WWW.PDF.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Разные материалы
 

«УДК 531.19, 519.233.33; 330.43; 338.516.44; 330.42 С.А. ГАЛКИН, О.И. ЕЛАГИН, А.А. КОЗЛОВ, В.А. ПОТАПЕНКО, М.Ю. РОМАНОВСКИЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ...»

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

2009 ТРУДЫ ИНСТИТУТА ОБЩЕЙ ФИЗИКИ им. А.М. ПРОХОРОВА Том 65

УДК 531.19, 519.233.33; 330.43; 338.516.44; 330.42

С.А. ГАЛКИН, О.И. ЕЛАГИН, А.А. КОЗЛОВ,

В.А. ПОТАПЕНКО, М.Ю. РОМАНОВСКИЙ

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ДОХОДОВ И РАСХОДОВ ГРАЖДАН:

НАБЛЮДЕНИЯ И МОДЕЛИ

Ключевые слова: эконофизика, распределение Больцмана, распределение Парето Keywords: econophysics, Boltzmann distribution, Pareto distribution

1. Введение В экономике любой страны важным является вопрос распределения у граждан денег «в карманах», доходов за некоторый (обычно годовой) период и имущества. Эти распределения необходимо знать для того, чтобы определить социальную ситуацию в стране, покупательную способность граждан на товары разных ценовых сегментов и для много другого. Методов определения количества денег «в карманах» у граждан при существующем уровне технологий не существует, распределение денег можно только промоделировать. В свою очередь, в экономиках с устоявшейся налоговой системой для определения доходов и имущества могут быть использованы статистические данные о подоходном налоге и налоге на наследство.

Эти статистические данные стали доступны исследователям не так давно, практически только с начала 90-х годов. Актуальность же проблемы вызвала первые работы о подобных распределениях гораздо раньше. Исторически первым исследователем, предложившим количественное распределение доходов граждан (еще в конце 19 в.), был итальянский социолог и экономист Парето [1]. Он считал, что индивидуальный доход граждан x распределен с плотностью вероятности f(x), f ( x ) ~ Cx. (1) Здесь C — некоторая константа, величина 2.5 [1], распределение вблизи нуля доходов не уточнено.



МГУ им. М.В. Ломоносова, физический факультет, г. Москва © С.А. Галкин, О.И. Елагин, А.А. Козлов, В.А. Потапенко, М.Ю. Романовский, 2009 Парето считал, что этот результат универсален и справедлив во все времена и для любой страны. Эта точка зрения стала в экономической литературе одно время доминирующей [2], хотя не все были с этим согласны (например, Ширас [3]). Мандельброт [4] утверждал, что распределение Парето справедливо только для больших доходов и т.д. Гибрат [5] в 1931 г. пришел к выводу о том, что доходы и богатство распределены логарифмически-нормально. Эта идея была поддержана многими другими, в том числе Монтроллом и Шлезингером [6]. Однако еще в 1945 г. Калецки [7] обратил внимание на то, что логарифмически нормальное распределение не стационарно, так как его ширина зависит от времени. Тем не менее оно используется для оценки распределения доходов и в настоящее время.

С начала 90-х с появлением Internet и увеличением открытости госстуктур появилась возможность прямого эмпирического анализа статистических данных об указанных налогах (подоходного и на наследство). Первым такой анализ проделал Яковенко, и его результаты весьма отличались как от распределения, описываемого уравнением (1), так и от логарифмически-нормального распределения. Во-первых, модельное распределение денег «в карманах» у граждан быстро выходило на стационарное после старта (компьютерного модельного) обмена и оказывалось экспоненциальным [8] (см. также [9]). Распределение доходов в США в 1996 г. [10], в Великобритании в 1997 г. [11], имущества в Великобритании в 1996 г. [11], в Австралии в 1989–2000 гг. [12] оказалось в основном (для не сверхбольших доходов и имуществ) экспоненциальным, нормировка которого соответствовала средним эмпирическим доходам и имуществу. Для сверхбольших доходов и имущества экспоненциальное распределение плавно переходило в распределение Парето (1) с показателем ~ 2–3 для разных распределений. Для [12] было прослежено и отсутствие логарифмически-нормального распределения.

Между тем задача о распределении большого количества частиц (в нашем случае — денежных единиц) по некоторому (намного меньшему) количеству «ящиков» (в нашем случае — граждан) известна со времен Бернулли, и в физике была применена Больцманом при выводе равнораспределения по энергиям (см. [13]). Экономическая трактовка этого комбинаторного принципа впервые сделана Масловым [14]. Действительно, количество реализаций распределения N денежных единиц по M людям есть W (число перестановок с повторениями) N!

W= M, (2) mi !

i =1 где M m.

N= (3) i i =1 Перестановки с повторениями подразумевают, что все денежные единицы, попавшие i-ому человеку, неразличимы, т.е. их обмен ничего не меняет в (2), а обмен денежными единицами между разными (i-м и j-м) людьми означает новую реализацию. Это последнее требование совершенно экономически очевидно, так как описывает покупку-продажу.

Естественно сделать два предположения. Первое из них заключается в том, что каждая из этих реализаций равновероятна, а второе — что существует некоторое среднее количество денежных единиц, удовлетворяющее условию M

–  –  –

Максимум W следует интерпретировать как (экономически) равновесное состояние, отклонение от которого лишь слабо меняет.

Таким образом, в экономическом равновесии распределение денежных единиц по людям (за определенный период времени образующее доход, имущество) оказывается экспоненциальным всегда. Поэтому результаты [8–12, 14] представляются совершенно естественными, и не очень понятно, почему подобные модели в экономике не появлялись до вышеуказанных работ. Распределение (6) изначально возникает из-за максимального равенства экономических возможностей объектов распределения. Заметим, что (свободный) обмен между лицами денежными единицами [8], как уже указывалось, приводит к тому же результату независимо.

Следующим вопросом является объяснение появления «хвоста» Парето в экспериментальных распределениях доходов и имущества, а также поведение распределений в нуле [12]. Чеботаревым [15] предложена схема несвободного обмена товаров и денег, в результате которого возникает распределение типа Парето (1) больших доходов, а также возникает реалистическое распределение доходов в нуле. Масловым [14] предложена модель, обобщающая равнораспределение (2) для больших mi. Для доходов и имущества она приводит к неэквидистантности i [16], т.е. к тому, что цена денежной единицы для больших доходов становится больше2, и в дальнейшем — к появлению хвоста Парето в распределении доходов (см. также о хвосте Парето в распределении доходов [17]).

Задача, рассмотрению которой посвящена данная работа, состояла из трех частей:

• проверка временнй устойчивости распределений индивидуальных доходов населения США и Великобритании, а также распределения индивидуального имущества населения Великобритании, полученных предыдущими исследователями (Яковенко), на основании современных (2004–2005 гг.) данных налоговых служб;

• анализ распределения продаж новых легковых автомобилей в США и Великобритании на предмет его соответствия распределению доходов (и имущества) для возможности его использования в оценке распределения доходов;

• анализ распределения продаж новых легковых автомобилей в современной России для оценки распределения доходов российских граждан.

Современные экспериментальные данные о распределении индивидуальных доходов населения США и Великобритании на основании данных налоговой службы Убедимся в том, что в результате построения распределения индивидуального дохода по данным налоговой статистики США и Великобритании, и имущества Великобритании действительно получается экспоненциальное распределение (6), которое после достижения некоторой пороговой величины дохода или имущества переходит в распределение Парето (1).

Исходные статистические данные [18–21] были обработаны следующим образом: там, где это было возможно (имелись данные о доходах в определенных денежных интервалах, ширина которых была меньше 5 000 долларов3 для США и 5 000 фунтов стерлингов для Великобритании), количество деклараций о доходах (определенной величины) было просуммировано по интервалам доходов в 5 000 долларов. Там же, где данные были представлены на интервалах, ширина которых превышает 5 000 долларов, количество деклараций было поделено на отношение размера интервала к 5 000 долларов. Распределение индивидуальных доходов в США в 1998 г. представлено на рис. 1.

Действительно, распределение индивидуальных доходов в США в 1998 г.

имело экспоненциальный характер для доходов размером до 100 000 долларов, а более высокие доходы распределены по Парето. Доля населения, дохоПоследнее, вообще говоря, известно [2].

Здесь и далее имеются в виду доллары США.

Количество граждан, чел.

Количество 106 граждан, чел.

101 Доход, тыс. долларов Доход, тыс. долларов Рис. 1. Зависимость количества граждан от размера их индивидуального дохода в тыс.

долларов в США в 1998 г. (логарифмический масштаб). Данные экспоненциального распределения показаны квадратами, хвоста Парето — кружками. Врезка: экспоненциальная часть основного графика в полулогарифмическом масштабе. Жирные черные линии на графике и врезке показывают экспоненциальное распределение (6) с «температурой» — средним доходом 33 900 ± 1 100 долларов, тонкая серая — распределение Парето (1) с параметром = 2.8 ± 0.1 ды которой распределены по Парето, составляет примерно 1.5 % от общей массы подавших налоговые декларации, что в точности совпадает с результатом, полученным Яковенко. Коэффициент детерминации экспоненциального распределения составил 0.98, распределения Парето — 1.00.

Для оценки правдоподобности полученного нами значения среднего индивидуального дохода приведем официальные данные о среднедушевых доходах населения США с 1990 г. по 2005 г. [21] в табл. 1. По данным департамента торговли США, в 1998 г. среднедушевой доход в США составил 26 883 доллара. Полученное нами значение среднего экспоненциального распределения 33 900 ± 1 100 долларов отличается от этого значения по нескольким причинам.

Во-первых, по причине погрешности аппроксимации мы получаем значение среднего дохода несколько выше полученного обычным путем. Если считать

–  –  –

log(количество граждан) log(количество граждан) 0 20 40 Доход, тыс. долларов log(доход, тыс. долларов) Рис. 3. Зависимость количества граждан от размера их индивидуального дохода в тыс.

долларов в США в 2004 г. (логарифмический масштаб). Данные экспоненциального распределения показаны квадратами, хвоста Парето — кружками. Врезка: экспоненциальная часть основного графика в полулогарифмическом масштабе. Жирные черные линии на графике и врезке показывают экспоненциальное распределение (6) с «температурой» — средним доходом 38 700 ± 1 100 долларов, тонкая серая — распределение Парето (1) с параметром = 2.65 ± 0.02 log(количество граждан)

–  –  –

0 20 40 60 Доход, тыс. фунтов стерлингов log(доход, тыс. фунтов стерлингов) Рис. 4. Зависимость количества граждан от размера их индивидуального дохода в тыс.

фунтов стерлингов в Великобритании в 1998/1999 гг. (логарифмический масштаб). Данные экспоненциального распределения показаны квадратами, хвоста Парето — кружками. Врезка: экспоненциальная часть основного графика в полулогарифмическом масштабе. Жирные черные линии на графике и врезке показывают экспоненциальное распределение (6) с «температурой» — средним доходом 11 900 ± 2 800 фунтов стерлингов, тонкая серая — распределение Парето (1) с параметром = 3.17 ± 0.01 2* ненциального распределения составил 0.97, а для распределения Парето 1.00.

Распределение доходов в США в 2004 г. имеет тот же вид, что и в 1998 г., а значит, форма распределения доходов не меняется год от года. Разница в результатах за 2004 г. и за 1998 г. состоит в том, что «температура» экспоненциального распределения возросла на 5 300 долларов (13 %). В то же время средний доход в США в 2004 г. на одну декларацию был 51 300 долларов, что в 1.5 раза больше среднего распределения 38 700 ± 1 100 долларов, т.е. в том же соотношении, что и в 1998 г.

Распределение индивидуальных доходов в Великобритании в 1998/1999 гг.

представлено на рис. 4.

Распределение индивидуальных доходов в Великобритании в 1998/1999 гг.

имело экспоненциальный характер для доходов размером до 40 000 фунтов стерлингов, а более высокие доходы распределены по Парето. Коэффициент детерминации для экспоненциального распределения составил 0.96, а для распределения Парето 1.00. Распределение индивидуальных доходов в Великобритании в 2003/2004 гг. представлено на рис. 5.

Распределение индивидуальных доходов в Великобритании в 2003/2004 гг.

имело экспоненциальный характер для доходов размером до 40 000 фунтов стерлингов, а более высокие доходы распределены по Парето. Коэффициент детерминации для экспоненциального распределения составил 0.93, а для распределения Парето 1.00. Доля доходов в хвосте Парето выросла до 23 %,

–  –  –

log(доход, тыс. фунтов стерлингов) log(доход, тыс. фунтов стерлингов) Рис. 5. Зависимость количества граждан от размера их индивидуального дохода в тыс.

фунтов стерлингов в Великобритании в 2003/2004 гг. (логарифмический масштаб).

Данные экспоненциального распределения показаны квадратами, хвоста Парето — кружками. Врезка: экспоненциальная часть основного графика в полулогарифмическом масштабе. Жирные черные линии на графике и врезке показывают экспоненциальное распределение (2) с «температурой» — средним доходом 14 000 ± 4 300 фунтов стерлингов, тонкая серая — распределение Парето (1) с параметром = 2.96

log(количество граждан)

log(количество граждан)·105 10 log(размер индивидуального имущества, тыс. фунтов стерлингов) log(размер индивидуального имущества, тыс. фунтов стерлингов) Рис. 6. Зависимость количества граждан от размера их индивидуального имущества в тыс. фунтов стерлингов в Великобритании в 2003 г. (логарифмический масштаб). Данные экспоненциального распределения показаны квадратами, хвоста Парето — кружками. Врезка: экспоненциальная часть основного графика в полулогарифмическом масштабе. Жирные черные линии на графике и врезке показывают экспоненциальное распределение (6) с «температурой» — средним размером богатства 30 500 ± 3 700 фунтов стерлингов, тонкая серая — распределение Парето (1) с параметром = 2.7 или на 4 % по сравнению с 1998/1999 гг. Распределение индивидуальных доходов в Великобритании имеет ту же форму, что и распределение доходов в США, что является свидетельством независимости формы этого распределения от конкретной страны. Средний доход в Великобритании за этот период был 22 000 фунтов стерлингов, что также в 1.5 раз больше, чем нормализация соответствующего экспоненциального распределения (14 000 фунтов стерлингов).

Осталось выяснить, какую форму имеет распределение имущества. Исходные данные налогового ведомства Великобритании для имущества были разбиты по интервалам в 10 000 фунтов стерлингов. Распределение индивидуального имущества в Великобритании в 2003 г. представлено на рис. 6.

Распределение имущества в Великобритании в 2003 г. имело экспоненциальный характер для имущества размером до 200 000 фунтов стерлингов, а имущество большей стоимости распределено по Парето. Коэффициент детерминации для экспоненциального распределения составил 0.96, а для распределения Парето 1.00.

Таким образом, распределения индивидуальных доходов в США в 1998 г.

и 2004 г., в Великобритании в 1997/1998 гг. и 2003/2004 гг., а также распределение имущества в Великобритании в 2003 г. имели экспоненциальный характер (6) до определенной границы, после чего приобретали характер распределения Парето (1). Доля доходов в хвосте Парето в общей массе доходов возрастает из года в год, а параметр распределения практически не меняется.

При анализе распределений доходов и имущества в странах с репрезентативной налоговой системой остается, как уже указывалось, вопрос о распределении этих величин при малых, и даже при отрицательных, значениях4. После некоторого максимума количество лиц, получающих все меньшие и меньшие доходы, уменьшается [10, 11]. Вернемся к этому обстоятельству при обсуждении распределений продаж автомобилей.

Анализ распределения продаж новых легковых автомобилей в США и Великобритании Часто для оценки доходов измеряют расходы. Например, для оценки состояния разных экономических субъектов (начиная от семьи и кончая государством) используют долю расходов на продукты питания — чем она выше в общих расходах, тем, как правило, субъект менее развит экономически (попросту беднее). Этот параметр, однако, достаточно груб и может применяться только для общих оценок экономического состояния. Наилучшей оценкой доходов должен служить такой товар, распределение продаж (и покупок) которого прямо позволяет определить функцию распределения экономических субъектов (в нашем случае — индивидуальных граждан) по доходам, т.е. расходы на этот товар репрезентативны доходам.

Очевидно, что репрезентативный товар должен быть массовым (самолеты и яхты не годятся), но в то же время цена его (за 1 штуку) должна варьироваться в самых широких пределах. Таким товаром являются новые автомобили, цена которых начинается примерно с 3 000 долларов (в России — ВАЗ 1101 «Ока»), и практически не ограничена сверху — во всяком случае, количество ежегодно продаваемых автомобилей дороже 100 000 долларов в мире более 100000 штук. Таким образом, диапазон цен на новые автомобили хорошо перекрывает диапазон доходов граждан, и можно ожидать от распределения продаж новых автомобилей репрезентативности доходам.

Простая математическая модель репрезентативности расходов на (один) товар доходам состоит в следующем. Пусть распределение (плотность вероятности) покупок i-го товара i имеет вид x Pi ( x ) = exp, (7) Ti Ti где «температуры» Ti характеризуют среднюю цену данного товара на рынке.

Функции Pi представляют собой распределения независимых случайных величин.

Тогда асимптотика распределения суммы случайных величин M

–  –  –

В США подается ежегодно более 106 налоговых деклараций с отрицательным доходом. Последний образуется в результате личных банкротств, текущего отрицательного сальдо доходов для лиц свободных профессий, и т.д.

–  –  –

Здесь члены с K 4 и выше отброшены потому, что в распределении дохода они дают вклад в узкую область вблизи нуля доходов (см., например, [22]), которая на самом деле искажена по сравнению с (7). Действительно, доходов в ноль денежных единиц на практике имеет весьма малое количество граждан, т.е. экспериментальная кривая индивидуальных доходов начинается в нуле и для доходов значительно меньших среднего T быстро достигает кривой (7) [12].

Характеристическая функция (9) имеет функцию распределения (7) с эффективной температурой — средним доходом Teff, что легко проверяется обратным преобразованием Фурье, и теорема доказана.

Заметим, что суммарная температура T, которая может трактоваться как средний (годовой) доход:

M

–  –  –

если всего имеется M (регулярно покупаемых) товаров (в их число можно включить и отчисления на накопление для замкнутости модели), не равна Teff, хотя и является константой. Таким образом, требование модели репрезентативности о постоянном доходе выполнено. Здесь, безусловно, необходима разработка более подробной модели.

Все вышеприведенные результаты справедливы, если распределение цены товара начинается от нуля денежных единиц. Если у товара есть минимальная цена, то результат получается схожим за исключением того, что теперь суммарная функция распределения дохода будет также начинаться не в нуле, а в точке суммарной температуры (10). Эффективная же температура не меняется. Этот результат легко получить в том же приближении, что и (9), т.е. если не рассматривать область около нуля доходов.

Таким образом, расходы на один товар (в вышеуказанном приближении) можно считать репрезентативными полным доходам в том смысле, что функции распределения обоих суть функции вида (7) с различными температурами — средним доходом и средней ценой товара. Экспериментально было установлено следующее.

Исследовались распределения продаж новых автомобилей в Великобритании (в 2004 г.) и в США (в 2005 г.) в зависимости от цены. Для Великобритании были использованы материалы [23], а для США [24, 25]. Исходные (по всем проданным автомобилям) данные представляли собой сильно флуктуирующие кривые, мало похожие на (7). Далее эти кривые сглаживались следующим образом: для Великобритании брались средние значения в диапазонах 5 000 фунтов стерлингов. Для США интервал был 5 000 долларов. Результаты для 2004 г. Великобритании представлены на рис. 7.

Общее количество купленных новых автомобилей в 2004 г. было 2.58·106, средняя цена — 11 200 фунтов стерлингов. Таким образом, распределение продаж новых автомобилей в Великобритании в 2004 г. имеет тот же экспоненциальный характер, что и распределение доходов [9], и даже обладает некоторым хвостом. В этом хвосте распределение продаж новых автомобилей дороже 50 000 фунтов стерлингов в Великобритании в 2004 г. было неэкспоненциальным, здесь было сосредоточено около 5 % продаж (по стоимости).

Идентифицировать по нашим данным его как хвост Парето сложно, так как

–  –  –

Цена, тыс. фунтов стерлингов Рис. 7. Распределение продаж новых автомобилей в Великобритании в 2004 г. по данным [23]. По оси абсцисс отложены цены в тыс. фунтов стерлингов, по оси ординат — среднее количество проданных автомобилей в диапазоне 5 000 фунтов стерлингов. На врезке представлены те же результаты в двойном логарифмическом масштабе. Видно достаточно хорошее следование экспоненциальному закону с «температурой» — средней ценой автомобиля в 7 500 ± 1 100 фунтов стерлингов. Показатель степени для дорогих автомобилей = 0.8 коэффициент детерминации гиперболы Парето очень мал. Коэффициент детерминации экспоненциальной части был 0.9. Заметим, что в простой предложенной модели репрезентативности степенной хвост распределения вообще не фигурирует, так что модель должна быть уточнена и с этой точки зрения.

Тем не менее, совпадение формы основного распределения и наличие хвоста является фактом, поддерживающем репрезентативность расходов на новые автомобили доходам.

Заметим, однако, что средняя цена автомобиля не совпадает с нормировкой экспоненциального распределения (11 200 и 7 500 фунтов стерлингов соответственно). Напомним, что средний индивидуальный годовой доход в 2003/2004 гг. в Великобритании составил по данным налогового ведомства около 22 000 фунтов стерлингов, в то время как нормировка распределения дохода — 14 000 фунтов стерлингов. Таким образом, соотношение между нормировкой дохода и нормировкой расходов на автомобили, а также между средним доходом и средней стоимостью нового автомобиля в Великобритании примерно совпадало и было примерно равно 2.

Для США в 2005 г. результаты представлены на рис. 8.

Распределение продаж автомобилей в США в 2005 г., имеет тот же вид, что и распределение индивидуального дохода в 2004 г., что подтверждает репрезентативность расходов на покупку автомобилей индивидуальным доходам. Заметим, что, как и для Великобритании в 2003/2004 гг., средняя цена ав

–  –  –

Цена, тыс. фунтов стерлингов Рис. 8. Зависимость количества проданных автомобилей от их стоимости в тыс. долларов в США в 2005 г. (логарифмический масштаб). Данные экспоненциального распределения показаны квадратами, хвоста Парето — кружками. Врезка: экспоненциальная часть основного графика в полулогарифмическом масштабе. Жирные черные линии на графике и врезке показывают экспоненциальное распределение (2) с «температурой» — стоимостью автомобиля 9 300 ± 1 200 долларов, тонкая серая — распределение Парето (1) с параметром = 2.5 томобиля не совпадает с нормировкой экспоненциального распределения (25 600 и 11 700 фунтов стерлингов соответственно). Как уже указывалось, средний индивидуальный годовой доход в 2004 г. в США составил по данным налогового ведомства 51 300 долларов, в то время как нормировка распределения дохода — 38 700 долларов.

Таким образом, соотношение между нормировкой дохода и нормировкой расходов на автомобили было примерно 3.5, а между средним доходом и средней стоимостью нового автомобиля в США — 2, что отличалось от аналогичного соотношения в Великобритании. Помимо этого, автомобили являются имуществом, т.е. часть всего имущества граждан США распределена так же, как и их доходы. Считая что, средняя стоимость автомобиля в США в 2005 г. изменилась по сравнению с 2004 г. несущественно, найдем, что отношение средней стоимости автомобиля, приобретенного в 2004 г., к размеру среднего индивидуального дохода равно 2. Итак, если мы знаем среднюю за год стоимость проданного в США автомобиля, то, умножив ее на 2, мы найдем с определенной точностью размер среднегодового индивидуального дохода гражданина США (не путать со среднедушевым доходом).

–  –  –

Количество проданных автомобилей, шт.

Цена, доллар Рис. 10. Зависимость количества проданных автомобилей (полулогарифмическая шкала по оси Y) от их цены (ось X) в России в 2004 г. Врезка: тот же график в двойном логарифмическом масштабе. Экспериментальные данные экспоненциального распределения показаны кружками, хвоста Парето — квадратами. Жирные линии на графике и врезке описывают экспоненциальное распределение (6) с «температурой» — средней ценой автомобиля 9 000 долларов, тонкие серые — распределение Парето (1) с параметром = 1.94 = 1.94. Это распределение начиналось примерно с 54 000 долларов, а до этого шло обычное экспоненциальное распределение с температурой — средней ценой автомобиля в 9 000 долларов. Сумма затрат в экспоненциальной части составила 14 337 982 000 долларов. Полная сумма затрат — 16 948 851 000 долларов. Было продано 1 290 972 автомобиля, из них 36 529 автомобилей дороже 54 000 долларов. Был вычислен также коэффициент Джини [27], который оказался равным 0.399.

Результаты для 2004 г. приведены на рис. 10. Здесь видно хорошее согласие экспериментального распределения с экспоненциальным (2) вплоть до стоимости автомобиля в 54 000 долларов (это пограничное число было примерно одинаково для 2004 и для 2005 гг.). После 54 000 долларов начинался хвост Парето (лучше виден на врезке к рис. 4 в двойной логарифмической шкале). Регрессионные коэффициенты детерминации составили 0.96 в экспоненциальной части распределения и 0.62 в хвосте Парето для 2004 г.

Приведем для сравнения известные данные официальных источников. Отдел аналитики LADAONLINE: продано в 2004 г. 1.2844 млн. автомобилей на общую сумму 13.5 млрд. долларов. PriceWaterHouseCoopers: продано в 2004 г.

1.6 млн. автомобилей на сумму 17.9 млрд. долларов. Заместитель директора департамента промышленности Минпромэнерго России Николай Сорокин:

продано в 2004 г. 1.385 млн. автомобилей.

В 2005 г. по данным Минпромэнерго объем производства легковых машин сократился в России на 2.5 %, их выпустили 1.067 млн. штук. При этом объем продаж автомобилей за 2005 г. возрос на 7 %, наши сограждане купили примерно 1.8 млн. автомобилей (по данным www.rol.ru). По данным (www.bibika.ru) в 2005 г. на российском рынке было продано 1.420 млн. новых легковых автомобилей. Это на 9.5 % больше, чем в 2004 г., когда на российском рынке нашли своих покупателей 1.2845 млн. автомобилей. По данным заместителя генерального директора ОАО «АСМ-Холдинг» Александра Ковригина, продажи легковых автомобилей на российском рынке в 2005 г. увеличились по сравнению с 2004 г. на 14 %. В 2005 г. в РФ было продано 1.8343 млн. легковых автомобилей против 1.610 млн. годом ранее. При этом автомобилей отечественных марок было реализовано 918.4 тыс. единиц по сравнению с 980 тыс. в 2004 г. По нашим (средним среди вышеприведенных) данным в 2005 г. продано 1 556 801 автомобилей в экспоненциальной части распределения на сумму 17 881 694 000 долларов. В хвосте Парето продано 37 219 автомобилей на сумму 2 657 854 000 долларов. Продано всего: 1 594 020 автомобилей на сумму 20 539 548 000 долларов. «Температура» — средняя цена автомобиля в России в 2005 г. — составила T = 9 600 долларов, показатель степени в законе Парето = 2.06. Коэффициент Джини составил 0.4.

Результаты для 2005 г. приведены на рис. 11. Регрессионные коэффициенты детерминации составили 0.9 в экспоненциальной части распределения, и 0.69 — в хвосте Парето. Независимые расчеты по данным журнала «Авторевю» дали сходные результаты (экспоненциальное распределение с хвостом Парето) [28]. Несколько отличались (в пределах погрешности) данные о средних ценах автомобилей в 2004 г. (9 100 долларов) и в 2005 г. (10 300 долларов).

В 2006 г. (рис. 12) нормировка распределения покупок автомобилей в России в экспоненциальной части («температура распределения») оказалась равКоличество проданных автомобилей, шт.

Цена, тыс. долларов Рис. 11. Зависимость количества проданных автомобилей (полулогарифмическая шкала по оси Y) от их цены (ось X) в России в 2005 г. Экспериментальные данные экспоненциального распределения показаны кружками, хвоста Парето — квадратами.

Врезка: тот же график в двойном логарифмическом масштабе. Жирные линии на графике и врезке описывают экспоненциальное распределение (2) с «температурой» — средней ценой автомобиля 9 600 долларов, тонкие серые — распределение Парето (1) с параметром = 2.06

Количество проданных автомобилей, шт.

Цена, тыс. долларов Рис. 12. Основной график: зависимость количества проданных автомобилей (полулогарифмическая шкала по оси Y) от их цены (ось X) в России в 2006 г. Экспериментальные данные экспоненциального распределения показаны точками, хвоста Парето — треугольниками. Врезка: тот же график в двойном логарифмическом масштабе.

Жирные линии на графике и врезке описывают экспоненциальное распределение (2) с «температурой» — средней ценой автомобиля 9 900 долларов, тонкие серые — распределение Парето (1) с параметром = 2.21 ной T = 9 990 долларов (т.е. T 10 000 долларов), средняя цена покупки нового автомобиля в 2006 г. составила 16 100 долларов. Показатель хвоста Парето равен = 2.21. Заметим, что впервые среднее распределения оказалось меньше средней цены автомобиля. Этот факт можно связать, по-видимому, с качественными изменениями ситуации с доходами граждан России и «вымыванием»

дешевых автомобилей (автомобиль «Ока» больше не производится).

Таким образом, распределение продаж новых автомобилей в России в 2003– 2006 гг.5 было в основном экспоненциальным («под экспонентой» находилось более 85 % общих затрат) с хвостом Парето с показателем около 2. Есть большие основания считать, что это распределение репрезентативно доходам, из чего можно оценить средний индивидуальный доход гражданина РФ.

Помимо различных политических спекуляций, вопрос о величине среднего индивидуального дохода в РФ не является праздным и в чисто экономическом смысле. Например, для приходящих на рынок РФ международных компаний, в том числе автомобильных, вопрос о среднем доходе и форме распределения доходов является ключевым.

Оценив среднюю стоимость автомобиля, проданного в России, и помножив эту величину на некоторый коэффициент (он будет отличаться от 2 для США, так как Россия относится к списку развивающихся стран и поэтому расходы на автомобили занимают в потребительской корзине бльшую долю в проДля 2001–2002 гг. распределение продаж новых иномарок в России рассматривал Чеботарев [29]. Он, фактически, получил хвост Парето с показателем около 2. Его реконструкция реальных доходов россиян также показывает их 2-кратное превышение над официальными данными.

центном соотношении, чем в США), можно найти средний индивидуальный доход гражданина России. Остается единственная проблема — на какой коэффициент необходимо умножить эти цены, чтобы получить величину среднего индивидуального дохода. Одним из способов получения этого коэффициента может быть следующий: берутся статистические данные о доле расходов на автомобили в доходах гражданина США и России с учетом того, какая доля доходов уходит на потребительские расходы, находится их отношение, а затем коэффициент отношения среднего индивидуального дохода (по представленным налоговым декларациям!) в США к средней стоимости проданного там автомобиля умножается на полученное отношение.

Посчитанный таким образом коэффициент составил для России 1.28, а посчитанный на основании его средний размер индивидуального дохода в 2003 г.

составил 11 100 долларов, в 2004 г. — 11 600 долларов, в 2005 г. — 13 200 долларов, в 2006 г. — 14 600 долларов. Его официальная величина, рассчитанная из средней официальной зарплаты (около 110 000 руб. за 2005 г. или примерно 4 200 долларов в пересчете по курсу), отличается от оцененной нами примерно в 3 раза. Заметим, что и в развитых экономиках экспертные оценки могут значительно (в 1.5 раза) отличаться от данных налоговых органов (см. [9]).

Интересно, что результаты, полученные в результате социологических опросов (т.е. за деньги), проведенных аналитической группой МА-Эксперт, совместно с КОМКОН-2, Мониторинг.ру, дают для 2004 г. величину около 100 000 руб. за год, что близко к официальной оценке. Эти же данные, правда, дают изменение коэффициента Джини за 2001 г. — 60 %, 2002 г. — 40 %, 2003 г. — 32 %, 2004 г. — 34 %, что может свидетельствовать о ненадежности заказанных исследований. У нас коэффициент Джини за 2004–2006 гг. менялся мало (0.4–0.38). Заметим, что такой же коэффициент Джини Госкомстат вычислял для 1993–2001 гг., а это свидетельствует о стабильности данного показателя экономики (в США по данным налоговой службы коэффициент Джини вырос с 0.47 до 0.55 за 1978–1997 гг. [9]). Для современной Украины результаты измерений распределения доходов см. [30]. Объяснение факту трехкратного расхождения нашей оценки дохода в России с официальными очень простое: количество долларов США (и других валют) на руках граждан сравнимо с общим количеством наличных рублей. Эти доллары и приносят дополнительный доход (как минимум удваивают официальные данные).

Некоторые результаты Индивидуальные доходы в США и Великобритании, полученные Яковенко на основании статистических данных налоговых служб в 1998 г., подтвердились и действительно оказались распределены экспоненциально до величин в 100 000 долларов и 40 000 фунтов стерлингов, а более высокие доходы оказались распределены по Парето. Было также получено распределение доходов в США в 2004 г. и Великобритании в 2003/2004 гг. Эти распределения имеют ту же форму, что и распределения 1998 г. и 1998/1999 гг. соответственно. Таким образом, форма распределения доходов не меняется из года в год, а меняется только средняя нормировка экспоненциального распределения и средний доход; в нашем случае он вырос для США на 13 %, для Великобритании практически не изменился.

В результате проверки распределения имущества в Великобритании в 2003 г. было установлено, что оно имеет ту же форму, что и у Яковенко для 1996 г. Разница заключается в том, что средний размер имущества вырос с 70 000 до 100 000 фунтов стерлингов, и параметр распределения Парето, полученный нами (2.7), отличается от полученного Яковенко (1.9).

На основании приведенной в работе модели был сделан вывод о том, что продажи автомобилей в некотором приближении репрезентативны индивидуальным доходам. Поэтому продажи автомобилей могут применяться для оценки доходов, например в России, где налоговая статистика, по которой можно было бы с хорошей точностью установить распределение доходов и среднюю величину индивидуального дохода населения, затруднена.

Было получено распределение продаж автомобилей в Великобритании в 2004 г. и в США в 2005 г. Распределение продаж автомобилей в США имеет ту же форму, что и распределение доходов, что разумно считать подтверждением репрезентативности расходов на автомобили индивидуальным доходам.

Средняя цена автомобиля, полученная нами для США в 2005 г., отличается от величины среднего индивидуального дохода в 2 раза, поэтому, чтобы оценить величину среднего индивидуального дохода в США, например, в 2007 г. достаточно посчитать среднюю цену автомобиля в 2007 г. и умножить ее на 2.

Таким образом, был получен инструмент для построения распределения доходов и величины индивидуального дохода граждан.

Было получено распределение продаж новых автомобилей в России в 2003–2005 гг. и посчитана средняя цена проданного автомобиля. На основании анализа потребительских корзин гражданина США и гражданина России было выяснено, что россиянин тратит на автомобиль на 52 % больше, чем американец. Поэтому коэффициент 2 отношения величины среднего индивидуального дохода к средней стоимости автомобиля в США для России приобретает значение 2 0.64 = 1.28. Таким образом, по нашим оценкам средний индивидуальный доход россиянина в 2005 г. составил 13 200 долларов.

Авторы благодарны В.П. Маслову и А.М. Чеботареву за интерес к поставленной задаче и обсуждение полученных результатов. Авторы также благодарны А.А. Белкину, С.А. Крыловой и Т.А. Поповой за помощь в работе.

Работа выполнена при поддержке фонда А. фон Гумбольдта (грант межинститутского партнерства между Институтом общей физики им. А.М. Прохорова РАН и Университетом Гумбольдтов в Берлине). Она также частично поддержана (В.А.П. и М.Ю.Р.) грантом РФФИ 05-07-90248-в.

ABSTRACT

The distributions of incomes and expenditures of population are investigated. It is shown that the distribution of purchases (sales) of new cars is time-independent and obeys a close to exponential law. The previously investigated (close to exponential) distributions of individual incomes and properties of population showed temporal stability. The nature of the exponential income distributions is discussed.

A model of independent expenditures of population on various goods is constructed; this model can be used to estimate the representativeness of expenditures (on new cars) to incomes. This representativeness was verified for the United States and the United Kingdom, where the income distributions are known from the tax data. The expenditures on new cars in the United States and the United Kingdom were found to have exactly the same shape, with a normalization smaller than the average annual income by a factor of about 2. It is demonstrated that the distribution of expenditures on new cars in the Russian Federation in 2003–2006 is exponential, with a characteristic normalization slowly increasing from $8 700 in 2003 to $10 000 in 2006. The sale distribution for expensive (above $50 000) cars obeys a power (Pareto) law with a density distribution exponent of about 2. The total amount of expenditures in the Pareto tail does not exceed 15 % of the total expenditures on new cars in a given year. Based on the ratio of the average annual income in the United States and the United Kingdom to the average car price, the average annual income of Russian citizens was estimated to be $13 200 in 2005.

ЛИТЕРАТУРА

1. Pareto V. Cours d’Economie Politique. Lausanne and Paris, 1897.

2. Samuelson P.E., Nordhaus W.D. Economics. Boston: McGraw-Hill, 2002. 16th Ed.

3. Shirras G.F. The Pareto law and the distribution of income // Econom. J. 1935. Vol. 45.

P. 663–681.

4. Mandelbrot B. The Pareto–Levy law and the distribution of income // Int. Econom.

Rev. 1960. Vol. 1. P. 79–106.

5. Gibrat R. Les Inegalites Economique. Paris: Sirely, 1931.

6. Montroll E.W., Shlesinger M.F. Maximum entropy formalism, fractals, scaling phenomena, and 1/f noise: a tale of tails // J. Stat. Phys. 1983. Vol. 32. P. 209–230.

7. Kalecki M. On the Gibrat distribution // Econometrica. 1945. Vol. 13. P. 161–170.

8. Dragulescu A., Yakovenko V.M. Statistical mechanics of money // Eur. Phys. J. B. 2000.

Vol. 17. P. 723–729.

9. Chakraborti A., Chacrabarti B.K. Statistical mechanics of money: how saving propensity affects its distribution // Eur. Phys. J. B. 2000. Vol. 17. P. 167–170.

10. Dragulescu A., Yakovenko V.M. Evidence for the exponential distribution of income in the USA // Eur. Phys. J. B. 2001. Vol. 20. P. 585–589.

11. Dragulescu A., Yakovenko V.M. Exponential and power-law distributions of wealth and income in the United Kingdom and the United States // Physica A. 2001. Vol. 299.

P. 213–221.

12. Banerjee A., Yakovenko V.M., Di Matteo T. A study of the personal income distribution in Australia // Physica A. 2006. Vol. 370. P. 54–59.

13. Isihara A. Statistical Physics. N.Y.–London: Academic Press, 1971.

14. Маслов В.П. Квантовая экономика. М.: Наука, 2005.

15. Сhebotarev A.M. On stable Pareto laws in a hierarchical model of economy // Physica A.

2007. Vol. 373. P. 541–559.

16. Маслов В.П. Закон отсутствия предпочтений и соответствующие распределения в частотной теории вероятностей // Математические заметки. 2006. Т. 80, № 2.

C. 220–230; Maslov V.P. On a general theorem of set theory leading to the Gibbs, Bose–Einstein, and Pareto distributions as well as to the Zipf–Mandelbrot law for the stock market // Mathematical Notes. 2005. Vol. 78, N 6. P. 807–877.

17. Батурин В.Н., Лебедев С.Г., Маслов В.П., Садовников Б.И., Чеботарев А.М. Гипотеза о законе распределения высоких доходов и его интерпретации // Экономическая наука современной России. 2005. № 4(31). C. 57–62.

18. Individual income tax returns, all returns: adjusted gross income, exemptions, deductions, and tax items, by size of adjusted gross income and by marital status; http://www.irs.gov/ pub/irs-soi/04in11si.xls

19. Distribution of total income before and after tax, 1998–1999 to 2005–2006; http://www.

hmrc.gov.uk/stats/income_distribution/3_3_dec05.pdf

20. Identified personal wealth, estimated wealth of individuals in the U.K., 2003 (year of death basis); http://www. hmrc.gov.uk/stats/personal_wealth/13_1_delay_mar06.pdf

21. Per capita personal income by state, 1990 to 2005; http://www.unm.edu/~bber/econ/uspci.htm

22. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988. 6-е изд.

23. См. сайты: www.smmt.co.uk, www.jaguar.co.uk, www.peugeot.co.uk, www.mercedesbenz.co.uk, www.vauxhall.co.uk, www.toyota.co.uk, www.smart.co.uk, www.fiat.co.uk, www.mazda.co.uk, www.bentley.co.uk, www.rover.co.uk, www.renault.co.uk

24. U.S. light-vehicle sales by nameplate, December&12 months 2005; http://www.autonews.com

25. Цены на автомобили, проданные в США в 2005 г., взяты с сайтов: http://autos. yahoo.com/new_cars.html;_ylt=Aoitq8TiHPQGDssYQeWLh_UEc78F, http://www.carprices.com

26. Цены на автомобили, проданные в России в 2003–2006 гг., взяты с сайтов http://auto.ru/, http://kupiavto.ru, http://www.autonews.ru/

27. Kakwani N. Income Inequality and Poverty. Oxford: Oxford Univ. Press, 1980.

28. Калицев А. Почти полтора миллиона // Авторевю. 2006. № 2(350), http://www.autoreview.ru/archive/2006/02/Statistics/; Калицев А. Иномарки в России: итоги 2004 года // Авторевю. 2005. № 2(327), http://www.autoreview.ru/archive/2005/02/stat/; Калицев А. Наш автопром: 15 лет спустя // Авторевю. 2005. № 3(328), http://www.autoreview.ru/archive/2005/03/stat/

29. Чеботарев А.М. Распределение Парето как результат компьютерной реконструкции статистики авторынка России // Укр. эконом. журн. 2004. № 7. C. 6–11.

30. Лекарь С., Лощинин М., Эконометрия физических лиц Украины в 2000 г. // Укр.

эконом. журн. 2004. № 1. C. 66–82.



Похожие работы:

«Нагель Михаил Юрьевич МОДЕЛИРОВАНИЕ ФОРМИРОВАНИЯ СТРУКТУР ОСАЖДАЕМЫХ ПЛЕНОК И ОБРАЗОВАНИЯ ПЫЛИ В ПЛАЗМЕННЫХ УСТАНОВКАХ 01.04.04. – физическая электроника Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва 2013 Работа выполнена в отделении...»

«Вниманию авторов! Подробную информацию о «Химическом журнале Армении», содержание номеров журнала в графической форме и аннотации статей, годовые предметные и авторские указатели, а также правила для авторов, публикуемые в каждом первом номере журнала, с приложениями можно получить в сети Интернет по адресу: http://chemjourna...»

«Комогорцев Сергей Викторович Случайная магнитная анизотропия и стохастическая магнитная структура в наноструктурированных ферромагнетиках Диссертация на соискание ученой степени доктора...»

«АЛЕКСАНДР БИКБОВ С Т А Н И С Л А В ГА В Р И Л Е Н К О Российская социология: автономия под вопросом Методическое замечание В совместной программной работе Дюркгейм ипрограммы» социоло Мосс провозгласили принцип, впоследствии легший в основу «сильной гии знания: «Методы научного мышления — это подлинные социальные...»

«Прямо-двойственный метод решения задачи энтропийно-линейного программирования А. В. Чернов Задачи энтропийно-линейного программирования часто возникают в различных приложениях (транспортные задачи, исследован...»

«Львёнок (весна 2016, 3 класс) — сюжетный тур 1 страница Фамилия, имя, класс: Однажды ты уснул в своей кровати, а проснувшись, обнаружил себя в огромном и красивом зале.– Ты готов к испытаниям и свершениям? – грозно спросил тебя какой-то голос.– Тогда нужно проверить, го...»

«Ключ к варианту №1 Написать уравнения реакций, соответствующих следующей последовательности химических превращений:1. К2S S SО3 сульфат бария 2. Fе2О3 Fе(ОН)3 КFеО2 нитрат железа (III) Fe; сульфид бария; Fe2О3 + 6 HCl(конц.) = 2 FeCl3 + 3 H2O; К2S + 2 HCl = H2S +...»

«Московский ордена Ленина, ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени Государственный университет имени М.В.Ломоносова ГЕОЛОГИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Направление 511000 ГЕОЛОГИЯ Кафедра кристаллографии и кристаллохимии Компьютерное моделирование полиморфных модификаций...»









 
2017 www.pdf.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - разные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.