили опять в сетку. Найти закон распределения и числовые характеристики случайной величины Х, равной числу оставшихся после игры новых мячей.

9. В ящике содержится 10 однотипных деталей, из них 7 стандартных, а остальные являются бракованными.

Наугад из ящика берут m деталей. Построить законы распределения целочисленной случайной величины Х — появление числа стандартных деталей среди m наугад взятых и вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X), и среднее математическое отклонение (Х), если: а) m = 3; б) m = 4; в) m = 5; г) m = 7.

10. Поезда метро идут с интервалом в 2 минуты. Найти вероятность того, что пассажир, пришедший на станцию, будет ожидать поезд менее 30 секунд.

11. Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 20 с.

12. Время безотказной работы прибора подчинено показательному закону с плотностью распределения вероятностей f t 0,02 e0,02t при t 0. Найти вероятность того, что прибор проработает безотказно 100 часов.

13. Случайная величина X имеет нормальное распределение с математическим ожиданием a 15 и средним квадратическим отклонением 5. Найти вероятность того, что случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (10; 30).

14. На станке изготавливается некоторая деталь. Ее длина представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону, и имеет среднее значение 20 см и среднее квадратическое отклонение 0,3 см.

Найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 19,7 см и 20,3 см.

15. Определить среднеквадратическое отклонение показаний прибора, если систематических ошибок он не имеет, а случайные ошибки распределены по нормальному закону и с вероятностью 0,79 не выходят за пределы ±20 мм.

16. Измерение дальности до объекта сопровождается систематическими (математическое ожидание) и случайными ошибками. Систематическая ошибка равна 50 м в сторону занижения дальности. Случайные ошибки подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением 100 м. Найти вероятность измерения дальности с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 150 м.

17. Средняя масса коробки конфет равна 540 г. Найти, если известно, что масса коробок распределена нормально и 5% коробок имеют массу не большую 530 г.

18. Случайная величина X имеет нормальное распределение с математическим ожиданием a 50 и средним квадратическим отклонением 20. Найти вероятность того, что случайная величина X отклонится от своего математического ожидания по абсолютной величине не больше, чем на 4.

19. Размер диаметра втулок, изготовленных заводом, можно считать нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием а = 2,5 см и средним квадратическим отклонением 0,01 см. В каких границах можно практически гарантировать размер диаметра втулки, если за вероятность практической достоверности принимается 0,9973?

20. Рост взрослых мужчин является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Пусть математическое ожидание ее равно 175 см, а среднее квадратическое отклонение — 6 см. Определить вероятность того, что хотя бы один из наудачу выбранных пяти мужчин будет иметь рост от 170 до 180 см.

21. Отклонение стрелки компаса из-за влияния магнитного поля в определенной области Заполярья есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с а = 0 и 1. Чему равна вероятность того, что абсолютная величина отклонения в определенный момент времени будет больше, чем 2,4?

22. Линия связи обслуживает 1000 абонентов. Каждый абонент разговаривает в среднем 6 минут в час. Сколько каналов должна иметь линия связи, чтобы с практической достоверностью можно было утверждать, что не произойдет ни одной потери вызова?

§1.8. Функция одного случайного аргумента Если каждому возможному значению случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то эта случайная величина называется функцией случайного аргумента (случайной величины) Х. В этом случае пишут: Y ( X ).

Если Х – дискретная случайная величина и функция Y ( X ) монотонна, то возможные значения Y находят из равенства yi ( xi ), где xi – возможные значения случайной величины Х.

Вероятности возможных значений случайной величины Y находят из равенства P(Y yi ) P( X xi ).

Если Y ( X ) – немонотонная функция, то различным значениям случайной величины Х могут соответствовать одинаковые значения случайной величины Y. В этом случае вероятность повторяющегося значения случайной величины Y равна сумме вероятностей тех возможных значений Х, при которых случайная величина Y принимает одно и то же значение.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Y определяются соответственно равенствами M (Y ) M ( ( X )) yi pi ( xi ) pi i i

–  –  –

5. Случайная величина X равномерно распределена в интервале ;. Найти плотность распределения g ( y) случайной величины Y sin X.

6. Задана плотность распределения f x случайной величины Х, возможные значения которой заключены в интервале 0;. Найти плотность распределения g y

–  –  –

7. Задана плотность распределения f x случайной величины Х, возможные значения которой заключены в интервале ;. Найти плотность распределения g y случайной величины Y, если а) Y X 2 ; б) Y e X ;

–  –  –

§1.9. Функция двух случайных аргументов Рассмотрим систему двух случайных величин (X, Y). Если каждой паре (x, y) возможных значений случайных величин Х и Y соответствует одно возможное значение z ( x, y), вычисляемое по определенному закону, случайной величины Z, то Z называют функцией двух случайных аргументов X и Y:

Z ( X, Y ).

Для практики важное значение имеет задача определения закона распределения суммы двух случайных величин: Z = X + Y.

Пусть Х и Y – дискретные независимые случайные величины. Чтобы найти распределение функции Z = X + Y, надо найти все возможные значения Z. Для этого достаточно сложить каждое возможное значение Х со всеми возможными значениями Y.

Вероятности найденных значений Z равны произведениям вероятностей складываемых значений Х и Y.

Если Х и Y – непрерывные независимые случайные величины, то плотность распределения g(z) суммы Z = X + Y (при условии, что плотность распределения хотя бы одного из аргументов задана в интервале (; ) одной формулой) может быть найдена по формуле

–  –  –

Найти распределение случайной величины Z = X + Y.

Решение. Возможные значения Z есть суммы каждого возможного значения X со всеми возможными значениями Y:

z1 1 2 3; z2 1 4 5; z3 3 2 5; z4 3 4 7.

Найдем вероятности этих возможных значений. Для того чтобы Z = 3, достаточно, чтобы величина X приняла значение x1 = 1 и величина Y – значение y1 = 2. Вероятности этих возможных значений, как следует из данных законов распределения, соответственно равны 0,2 и 0,4. Так как аргументы Х и Y независимы, то события X = 1 и Y = 2 независимы и, следовательно, вероятность их совместного наступления по теореме умножения равна 0, 2 0, 4 0,08.

Аналогично найдем:

P( Z 1 4 5) 0, 2 0,6 0,12;

P( Z 3 2 5) 0,8 0, 4 0,32;

P( Z 3 4 7) 0,8 0,6 0, 48.

Напишем искомое распределение, предварительно сложив вероятности несовместных событий

Z z2 5, Z z3 5 (0,12 0,32 0,44):

Z 0,08 0,44 0,48 P

–  –  –

Пример 3.

Заданы плотности распределения независимых равномерно распределенных случайных величин X и Y:

f1 ( x) в интервале (0; 3), вне этого интервала f1 ( x) 0;

f 2 ( y ) в интервале (0; 3), вне этого интервала f 2 ( y) 0.

Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины Z = X + Y. Построить график плотности распределения g(z).

Решение. По условию, возможные значения X определяются неравенством 0 x 3, возможные значения Y – неравенством 0 y 3. Отсюда следует, что возможные случайные точки (X; Y) расположены в квадрате OABC (рис. 1.8).

–  –  –

4. Заданы плотности распределения независимых равномерно распределенных случайных величин Х и Y :

f1 x в интервале (0; 2), вне этого интервала f1 x 0, f 2 y в интервале (0; 3), вне этого интервала f 2 y 0. Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины Z X Y.

Построить график распределения g z.

5. Заданы плотности равномерно распределенных независимых случайных величин Х и Y : f1 x 1 в интервале 0;1, вне этого интервала f1 x 0, f2 y 1 в интервале 0;1, вне этого интервала f2 y 0. Найти функцию распределения и плотность случайной величины Z X Y.

–  –  –

§1.10. Закон больших чисел Под законом больших чисел в теории вероятностей понимается ряд теорем, в каждой из которых устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа опытов к некоторым определенным постоянным.

Неравенство Маркова. Если случайная величина Х принимает неотрицательные значения и имеет математическое ожидание M(X), то для любого 0 имеет место неравенство:

M (X ) P( X ).

Это неравенство, очевидно, равносильно следующему M (X ) P( X ) 1.

Неравенство Чебышева. Пусть имеется случайная величина Х с математическим ожиданием M(X) и дисперсией D(X). Каково бы ни было положительное число, вероятность того, что величина Х отклоняется от своего математического ожидания не

–  –  –

Теорема Бернулли утверждает устойчивость относительной частоты при постоянных условиях опыта. Устойчивость относительной частоты при переменных условиях опыта устанавливает теорема Пуассона.

Если в последовательности независимых испытаний pi – вероятность появления события A в i – m испытании, а m – число появлений события при n испытаниях, то для любого 0 выполняется n

–  –  –

Пример 2. Средний срок службы механизма равен 3 годам.

Оценить снизу вероятность того, что данный механизм не прослужит более 18 лет.

Решение. Пусть случайная величина Х – срок службы механизма. Из условия задачи следует, что M(X) = 3. Требуется оценить снизу вероятность P(X) 18, которую можно рассматривать как левую часть неравенства Маркова при условии, что = 18. Тогда M (X ) 3 15 P( X 18) 1 1 1.

–  –  –

1. Оценить вероятность того, что в течение ближайшего дня потребность в воде в населенном пункте превысит 150000 л, если среднесуточная потребность в ней составляет 50000 л.

2. Среднее число солнечных дней в году для данной местности равно 90. Оценить вероятность того, что в течение года в этой местности будет не более 240 солнечных дней.

3. Длина изготавливаемых деталей является случайной величиной, среднее значение которой 50 мм. Среднеквадратичное отклонение этой величины равно 0,2 мм. Оценить вероятность того, что отклонение длины изготовленной детали от ее среднего значения по абсолютной величине не превзойдет 0,4 мм.

4. Среднесуточное потребление электроэнергии в населенном пункте равно 20000 кВт/ч, а среднеквадратичное отклонение — 200 кВт/ч. Какого потребления электроэнергии в этом населенном пункте можно ожидать в ближайшие сутки с вероятностью, не меньшей 0,96?

5. За значение некоторой величины принимают среднее арифметическое достаточно большого числа ее измерений. Предполагая, что среднеквадратичное отклонение возможных результатов каждого измерения не превосходит 5 мм, оценить вероятность того, что при 1000 измерений неизвестной величины отклонение принятого значения от истинного по абсолютной величине не превзойдет 0,5 мм.

6. При контрольной проверке изготавливаемых приборов было установлено, что в среднем 15 шт. из 100 оказывается с теми или иными дефектами. Оценить вероятность того, что доля приборов с дефектами среди 400 изготовленных будет по абсолютной величине отличаться от математического ожидания этой доли не более чем на 0,05.

7. Вероятность того, что изделие является качественным, равна 0,9. Сколько следует проверить изделий, чтобы с вероятностью не меньшей 0,95 можно было утверждать, что абсолютная величина отклонения доли качественных изделий от 0,9 не превысит 0,01?

8. Среднее квадратическое отклонение ошибки измерения курса самолета 2. Считая математическое ожидание ошибки измерения равным нулю, оценить вероятность того, что ошибка при данном измерении курса самолета будет более 5.

9. Среднее квадратическое отклонение ошибки измерения азимута равно 30 (математическое ожидание равно нулю).

Оценить вероятность того, что ошибка среднего арифметического трех независимых измерений не превзойдет 1.

10. Выборочным путем требуется определить средний рост мужчин двадцатилетнего возраста. Какое количество мужчин, отобранных случайным образом, нужно измерить, чтобы с вероятностью, превышающей 0,98, можно было утверждать, что средний рост у отобранной группы будет отличаться от среднего роста всех двадцатилетних мужчин по абсолютной величине не более чем на 1 см?

Известно, что среднеквадратичное отклонение роста для каждого мужчины из отобранной группы не превышает 5 см.

11. Вероятность изготовления нестандартной лампочки равна 0,04. Какое наименьшее число лампочек следует отобрать, чтобы с вероятностью 0,88 можно было утверждать, что доля нестандартных лампочек будет отличаться от вероятности изготовления нестандартной лампочки по абсолютной величине не более чем на 0,02?

12. В рассматриваемом технологическом процессе в среднем 75% изделий имеет допуск ± 5%. Какое число изделий из партии в 200000 шт. с вероятностью 0,99 можно планировать с допуском ± 5%?

–  –  –

На сельскохозяйственные работы из трех бригад выделяют 1.

по одному человеку. Известно, что в первой бригаде 15 человек, во второй – 12, в третьей – 10 человек. Определить число возможных групп по 3 человека, если известно, что на сельскохозяйственные работы может быть отправлен каждый рабочий.

Пять пассажиров садятся в электропоезд, состоящий из 10 2.

вагонов. Каждый пассажир с одинаковой вероятностью может сесть в любой из 10 вагонов. Определить число всех возможных вариантов размещения пассажиров в поезде.

Студенты данного курса изучают 12 дисциплин. В расписание занятий каждый день включается по 3 предмета.

Сколькими способами может быть составлено расписание занятий на каждый день?

Восемь человек договорились ехать в одном поезде, состоящем из восьми вагонов. Сколькими способами можно распределить этих людей по вагонам, если в каждый вагон сядет по одному человеку?

В шахматном турнире участвовало 14 шахматистов, каждый из них сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего сыграно партий?

На конференцию из трех групп студентов одной специальности выбирают по одному делегату. Известно, что в первой группе 25, во второй – 28 и в третьей – 20 человек.

Определить число возможных делегаций, если известно, что каждый студент из любой группы с одинаковой вероятностью может войти в состав делегации.

Из девяти значащих цифр составляются трехзначные числа.

7.

Сколько различных чисел может быть составлено?

Сколько различных четырехзначных чисел можно записать 8.

с помощью девяти значащих цифр, из которых ни одна не повторяется?

В пассажирском поезде 5 вагонов. Сколькими способами 9.

можно размещать вагоны, составляя этот поезд?

10. Из 10 кандидатов на одну и ту же должность должно быть выбрано 3. Определить все возможные варианты результатов выборов.

11. Бригадир должен отправить на работу звено из 5 человек.

Сколько таких звеньев можно составить из 12 человек бригады?

12. Сколько прямых линий можно провести через 8 точек, если известно, что любые три из них не лежат на одной прямой?

13. Сколькими способами можно составить патруль из трех солдат и одного офицера, если имеется 20 солдат и 3 офицера?

14. Сколькими способами 3 награды могут быть распределены между 10 участниками соревнования?

15. Сколькими различными способами можно избрать из 15 человек делегацию в составе трех человек?

16. Сколькими различными способами собрание, состоящее из 20 человек, может выбрать председателя собрания, его заместителя и секретаря?

17. Сколькими способами можно выбрать два карандаша и три ручки из пяти различных карандашей и пяти различных ручек?

18. Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (без повторений)?

19. Сколькими способами можно смоделировать флаг, состоящий из трех горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал пяти различных цветов?

20. Из 4 первокурсников, 5 второкурсников и 6 третьекурсников надо выбрать 3 студента на конференцию. Сколькими способами можно осуществить этот выбор, если среди выбранных должны быть студенты разных курсов?

21. При встрече 12 человек обменялись рукопожатиями.

Сколько рукопожатий было сделано при этом?

22. Сколькими способами можно выставить на игру футбольную команду, состоящую из трех нападающих, трех полузащитников, четырех защитников и вратаря, если всего в команде 6 нападающих, 3 полузащитника, 6 защитников и 1 вратарь?

23. Профсоюзное бюро факультета, состоящее из 9 человек, на своем заседании должно избрать председателя, его заместителя и казначея. Сколько различных случаев при этом может быть?

Сколько перестановок можно сделать из букв слова «ракета», чтобы все они начинались с буквы «р»?

Автоколонна, состоящая из 15 автомобилей, должна выделить на уборочные работы в колхозы 12 грузовиков.

Сколькими способами можно это сделать?

На шахматном турнире было сыграно 45 партий, причем 26.

каждый из шахматистов сыграл с остальными по одной партии. Сколько шахматистов участвовало в турнире?

На станции имеется 6 запасных путей. Сколькими способами можно расставить на них 4 поезда?

Сколькими способами можно рассадить 5 человек за круглым столом? (Рассматривается только расположение сидящих относительно друг друга.) В урне 12 белых и 8 черных шаров. Сколькими способами 29.

можно выбрать 5 шаров, чтобы среди них было 5 черных?

Известно, что 7 студентов сдали экзамен по теории вероятностей на «хорошо» и «отлично». Сколькими способами могли быть поставлены им оценки?

Комиссия состоит из председателя, его заместителя и еще 31.

пяти человек. Сколькими способами члены комиссии могут распределить между собой обязанности председателя и заместителя?

Сколькими способами можно выбрать трех дежурных из 32.

группы в 20 человек?

Чемпионат, в котором участвуют 16 команд, проводится в 33.

два круга (т. е. каждая команда дважды встречается с любой другой). Определить, какое количество встреч следует провести.

Замок открывается только в том случае, если набран определенный трехзначный номер. Попытка состоит в том, что набирают наугад три цифры из заданных пяти цифр. Угадать номер удалось только на последней из всех возможных попыток. Сколько попыток предшествовало удачной?

Из группы в 10 человек выбирают четырех участников эстафеты 800+400+200+100. Сколькими способами можно расставить спортсменов по этапам эстафеты?

Команда из пяти человек выступает на соревнованиях по 36.

плаванию, в которых участвуют еще 5 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться любые места, занятые членами этой команды?

Порядок выступления восьми участников конкурса определяется жребием. Сколько различных исходов жеребьевки при этом возможно?

Сколько различных «слов», состоящих из трех букв, можно 38.

образовать из букв слова БУРАН?

В конкурсе по трем номинациям участвуют 10 кинофильмов. Сколько существует вариантов распределение призов, если по каждой номинации установлены различные призы?

Группа студентов изучает 10 различных дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание занятий в понедельник, если в этот день должно быть 4 разных занятия?

<

Задача 2

Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «песня».

1.

Ребенок, не умеющий читать, рассыпал буквы и затем собрал в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получилось слово «песня». В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления.

Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера. Полученные кубики тщательно перемешаны. Определить вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь две окрашенные грани. В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления.

Из 10 билетов лотереи выигрышными являются 3. Найти 3.

вероятность того, что взятые наудачу 2 билета – выигрышные. В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления.

В лифт шестиэтажного дома на первом этаже вошли 3 человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выйдет на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятность того, что все пассажиры выйдут на четвертом этаже.

В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления.

В группе спортсменов 7 лыжников и 3 конькобежца. Из нее 5.

случайным образом выделены три спортсмена. Найти вероятность того, что все выбранные спортсмены окажутся лыжниками. В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления.

6. Из букв разрезной азбуки составлено слово «ремонт». Карточки с отдельными буквами тщательно перемешивают, затем наугад вытаскивают 4 карточки и раскладывают их в порядке извлечения. Какова вероятность получения при этом слова «море»? В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления.

7. Из восьми книг две художественные. Найти вероятность того, что среди взятых наугад четырех книг хотя бы одна художественная. В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления.

8. На полке 6 радиоламп, из которых две негодные. Случайным образом отбираются две радиолампы. Какова вероятность того, что они годны для использования? В ответ записать число, имеющее один знак после запятой без округления.

9. В запасе ремонтной мастерской 10 поршневых колец, три из них восстановленные. Определить вероятность того, что среди взятых наугад четырех колец два окажутся восстановленными? В ответ записать число, имеющее один знак после запятой без округления.

10. Шесть студентов условились ехать определенным рейсом электропоезда с 6 вагонами, но не договорились о номере вагона. Какова вероятность того, что ни один из них не встретится с другим, если возможности в размещении студентов по вагонам равновероятны? В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления.

11. Билеты лотереи выпущены на общую сумму 10 000 у.е.

Цена билета 0,5 у.е. Ценные выигрыши падают на 50 билетов. Определить вероятность ценного выигрыша на один билет. В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления.

12. В группе из 8 спортсменов шесть мастеров спорта. Найти вероятность того, что из двух случайным образом отобранных спортсменов хотя бы один – мастер спорта. В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления.

Из 25 билетов, пронумерованных числами от 1 до 25, 13.

наугад вынимают один. Найти вероятность того, что номер извлеченного билета есть число, не делящееся ни на 2, ни на 3, ни на 5. В ответ записать число, имеющее два знака после запятой без округления.

Определить вероятность того, что серия наудачу выбранной облигации не содержит одинаковых цифр, если номер серии может быть любым пятизначным числом, начиная с

00001. В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления.

Буквенный замок содержит на общей оси 4 диска, каждый 15.

из которых разделен на 3 сектора с различными нанесенными на них буквами. Замок открывается только в том случае, если каждый диск занимает одно определенное положение относительно корпуса замка. Определить вероятность открытия замка, если установлена произвольная комбинация букв. В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления.

Партия из 100 деталей проверяется контролером, который 16.

наугад отбирает 10 деталей и определяет их качество. Если среди выбранных контролером деталей нет ни одной бракованной, то вся партия принимается. В противном случае ее посылают на дополнительную проверку. Какова вероятность того, что партия деталей, содержащая 5 бракованных, будет принята контролером? В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления.

За выполнение контрольной работы 24 студента получили 17.

следующие оценки: 8 студентов – «отлично», 6 – «хорошо», 6 – «удовлетворительно», 4 – «неудовлетворительно».

Найти вероятность того, что работа наугад взятого студента оценена положительно. В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления.

Подбросили 3 монеты. Найти вероятность того, что хотя бы 18.

один раз выпал герб. В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления.

Из коробки, содержащей карточки с буквами «о», «н», «к», 19.

«ь», наугад вынимают одну карточку за другой и располагают в порядке извлечения. Какова вероятность того, что в результате получится слово «конь»? В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления.

Из пруда, в котором плавают 40 щук, выловили 5 щук, пометили их и пустили обратно в пруд. Во второй раз выловили 9 щук. Какова вероятность, что среди них окажутся только две помеченные щуки? В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления.

Пятитомное собрание сочинений расположено на полке в 21.

случайном порядке. Найти вероятность того, что книги стоят слева направо в порядке нумерации томов (от 1 до 5).

В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления.

Из пяти карточек с буквами «а», «б», «в», «г», «д» наугад 22.

одну за другой выбирают две и располагают их в порядке извлечения. Какова вероятность того, что получится слово «да»? В ответ записать число, имеющее два знака после запятой без округления.

В урне 3 белых и 7 черных шаров. Какова вероятность того, 23.

что извлеченные наугад два шара окажутся черными? В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления.

Мальчик забыл две последние цифры номера телефона одноклассника и набрал их наугад, помня только, что эти цифры нечетны и различны. Найти вероятность того, что номер набран правильно. В ответ записать число, имеющее два знака после запятой без округления.

В урне 5 шаров: красный, желтый, синий, зеленый и белый.

25.

Случайным образом их вынимают из урны. Найти вероятность того, что они будут извлечены в следующем порядке:

белый, синий, желтый, красный, зеленый. В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления.

После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошел обрыв провода. Какова вероятность того, что он произошел между 50-м и 55-м километрами линии? В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления.

В мастерскую для ремонта поступило 20 телевизоров. Известно, что 7 из них нуждаются в настройке. Мастер берет любые 5 телевизоров. Какова вероятность того, что 2 из них нуждаются в настройке? В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления.

В шахматном турнире участвуют 20 человек, которых по 28.

жребию распределяют в две группы по 10 человек. Найти вероятность того, что два сильнейших шахматиста будут играть в разных группах. В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления.

В партии, состоящей из 20 радиоприемников, 5 неисправных. Наугад берут 3 радиоприемника. Какова вероятность того, что в число выбранных войдут 1 неисправный и 2 исправных радиоприемника? В ответ записать число, имеющее два знака после запятой без округления.

В автобусе 4 пассажира. Найти вероятность того, что на 30.

четырех оставшихся до конечной остановках будет выходить по одному человеку, если каждый из пассажиров с равной вероятностью может выйти на любой остановке. В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления.

Зенитная батарея, состоящая из трех орудий, ведет огонь по 31.

двум самолетам. Каждое орудие выбирает цель случайно и независимо от других. Найти вероятность того, что все орудия будут стрелять по одной и той же цели. В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления.

Из 10 деталей, находящихся в ящике, 8 стандартных. Найти 32.

вероятность того, что из 6 наугад взятых деталей 4 окажутся стандартными. В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления.

В студенческой группе из 20 человек к практическому занятию готовы 18 человек. Преподаватель вызвал четырех студентов. Найти вероятность того, что они подготовлены к занятию. В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления.

Подбросили две игральные кости. Найти вероятность того, 34.

что сумма выпавших очков кратна 2. В ответ записать число, имеющее два знака после запятой без округления.

Даны целые числа от 11 до 19. Найти вероятность того, что 35.

квадрат наугад взятого числа оканчивается цифрой «6». В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления.

Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами 36.

от 1 до 200. Найти вероятность того, что номер первого извлеченного жетона не содержит цифру «7». В ответ записать число, имеющее два знака после запятой без округления.

Лифт отправляется с тремя пассажирами и останавливается 37.

на восьми этажах. Найти вероятность того, что никакие два пассажира не выйдут на одном и том же этаже. В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления.

В группе 15 студентов, среди которых 4 получают повышенную стипендию. По списку наугад отобрано 6 человек.

Найти вероятность того, что трое среди них получают повышенную стипендию. В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления.

В урне 24 шара, из них 18 красных и 6 черных. Наугад извлекли два шара. Найти вероятность того, что оба шара – черные. В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления.

Из 8 книг, находящихся на полке, 6 учебников. Найти вероятность того, что взятые наугад 3 книги будут учебниками.

В ответ записать число, имеющее три знака после запятой без округления.

Задача 3

В телестудии три телевизионные камеры. Вероятности того, что в данный момент камера включена, равны соответственно 0,9; 0,8; 0,7. Найти вероятность того, что в данный момент включены две камеры. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

В телестудии три телевизионные камеры. Вероятности того, что в данный момент камера включена, равны соответственно 0,9; 0,8; 0,7. Найти вероятность того, что в данный момент включено не более одной камеры. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

На железобетонном заводе изготавливают панели, 90% из 3.

которых – высшего сорта. Какова вероятность того, что из трех наугад выбранных панелей хотя бы одна панель будет высшего сорта? Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

На железобетонном заводе изготавливают панели, 90% из 4.

которых – высшего сорта. Какова вероятность того, что из трех наугад выбранных панелей будет не более одной панели высшего сорта? Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

В блок входят три радиолампы. Вероятности выхода из 5.

строя в течение гарантийного срока для них равны соответственно 0,3; 0,2; 0,4. Какова вероятность того, что в течение гарантийного срока выйдут из строя не менее двух радиоламп. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

В блок входят три радиолампы. Вероятности выхода из 6.

строя в течение гарантийного срока для них равны соответственно 0,3; 0,2; 0,4. Какова вероятность того, что в течение гарантийного срока выйдет из строя хотя бы одна радиолампа? Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

При одном цикле обзора трех радиолокационных станций, 7.

следящих за космическим кораблем, вероятности его обнаружения соответственно равны 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что при одном цикле обзора корабль будет обнаружен не менее чем двумя станциями. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

При одном цикле обзора трех радиолокационных станций, 8.

следящих за космическим кораблем, вероятности его обнаружения соответственно равны: 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что при одном цикле обзора корабль будет обнаружен двумя станциями. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

Трое рабочих собирают подшипники. Вероятность того, 9.

что подшипник, собранный первым рабочим, высшего качества, равна 0,7, вторым – 0,8, третьим – 0,6. Для контроля взято по одному подшипнику из собранных каждым рабочим. Какова вероятность того, что будут ровно два подшипника высшего качества? Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

Трое рабочих собирают подшипники. Вероятность того, 10.

что подшипник, собранный первым рабочим, высшего качества, равна 0,7, вторым – 0,8, третьим – 0,6. Для контроля взято по одному подшипнику из собранных каждым рабочим. Какова вероятность того, что будет хотя бы один подшипник высшего качества? Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

Первый станок-автомат дает 10% брака, второй – 15%, а 11.

третий – 20%. Случайным образом отобрали по одной детали с каждого станка. Какова вероятность того, что стандартной окажется ровно одна деталь? Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

Первый станок-автомат дает 10% брака, второй – 15%, а 12.

третий – 20%. Случайным образом отобрали по одной детали с каждого станка. Какова вероятность того, что стандартной окажется хотя бы одна деталь? Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

В цехе имеется три резервных электродвигателя. Для каждого из них вероятность того, что в данный момент он включен, соответственно равна 0,2; 0,3; 0,1. Найти вероятность того, что включены ровно два электродвигателя. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

В цехе имеется три резервных электродвигателя. Для каждого из них вероятность того, что в данный момент он включен, соответственно равна 0,2; 0,3; 0,1. Найти вероятность того, что включен хотя бы один электродвигатель.

Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

На участке кросса для мотоциклиста-гонщика имеется три 15.

препятствия. Вероятность успешного прохождения первого препятствия равна 0,4, второго – 0,5, третьего – 0,6. Найти вероятность успешного преодоления не менее двух препятствий. Ответ записать с одним знаком после запятой без округления.

На участке кросса для мотоциклиста-гонщика имеется три 16.

препятствия. Вероятность успешного прохождения первого препятствия равна 0,4, второго – 0,5, третьего – 0,6. Найти вероятность успешного преодоления двух препятствий.

Ответ записать с двумя знаками после запятой без округления.

Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 17.

0,9, второй – 0,7, третий –0,6. Вычислить вероятность того, что студент сдаст два экзамена. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 18.

0,9, второй – 0,7, третий – 0,6. Вычислить вероятность того, что студент сдаст не менее двух экзаменов. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

Самолет противника обнаруживается тремя радиолокаторами с вероятностями 0,8; 0,7; 0,5. Какова вероятность обнаружения самолета двумя радиолокаторами? Ответ записать с двумя знаками после запятой без округления.

Самолет противника обнаруживается тремя радиолокаторами с вероятностями 0,8; 0,7; 0,5. Какова вероятность обнаружения самолета хотя бы одним радиолокатором? Ответ записать с двумя знаками после запятой без округления.

Три команды спортивного общества А состязаются соответственно с тремя командами общества В. Вероятности выигрышей первой, второй и третьей команд из общества А у соответствующих команд из общества В равны 0,7; 0,6;

0,4. Команды провели по одной встрече. Какова вероятность того, что команды общества А выиграют две встречи? Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

Три команды спортивного общества А состязаются соответственно с тремя командами общества В. Вероятности выигрышей первой, второй и третьей команд из общества А у соответствующих команд из общества В равны 0,7; 0,6;

0,4. Команды провели по одной встрече. Какова вероятность того, что команды общества А выиграют хотя бы две встречи? Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

Три станка работают независимо друг от друга. Вероятность того, что первый станок в течение смены выйдет из строя, равна 0,1, второй – 0,2 и третий – 0,3. Найти вероятность того, что в течение смены выйдут из строя не менее двух станков. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

Три станка работают независимо друг от друга. Вероятность того, что первый станок в течение смены выйдет из строя, равна 0,1, второй – 0,2 и третий – 0,3. Найти вероятность того, что в течение смены выйдут из строя ровно два станка. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

Три автомата изготавливают детали. Вероятность того, что 25.

деталь, изготовленная первым автоматом, высшего качества, равна 0,9, для второго – 0,7, для третьего – 0,6. Наугад берут по одной детали с каждого автомата. Найти вероятность того, что из взятых деталей две высшего качества.

Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

Три автомата изготавливают детали. Вероятность того, что 26.

деталь, изготовленная первым автоматом, – высшего качества, равна 0,9, для второго – 0,7, для третьего – 0,6. Наугад берут по одной детали с каждого автомата. Найти вероятность того, что из взятых деталей хотя бы одна высшего качества. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

Инженер выполняет расчет, пользуясь тремя справочниками. Вероятности того, что интересующие его данные находятся в первом, втором, третьем справочниках, равны соответственно 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что интересующие инженера данные содержатся только в одном справочнике. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

Инженер выполняет расчет, пользуясь тремя справочниками. Вероятности того, что интересующие его данные находятся в первом, втором, третьем справочниках, равны соответственно 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что интересующие инженера данные содержатся только в двух справочниках. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

Для аварийной сигнализации установлены три независимо 29.

работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,9, второй – 0,7, третий – 0,5. Найти вероятность того, что при аварии сработают два сигнализатора. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

Для аварийной сигнализации установлены три независимо 30.

работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,9, второй – 0,7, третий – 0,5. Найти вероятность того, что при аварии не сработает ни один сигнализатор. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

Вычислительная машина состоит из четырех блоков. Вероятность безотказной работы в течение времени Т первого блока равна 0,4, второго – 0,5, третьего – 0,6, четвертого – 0,4. Найти вероятность того, что в течение времени Т проработают три блока. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

Вычислительная машина состоит из четырех блоков. Вероятность безотказной работы в течение времени Т первого блока равна 0,4, второго – 0,5, третьего – 0,6, четвертого – 0,4. Найти вероятность того, что в течение времени Т проработают менее трех блоков. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

Стрелок произвел четыре выстрела по удаляющейся от него цели, причем вероятность попадания в цель в начале стрельбы равна 0,7, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Вычислить вероятность того, что цель будет поражена три раза. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

Стрелок произвел четыре выстрела по удаляющейся от него цели, причем вероятность попадания в цель в начале стрельбы равна 0,7, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Вычислить вероятность того, что цель будет поражена не менее трех раз. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

Первый рабочий изготавливает 40% изделий второго сорта, 35.

а второй – 30%. У каждого рабочего взято наугад по два изделия. Какова вероятность того, что ровно три изделия второго сорта. Ответ записать с двумя знаками после запятой без округления.

36. Первый рабочий изготавливает 40% изделий второго сорта, а второй – 30%. У каждого рабочего взято наугад по два изделия. Какова вероятность того, что не менее трех изделий второго сорта. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

37. Вероятность выигрыша по лотерейному билету первого выпуска равна 0,2, второго – 0,3. Имеется по два билета каждого выпуска. Найти вероятность того, что выиграют не менее трех билетов. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

38. Вероятность выигрыша по лотерейному билету первого выпуска равна 0,2, второго – 0,3. Имеется по два билета каждого выпуска. Найти вероятность того, что выиграют ровно три билета. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления.

39. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,9, вторым – 0,7. Оба стрелка сделали по одному выстрелу.

Какова вероятность того, что цель поражена хотя бы один раз? Ответ записать с двумя знаками после запятой без округления.

40. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,9, вторым – 0,7. Оба стрелка сделали по одному выстрелу.

Какова вероятность того, что цель поражена один раз? Ответ записать с двумя знаками после запятой без округления.

Задача 4

20% приборов монтируется с применением микромодулей, 1.

остальные – с применением интегральных схем. Надежность прибора с применением микромодулей – 0,9, интегральных схем – 0,8. Найти: а) вероятность надежной работы наугад взятого прибора; б) вероятность того, что прибор

– с микромодулем, если он был исправен. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления.

Детали попадают на обработку на один из трех станков с 2.

вероятностями, равными соответственно 0,2; 0,3; 0,5. Вероятность брака на первом станке равна 0,02, на втором – 0,03, на третьем – 0,01. Найти: а) вероятность того, что случайно взятая после обработки деталь – стандартная;

б) вероятность обработки наугад взятой детали на втором станке, если она оказалась стандартной. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления.

Среди поступивших на сборку деталей 30% – с завода № 1, 3.

остальные – с завода № 2. Вероятность брака для завода № 1 равна 0,02, для завода № 2 – 0,03. Найти: а) вероятность того, что наугад взятая деталь стандартная; б) вероятность изготовления наугад взятой детали на заводе № 1, если она оказалась стандартной. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления.

Три автомата изготавливают однотипные детали, которые 4.

поступают на общий конвейер. Производительности первого, второго и третьего автоматов соотносятся как 2:3:5. Вероятность того, что деталь с первого автомата – высшего качества, равна 0,8, для второго – 0,6, для третьего – 0,7.

Найти вероятность того, что: а) наугад взятая с конвейера деталь окажется высшего качества; б) взятая наугад деталь высшего качества изготовлена первым автоматом. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления.

Комплектовщик получает для сборки 30% деталей с завода 5.

№ 1, 20% – с завода № 2, остальные – с завода № 3. Вероятность того, что деталь с завода № 1 – высшего качества, равна 0,9, для деталей с завода № 2 – 0,8, для деталей с завода № 3 – 0,6. Найти вероятность того, что: а) случайно взятая деталь – высшего качества; б) наугад взятая деталь высшего качества изготовлена на заводе № 2. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления.

Заготовка может поступить для обработки на один из двух 6.

станков с вероятностями 0,4 и 0,6 соответственно. При обработке на первом станке вероятность брака составляет 2%, на втором – 3%. Найти вероятность того, что: а) наугад взятое после обработки изделие – стандартное; б) наугад взятое после обработки стандартное изделие обработано на первом станке. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления.

7. На двух станках обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для станка № 1 составляет 0,03, для станка № 2 – 0,02. Обработанные детали складываются в одном месте, причем деталей, обработанных на станке № 1, вдвое больше, чем на станке № 2. Найти вероятность того, что: а) взятая наугад деталь будет стандартной; б) наугад взятая стандартная деталь изготовлена на первом станке. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления.

8. В дисплейном классе имеется 10 персональных компьютеров первого типа и 15 второго типа. Вероятность того, что за время работы на компьютере первого типа не произойдет сбоя, равна 0,9, а на компьютере второго типа – 0,7.

Найти вероятность того, что: а) на случайно выбранном компьютере за время работы не произойдет сбоя; б) компьютер, во время работы на котором не произошло сбоя, – первого типа. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления.

9. Вероятность того, что во время работы ЭВМ возникнет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. а) Найти вероятность того, что возникший в ЭВМ сбой будет обнаружен. б) Во время работы ЭВМ был обнаружен сбой. Найти вероятность того, что он возник в оперативной памяти. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления.

10. По линии связи передано два сигнала типов А и В с вероятностями соответственно 0,8 и 0,2. В среднем принимается 60% сигналов типа А и 70% типа В. Найти вероятность того, что: а) посланный сигнал будет принят; б) принятый сигнал – типа А. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления.

11. Для сигнализации о том, что режим работы автоматической линии отклоняется от нормального, используются индикаторы двух типов. Вероятности того, что индикатор принадлежит к одному из двух типов, равны соответственно 0,4 и 0,6. При нарушении работы линии вероятность срабатывания индикатора первого типа равна 0,9, второго – 0,7. а) Найти вероятность того, что наугад выбранный индикатор сработает при нарушении нормальной работы линии, б) Индикатор сработал. Найти вероятность того, что он принадлежит первому типу. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления.

12. Резистор, поставленный в телевизор, может принадлежать к одной из двух партий с вероятностями 0,6 и 0,4. Вероятности того, что резистор проработает гарантийное число часов, для этих партий равны соответственно 0,8 и 0,7. а) Найти вероятность того, что взятый наугад резистор проработает гарантийное число часов, б) Резистор проработал гарантийное число часов. Найти вероятность того, что он принадлежит ко второй партии. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления.

13. При отклонении от штатного режима работы поточной линии срабатывают сигнализатор типа Т-1 с вероятностью 0,9 и сигнализатор типа Т-2 с вероятностью 0,8. Вероятности того, что линия снабжена сигнализаторами типов Т-1 и Т-2, равны соответственно 0,7 и 0,3. а) Найти вероятность того, что при отклонении от штатного режима работы сигнализатор сработает, б) Сигнализатор сработал. Найти вероятность того, что он принадлежит к первому типу. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления.

14. Для участия в студенческих спортивных соревнованиях выделено 10 человек из первой группы и 8 из второй. Вероятность того, что студент первой группы попадет в сборную института, равна 0,8, а для студента второй группы – 0,7. а) Найти вероятность того, что случайно выбранный студент попал в сборную института. б) Студент попал в сборную института. Найти вероятность того, что он учится во второй группе. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления.

На сборку поступают детали с трех конвейеров. Первый 15.

дает 25%, второй – 30% и третий – 45% деталей, поступающих на сборку. С первого конвейера в среднем поступает 2% брака, со второго – 3%, с третьего – 1%. Найти вероятность того, что: а) на сборку поступила бракованная деталь;

б) поступившая на сборку бракованная деталь – со второго конвейера. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с одной знаком после запятой без округления.

В двух коробках имеются однотипные конденсаторы. В 16.

первой 20 конденсаторов, из них 2 неисправных, во второй

– 10, из них 3 неисправных. а) Найти вероятность того, что наугад взятый конденсатор из случайно выбранной коробки годен к использованию. б) Наугад взятый конденсатор оказался годным. Найти вероятность того, что конденсатор взят из первой коробки. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления.

В телевизионном ателье имеется 2 кинескопа первого типа 17.

и 8 второго типа. Вероятность выдержать гарантийный срок для кинескопов первого типа равна 0,9, а для второго типа – 0,6. Найти вероятность того, что: а) взятый наугад кинескоп выдержит гарантийный срок; б) взятый наугад кинескоп, выдержавший гарантийный срок, первого типа.

В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления.

У сборщика 16 деталей, изготовленных на заводе № 1, и 10 18.

деталей, изготовленных на заводе № 2. Вероятности того, что детали выдержат гарантийный срок, равны соответственно для деталей с завода № 1 – 0,8; с завода № 2 – 0,9.

а) Найти вероятность того, что взятая наугад деталь выдержит гарантийный срок. б) Взятая наугад деталь выдержала гарантийный срок. Найти вероятность того, что деталь изготовлена на заводе № 2. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления.

Телеграфное сообщение состоит из сигналов «точка» и 19.

«тире», они встречаются в передаваемых сообщениях в отношении 5 : 3. Статические свойства помех таковы, что искажаются в среднем 2/5 сообщений «точка» и 1/3 сообщений «тире». Найти вероятность того, что: а) передаваемый сигнал принят; б) принятый сигнал – «тире». В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления.

Для поисков спускаемого аппарата космического корабля 20.

выделено 4 вертолета первого типа и 6 вертолетов второго типа. Каждый вертолет первого типа обнаруживает находящийся в районе поиска аппарат с вероятностью 0,6, второго типа – с вероятностью 0,7. а) Найти вероятность того, что наугад выбранный вертолет обнаружит аппарат. б) Вертолет обнаружил спускаемый аппарат. Найти вероятность того, что он принадлежит к первому типу. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления.

Прибор состоит из двух узлов одного типа и трех узлов 21.

второго типа. Надежность работы в течение времени Т для узла первого типа равна 0,8, а для узла второго типа – 0,7.

а) Найти вероятность того, что наугад выбранный узел проработает в течение времени Т. б) Узел проработал гарантийное время Т. Найти вероятность того, что он принадлежит ко второму типу. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с одним знаком после запятой без округления.

Пассажир может обратиться за получением билета в одну 22.

из трех касс вокзала А или в одну из пяти касс вокзала В.

Вероятность того, что к моменту прихода пассажира в кассах вокзала А имеются в продаже билеты, равна 0,6, в кассах вокзала В – 0,5. а) Найти вероятность того, что в наугад выбранной кассе имеется в продаже билет. б) Пассажир купил билет. Найти вероятность того, что он купил билет в кассе вокзала В. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления.

В вычислительной лаборатории 40% микрокалькуляторов и 23.

60% компьютеров. Во время расчета 90% микрокалькуляторов и 80% компьютеров работают безотказно. а) Найти вероятность того, что наугад взятая вычислительная машина проработает безотказно во время расчета. б) Выбранная машина проработала безотказно во время расчета. Найти вероятность того, что это был компьютер. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления.

В состав блока входят 6 радиоламп первого типа и 10 второго. Гарантийный срок обычно выдерживают 80% радиоламп первого типа и 90% второго типа. Найти вероятность того, что: а) наугад взятая радиолампа выдержит гарантийный срок; б) радиолампа, выдержавшая гарантийный срок, первого типа. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с одним знаком после запятой без округления.

На сборку поступают детали с трех автоматов, причем с 25.

первого 30%, со второго 40% и с третьего 30% всех деталей. Вероятность брака для первого автомата равна 0,02, для второго – 0,03, для третьего – 0,04.

а) Найти вероятность того, что взятая наугад деталь – бракованная. б) Взятая наугад деталь оказалась бракованной.

Найти вероятность того, что она поступила с третьего автомата. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления.

Имеется 6 коробок диодов типа А и 8 коробок диодов типа 26.

В. Вероятность безотказной работы диода типа А равна 0,8, типа В – 0,7. а) Найти вероятность того, что взятый наугад диод проработает гарантийное число часов. б) Взятый наугад диод проработал гарантийное число часов. Найти вероятность того, что он относится к типу А. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с одним знаком после запятой без округления.

Для участия в студенческих спортивных соревнованиях 27.

выделено из первой группы 5 студентов, из второй и третьей – соответственно 6 и 10 студентов. Вероятности выполнения нормы мастера спорта равны для студентов первой группы – 0,3, второй – 0,4, третьей – 0,2. Найти вероятность того, что: а) наугад взятый студент выполнит норму мастера спорта; б) студент, выполнивший норму мастера спорта, учится во второй группе. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления.

На участке, изготавливающем болты, первый станок производит 25%, второй – 35%, третий – 40% всех изделий. В продукции каждого из станков брак составляет соответственно 5%, 4%, 2%. Найти вероятность того, что: а) взятый наугад болт – с дефектом; б) случайно взятый болт с дефектом изготовлен на третьем станке. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления.

Приборы изготавливаются двумя заводами. Первый изготавливает 2/3 всех изделий, второй – 1/3. Надежность (вероятность безотказной работы) прибора, изготовленного первым заводом равна 0,9, вторым 0,8. а) Определить полную надежность прибора, поступившего в производство.

б) Прибор проработал безотказно. Найти вероятность того, что он изготовлен первым заводом. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления.

Три машины производят болты, причем первая машина 30.

производит 30% всей продукции, вторая машина – 45% и третья – 25%. Доля брака в продукции первой машины 4%, в продукции второй машины – 3%, в продукции третьей – 5%. а) Чему равна вероятность того, что наудачу взятый болт окажется дефектным? б) Случайно выбранный из продукции болт оказался дефектным. Какова вероятность того, что он произведен первой машиной. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с одним знаком после запятой без округления.

Производится стрельба по мишеням трех типов, из которых 5 мишеней типа А, 3 мишени типа В и 3 мишени типа С. Вероятность попадания в мишень типа А равна 0,4, в мишень типа В – 0,1, в мишень типа С – 0,15. Найти вероятность того, что: а) мишень будет поражена при одном выстреле, если неизвестно, по мишени какого типа он был сделан; б) при одном выстреле (если неизвестно, по мишени какого типа он сделан) будет поражена мишень типа А.

В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления.

Два датчика посылают сигналы в общий канал связи, причем первый из них посылает вдвое больше сигналов, чем второй. Вероятность получить искаженный сигнал от первого датчика равна 0,06, от второго – 0,03. а) Какова вероятность получить искаженный сигнал в общем канале связи? б) Был получен искаженный сигнал. Найти вероятность того, что он получен от первого датчика. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления.

Две урны А и В содержат цветные шары в следующем составе: А – 5 зеленых и 7 красных, В – 4 зеленых и 2 красных. Какова вероятность вынуть зеленый шар, если: а) сначала случайно выбирается урна и затем вынимается из нее шар; б) шары из двух урн перекладываются в третью и шар вынимается из нее. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления.

Два завода выпускают телевизоры. Первый из них делает 34.

70% всей продукции, второй – 30%, причем 90% продукции первого завода и 85% второго – высшего качества, а) Найти вероятность того, что наугад взятый телевизор – высшего качества. б) Выбранный наугад телевизор оказался высшего качества. Какова вероятность того, что он изготовлен на первом заводе? В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления.

Надежность автомобиля, собранного из высококачественных деталей, равна 0,95. Если автомобиль собирают из деталей серийного производства, то его надежность равна 0,6.

Высококачественные детали составляют 30% общего числа деталей. а) Найти вероятность того, что наугад взятый автомобиль безотказно проработает в течение установленного времени. б) Автомобиль безотказно проработал в течение указанного времени. Найти вероятность того, что он собран из высококачественных деталей. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с одним знаком после запятой без округления.

Для сигнализации о том, что режим работы автоматической 36.

линии отклоняется от нормального, используется индикатор. Он принадлежит с вероятностями 0,5, 0,2 и 0,3 к одному из трех типов. Для каждого типа индикатора вероятности подачи сигнала при нарушении нормальной работы линии равны соответственно 0,9; 0,8; 0,6. а) Найти вероятность получения сигнала от индикатора. б) От индикатора получен сигнал. Найти вероятность того, что индикатор – первого типа. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления.

Вероятности подключения абонента к каждой из трех АТС 37.

равны соответственно 0,2; 0,4; 0,4. Вероятность соединения абонентов в случае подключения для первой АТС – 0,25, для второй – 0,4, для третьей – 0,35. а) Найти вероятность соединения абонентов. б) Соединение произошло. Найти вероятность того, что подключилась третья АТС. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления.

На конвейер поступают одинаковые детали со станков А и 38.

В. Вероятность брака для станка А равна 0,06, для станка В

– 0,02. Со станка А поступает в 4 раза больше деталей, чем со станка В. а) Найти вероятность того, что взятая наугад деталь будет стандартной. б) Взятая наугад деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она поступила со станка А. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления.

Вероятность повреждения электролинии на участке С1, 39.

протяженностью 8 км равна 0,3, на участке С2 протяженностью 11 км – 0,2, на участке С3 протяженностью 6 км – 0,15. а) Найти вероятность повреждения электролинии. б) Произошло повреждение электролинии. Найти вероятность того, что это повреждение – на участке С2. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления.

Имеется три одинаковые урны, в первой из которых 5 зеленых и 3 синих шара, во второй – 2 зеленых и 4 синих шара, в третьей – 1 зеленый и 3 синих. а) Найти вероятность того, что шар, взятый из наугад выбранной урны, будет зеленым.

б) Наугад взятый шар оказался зеленым. Найти вероятность того, что он из первой урны. В ответ записать сумму полученных чисел, записанных с двумя знаками после запятой без округления.

Задача 5 Всхожесть семян некоторого растения составляет 80%.

1.

Найти вероятность того, что из 6 посеянных семян взойдут:

а) три; б) четыре. В ответ записать сумму полученных чисел, каждое из которых взято с тремя знаками после запятой без округления.

В семье четверо детей. Принимая равновероятным рождение мальчика и девочки, найти вероятность того, что мальчиков в семье: а) три; б) два. В ответ записать сумму полученных чисел, каждое из которых взято с тремя знаками после запятой без округления.

Среди заготовок, изготавливаемых рабочим, в среднем 4% 3.

не удовлетворяют требованиям стандарта. Найти вероятность того, что среди 6 заготовок, взятых для контроля, требованиям стандарта не удовлетворяют: а) не менее пяти;

б) пять. В ответ записать сумму полученных чисел, каждое из которых взято с тремя знаками после запятой без округления.

Вероятность выигрыша по одной облигации трехпроцентного займа равна 0,25. Найти вероятность того, что из восьми купленных облигаций выигрышными окажутся: а) три; б) две. В ответ записать сумму полученных чисел, каждое из которых взято с тремя знаками после запятой без округления.

Вероятность успешной сдачи студентом каждого из пяти 5.

экзаменов равна 0,7. Найти вероятность успешной сдачи: а) трех экзаменов; б) двух экзаменов. В ответ записать сумму полученных чисел, каждое из которых взято с двумя знаками после запятой без округления.

Вероятность работы каждого из семи моторов в данный 6.

момент равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент включены: а) два мотора; б) три мотора. В ответ записать сумму полученных чисел, каждое из которых взято с тремя знаками после запятой без округления.

В телеателье имеется 7 телевизоров. Для каждого телевизора вероятность того, что в данный момент он включен, равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включены: а) четыре телевизора; б) хотя бы один телевизор. В ответ записать сумму полученных чисел, каждое из которых взято с тремя знаками после запятой без округления.

При массовом производстве полупроводниковых диодов 8.

вероятность брака при формовке равна 0,1. Найти вероятность того, что из восьми диодов, проверяемых ОТК, бракованных будет: а) два; б) не более двух. В ответ записать сумму полученных чисел, каждое из которых взято с тремя знаками после запятой без округления.

Вероятность поражения мишени для данного стрелка в 9.

среднем составляет 80%. Стрелок произвел 6 выстрелов по мишени. Найти вероятность того, что мишень была поражена: а) пять раз; б) не менее пяти раз. В ответ записать сумму полученных чисел, каждое из которых взято с двумя знаками после запятой без округления.

Вероятность, сдачи экзамена для каждого из шести студентов равна 0,8. Найти вероятность того, что экзамен сдадут:

а) пять студентов; б) не менее пяти студентов. В ответ записать сумму полученных чисел, каждое из которых взято с двумя знаками после запятой без округления.

Вероятность поражения в каждой шахматной партии для 11.

игрока равна 0,5. Найти вероятность того, что он выиграл в шести партиях: а) хотя бы один раз; б) два раза. В ответ записать сумму полученных чисел, каждое из которых взято с тремя знаками после запятой без округления.

Всхожесть семян лимона составляет 80%. Найти вероятность того, что из 9 посеянных семян взойдут: а) семь; б) более семи. В ответ записать сумму полученных чисел, каждое из которых взято с тремя знаками после запятой без округления.

При штамповке изделий бывает в среднем 20% брака. Для 13.

контроля отобрано 8 изделий. Найти: а) вероятность того, что два изделия окажутся бракованными; б) наивероятнейшее число бракованных изделий. В ответ записать сумму полученных чисел, каждое из которых взято с тремя знаками после запятой без округления.

Среди изделий, подвергавшихся термической обработке, в 14.

среднем 80% высшего сорта. Найти вероятность того, что среди пяти изделий: а) хотя бы четыре высшего сорта; б) четыре высшего сорта. В ответ записать сумму полученных чисел, каждое из которых взято с тремя знаками после запятой без округления.

Оптовая база обслуживает 6 магазинов. Вероятность получения заявки базой на данный день для каждого из магазинов равна 0,6. Найти вероятность того, что в этот день будет: а) пять заявок; б) не менее пяти заявок. В ответ записать сумму полученных чисел, каждое из которых взято с тремя знаками после запятой без округления.

После зубофрезеровки шестерен у рабочего в среднем получается 20% нестандартных шестерен. Найти вероятность того, что среди взятых шести шестерен нестандартных будет: а) три; б) хотя бы одна. В ответ записать сумму полученных чисел, каждое из которых взято с тремя знаками после запятой без округления.

При передаче сообщения вероятность искажения одного 17.

знака равна 0,1. Найти вероятность того, что сообщение из 10 знаков: а) не будет искажено; б) содержит три искажения. В ответ записать сумму полученных чисел, каждое из которых взято с тремя знаками после запятой без округления.

Продукция, поступающая из цеха в ОТК, не удовлетворяет 18.

условиям стандарта в среднем в 8% случаев. Найти вероятность того, что из наугад взятых семи изделий удовлетворяют условиям стандарта: а) шесть изделий; б) не менее шести изделий. В ответ записать сумму полученных чисел, каждое из которых взято с тремя знаками после запятой без округления.

Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 19.

0,4. Произведено 8 выстрелов. Найти: а) вероятность поражения цели три раза; б) наивероятнейшее число поражений. В ответ записать сумму полученных чисел, каждое из которых взято с тремя знаками после запятой без округления.

Вероятность того, что изделие пройдет контроль, равна 0,8.

20.

Найти вероятность того, что из шести изделий контроль пройдут: а) пять изделий; б) не менее пяти изделий. В ответ записать сумму полученных чисел, каждое из которых взято с тремя знаками после запятой без округления.

21. Среди деталей, изготавливаемых рабочим, в среднем 2% нестандартных. Найти вероятность того, что среди взятых на испытание пяти деталей: а) три нестандартных; б) ни одной нестандартной детали. В ответ записать сумму полученных чисел, каждое из которых взято с тремя знаками после запятой без округления.

22. Вероятность перевыполнения годового плана для каждого из восьми рабочих равна 0,8. Найти вероятность того, что перевыполнят годовой план: а) хотя бы один рабочий; б) трое рабочих. В ответ записать сумму полученных чисел, каждое из которых взято с тремя знаками после запятой без округления.

23. Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,8. Произведено 7 выстрелов. Найти вероятность того, что имело место: а) четыре поражения цели; б) шесть поражений. В ответ записать сумму полученных чисел, каждое из которых взято с тремя знаками после запятой без округления.

24. Вероятность поражения цели каждым из семи выстрелов равна 0,8. Найти вероятность поражения цели: а) двумя выстрелами; б) хотя бы одним выстрелом. В ответ записать сумму полученных чисел, каждое из которых взято с тремя знаками после запятой без округления.

25. Вероятность потопить судно одной торпедой равна 0,2.

Выпущено 5 торпед. Найти вероятность того, что имеет место: а) три попадания в судно; б) четыре попадания. В ответ записать сумму полученных чисел, каждое из которых взято с тремя знаками после запятой без округления.

26. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из винтовки равна 0,3. Произведено 6 выстрелов. Найти вероятность того, что произошло: а) три попадания в цель; б) пять попаданий. В ответ записать сумму полученных чисел, каждое из которых взято с тремя знаками после запятой без округления.

27. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,6. Произведено 5 выстрелов. Найти вероятность того, что будет иметь место: а) четыре поражения цели; б) три поражения. В ответ записать сумму полученных чисел, каждое из которых взято с тремя знаками после запятой без округления.

28. Вероятность попадания в цель равна 0,3. Одновременно сбрасывается 6 бомб. Найти вероятность того, что в цель попадают: а) четыре бомбы; б) не менее четырех бомб. В ответ записать сумму полученных чисел, каждое из которых взято с тремя знаками после запятой без округления.

29. Среди деталей, изготавливаемых рабочим, в среднем 4% бракованных. Найти вероятность того, что среди взятых на контроль пяти деталей: а) две бракованные; б) хотя бы одна бракованная. В ответ записать сумму полученных чисел, каждое из которых взято с тремя знаками после запятой без округления.

30. Вероятность выиграть по одной облигации государственного займа равна 1/3. Найти вероятность того, что, имея 6 облигаций этого займа, можно выиграть: а) по двум облигациям; б) по трем облигациям. В ответ записать сумму полученных чисел, каждое из которых взято с тремя знаками после запятой без округления.

31. Среди вырабатываемых рабочим деталей в среднем 3% бракованных. Найти вероятность того, что среди взятых наугад шести деталей: а) нет бракованных; б) не более трех бракованных. В ответ записать сумму полученных чисел, каждое из которых взято с тремя знаками после запятой без округления.

32. Вероятность ежедневного нормального расходования воды в городе принимается равной 0,8. Найти: а) наиболее вероятное число дней в течение недели, в которые расход воды будет нормальным; б) вероятность того, что два дня в неделю расход воды будет нормальным. В ответ записать сумму полученных чисел, каждое из которых взято с тремя знаками после запятой без округления.

33. Вероятность поломки станка в течение одной смены равна 0,3. Определить вероятность поломки станка: а) в течение каждой из трех смен; б) в течение одной из трех смен. В ответ записать сумму полученных чисел, каждое из которых взято с тремя знаками после запятой без округления.

34. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при двух выстрелах равна 0,91. Найти вероятность: а) трех попаданий при шести выстрелах; б) не менее двух попаданий при четырех выстрелах. В ответ записать сумму полученных чисел, каждое из которых взято с тремя знаками после запятой без округления.

Вероятность того, что расход электроэнергии за сутки не 35.

превышает нормы, равна 0,8. Найти вероятность того, что в ближайшие 7 суток расход электроэнергии не превысит нормы: а) за 4 суток; б) не менее чем за 5 суток. В ответ записать сумму полученных чисел, каждое из которых взято с тремя знаками после запятой без округления.

Вероятность нормального расхода горючего в автоколонне 36.

составляет 0,8. а) Определить вероятность того, что в ближайшие 7 дней расход горючего будет нормальным, б) найти наиболее вероятное число дней в течение недели, в которые расход горючего будет нормальным. В ответ записать сумму полученных чисел, каждое из которых взято с тремя знаками после запятой без округления.

Вероятность попадания в цель равна 0,5. Сбрасывают по 37.

одной 5 бомб. Определить вероятность того, что будет: а) не менее одного попадания в цель; б) два попадания. В ответ записать сумму полученных чисел, каждое из которых взято с тремя знаками после запятой без округления.

Завод выпускает 75% продукции первого сорта. Найти: а) 38.

наиболее вероятное число изделий первого сорта среди 6 отобранных; б) вероятность того, что не менее трех изделий – первого сорта. В ответ записать сумму полученных чисел, каждое из которых взято с тремя знаками после запятой без округления.

Отделом технического контроля установлено, что из 100 39.

велосипедов, изготовленных заводом, 10 с дефектом. Найти вероятность того, что из 6 выбранных велосипедов будет:

а) 3 с дефектом; б) 5 удовлетворяющих требованиям качества. В ответ записать сумму полученных чисел, каждое из которых взято с тремя знаками после запятой без округления.

Ожидается прибытие трех судов с овощами и фруктами.

40.

Статистика показывает, что в 1% случаев груз овощей и фруктов частично портится в дороге. Найти вероятность того, что: а) только одно судно придет частично испорченным грузом; б) все три судна придут с неиспорченным грузом. В ответ записать сумму полученных чисел, каждое из которых взято с тремя знаками после запятой без округления.

<

Задача 6

Вероятность появления события в каждом из независимых 1.

испытаний равна 0,25. Найти вероятность того, что событие наступит 54 раза в 243 испытаниях. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления, учитывая, что 1 0,2420, 1,2 0,1942.

Вероятность появления события в каждом из независимых 2.

испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 144 испытаниях событие наступит 120 раз. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления, учитывая, что 1 0,2420, 1,3 0,1714.

Вероятность появления события в каждом из независимых 3.

испытаний равна 0,2. Найти вероятность того, что событие наступит 25 раз в 100 испытаниях. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления, учитывая, что 1, 25 0,1826, 1 0,2420.

Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие наступит 1470 раз. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления, учитывая, что 0 0,3989, 1 0,2420.

Вероятность производства бракованной детали равна 0,008.

5.

Найти вероятность того, что из взятых на проверку 1000 деталей 2 бракованных. Ответ записать с двумя знаками после запятой без округления, учитывая, что e 2,72.

Вероятность появления события в каждом из независимых 6.

испытаний равна 0,2. Найти вероятность того, что событие наступит 20 раз в 100 испытаниях. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления, учитывая, что 0 0,3989, 1 0,2420.

Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность отказа любого элемента в течение часа равна 0,002. Найдите вероятность того, что за час откажут 4 элемента. Ответ записать с двумя знаками после запятой без округления, учитывая, что е 2,72.

8. Найти вероятность того, что среди наудачу взятых 100 деталей 55 окажутся отполированными, если в общей массе деталей имеется поровну отполированных и неотполированных. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления, учитывая, что 0 0,3989, 1 0,2420.

9. Семена содержат 0,1 % сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 2000 семян обнаружить 5 семян сорняков. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления, учитывая, что е 2,72.

10. Найти вероятность одновременного останова 30 машин из 100 работающих, если вероятность останова для каждой машины равна 0,2. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления, учитывая, что 2,5 0,0175, 3 0,0044.

11. Вероятность того, что при автоматической штамповке изделий отдельное изделие окажется бракованным (т.е. с отклонениями от стандарта) постоянна и равна 0,05. Какова вероятность того, что в партии из 1000 изделий встретится ровно 40 бракованных? Ответ записать с двумя знаками после запятой без округления, учитывая, что 0 0,3989, 1, 45 0,1394.

12. Найти вероятность поражения мишени 75 раз при 100 выстрелах, если вероятность поражения при одном выстреле равна 0,8. Ответ записать с тремя знаками после запятой без 1, 25 0,1826, округления, учитывая, что 2,5 0,0175.

13. Станок состоит из 2000 независимо работающих узлов. Вероятность отказа одного узла в течение года равна 0,0005.

Найти вероятность отказа в течение года двух узлов. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления, учитывая, что e 2,72.

14. Промышленная телевизионная установка содержит 2000 транзисторов. Вероятность выхода из строя каждого из транзисторов равна 0,0005. Найти вероятность выхода из строя хотя бы одного транзистора. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления, учитывая, что e 2,72.

15. Средний процент нарушения работы кинескопа телевизора в течение гарантийного срока равен 12. Вычислить вероятность того, что из 46 наблюдаемых телевизоров 36 выдержат гарантийный срок. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления, учитывая, что 2,04 0,0498, 2,8 0,0079.

16. Вероятность появления события в каждом из 2000 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие наступит 1400 раз. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления, учитывая, что 0 0,3989, 1 0,2420.

17. Вероятность появления события в каждом из 21 независимого испытания равна 0,7. Найти вероятность того, что событие наступит не менее 11 раз. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления, учитывая, что Ф 1,76 0,4608, Ф 2,18 0,4854, Ф 1 0,3413, Ф 3 0,49865.

18. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 мин равна 0,004.

Найти вероятность того, что в течение 1 мин обрыв произойдет на шести веретенах. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления, учитывая, что е 2,72.

19. Вероятность появления события в каждом из 900 независимых испытаний равна 0,5. Найти вероятность того, что событие наступит 450 раз. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления, учитывая, что 0 0,3989, 2 0,0540.

20. Вероятность того, что изделие – высшего сорта, равна 0,5.

Найти вероятность того, что из 1000 изделий 500 – высшего сорта. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления, учитывая, что 0 0,3989, 1 0,2420.

21. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 100 испытаниях событие наступит не менее 70 и не более 80 раз.

Ответ записать с тремя знаками после запятой без округлеФ 0 0, Ф 2,5 0,4938, ния, учитывая, что Ф 1 0,3413, Ф 2 0, 4772.

22. Вероятность того, что изделие – высшего качества, равна 0,5. Найти вероятность того, что из 400 изделий число изделий высшего качества составит от 194 до 208. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления, учиФ 0,8 0,2881; Ф 0,6 0,2257, тывая, что Ф 0,77 0, 2794, Ф 1,1 0,3643.

23. Найти вероятность того, что при 400 испытаниях событие появится 200 раз, если вероятность его наступления в каждом независимом испытании равна 0,2. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления, учитывая, что 0 0,3989, 3 0,0044.

24. Всхожесть семян данного растения равна 0,9. Найти вероятность того, что из 900 посаженных семян число проросших будет заключено между 790 и 830. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления, учитывая, что Ф 0,15 0,0596, Ф 1,2 0,3849, Ф 2,22 0,4868.

Вероятность рождения мальчика равна 0,5. Найти вероятность того, что из 1000 рождающихся детей мальчиков будет не менее 500, но не более 550. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления, учитывая, что Ф 0 0; Ф 3,16 0,499, Ф 0,44 0,17, Ф 1,16 0,3770.

26. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Используя теорему Муавра-Лапласа, найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не более 75 раз. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления, учитывая, что Ф 0 0; Ф 0,1 0,0398, Ф 1,25 0,3944.

27. По мишени проводится 100 выстрелов. Вероятность попадания для каждого выстрела равна 0,75. Найти вероятность того, что число попаданий будет не менее 80. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления, учитывая, что Ф 5,77 0,5; Ф 1,15 0,3749, Ф 0,8 0,2881;

Ф 2,02 0,4783.

28. Вероятность получения с конвейера изделий 1-го сорта равна 0,75. Принята партия в 1000 изделий. Определить вероятность того, что изделий первого сорта окажется от 720 до 800. Ответ записать с тремя знаками после запятой без Ф 3,65 =0,49998;, округления, учитывая, что Ф 2,19 =0,4861; Ф 0 0; Ф 1,33 0,4082.

29. Вероятность выхода за время Т одного конденсатора равна 0,2. Найти вероятность того, что из 100 конденсаторов за время Т выйдет из строя более 12, но менее 26 конденсаторов. Ответ записать с двумя знаками после запятой без округления, учитывая, что Ф 1,5 0,4332; Ф 2 0,4772, Ф 1,67 0,4525; Ф 2,7 0,4965.

30. Вероятность того, что наудачу выбранная деталь окажется бракованной, при каждой проверке одна и та же и равна 0,2.

Определить вероятность того, что среди 50 наудачу отобранных деталей бракованных окажется не менее 6. Ответ записать с двумя знаками после запятой без округления, Ф 14,14 0,5; Ф 1,41 0,4207, учитывая, что Ф 0,8 =0,2881; Ф 3,4 =0,49966.

31. Вероятность нарушения стандарта при штамповке карболитовых колец равна 0,3. Найти вероятность того, что для 800 заготовок число бракованных колец заключено между 225 и

250. Ответ записать с тремя знаками после запятой без Ф 0,77 =0,2794;

округления, учитывая, что Ф 1,16 =0,3770 ; Ф 0,5 0,1915; Ф 1,1 0,3643.

32. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не менее 75 раз. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления, учитывая, что Ф 5 0,499997; Ф 1,25 0,3944, Ф 0 0; Ф 1,13 0,3708.

33. Вероятность появления события в каждом независимом испытании равна 0,7. Найти вероятность того, что в 100 испытаниях событие наступит не более 70 раз. Ответ записать с одним знаком после запятой без округления, учитывая, что Ф 0 0; Ф 15,2 0,5, Ф 0,9 0,3159; Ф 1 0,3413.

34. Вероятность отклонений от принятого стандарта при штамповке клемм равна 0,02. Найти вероятность наличия в партии из 200 клемм не более 4 клемм, не соответствующих стандарту. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления, учитывая, что Ф 0 0, Ф 2,02 0,4783, Ф 0,6 0,2257, Ф 0,9 0,3159.

35. Вероятность появления бракованной детали равна 0,008.

Найти вероятность того, что из 500 случайно отобранных деталей окажется 3 бракованных. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления, учитывая, что е 2,72.

36. Птицеферма отправила на базу 5000 доброкачественных яиц. Вероятность того, что в пути яйцо разобьется, равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 недоброкачественных яйца. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления, учитывая, что е 2,72.

37. Найти вероятность поражения мишени 76 раз при 100 выстрелах, если вероятность поражения при одном выстреле равна 0,8. Ответ записать с двумя знаками после запятой 0 0,3989, без округления, учитывая, что 1 0,2420.

38. Найти вероятность одновременной поломки 25 машин из 100 работающих, если вероятность поломки каждой машины равна 0,2. Ответ записать с тремя знаками после запятой 1, 25 0,1826, без округления, учитывая, что 1 0,2420.

39. Электронная схема содержит 2000 элементов. Вероятность выхода из строя каждого из элементов равна 0,0005. Найти вероятность безотказной работы электронной схемы. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления, учитывая, что е 2,72.

40. Вероятность получения изделия высшего сорта равна 0,64.

Найти вероятность того, что в партии из 100 изделий будет 70 изделий высшего сорта. Ответ записать с тремя знаками после запятой без округления, учитывая, что 1, 25 0,1826, 1 0,2420.

Задача 7

Найти закон распределения указанной дискретной случайной величины. Вычислить математическое ожидание M X. В ответ записать число с двумя знаками после запятой без округления.

Производятся три выстрела по мишени. Вероятность поражения мишени первым выстрелом равна 0,4, вторым – 0,5, третьим – 0,6; СВ X – число поражений мишени.

Найти закон распределения указанной дискретной случайной величины. Вычислить математическое ожидание M X. В ответ записать число с двумя знаками после запятой без округления.

Вероятность безотказной работы в течение гарантийного срока для телевизоров первого типа равна 0,9, второго типа

– 0,7, третьего типа – 0,8; СВ X – число телевизоров, проработавших гарантийный срок, среди трех телевизоров разных типов.

Найти закон распределения указанной дискретной случайной величины. Вычислить математическое ожидание M X. В ответ записать сумму М X Р( Х 3) с двумя знаками после запятой без округления.

Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,6; СВ X – число поражений цели при четырех выстрелах.

Найти закон распределения указанной дискретной случайной величины. Вычислить математическое ожидание M X. В ответ записать сумму М Х Р( Х 2) с двумя знаками после запятой без округления.

Вероятность выпуска прибора, удовлетворяющего требованиям качества, равна 0,9. В контрольной партии 3 прибора;

СВ X – число приборов, удовлетворяющих требованиям качества.

Найти закон распределения указанной дискретной случайной величины. Вычислить математическое ожидание M X. В ответ записать число с двумя знаками после запятой без округления.

Вероятность перевыполнения плана для СУ-1 равна 0,9, для СУ-2 – 0,8, для СУ-3 – 0,7; СВ Х – число СУ, перевыполнивших план.

Найти закон распределения указанной дискретной случайной величины. Вычислить математическое ожидание M X. В ответ записать сумму М Х Р ( Х 1) с двумя знаками после запятой без округления.



Pages:   || 2 |


Похожие работы:

«ВЕЛИГЖАНИН Алексей Александрович РАЗВИТИЕ МЕТОДОВ АНАЛИЗА СТРУКТУРЫ НЕКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ И НАНОРАЗМЕРНЫХ МАТЕРИАЛОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИНХРОТРОННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ 01.04.01 – Приборы и методы экспериментальной физики Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – 2011 Работа выполнена в Национа...»

«Митрофанов Георгий Михайлович РАЗВИТИЕ МЕТОДОВ ИНТЕРПРЕТАЦИОННОЙ ОБРАБОТКИ СЕЙСМИЧЕСКИХ ДАННЫХ И ОПТИМИЗАЦИИ СИСТЕМ НАБЛЮДЕНИЙ НА ОСНОВЕ ФАКТОРНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ Специальность 25.00.10 Геофизика, геофизические методы поисков полезн...»

«Лекция 2. Схемы из функциональных элементов (СФЭ) в некотором базисе. Сложность и глубина схемы. Примеры. Метод синтеза СФЭ по ДНФ. Лектор доцент Селезнева Светлана Николаевна Лекции по “Дискретной математике 2”. 1-й курс, группа 141, факультет ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова Лекции на сайте http://mk.cs.msu.su СФЭ Примеры Синтез СФЭ по ДНФ Схемы из функц...»

«Илькаева Марина Викторовна ПЕРОКСИДНЫЙ МЕТОД ПОЛУЧЕНИЯ ФОТОКАТАЛИЗАТОРОВ НА ОСНОВЕ НАНОЧАСТИЦ SiO2/TiO2 Специальность 02.00.04 – «Физическая химия» Диссертация на соискание учёной степени кандидата химических наук Научный руководитель доктор химических наук Авдин В.В. Челябинск...»

«t КРАТКИЕ ПО ФИЗИКЕ К Ыт J Краткие сообщения по физике ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ И ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ; ФИЗИКА [ № 1 /1984 АКАДЕМИЯ НАУК СССР Ордена Ленина Физический институт им. П.Н.Лебедева Редколлегжя Редактор Н. Г. Басов Эам.рвдахтора А. Ф. Паохяшкш...»

«АЯЗВЕЗДИН ам. МАТВЕЕВ АЛ МУХИН АН ПОПОВ РЕДКОЗЕМЕЛЬНЫЕ ИОНЫ В МАГНИТОУПОРЯ ДОМЕННЫХ КРИСТАЛЛАХ МОСКВА НАУКА ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ББК 22.334 УДК 537.61 Звездин А.К., Матвеев В.М., Мухин А.А., Попов А.И.Редкоземель­ ные ионы в магнитоупорядоченных кристаллах. М.: Наука. Глав­ ная редакция физико-...»

«ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОГО СИНТЕЗА ТВЕРДЫХ ФАЗ Учебная программа специального курса для студентов V курса химического факультета (специальность H.31.05.01) (специализация «Химия твердого тела и полупроводников») Пояснительная записка Програм...»

«Геология и геофизика, 2011, т. 52, № 12, с. 2087—2109 УДК 551.242.3 (571.5)+551.7.03 ПОЗДНЕПАЛЕОЗОЙСКАЯ СКЛАДЧАТО-ПОКРОВНАЯ СТРУКТУРА ТУНКИНСКИХ ГОЛЬЦОВ ВОСТОЧНОГО САЯНА (южное обрамление Сибирской платформы) А.Б. Рябинин, М.М. Бус...»

«КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ 2013 Т. 5 № 2 С. 231239 МОДЕЛИ В ФИЗИКЕ И ТЕХНОЛОГИИ УДК: 51.74 Сравнительный анализ методов оптимизации для решения задачи интервальной оценки потерь электроэнергии Ю. В. Кольцов, Е. В. Бобошкоa Кубанский государственный университ...»

«Глава I ОБЪЕКТЫ, МЕТОД И ПРЕДМЕТ МАТЕМАТИКИ Для более или менее подробного обсуждения предмета математики необходимо предварительно выяснить генезис и особенности ее важнейших исходных понятий. Такой путь является единственно правильным, поскольку она отличается исключительным своеобразием по сравнению с другими о...»

«ИНСТИТУТ ФИЗИКИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ И ФВ Э ОЭА 78-141 КХА.Белохопытов, Ю.С.Нечаев ПОДГОТОВКА ДАННЫХ НА PDP-9 ДЛЯ ВХОДА В ПРОГРАММУ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ РЕКОНСТРУКЦИИ Серпухов 1978 КХА.Белокопытов, Ю.С.Нечаев ПОДГОТОВКА ДАННЫХ НА PDP-9 ДЛЯ ВХОДА В ПРОГРАММУ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ РЕКОНСТРУКЦИИ M 2...»

«С И Б И Р С К О Е О ТД Е Л Е Н И Е РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ ГЕОЛОГИЯ И ГЕО ФИЗИКА Геология и геофизика, 2013, т. 54, № 1, с. 72—82 ПАЛЕОКЛИМАТ УДК 551.3.051 (282.256.341) ХЛОРИТОИД В ДОННЫ...»

«1 Задание для студентов 331 группы на 30.01.2017 Законспектировать материал Лекция 2. Задачи, методы и приемы математического развития дошкольников 2.1 Задачи математического развития дошкольников Малыши постигают то содержание математической направленно...»

«Лишневский Андрей Эрикович ВАРИАЦИИ РАДИАЦИОННОЙ ОБСТАНОВКИ НА МЕЖДУНАРОДНОЙ КОСМИЧЕСКОЙ СТАНЦИИ НА ФАЗЕ СПАДА 23-го ЦИКЛА СОЛНЕЧНОЙ АКТИВНОСТИ 01.04.08 Физика плазмы АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учной степени кандидата физико-математических наук Москва – 2014 Работа выполнена в отделе космофизических исследований Научно-исследовате...»

«3 семестр Очная форма обучения. Бакалавры. I курс, 3 семестр. Направление 280100 «Природообустройство и водопользование». Дисциплина «Математика-1». Календарный план: 1 час лекций, 3 часа практики в неделю....»

«ВОЕННО-МОРСКАЯ АКАДЕМИЯ имени Адмирала Флота Советского Союза Н. Г. КУЗНЕЦОВА Н. С. ВОЛГИН ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ Часть 2 Утвержден Главнокомандующим ВМФ в качестве учебника для слушателей Академии САНКТ-ПЕТЕРБУРГ Учебник состо...»

«Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №3» «Школьная клумба» Семейный проект Организаторы проекта: Федотова Е. – 10 «Б» Федотова О.С. Химичева А. – 10 «Б» Химичева С.А.Координатор проекта: Тимербулатова Л.Ф. кл. рук...»

«Аннотации к рабочим программам начальной школы по УМК «Школа России» МБОУ «Ивангородская основная общеобразовательная школа №2» 2016 год Аннотация к рабочей программе «Математика» 1-4 кл. Рабочая программа по математике разработана на основе Ф...»

«Жукова Нина Ивановна, Цой Елена Александровна ГЛЮКОЗА И АСКОРБИНОВАЯ КИСЛОТА РАЙОНИРОВАННЫХ СОРТОВ РИСА ПРИМОРСКОГО КРАЯ Исследовано содержание глюкозы и аскорбиновой кислоты в семенах и про...»

«В. М. Ковальзон ОСНОВЫ СОМНОЛОГИИ ФИЗИОЛОГИЯ И НЕЙРОХИМИЯ ЦИКЛА «БОДРСТВОВАНИЕ–СОН» 3-е издание (электронное) Москва БИНОМ. Лаборатория знаний УДК 57 ББК 28.7 К56 Деривативное электронное издание на основе печатного издани...»

«Вестник МГТУ, том 14, №4, 2011 г. стр.811-815 УДК 159.9.018.4 Математическая модель развития потребностей эстетического характера Ю.Т. Глазунов Технологический факультет МГТУ, кафедра технологии пищевых...»

«МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭВОЛЮЦИИ НАПРЯЖЕННОДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ГОРНОГО МАССИВА В ОКРЕСТНОСТЯХ ВЫРАБОТКИ. ОЦЕНКА ШАГОВ ГЕНЕРАЛЬНОГО ОБРУШЕНИЯ КРОВЛИ ПРИ РАЗЛИЧНОЙ МОЩНОСТИ ОСНОВНОЙ КРОВЛИ М.О. Еремин1,2, П.В. Макаров1 Национальный Исследовательский Томский Государственный Университет, Томск, Россия Институт...»

«Шубин Алексей Владимирович Методика изучения сложнопостроенных природных резервуаров на основе петроупругого моделирования и инверсии сейсмических данных Специальность 25.00.10 Геофизика, геофизические методы поисков пол...»

«1 Аннотация к рабочей программе по физике в 11 классе Рабочая программа по физике в 11 классе составлена в соответствии с требованиями: Закона «Об образовании в Российской Федерации» от 29...»

«Альтернативная гипотеза светимости Солнца Ф. Г. Лепехин ВНС Петербургского Института Ядерной Физики им. Б. П. Константинова, Россия Аннотация Рассматривается альтернативная гипотеза, согласно которой светимость звезд и Солнца обеспечивается квантовыми ф...»

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА Химический факультет Кафедра общей химии Вводная работа к практическим занятиям по общей химии Учебное пособие. Составлено под ред. профессора С.Ф. Дунаева для студентов I курсов естественных ф...»

«Поляков Алексей Сергеевич ОСОБЕННОСТИ КВАДРУПОЛЬНОГО ВОЗБУЖДЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ ИОНОВ В ЛИНЕЙНОЙ ИОННОЙ ЛОВУШКЕ Специальность: 01.04.04 – Физическая электроника Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель: д.ф.-м.н., профессор...»

«Математические модели регуляции тестостерона1 А. В. Медведев Упсальский университет (Швеция) А. Н. Чурилов, А. И. Шепелявый Санкт-Петербургский государственный университет2 Рассматриваются различные математические модели, описывающие регуляцию уровня тестостерона в мужском организме.1. Введение Гормональная регу...»

«Известия Челябинского научного центра, вып. 4, 2000 г. ХИМИЯ И ХИМИЧЕСКАЯ ТЕХНОЛОГИЯ УДК 546.654–3:541.18 СОРБЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОКСИГИДРАТОВ ИТТРИЯ В.В. Авдин (1), Ю.И. Сухарев (2) e–mail: avdin@ccn.org.ru (1), sucharev@water.susu.ac.ru (2) Южно–Уральский государственный университет, г. Челябинск, Россия Статья поступила 20 ноября...»

«МАНКЕЛЕВИЧ ЮРИЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ ПЛАЗМЕННО И ТЕРМИЧЕСКИ СТИМУЛИРОВАННОЕ ОСАЖДЕНИЕ АЛМАЗНЫХ ПЛЕНОК: МНОГОМЕРНЫЕ МОДЕЛИ ХИМИЧЕСКИХ РЕАКТОРОВ Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук Специальность 01.04.08 – физика...»








 
2017 www.pdf.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - разные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.